Tangentes y Áreas
9
Tangentes y Áreas Cálculo IV Prof. Antonio Syers
description
Tangentes y Áreas. Cálculo IV. Prof. Antonio Syers. Tangentes. Nuestro interés ahora, es encontrar la recta tangente y el área para curvas paramétrizadas en el plano. Supongamos que tenemos una curva C que se puede parametrizar por:. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Tangentes y Áreas
Tangentes y ÁreasTangentes y Áreas
Cálculo IVCálculo IV
Prof. Antonio SyersProf. Antonio Syers
Cálc
ulo
IV Nuestro interés ahora, es encontrar la recta tangente
y el área para curvas paramétrizadas en el plano. Supongamos que tenemos una curva C que se puede parametrizar por:
g(t)y
f(t)x
y que además, eliminando el parámetro t, podemos escribir como y = F(x). Entonces, sustituyendo la paramétrización en la última ecuación tenemos:
TangentesTangentes
g(t) = F(f(t))
Cálc
ulo
IV
Tangentes...Tangentes...
y si f , F y g son diferenciables con respecto a t, tenemos que:
)t(f)x(F)t(f))t(f(F)t(g
Luego, si f´(t) 0, se tiene que
t ft g
) x( F
Esto es,
0dtdx que Siempre
dtdxdtdy
tftg
dxdy
Cálc
ulo
IV
Tangentes...Tangentes...De la ecuación anterior, se puede observar que la curva tiene tangente horizontal cuando dy/dt 0, siempre que dx/dt 0, y tiene una tangente vertical si dx/dt 0, siempre que dy/dt 0.
Por otra parte, sabemos que la segunda derivada se obtiene de derivar la primera derivada, esto es:
0dtdx que Siempre
dtdxdtyd
dx yd
dx
yd2
2
Cálc
ulo
IV
Tangentes...Tangentes...
EjemploUna curva C está definida por las ecuaciones paramétricas
3tty
tx 3
2
a) Mostrar que C tiene dos tangentes en el punto (3,0)
b) Encuentre los puntos de C donde la tangente es horizontal y donde sea vertical
c) Determine la concavidad de la curva.
Cálc
ulo
IV
Tangentes...Tangentes...Solución.
a) Observe que
3 tó 0 tcuando 03ttt3ty 23
el punto de la curva es el (3,0), esto indica que la curva se corta a ella misma en el punto (3,0). Luego,
t1
t23
t23t3
dtdxdtdy
dxdy 2
La pendiente de las rectas tangente cuando 3t
es32
6
dxdy
Cálc
ulo
IV
Tangentes...Tangentes...c) Para calcular la concavidad, calculemos
3
2223
t4
1t3t2t
11
dtdxdtyd
dx yd
dx
yd2
2
entonces es cóncava hacia arriba si t > 0, y cóncava hacia abajo si t < 0.
Cálc
ulo
IV
Área ÁreaSabemos que el área bajo la curva y = f(x) desde a hasta b, está dada por:
b
a dx )x(fA
Luego, si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas
)t(gy
)t(fx
Con t , entonces el área está dada por:
b
a dt )t(f)t(gdx yA
Cálc
ulo
IV
área... área...Ejemplo Encontrar el área bajo uno de los ciclos de
,rsenrx θθ θ rcosry
Solución.
22
0
b
a r3dcos-1rcos-1rdx yA
