Taller

Estadística II

1. En una cierta población se ha observado un número medio anual de muertes por cáncer de pulmón de 12, a) Calcule la función de probabilidad b) ¿Cuál es la probabilidad, que durante el año en curso haya exactamente 8

muertes por cáncer de pulmón?c) ¿Cuál es la probabilidad, que durante 6 meses en curso haya máximo 4

muertes por cáncer de pulmón?d) ¿Cuál es la probabilidad, que durante 2 meses en curso haya mínimo 2

muertes por cáncer de pulmón?e) Calcule valor esperado, varianza, desviación estándar

2. Un estudio en las finales de las cajas registradoras de un supermercado revelo que durante un cierto periodo, en la hora más pesada, el número de clientes en espera era de un promedio de cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro clientes estén esperando en 30 minutos?

3. Un estudiante tiene probabilidad del 30% de reprobar la materia,

a) Encuentre la función de probabilidad para aprobar y reprobar la asignaturab) ¿Calcular la probabilidad, que apruebe 3 de los 5 exámenes parciales?

¿Calcular la probabilidad, que apruebe máximo 3 de los 10 exámenes parciales? Calcule su valor esperado, varianza y desviación estándar.

c) ¿Calcular la probabilidad, que repruebe mínimo 2 de los 5 exámenes parciales? Calcule su valor esperado, varianza y desviación estándar

4. Un cafetalero afirma que 30 de cada cien de sus plantas de su cosecha de café está contaminada por la roya. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar cuatro plantas de su cosecha de café, al azar: entre una y tres plantas (inclusive) estén contaminadas por la roya.

5. Una urna contiene cuatro canicas rojas y seis verde, y se sacan al azar cuatro canicas en sucesión, con reemplazo. a) Determine la función de probabilidad b) Determine la probabilidad, que exactamente una canica sea verde.c) Calcule valor esperado, varianza, desviación estándar

6. Una urna contiene cuatro canicas rojas y seis verde, y se sacan al azar cuatro canicas en sucesión, sin reemplazo. Determine la probabilidad de que exactamente una canica sea verde.a) Determine la función de probabilidad

b) Determine la probabilidad, que exactamente una canica sea verde.c) Calcule valor esperado, varianza, desviación estándar

7. Un estudiante se prepara para un examen estudiando una lista de diez problemas, de los cuales puede resolver seis. Para el examen, el instructor elige al azar cinco de los diez problemas de la lista que facilitó previamente a los estudiantes, a) ¿Cuál es la probabilidad, que el estudiante resuelva los cinco problemas del

examen?b) ¿Cuál es la probabilidad, que resuelva máximo 2 problemas?c) ¿Cuál es la probabilidad, que mínimo resuelva 4?d) ¿Cuál es la probabilidad, que no resuelva máximo 2 problemas?e) ¿Cuál es la probabilidad, que no resuelva mínimo 4?f) Calcular el valor esperado y varianza. Averiguar su cálculo.

8. En un examen la calificación promedio se distribuye en forma normal con media 62 y la varianza fue de 25.

a) Si se selecciona un estuante al azar, ¿Cuál es la probabilidad, que haya obtenido máximo 52?

b) Si se selecciona un estuante al azar, ¿Cuál es la probabilidad, que mínimo haya obtenido 80?

c) Todos los estudiantes con calificaciones superiores a 67 recibieron excelente. Si 16 estudiantes fueron clasificados como Excelente, ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen?

9. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros o más en los siguientes 1000 refrescos?

10. El tiempo necesario para presentar un examen universitario de aprovechamiento tiene una distribución normal con una media de 70 minutos y una desviación estándar de 144 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad, que un estudiante se demore entre 69.4 y 84.88?

b) ¿Cuál es la probabilidad, que una persona que realice el examen obtenga una calificación superior a 94?

11. Explique el teorema del teorema del límite central tomando muestras de tamaño dos, con reemplazo, de la población de valores: 0, 2, 4 y 6. Realice el histograma para x

12. Explique el teorema del teorema del límite central tomando muestras de tamaño tres, con reemplazo, de la población de valores: 0, 2, 4 y 6. Realice el histograma para x Compare los resultados en el punto 11 y 12.

13. Una empresa eléctrica fabrica baterías que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 baterías tenga

una vida promedio máximo 775 horas.b) Si se selecciona una batería, ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure

775 horas máximo? c) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 baterías tenga

una vida promedio mínimo 750 horas.d) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 9 baterías tenga una

vida promedio entre 760 y 770 horas.

14. Las estaturas estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. a) Si se extrae una muestra de 25, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio

este entre 174 y 178?b) Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la edad

este entre 174 y 178?

15. Se ha recogido una muestra aleatoria para prever la inflación en el año, en nueve países. Las previsiones han sido 1.5 2.1 1.9 2.3 2.5 3.2 3.0 3.2 3.3 Utilizando estos datos, construir un intervalo de confianza al 99% para la media de la previsión de inflación, en estos países suponiendo que los datos se distribuyen en forma normal.

16. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación estándar de 0,11 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 50 ladrillos cuyo peso medio es de 4,07 kilos. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy e interpretar.

17. Los siguientes datos corresponden al número de unidades vendidas en una muestra de 36 días por una empresa

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 23 13 76 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

Construir un intervalo de confianza del 93% para la media poblacional e interpretar.

Solución

1.

a)

P ( x=k )= e−12×12k

k !

b)

P ( x=8 )=e−12×128

8 !

P ( x=8 )=0.0655

La probabilidad, que durante el año en curso haya exactamente 8 muertes por cáncer

de pulmón es de 65.5%.

c) P ( x≤4 )

P ( x=4 )= e−6×64

4 !=0.1339

P ( x=3 )= e−6×63

3 !=0.0892

P ( x=2 )= e−6×62

2 !=0.0446

P ( x=1 )= e−6×61

1 !=0.0149

P ( x=0 )=e−6×60

0 !=0.0025

P ( x≤4 )=0.1339+0.0892+0.0446+0.0149+0.0025=0.2851

La probabilidad, que durante 6 meses en curso haya máximo 4 muertes por cáncer de

pulmón es de 28.51%.

d) P ( x≥2 )

P ( x=1 )= e−2×21

1!=0.2707

P ( x=0 )=e−2×20

0 !=0.7183

P ( x≥2 )=1−(0.2707+0.7183 )=1−0.989=0.011

La probabilidad, que durante 2 meses en curso haya mínimo 2 muertes por cáncer de

pulmón es de 1.1%

e)

2. Clientes promedio por hora = 4 (μ)Clientes promedio por 30 minutos = 2 (μ)

P ( x=4 )= e−2×24

4 !P ( x=4 )=0.0902

La probabilidad de que cuatro clientes estén esperando en 30 minutos es de 9.02%.

3. Pe=0.7 P f=0.3 n=5

a) P ( x=k )=(nk)×0.7k×0.3(n−k)

b)

P ( x=3 )=(53)×0.73×0.32P ( x=3 )=0.3087

La probabilidad que apruebe 3 de los 5 exámenes parciales es de 30.87%.

P ( x≤3 )

P ( x=3 )=(103 )×0.73×0.37=0.0090

P ( x=2 )=(102 )×0.72×0.38=0.0014

P ( x=1 )=(101 )×0.71×0.39=0.00013

P ( x=0 )=(100 )×0.70×0.310=0.0000059

P ( x≤3 )=0.0090+0.0014+0.00013+0.0000059=0.01054

La probabilidad que apruebe máximo 3 de los 10 exámenes parciales es de 1.05%.

E ( x )=10×0.7=7

Var ( x )=10×0.3×0.7=2.1

Desviación=√2.1=1.45

c) P ( x≥2 )

P ( x=1 )=(51)×0.71×0.34=0.02835

P ( x=0 )=(50)×0.70×0.35=0.00243 P ( x≥2 )=1−(0.02835+0.00243 )=0.9692

La probabilidad que repruebe mínimo 2 de los 5 exámenes parciales es de 96.92%

E ( x )=5×0.7=3.5

Var ( x )=5×0.3×0.7=1.05

Desviación=√1.05=1.0247

4. 30 por cada 100 están contaminadasMuestra = 4

Pe=0.3 P f=0.7 n=4

P (1≤ x≤3 )

P ( x=1 )=(41 )×0.31×0.73=0.4116

P ( x=2 )=(42 )×0.32×0.72=0.2646

P ( x=3 )=(43)×0.33×0.71=0.0756

P (1≤ x≤3 )=0.4116+0.2646+0.0756=0.7518

La probabilidad, que al inspeccionar cuatro plantas de su cosecha de café, al azar: entre una y tres plantas (inclusive) estén contaminadas por la roya es de 75.18%

5. Pe=0.6 P f=0. 4n=10

a)

P ( x=k )=(10k )×0.6k×0.4(10−k)

b)

P ( x=1 )=(101 )×0.61×0.4(9)

P ( x=1 )=0.00157

La probabilidad, que exactamente una canica sea verde es de 0.16%

c)

E ( x )=10×0.6=6

Var ( x )=10×0.6×0.4=2.4

Desviación=√2.4=1.5492

6. N=10 n=4

a)

P ( x=k )=( 6k )×( 4

n−k )104

b)

P ( x=1 )=( 61 )×( 43 )104

=0.1143

La probabilidad, que exactamente una canica sea verde es de 11.43%

c)

E ( x )=4× 610

=2.4

Var ( x )=2.4×( 410 )=0.96 Desviación=√0.96=0.9798

7. 10 problemas Puede resolver 6

Pe=0.6 P f=0.4 n=5a)

P ( x=5 )=( 65 )×( 40 )105

P ( x=5 )=0.0238

La probabilidad, que el estudiante resuelva los cinco problemas del examen es de 2.38%.

b) P ( x≤2 )

P ( x=2 )=( 62 )×( 43 )105

=0.2381

P ( x=1 )=( 61 )×( 44 )105

=0.0238

P ( x=0 )=(60 )×( 45 )105

=¿

La probabilidad, que el estudiante resuelva los cinco problemas del examen es

c) P ( x≥4 )

La probabilidad, que el estudiante resuelva los cinco problemas del examen es

d) P ( x≤1 )

La probabilidad, que el estudiante resuelva los cinco problemas del examen es

e) P ( x>5 )

La probabilidad, que el estudiante resuelva los cinco problemas del examen es.

f)

8. μ=62∇2=25∇=5 k=52

a) P ( x≤52 )

Z=52−625

=−2

P ( x≤−2 )=0.0228

La probabilidad, que haya obtenido máximo 52 es de 2.28%.

b) P ( x≥80 )

Z=80−625

=3.6

P ( x≥3.6 )=1−P ( x≤3.6 )

P ( x≥3.6 )=1−1=0

La probabilidad, que mínimo haya obtenido 80 es de 0%.

c) P ( x≥67 )

Z=67−625

=1

P ( x≥1 )=1−P ( x ≤1 )

P ( x≥1 )=1−0.8413=0.1587 (Son 16 estudiantes)

0.15870.8413

=16x

x=84.82 85

Sabiendo que todos los estudiantes con calificaciones superiores a 67 recibieron excelente y 16 estudiantes fueron clasificados como Excelente, los estudiantes que presentaron el examen son 85.

9. 200mililitros por vaso.

∇=15Mililitros.

10. μ=70∇=144k1=69.4 k2=84.88

a) P (69.4≤ x≤84.88 )

Z=69.4−70144

=−0.00

Z=84.88−70144

=0.10

P ( x≥0.00 )=1−0.5=0.5

P ( x≤0.10 )=0.5398 P (0.00≤x ≤0.10 )=0.5398−0.50=0.0398

La probabilidad, que un estudiante se demore entre 69.4 y 84.88 es de 3.98%.

b) P ( x≥94 )

Z=94−70144

=0.17

P ( x≥0.17 )=1−0.5675=0.4325

La probabilidad, que una persona que realice el examen obtenga una calificación superior a 94 es de 43.25%.

11. Datos :0,2,4,6∇=2.24 μ=3

∇x=2.24

√2=1.58

12. Datos :0,2,4,6∇=2.24 μ=3

∇x=2.24

√3=1.29

13.

a) n=16k ≤775∇=40 μ=800

∇x=40

√16=10

Z=775−80010

=−2.5

P ( x≤775 )=P ( x≤−2.5 )=0.0062

La probabilidad, que una muestra aleatoria de 16 baterías tenga una vida promedio máximo 775 horas es de 0.62%

b) n=1k≤775∇=40μ=800

∇x=40

√1=40

Z=775−80040

=−0.625

P ( x≤775 )=P ( x≤−0.63 )=0.2643

Si se selecciona una batería, la probabilidad, que una batería dure 775 horas máximo es de 26.43%.

c) n=25k ≥750∇=40 μ=800

∇x=40

√25=8

Z=750−8008

=−6.25

P ( x≥750 )=P ( x≥−6.25 )=1−0=1

La probabilidad, que una muestra aleatoria de 25 baterías tenga una vida promedio mínimo 750 horas es de 100%.

d) n=9760≤k≤770∇=40μ=800

∇x=40

√9=13.33

Z=760−80013.33

=−3

Z=770−80013.33

=−2.25

P (−3≤x ≤−2.25 )=P ( x ≤−3 )∧P ( x≥−2.25 )

¿ (1−0.0013 )∧ (0.0122 )=0.9987∧0.0122=0.9865

La probabilidad, que una muestra aleatoria de 9 baterías tenga una vida promedio entre 760 y 770 horas es de 98.65%.

14. a) n=25174≤k ≤178∇=6.9 μ=174.5

∇x=6.9

√25=1.38

Z=178−174.51.38

=2.54

Z=174−174.51.38

=−0.36

P (−0.36≤ x≤2.54 )=P ( x ≤2.54 )∧P ( x≥−0.36 )

¿ (1−0.3594 )∧ (0.9945 )=0.6406∧0.9945=0.3539

Si se extrae una muestra de 25, la probabilidad, que el promedio este entre 174 y 178 es de

35.39%.

b) n=1174 ≤k≤178∇=6.9 μ=174.5

∇x=6.9

√1=6.9

Z=178−174.56.9

=0.51

Z=174−174.56.9

=−0.07

P (−0.07≤x ≤0.51 )=P ( x≤0.51 )∧ P (x ≥−0.07 )

¿ (1−0.4721 )∧ (0.6950 )=0.5279∧0.6950=0.1671

Si se selecciona una persona al azar, la probabilidad, que la edad este entre 174 y 178 es de 16.71%.

15. n={1.5 ,2.1 ,1.9 ,2.3 ,2.5 ,3.2 ,3.0 ,3.2 ,3.3 } Confianza=99%

x=2.56 ; s2=0.3780 ;s=0.6148

x± (Z1−α2 )× S

√n

2.56±2.576×0.6148

√9

2.56+0.52791=3.0879

2.56−0.52791=2.0321

(2.0321; 3.0879)

El intervalo es [2.0321; 3.0879]

16. n=50 s=0.11 μ=4.07

Confianza=99%

x± (t n−1 ,1−α2 )× S

√n

4.07 ±2.576×0.11

√50

2.56+0.04007=2.6001

2.56−0.04007=2.5199

(2.5199; 2.6001)

El intervalo es [2.5199; 2.6001]

17. n=36∇=11.111 μ=15.39

Confianza=93%

2 5 6 8 8 9 9 10 11

11 11 23 13 76 14 14 14 14

14 15 15 16 16 16 16 16 16

16 16 17 17 17 18 18 18 19

x± (Z1−α2 )× ∇

√n

15.39±1.812×11.11

√36

2.56+3.43072=5.99072 2.56−3.43072=−0.87072

(-0.87072; 5.99072)

El intervalo es [-0.87072; 5.99072]