UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA CIVIL EN OBRAS CIVILES

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE

Tarea °2

Valdivia, Diciembre de 2014.

.

ALUMNO:

SEBASTIÁN RAMOS GRILLI

DOCENTE :

ING.JOSE SOTO

N°: 26

Onsiderar masa basa igual a 1

2

3bM M

,M1= masa total piso 1

De acuerdo al enunciado ,como una aporximacion adecuada se peude asumir que

el edificio vibra en el primer modo , determinándose asi las siguientes expresiones

para el modo i=1, vistas en clase :

2

1 1 1 1 1 1 1

21 11

* 2* * * * *y * 1

*M* 2* * * * 2

b g

b b b b b b g

b

L q y z w y w L u

Ly q w q w q u

m m

En donde .

2 bb

b

kw

m m

;

12* * bb

b

cw

m m

;

1 2* * ...t

nm r M r m m m

1 1*q y ; 11

1

* *t M rL

M

;

1 1 1M * *t M

El sistema desacoplado se puede representar matricialmente como :

1

1 1

1

*M1

b

L

L

m m

*1

bq

y

+1 10 2* *

2* * 0b b

w

w

*1

bq

y

+2

1

2

0

0b

w

w

*1

bq

y

= -1 1

1

*M1

b

M

L

m m

*

1*

0gu

La ecuación del sistema en movimiento libre sin amortiguamiento queda

expresado por :

1

1 1

1

*M1

b

L

L

m m

*1

bq

y

+2

1

2

0

0b

w

w

*1

bq

y

=0

0

Donde:

1

*

1 1

1

*M1

b

L

M L

m m

; 2

* 1

2

0

0b

wK

w

Las frecuencias natrales y modos de vibrar se calculan resolviendo el problema de

valores y vectores propios del algebra lineal, es decir :

* 2 **M 0Det K w

Reemplazando las matrices correspondientes , resulta :

2 2 2

1 1

2 21 1

*

0*M*b

b

L w w w

Det Lw w w

m m

*

Para conocer w1,ᶲ1,M1,L1 se deben clcular antes las frecuencias y modos propios

del edificio sin aislador sísmico.

Matriz de Masa del Edificio, base fija

2

1

2

52

0.012

0.006* 26 0.012

T Segm

cm

T Segm

cm

Matriz de rigidez del Edificio, base fija

De acuerdo a las instrucciones del enunciado será necesario definir los grados

estáticos del sistema incluyendo los giros en los nudos del pórtico, para luego

condensar la matriz estatica y obtener la matriz dinámica. En efecto :

2250Hormigon

TE

cm

34

30/50

1*30*50312500

12I cm

Se supondrá que el marco es indeformable axialmente

Para hallar la matriz estatica del pórtico, será necesario intreoducir conceptos de

estructuras relacionados a desplazamientos y giros unitarios , es decir :

1 1( "0")q resto

11 3

5*12*109.32

EIK

h 12 3

2*12*43.73

EIK

h

13 0K 14 0K

15 2

6*3826.53

EIK

h 16 2

6*3826.53

EIK

h

17 2

6*3826.53

EIK

h

2 1( "0")q resto

21 3

2*12*43.73

EIK

h 22 3

2*12*43.73

EIK

h 25 0K

23 2

6*3826.53

EIK

h 24 2

6*3826.53

EIK

h 26 2

6*3826.53

EIK

h

27 2

6*3826.53

EIK

h

3 1( "0")q resto

31 0K 34

2*312500

EIK

a

32 2

6*3826.53

EIK

h 35 0K

33

4* 4* 4*2410714,29

EI EI EIK

h h a 36

2*446428,57

EIK

h

37 0K

4 1( "0")q resto

41 0K

42 2

6*3826.53

EIK

h

43

2*312500

EIK

a

44

4* 4*2( ) 3035714.29

EI EIK

a h

45

2*312500

EIK

a

46 0K

47

2*446428

EIK

h

5 1( "0")q resto

51 2

6*3826.53

EIK

h

52 0K

53 0K

54

2*312500

EIK

a

55

4* 4*( ) 1517857,14

EI EIK

a h

56 0K

57 0K

6 1( "0")q resto

61 2

6*3826.53

EIK

h

62 2

6*3826.53

EIK

h

63

2*446428,57

EIK

h

64 0K

65 0K

66

4* 4*( ) 1517857,14

EI EIK

a h

67

2*312500

EIK

a

7 1( "0")q resto

71 2

6*3826,53

EIK

h

71 2

6*3826,53

EIK

h

73 0K

74

2*446428.27

EIK

h

75 0K

76

2*312500

EIK

a

77

4* 4*( ) 1517857,14

EI EIK

a h

Por lo tanto la matriz de rigidez estatica es :

109,23 43,73 0 0 3826.53 3826.53 3826.53

43,73 3826.53 3826.53 0 3826.53 3826.53

2410714,29 312500 0 446428,57 0

30357,29 312500 0 446428,57

1517857,14 0 0

1517857,14 312500

1517857,14

(Matriz Simétrica )

Para condesar los grados de libertad correspondients a giros tenemos que:

11 122 2 2 5

21 225 2 5 5

x x

x x

K K

K K

*

q

=

F

M

Al resolver la ecuación matricial tenemos el siguiente sistema de ecuaciones :

11 12

21 22

* * 1

* * 2

K q K F

K q K M

Despejamos de 2 y luego reemplazamos en 1 :

1

21 22 22 21* * 0 * *K q K K K q

De 1 :

1

11 12 22 21* * * *K q K K K q F

2 2

1

11 12 22 21* *

xK

K K K K q F

109,23 43,73 0 0 3826.53 3826.53 3826.53

. 43,73 3826.53 3826.53 0 3826.53 3826.53

. . 2410714,29 312500 0 446428,57 0

. . . 30357,29 312500 0 446428,57

. . . . 1517857,14 0 0

. . . . . 1517857,14 312500

. . . . . . 1517857,14

1

0 3826,53

0 3826,53

* 3826,53 0

3826,53 3826,53

3826,53 3826,53

Asi entonces l matriz dinámica de rigidez asociada a los grados de libertad

traslacionales ( q1 y q2) será :

*

83.291 28.9

28.9 22.01DinamicaK

Frecuencias propias

2Det( * ) 0DinamicaK w M

2

2

83.291 0.012* 28.90

28.9 22.01 0.012*

w

w

2 2 2(83,291 0.012* )*(22.011 0.012*w ) 28.9 0w

1

2

29.625

88.868

w radw

w seg

109.32 43.73 0 0 3826,53 3826,53 3826,53

43.73 43.73 3826,53 3826,53 0 3826,53 3826,53DinamicaK

Luego el primer modo de vibrar se asocia a la menor frecuencia , asi se obtiene :

12

1

12

2

083.291 0.012* 28.9*

028.9 22.01 0.012*

w

w

Se hace 1

1 1,0 en cualquiera de las ecuaciones y obtenemos:

2 2 1

2(83,291 0.012*29,625 )*(1,0) 28.9 * 0

1

2 2.23

1

1

1 1

2

1

2.23

Ahora tenemos que:

1 2* * ...t

nm r M r m m m

2

0.12 0.12 0.24tn seg

mcm

5,4b

TK

cm

2 5.4168,75

20.024 *0.012

3

bb

b

k radw

m m seg

2

1 1 1

0.012 0 1* * 1 2.23 * * 0.072

0 0.012 2.23

T tn segM M

cm

1

1r

( vector de influencia sísmica )

1

1

0.012 0 11 2.23 * *

0 0.012 1* *0.538

0.072

M rL

M

Ahora reemplazamos estos parámetros en el determinado presentado en el

comienzo (*), asi :

2 2 2

1 1

2 21 1

*

0*M*b

b

L w w w

Det Lw w w

m m

2 2 2

2 2

0.538* 29,625

0.538*0.072 0168,75 *2

0.024 *0.0123

w w

w w

De aquí se obtiene :

1

2

12,2

53,4

w radw

w seg

En el enunciado se indica que un aproximación adecuada se peude asumir que el

edificio vibra en el primer modo( i=1) , asi entonces para w1=12.024 rad

seg

se

obtendrá el modo principal y el periodo del sistema compuesto ( edificio+Aislador )

Modo 1 (modo principal):

12 2 2

1

12 2

2

00.538*12.2 29,625 12.2*

0168,75 12.2 1,2105*12,204

Se hace 1

1 1

Por lo tanto :

2 2 2 1

2( 0.538*12.2 )*1,0 (29.625 12.2 )* 0

Despejando :

1

2 0.11

Por lo tanto el periodo y modo principal del sistema, es :

2*0.52sT T

w

1

1.0

0.11