Taller N.4Algebra Lineal

Universidad Nacional de Colombia

1. Determinar si el conjunto dado V es un espacio vectorial bajo las operaciones , en casocontrario indicar las propiedades que no satisfacen. y .a) V = {(x, y) R2|x > 0, y > 0}, donde:

(x, y) (x, y) = (x + x, y + y)c (x, y) = (cx, cy)

b) V = {(x, y, z) R3|x = 0}, donde:

(0, y, z) (0, y, z) = (0, y + y, z + z)c (0, y, z) = (0, 0, cz)

c) V = {at2 + bt + c P2|a, b, c R; b = a + 1}

(a1t2 + b1t + c1) (a2t2 + b2t + c) = (a1 + a2)t2 + (b1 + b2)t + (c1 + c2)

d) V = {(a bc d

)|a = d} y es la suma matricial ,y la multiplicacion por escalar.

e) El conjunto de todas las ternas ordenadas de numeros reales (x, y, z) con la operaciones:

(x, y, z) (a, b, c) = (x, y + b, c)c (x, y, z) = (cx, cy, cz)

f ) El conjunto de todas las ternas ordenadas de numeros reales (x, y, z) con la operaciones:

(x, y, z) (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c)c (x, y, z) = (x, 1, z)

g) El conjunto de todas las ternas ordenadas de numeros reales (x, y, z) con la operaciones:

(x, y, z) (a, b, c) = (0, 0, z + c)c (x, y, z) = (cx, cy, cz)

2. Cuales de los siguientes subconjuntos de R4 son subespacios de R4? El conjunto de todos losvectores de la forma:

a) (a, b, c, d), donde a b = 2.

1

b) (a, b, c, d), donde c = a + 2b y d = a 3d.c) (a, b, c, d), donde a = 0 y b = d.d) (a, b, c, d), donde a + b + c + d = 0.

e) (a, b, c, d), donde a = b = 0.

f ) (a, b, c, d), donde a = 1, b = 0 y c + d = 1.

g) (a, b, c, d), donde a > 0 y b < 0

3. Cuales de los siguientes subconjuntos de P2 son subespacios? El conjunto de todos los polino-mios de la forma:

a) a2t2 + a1t + a0, donde a0 = 0.

b) a2t2 + a1t + a0, donde a0 = 2.

c) a2t2 + a1t + a0, donde a0 + a1 + a2 = 0.

d) a2t2 + a1t + a0, donde a2 + a1 = a0.

e) a2t2 + a1t + a0, donde a1 = 2a0.

f ) a2t2 + a1t + a0, donde a2 + a1 + a0 = 2

4. Demuestre que Pm es un subespacio de Pn si m < n.

5. Determine, en cada parte si el vector dado v pertenece a gen{v1, v2, v3}, donde v1 = (1, 0, 0, 1),v2 = (1,1, 0, 0) y v3 = (0, 1, 2, 1).a) v = (1, 4, 2, 2)b) v = (1, 2, 0, 1)

c) v = (1, 1, 4, 3)d) v = (1, 1, 1, 0)

6. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores generan a R4?

a) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0).

b) (1, 2, 1, 0), (1, 1,1, 0), (0, 0, 0, 1).c) (6, 4,1, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2,1, 2), (5, 6,3, 2), (0, 4,2,1)d) (1, 1, 0, 0), (1, 2,1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 1).e) (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5)

7. Cuales de los siguientes conjuntos de polinomios generan a P2?

a) {t2 + 1, t2 + t, t + 1}

2

b) {t2 + 1, t 1, t2 + t + 1}c) {t2 + 2, 2t2 t, t2 + t + 4}d) {t2 + 2t 1, t2 1}

8. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores en R3 son linealmente dependientes? Cuandolo sean, exprese un vector del conjunto como combinacion lineal de los demas.

a) {(1, 2,1), (3, 2, 5)}.b) {(4, 2, 1), (2, 6,5), (1,2, 3)}c) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}.d) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (1, 0, 1)}e) {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

9. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores en P2 son linealmente dependientes? Cuando losean, exprese un vector del conjunto como combinacion lineal de los demas.

a) {t2 + 1, t2 + t, t + 1}b) {t2 + 1, t 1, t2 + t + 1}c) {t2 + 2, 2t2 t, t2 + t + 4}d) {t2 + 2t 1, t2 1}e) {t2 + 1, t 2, t + 3}f ) {2t2 + 1, t2 + 3, t}g) {3t + 1, 3t2 + 1, 2t2 + t + 1}h) {t2 4, 5t2 5t 6, 3t2 5t + 2}

10. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son bases para P2?

a) {t2 + t + 2, 2t2 + 2t + 3, 4t2 1}b) {t2 + 2t 1, 2t2 + 3t 2,4}c) {t2 + 1, 3t2 + 2t, 3t2 + 2t + 1, 6t2 + 6t + 3}d) {3t2 + 2t + 1, t2 + t + 1, t2 3t + 4}

11. Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son bases para P3?

a) {t3 + 2t2 + 3t, 2t3 + 1, 6t3 + 8t2 + 6t + 4, t3 + 2t2 + t + 1}b) {t3 + t2 + 1, t3 1, t3 + t2 2t}c) {t3 + t2 + t + 1, t3 + 2t2 + t + 3, 2t3 + t2 + 3t + 2, t3 + t2 + 2t + 2}

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d) {t3 t, t3 + t2, t2 2t + 3, t 1}12. Sea V un espacio vectorial real.

a) Muestre que si u + v = u + w, entonces v = w

b) Muestre que si u 6= 0 y au = bu, entonces a = bc) Muestre que un espacio vectorial solo tiene un vector cero.

13. Demuestre que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio si, y solo sise cumple la siguiente condicion: Si u, v W y a, b R son escalares arbitrarios, entoncesau + bv W .

14. Demuestre que el conjunto de todas las soluciones de Ax = b donde A Mmn(R) no es unsubespacio de Rn si b 6= 0.

15. Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores en un espacio vectorial V , y sea W un subes-pacio de V que contiene a S. Muestre que W contiene a genS.

16. Sean S1 S2 subconjuntos finitos de un espacio vectorial. Muestre que:a) Si S1 es linealmente dependiente, tambien lo es S2.

b) Si S2 es linealmente independiente, tambien lo es S1.

17. Suponga que {v1, v2, v3} es un conjunto linealmente independiente de vectores en un espaciovectorial V . Muestre que T = {w1, w2, w3}, donde w1 = v1 + v2 + v3, w2 = v2 + v3 y w3 = v3,tambien es linealmente independiente.Si w1 = v1 + v2, w2 = v1 + v3 y w3 = v2 + v3 es linealmente independiente, Justifique.

18. Sean v1, v2 y v3 vectores en un espacio vectorial, tales que {v1, v2} es linealmente independiente.Muestre que si v3 no pertenece a gen{v1, v2} entonces {v1, v2, v3} es linealmente independiente.

19. Sea S = {u1, u2, . . . , uk} un conjunto de vectores en un espacio vectorial, y sea T = {v1, v2, . . . , vm},donde cada vi, 1 6 i 6 m, es un combinacion lineal de los vectores en S. Muestre queW = b1v1 + + bmvm es una combinacion lineal de los vectores de S.

20. Suponga que S = {u1, u2, . . . , un} es un conjunto linealmente independiente de vectores enRn. Muestre que si A es una matriz no singunlar n n, entonces T = {Au1, Au2, . . . , Aun} eslinealmente independiente.

21. Sean S1 y S2 subconjuntos finitos de un espacio vectorial V , donde S1 es un subconjunto deS2. Si S2 es linealmente dependiente , muestre, mediante algunos ejemplos, que S1 puede serlinealmente independiente. De igual forma si S1 es linealmente independiente, muestre conalgunos ejemplos, que S2 puede ser linealmente dependiente.

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