UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y ESTADSTICA

INGENIERA ELECTRNICA Y DE SISTEMA

ANLISIS NUMRICO

TALLER I

1. Busque en textos, r evistas cient f icas o en otros medios, p lanteamiento de problema s cuyos

modelos matemticos no admitan la aplicacin de mtodos ana lt icos , para las soluciones .

Discrimine los parmetros y variables involucrados con la pertinente interpretacin.

2. Escr iba y explique el modelo matemt ico que r epresenta la aproximacin de un nmero X a un

nmero x (exacto): (2.1) a d c ifras decima les . (2.2) a k c ifras signif icativas. [Ver texto de Maron y Lpez].

3. Redondear a 4d (d: cifras decima les ) y a 3s (s: cifras signif icat ivas ): a) 101010/170 b) 2 75.1

c) tan (3.1) d) 3 2.9 e) 2 f) 2/e.

4. Encuentr e el intervalo ms grande en el cual debe quedar X para aproximar a: a) 0.5 b) 5.2

c) 3 d) 2.3e. 4.1 A 5 cifras decima les. 4.2 . Con un error r elat ivo a lo sumo de 10 -3 . 4.3 . A

4cifras signif icat ivas.

5. Cuantas cifras s ignif icat ivas y porqu, hay en : a) 110.1650 m b) 0.000080150 Kg c) 70280cm, d) 0.2305672*10

3 m/s e) -0.003456000*10

- 5 volt ios .

6. Dada la ecuacin X2-10000000000000000000000000X - 1 =0.

6.1 Encuentr e la solucin cuas i exacta ut i l izando la instruccin roots del Mat lab. Ut il ice formato long e .

6.2 Resuelva uti l izando la frmula cuadrtica clsica en el MATLAB . Calcule error relativo para

cada raz encontrada. Ambas son confiables? 6.3 Util ice una frmula cuadrtica alternativa equivalente a la cls ica para calcular la raz que no

haya r esultado confiable, en MATLAB, y determine el error r elativo. Es ahora confiable el

resu ltado? 6.4 Si en 6.2 alguna raz se obtuvo con un error relativo s ignif icat ivamente a lto , explique la causa

del problema.

7. PASO1: Eva le directamente a la funcin f(x) = 2*2

)cos (1

x

x en MATLAB para valores muy

cercanos a x = 0; (tome en Matlab x=[ -10^(-10):10^(-11):10^(-10)]). PASO2: Grafique la funcin

a travs del Matlab en [-10:0.1 :10]. PASO3 Analiza los resultados obtenidos por clculo dir ecto y

los obtenidos por la grafica. Existe alguna discr epancia? (cons idere )(

0

xfLim

x

). PASO4

Determine una expres in equiva lente a la dada que no genere error para los clculos directos

cons iderados. Presente las explicaciones per tinentes, grafique en Matlab las dos funciones en el

intervalo [ -0.5 :0.001:0.5] y observe la equivalencia.

8. Sea f(x) =xxsen

xsenxx

)(

)()cos(.

8.1 Evale f para valores muy cercanos a x = 0 (tome x 898 10*2:10:10*2 ) 8.2 Grafique la funcin a travs de Mat lab en [-10: 0.1: 10].

8.3 Los r esultados obtenidos en 8.1 coinciden con los obtenidos en 8.2? Cules son los correctos ?

Tome como r efer encia )(

0

xfLim

x

Por qu ocurre discrepancia entr e los resultado?

8.4 Escr iba una expres in equivalente a f para puntos muy cercanos a x = 0. (810x ).

8.5 Grafique f y la expresin obtenida , en [ -1 :0.1 :1]. Observe la equiva lencia.

9. Sea f(x) =x

ee xx .

9.1 Evale f(x) para valores muy cercanos a x = 0 (tome ]10:10:10[ 181918 x )

9.2 Grafique a f en Matlab para [-4:0.01:4]

9.3 Compare r esultados (9.1 vs 9.2). Por qu ocurr en discr epancias. Cules son los correctos 9.1

9.2? Tome como r efer encia )(lim0

xfx

.

9.4 Escr iba una expres in equivalente a f(x) pa ra puntos muy cercanos a x = 0 . 9.5 Grafique f(x) y la expresin equivalente en [ -2 :0.1 :2] observe la equivalencia.

10. Cons idere una computadora que trabaja con doble pr ecis in (MARC-64). De acuerdo a l estndar

754-1985 de la IEEE, se t iene que para almacenar los nmeros norma lizados corr ectamente se reserva: un (1) b it para el s igno, 11bits pa ra el exponente con exceso E +Eo y 52 bit s para la

fraccin b inar ia f de la mant isa . Teniendo en cuenta que el menor exponente sesgado esta dado por

00000000001 y el mayor por 11111111110, i) . Determine el nmero pos it ivo almacenable ms pequeo X m y el nmero ms grande XM . i i) . Cuantos nmeros normalizados difer entes se pueden

almacenar correctamente en esa computadora ? i i i) Pr esente un bosquejo grafico donde se i lustre el

flu jo corr iente y los desbordamientos asociados. iv ) Consulte sobre psilon de la mquina e indiqu e

cul es para la mquina del ejercicio.

11. En la maquina hipott ica MARC-64 se almacenan los siguientes nmeros :

a) b: 0 00000001001 1001001100000000000000001110000000000000000000000000 b) b : 1 00000001001 1001001100000000111000000000000000000000000000000001

11.1 Cual es el nmero equivalente en numeracin decima l (a c/u). 11.2 Escr iba los nmeros b inar ios (de mquina) ms prximos : el mayor bM y el menor b m.

Exprselos en el sistema de numeracin decima l d m bm y dM bM . 11.3 Todos los nmeros que se encuentran en [dm, dM] se a lmacenan correctamente en la mquina?

Si no es as Cmo lo procesa la MARC -64?

12.1 Sea x= 1.0005*10- 3 24

. Pruebe s i es o no un nmero de mquina , para la MARC-64. Si no lo es

como que nmero lo almacena la mquina? 12.2 sea y=1*10

3 2 5. Pruebe s i y es un nmero de mquina en la MARC -64. Si no lo es como qu

nmero lo almacena la mquina?

13. Supongamos que x es un va lor que se desea procesar en una computadora y el error inherente es

no nulo es decir Xxflx )( determine:

13.1 El error absoluto Xx mximo cuando se emplea truncamiento y cuando se emplea r edondeo

a k cifras decima les.

13.2 El error relativo x

Xx mximo, cuando se emplea truncamiento y cuando se emplea r edondeo

a k cifras decimales.

14. El polinomio de Taylor de grado n para f(x)= ex es

n

k

k

k

x

0 !. Emplee el polinomio de Taylor de

grado nueve y ar itmt ica con truncamiento a tres dgitos para encontrar una aproximacin a e-5

por :

a) e- 5

9

0

9

0 !

5)1(

!

)5(

k

kk

k

k

kk b) e

- 5

9

0

5

!

5

11

k

k

k

e

Un va lor aproximado de e- 5

corr ecto es 6.74 x 10- 3

. Cul de las frmulas a b proporciona la

mayor pr ecis in y por qu?

15. Obtenga el quinto polinomio de Taylor P 5(x; 1) para la funcin f(x) = Ln(x), a lrededor de x 0=1.

a) Grafique en un mismo plano usando Matlab a f(x) y a P 5(x; 1). Qu tan buena s er a el r emplazo de f por P alrededor de x 0 = 1?

b) Ut il ice P 5(0.5;1) para aproximar f (0.5). Determine una cota super ior del error a travs de

R5(0.5;0).

c) Aproxime 5.1

5.0)( dxxf ut i l izando P 5(x; 1).

d) A travs del Matlab (aplique matemt ica simblica) eva lu 5.1

5.0)( dxxf

16. Considere la serie de Maclaurin para la funcin f (x) = cos (x). 16.1 Determine mediante proceso detallado, el menor nmero de trminos que deben tomarse en dicha serie para obtener

una aproximacin, con un error menor que 10-8

, de: a. cos (1) b. cos (0.5) c. cos(0.1).

16.2 Construya un guin en matlab para aproximar cos(y) con y=1,0.5,0.1 a travs del polinomio de Taylor correspondiente, segn lo obtenido en a, b y c. Obtenga los resultados exactos directamente del Matlab y determine los

errores absolutos para cada caso. Analice si se cumplen el mximo error establecido.

17) Considere la ecuacin en diferencias )(2 21 nnn xxx , n = 2, 3, 4, con x0 = 1 y x1 = 1- 3 .

a) Utilice aritmtica finita (Redondeo a 5 cifras decimales) y calcule xn, para n = 0,1,...,20

b) La frmula n

nx )31( es la solucin correcta de la ecuacin dada. Use esta y calcule xn, para n = 0,1,...,20.

Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numrica de la frmula )(2 21 nnn xxx

18. Considere la ecuacin en diferencias:

a) Utilice aritmtica finita (Redondeo a 5 cifras decimales) y calcule Pn para n= 0,1, 2, 3,, 30.

b) La frmula

, para toda n es la solucin correcta de la ecuacin dada. Use esta y calcule , para n =

0,1,...,30. Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numrica de la ecuacin en diferencia dada.

19) Considere la ecuacin en diferencias

a) Utilice aritmtica finita (Redondeo a 5 cifras decimales). Calcular Pn para n= 0,1,2, 3, , 30.

b) La frmula

, para toda n es la solucin correcta de la ecuacin dada. Use esta y calcule , para n

= 0,1,...,30. Explique los resultados y concluya acerca de la estabilidad numrica de la ecuacin en diferencia dada.

20. La suces in de Fibonacci (Fo=1, F 1 = 1, F n+ 2 = F n+F n+ 1 , si n>0) satisface la ecuacin.

F n

nn

nF2

51

2

51

5

1

Implemente un guin en Matlab para el clculo de cualquier t rmino de la suces in, segn la

suces in y segn la frmula. Adems compare r esultados a travs del error absoluto. Muestre resultados para F100.