Tangente Cuerda Diámetro Radio Secante. Elementos de la Circunferencia C mama mcmc mbmb a c b A B M...

Tangente

Cuerda

DiámetroR

adio

Secante

.

Elementos de la Circunferencia

C

ma

mc

m b

a

c b

A

B

M

L

G

K .

N

.P

A

El Baricentro

0

P A

B

Arco mayor

Arco menor

Sector circular

.

Ángulos y Arcos de la Circunferencia

Ángulo Central

B

C

O

AA

CB .O

A

CB .O

Ángulo inscrito en una circunferencia

.

= ½ Tema 6.LUGARES GEOMÉTRICOS Y la CIRCUNFERENCIA

como Lugar Geométrico

DefiniciónLugar Geométrico :Llámese LUGAR GEOMÉTRICO al conjunto de puntos y sólo de aquellos que cumplen ciertas propiedades dadas. Para demostrar que una curva es un lugar geométrico hay que probar dos cosas:1.- Que cualquier punto de la curva cumple con la(s) condición(es) dada(s).2.- Que todo punto del plano que cumple la(s) condición(es) dada(s) está sobre la curva.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Teorema: La mediatriz de un segmento es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Para demostrar este teorema es necesario probar que todos los puntos cumplen las dos condiciones:

1.- Que cualquier punto de la curva cumpla con la condición dada.

A B

P

M

l

4.- △PAM PBM △ Por L.A.L.

Tesis

Hipótesisl es mediatriz de ABP l

Proposiciones Justificaciones

PA = PB

1.- AM MB M es pto. medio2.- PM Lado común

3.- AMP PMB = 90 lAB

5.- PA = PB Lados correspondientes △s en congruentesLa tesis es verdadera

Luego, se cumple la primera condición, cualquier punto de la curva cumple con la condición dada, es verdadera.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

B

Esto contradice el teorema: en todo triángulo un lado siempre es menor que la suma de los otros dos lados. En consecuencia la hipótesis temporal es falsa.Luego, la tesis es verdadera y P l

Segunda condición: Que cualquier punto que cumpla la condición este sobre la curva

l es mediatriz de ABTesisP l

PA PB

Hipótesis

Por Reducción al absurdo, Supongamos que P lA

P

l

1.- AP corta a l en x A y P están en semiplanos distintos de l, ADP 2.- xA = xB x está en la mediatriz. Teor. Direc.


3.- PA = xA + xP Suma de segmentos

4.- PA = xB + xP Sustitución de 1 en 25.- PA = PB Por hipótesis6.- xB + xP = PB Sustitución de 4 en 5

En conclusión el Teorema: La mediatriz de un segmento es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados, es verdadero.

x

..

.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Teorema. La bisectriz de un ángulo es el L.G. de los puntos del ángulo o de su interior que equidistan de sus lados. Para demostrar este teorema es necesario probar que todos los puntos cumplen las dos condiciones:1.- Que cualquier punto de la curva cumpla con la condición dada.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

) HipótesisW es bisectriz del ∠SATP W TesisPS = PT

4.- APS △ APT△ A.L.A

Conclusión

Lado Común

A

S

T

P W


1.- ∠ SAW ∠ TAW Hipótesis (W es Bisectriz del ∠SAT)

2.- PS y PT distancia a los lados Por construcción

3.- AP es lado común Propiedad reflexiva

.

5.- PS = PT

Luego, se cumple la primera condición, cualquier punto de la curva cumple con la condición dada, es verdadera.

1.- PS = xS + xP Como S y P están a ambos lados de W PS corta a W en x2.- xS = xB Por estar x en la bisectriz (teorema directo) 3.- PS = xB + xP Sustitución de 2 en 14.- PS = PT Hipótesis5.- PT = xB + xP Igualación entre 3 y 46.- PB < xB + xP Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros7.- PB < PT Sustitución 5 en 6. Lo que no es cierto ya PB es la hipotenusa

del BPT y por tanto PT > que cualquiera los catetos. △Luego, PS=PT en consecuencia P W

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Por Reducción al Absurdo P W

En conclusión el Teorema: . La bisectriz de un ángulo es el L.G. de los puntos del ángulo o de su interior que equidistan de sus lados. es verdadero.

A

S

T

P

W

B

x

TesisP W

Segunda condición: Que cualquier punto que cumpla la condición este sobre la curva) Hipótesis W es bisectriz del SAT∠PS = PT

A

S

T

PW

.

..

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

Ma

Mb

Mc

A B

C

b a

cC

1.- AC BC ya que Mc es mediatriz del lado c2.- CC B C ya que Ma es mediatriz del lado a3.- AC CC Igualación 1 y 24.- C está es la Mediatriz de bLuego, Ma, Mb, Mc se interceptan en C

Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO.Hipótesis:

ABC conMa, Mb, Mc mediatrices

TesisMa, Mb, Mc se interceptan en C

La tesis es verdadera

En conclusión el Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado CIRCUNCENTRO, es verdadero


O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Corolario: El CIRCUNCENTRO es un punto que equidista de los vértices del triángulo.

Ma

Mc

Mb

A

B

C

C

Corolario: En un triángulo rectángulo el CIRCUNCENTRO es el punto medio de la Hipotenusa.

Ca Cb Cc

Ca Cb

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

A

B C

C

A

B

I

Teorema: Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO.HipótesisD ABC con W, W, W bisectricesTesis

W, W, W se cortan en I

Luego, I está en la intersección de W, W y W

c

a

b

2.- Ia = Ib Ya que I pertenece a la Bisectriz W del ACB∠

3.- Ic = Ib Igualación entre 1 y 24.- I W Ya que I equidista de los lados del BAC∠


En conclusión el Teorema: Las bisectriz de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto, llamado INCENTRO,, es verdadero


1.- Ia = Ic Ya que I pertenece a la Bisectriz W del ABC∠

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Corolario: El INCENTRO es un punto interior del triángulo que equidista de sus lados.

A

B C

C

A

B

I

c

a

b

Ia Ib Ic

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

D EA

F

Ca

c

b hb

hc O

Teorema: Las alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO.

1.- DE ∥ a2.- DF ∥ b3.- EF ∥ c

4.- AD = a ACBD es un paralelogramo por 1, 2 y 35.- DB = b

6.- EC = c ABCE es un paralelogramo por 1, 2 y 37.- AE = a

8.- BF = b ACFB es un paralelogramo por 1, 2 y 39.- CF = c

Por Construcción

Tesisha, hb y hc se cortan en O

Hipótesis ABC con ha, hb y hc alturas

B

ha

.Proposiciones Justificaciones

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

D EA

F

Ca

c

b hb

hc

B

ha

10.- AD = AE = a Igualación 4 y 711.- DB = BF = b Igualación 5 y 812.- EC = CF = c Igualación 6 y 9

13.- A es Pto medio de DE14.- B es Pto medio de DF por 10, 11 y 1215.- C es Pto medio de EF

16.- ha DE17.- hb DF Por 1, 2 y 318.- hc EF19.- ha, hb y hc son mediatrices del △DEF Por ser s en el punto medio de cada lado

20.- ha, hb y hc se intersectan en O Por ser mediatrices del △DEF

ConclusiónEn conclusión el TeoremaLas alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO, es verdadero

. O

Teorema: Las alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO.

Tesisha, hb y hc se cortan en O

Hipótesis ABC con ha, hb y hc alturas


O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Corolario: En un triángulo rectángulo, el ORTOCENTRO coincide con el vértice del ángulo recto.

O

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma.

Hipótesis△ABC con ma, mb y mc medianas

TesisMa, mb y mc se cortan en G BG = 2/3 mb,CG = 2/3 mb y AG=2/3 ma

1.- K es Pto medio de BG2.- P es Pto medio de GC Por construcción

3.- MN∥ BC, MN = ½ BC Por ser MN Ptos medios de 2 lados del △ABC4.- KP ∥ BC, KP = ½ BC Por ser MN Ptos medios de 2 lados del △GBC5.- MN ∥ KP 2 rectas ∥s a una misma recta son ∥s entre sí6.- MN = KP Igualación entre 2 y 3

C

ma

mc

m b

a

c

b

A

B

M N

L

G

K . . P


O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

C

ma

mc

m b

a

c

b

A

B

M

L

G

7.- MNPK es un paralelogramo Tiene dos lados paralelos y congruentes.8.- G es pto medio de NK y de MP Las diagonales de un paralelogramo se bisecan9.- BK = KG = GN y CP = PG = GM K y P son ptos medios de BG y GC 10.- BG = 2/3 mb y CG = 2/3 mb y ma, mb y mc se cortan en G

K .

N

.P

En conclusión el Teorema: : Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma, es verdadero

A

(El corte de ma con mb y mc se realiza de manera similar)


Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado BARICENTRO, de tal manera que el segmento de cada mediana comprendido entre el vértice y el baricentro equivale a 2/3 de la misma.

Hipótesis△ABC con ma, mb y mc medianas

TesisMa, mb y mc se cortan en G BG = 2/3 mb,CG = 2/3 mb y AG=2/3 ma


O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Notación: C(o,r)

. P1

.P

Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado Centro. La distancia constante se denomina Radio.

r

LA CIRCUNFERENCIA

.

P: Punto de la circunferencia, P∈ C

O

C: circunferenciaO : centror: radio

C

P1: Punto que pertenece al interior o círculo P2: Punto que pertenece al exterior de la circunferencia

. P2

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Círculo: Es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro de la circunferencia es menor queel radio. Los puntos del círculo también se conocen como puntos interiores o interior de la circunferencia.

O

r

P

P1

..

.

P interior C(O, r)⇔ d(O, P) < r∈

C

P1 C(O, r)⇔ d(O, P) = r∈

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Circunferencias congruentes: son las que tienen radios iguales

O1 .r1

O2 .r2

r1 = r2 O1 O2

O .r2

r1

Circunferencias Concéntricas: Son las que tienen el mismo centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Tangente

Cuerda

Diámetro

Rad

io

Secante

Radio: Segmento que va desde el centro a la circunferencia.Cuerda: Segmento que une 2 puntos de la circunferenciaDiámetro: Cuerda que pasa por el centro.DEFINICIONES:Secante: Una recta es secante si y sólo si corta a la circunferencia en dos puntosTangente: Una recta es tangente si y sólo si corta a la circunferencia en un solo punto. radio.Exterior Una recta es exterior si y sólo si no la corta a la circunferencia en ningún punto.

.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Exterior

.

..

Ángulo Central: (<AOB) :el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia.

Notación: APB arco mayor

0

P A

B

Arco mayor

Arco menor

Sector circular

.Notación : AB arco menor.

Sea un ángulo central y AB el arco que subtiende. La medida de los arcos se define como sigue:

c) m (APB) = 360- , si APB es un arco mayor

a) m ( AB) = , si AB es arco menor

b) m (AB ) = 180, si AB es una semicircunferencia

Arco menor: puntos de la circunferencia que son interiores al ángulo central .

Arco mayor: es el resto de la circunferencia

Sector circular: es el área del círculo comprendida entre los lados del ángulo central y el arco menor

ÁNGULOS Y ARCOS DE LA CIRCUNFERENCIA

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Semicircunferencia: Es aquel arco cuyo ángulo central es llano..

0

A

B

Semicircunferencia 1 Semicircunferencia 2

Todo ángulo central llano determina dos semicircunferencias. Por tanto todo diámetro también. Las semicircunferencias se denotan igual que se hace para los arcos mayores

SEMICIRCUNFERENCIA

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

.

En este caso el diámetro AB determina las semicircunferencias ACB y ADB

C. . D

tOT

tOT

tTeorema: toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por su punto de tangencia

Hipótesis: C1 es una circunferencia r es el radiot es tangente a C1

Tesis:

1. Sea P un punto de t exterior a la circunferencia

2. OP> OT Por ser P u punto exterior

OT 3. es la distancia de 0 a t Por ser la distancia más corta

C1

r


La tesis es Verdadera

En conclusión, el Teorema: Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio por su punto de tangencia, es Verdadero

. 0

P .

T .

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Punto extremo de un radio. Es aquel punto de dicho radio que está contenido en la circunferencia.

P . 0r

Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia por su extremo, entonces es tangente a la circunferencia.Hipótesis: C es una circunferencia de radio rt es una rectat radio en P

Demostración:

Por Reducción al absurdo t no es tangente a C

Tesis:t es tangente a C

t

. 0Esto es absurdo ya que el Δ OPK tiene 2ángulos rectos, en consecuencia la hipótesistemporal es falsa.Por tanto, la tesis es verdadera

P . r

t1. T corta a C en doso mas puntos: P y R Hipótesis Temporal

r

2. ΔOPK es isósceles Def. de Δ Isósceles 3. OPR = ORP 90 Por hipótesis

En conclusión, el Teorema: Si una recta es perpendicular al radio de una circunferencia por su extremo, entonces es tangente a la circunferencia, es Verdadero

. 0

R .

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aMb

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

0

Q A

B

.

Axioma de la medición de arcos.

Si A, P, B y Q son puntos que pertenecen a una circunferencia y están dispuestos

de forma tal que APB sea un arco menor (o una semicircunferencia) y AQB el

arco mayor correspondiente (o la otra semicircunferencia), y sea α = mAOB ,

entonces se cumple que:

P

.

.

.

.

Comentarios: observe que mAPB + mAQB = 360 . Si en particular APB y AQB

son semicircunferencias, entonces mAPB = mAQB =180

mAPB =α mAQB = 360 −α

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

0

Q A

B

.

Axioma de la suma de arcos. Un punto interior divide a un arco en otros dos cuya suma es igual a la medida del primero.

.

mAPB =α

mAQB = 360 −α

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

mAB = mAP + mPB , como también que mAQB = mAQ + mQB .

Esto es:

P.

..

En este caso:

Longitud de la circunferencia. La longitud de una circunferencia se calcula mediante la siguiente ecuación:

S= π . d Donde:

S : es la longitud de la circunferenciaπ : es una constante igual a 3.141592653589793d : Es el diámetro de la circunferencia

Ejemplo: Calcule la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 10

S = π.10s = 31.42

Esta ecuación también puede expresarse en función del radio r:

S = 2r . π

En el caso de ejemplo el radio es 5, entonces:S = 2. 5 . π

d

o

s

S = 2. 5 . π = 31.42

d = 10o

s

Por tanto la longitud de la circunferencia la misma:

R = 5

o

s

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aMb

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Longitud de un arco. La longitud de un arco AB, es el producto de la medida del arco mAB expresada en grados por el radio del arco.

r..mAB

sAB180

Luego,

A

o

B.

r

Ejemplo: Calcule la longitud s del arco AB, cuyo radio y medida son 2 y 45º,

respectivamente.

5712180

45..

.sAB

A

o

B.

45o

r = 2

s

S = 1.57

Nota: Cuando la medida del arco es constante el tamaño del radio es ditectamente proporcional a la longitud del arco.

Notación: sAB, “se lee longitud del arco AB”

Radián. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Notación: rad.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

1 radian

radio

El ángulo completo θcircunfer que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes es:

rad 22circunfer

cincunfer r

r

r

s

r:radio

θ

=360

La mitad del ángulo θsemicircunfer que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes es: θsemicircunfer = π rad = 180

r:radioθ

=180

s

.

s

A

B

s

.La longitud de un arco se obtiene de multiplicar su medida (angular) expresada en radianes por el radio.

sAB = mABrad r ⋅

Área del círculo (A): El área de un círculo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Está dada por las expresiones:

4

2d.A

.A

diámetro2r.A .A

radio

Área de un sector circular.El área está dada por

A= ½ mPQRrad r⋅ 2R

P

Q

r

r

O ..

.

. A

a) En una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos cuerdas son iguales si y sólo si subtienden arcos iguales

PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA

r1.O1

A

B

C

D

.02

r2

r2r1

C1

= C2

AB CD AB = CD

b) Todo diámetro perpendicular a una cuerda es mediatriz de la misma, bisectriz del ángulo central correspondiente y divide al arco en 2 arcos iguales.

D

. 0 r1

A B

r1

s

Q

LC

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

B

A

P

P’

. 0

D

C

C) En toda circunferencia o en circunferencias congruentes dos cuerdas son iguales si y sólo si, equidistan de centro

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

r2

0201

r1

POSICIONES RELATIVAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS

2100 = r1 + r21. C1 y C2 Son tangentes exteriormente sii

Sea d la distancia entre los centros 01 y 02 de las circunferencias C1 y C2 de radios r1 y r2 ( r1 < r2) respectivamente. Entonces:

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

r1 r2

d

r201 02

r1

2100=

r2 – r12. C1 y C2 son tangentes interiormente sii

t

t

r1

r2

d

r2 02r101

2100 > r1 + r23. Dos circunferencias son exteriores sii:

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

r1 r2

d

r2 0201r1

21005. C1 y C2 son secantes sii r2 - r1 < < r1+ r2

r1r2

d

r2

01

02

r1

4. C1 es interior a C2 sii

< r2 – r12100

r1

r2

d

ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Ángulo Suministrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia siendo un lado secante y el otro tangente.

.

.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia.

Ángulo exterior: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados son secantes, tangentes o uno secante y el otro tangente.

.

..

.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Teorema. Si dos rectas tangentes a una circunferencia de centro O se cortan en un punto P , dicho punto equidista de los puntos de tangencia y los ángulos que determina el segmento OP con ambas tangentes son congruentes.

Hipótesis: C es una circunferencia de radio r y centro Ot y s son tangentes en A y B y se cortan en P

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Or

A

PTesis: PA PBα = α’

αα´

Proposiciones Justificaciones B

.

1.- OA OB Por ser radios de la Circunferencia2.- r t en A t y s son tangentes a C en el punto extremo de r

t

s

r

r

3.- r s en B Por ser radios de la Circunferencia

.

.

4.- PO es lado común Propiedad reflexiva

LC

5.- △ POA △ POB 4to Criterio de congruencia, (2 lados y elángulo que se opone al mayor de ellosLados y ángulos correspondientes entriángulos congruentes

6.- PA PB7.- α = α’

En conclusión, el Teorema: Si dos rectas tangentes a una circunferencia de centro O se cortan en un punto P , dicho punto equidista de los puntos de tangencia y los ángulos que determina el segmento OP con ambas tangentes son congruentes, es Verdadero

Las 2 tesis son Verdaderas

A

CB

TEOREMA: Todo ANGULO INSCRITO en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.

Caso A.- Un lado pasa por el centro

= ½

Caso B.- El centro es interior al ángulo A

C

B

= ½

B

C

O .

Caso C.- El centro es exterior al ángulo

= ½

A

.O

.O

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

TEOREMA: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.

Caso A.- Un lado pasa por el centro A

DB

Hipótesis- C1 con ángulo inscrito - es ángulo central correspondienteTesis = ½

OABO 1.- por ser radios

>3.- por ser ángulo exterior 2.- < BAO = por ser BAO isósceles

24.- por ser exterior

5.- = ½ despeje La tesis 1 es Verdadera

En conclusión el Teorema: Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente, es verdadero.

O

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

A

Ma

Mb

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Colorario: Todo ángulo inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del arco que subtiende.

)AC(m2

1

A

CB

Cororario: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco de circunferencia son congruentes.

3

21 )AC(m2

1321

Cororario: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

A

C

BB’

B’’

A C

B

)AC(m2

190 .O

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

A

B D

C

TEOREMA: Todo ángulo semi inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.

Hipótesis es un ángulo semiinscrito en C es ángulo central correspondienteTesis = ½


1.- DB es diámetro Por construcción

2.- <ABD = 90 AB al radio BD en su punto de tangencia

3.- = 90 - <CBD suma de <s y despeje 4.- <CBD= ½ <COD El < inscrito es la mitad del < central correspondiente

7. = ½ sustitución

5.- = 90 -1/2 <COD Sust. de 4 en 3.

6.- = 1/2(180- <COD) Factor Común 1/2


En conclusión el Teorema: Todo ángulo semi inscrito es una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente, es verdadero.

.

O

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Teorema. Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que interceptan dicho ángulo y su opuesto por el vértice.

)(2

1DCAB

Hipótesis:

a es interior a C1

Tesis:

C1

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Proposiciones Justificaciones1.- AC es una cuerda Construcción

Aa

B

D C

θ

β.

Todo ángulo inscrito a una C es igual a la mitad del Arco limitado por sus lados

2.- α = β + θ α es exterior al ∆ OAD

O

3.- β = 1/2 AB

4.- θ = 1/2 DC

5.- α = 1/2 AB + 1/2 DC Sustitución de de 2 y 3 en 1

6.- α = 1/2 (AB + DC) Factor común


En conclusión el Teorema: Todo ángulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de los arcos que interceptan dicho ángulo y su opuesto por el vértice, es verdadero.

Teorema. Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Hipótesisα es exterior a C1

Tesisα = ½ (AB – CD)

C1

B

A

P1

C

Dαβ

θ

1.- AD es una cuerda Construcción

Todo ángulo inscrito a una C es igual a la mitad del Arco limitado por sus lados

2.- β = α + θ α es exterior al ∆ PAD

4.- β = 1/2 AB

5.- θ = 1/2 DC

6.- α = 1/2 AB - 1/2 DC Sustitución de de 2 y 3 en 1

7.- α = 1/2 (AB - DC) Factor común



3.- α= β - θ despeje de α

En conclusión el Teorema: Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados., es verdadero.

Circunferencia Circunscrita: es la circunferencia que pasa por los vértices del polígono y su radio se denota por R. del mismo modo, un polígono inscrito en una circunferencia es el que tiene todos sus vértices en la circunferencia. Si el polígono es un triángulo, el centro de la circunferencia es el CIRCUNCENTRO.

A

B

C

C

. .

.

.

C está circunscrita en el ∆ABC

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

A

B C

C

A

B

I

Circunferencia Inscrita: es la circunferencia que es tangente a los lados de un polígono y su radio se designa con r. Si la circunferencia está inscrita a un triángulo, el centro de la circunferencia es el INCENTRO.

C

C está inscrita en el ∆ABC

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

Definición. En todo polígono regular definimos:

Centro: Es el centro de las circunferencias inscrita y circunscrita.Radio: Es el radio de la circunferencia circunscrita o distancia del centro a cualquier vértice.Apotema: Es el radio de la circunferencia inscrita o distancia del centro a cualquier lado.

Teorema. A todo polígono regular se le puede inscribir una circunferencia y circunscribir otra. En un mismo polígono regular las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas.

apotemaO

Radi

o

.

O

O

O

O

A B

C

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

B C

C

AM

aM

b

Mc

Ca

b

B

C

A

I

Ca

b

B

C

A

I

O

Radio

Tangente

Cuerda

Diámetro

O

O

O

C1

C2

C1: Está inscrita al polígono

C2: Está cincunscrita al polígono

Tangente Cuerda Diámetro Radio Secante. Elementos de la Circunferencia C mama mcmc mbmb a c b A B M...

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