ACTIVIDAD: TALLER 1 ANTIDERIVADAS, SUSTITUCIÓN, AREAS

Objetivos / competencias 1. Formula, compara y ejercita procedimientos y algoritmos propios de la Matemática. 2. Identifica y usa el lenguaje propio de la matemática para comunicar sus ideas en forma clara y

coherente. 3. Plantea, analiza, resuelve, y argumenta problemas en contextos de la disciplina o reales,

mediante modelos matemáticos. 4. Reconoce fortalezas y debilidades a nivel actitudinal y cognitivo, para potencializar la confianza

en sí mismo, logrando avanzar en su formación profesional, a través de la matemática. 5. Identifica objetivos comunes permitiendo la asignación de responsabilidades que conlleven a la

producción colectiva de resultados, mediante el trabajo en equipo. Introducción: En esta actividad se presentan ejemplos resueltos de antiderivadas , sustitución y trigonométrica. Al final encontrará ejercicios resueltos y propuestos de área bajo la curva los cuales podrán trabajar de manera individual o grupal (aprendizaje colaborativo).

1. Resolver paso a paso los ejercicios que aparecen en el siguiente enlace:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML Recuerde darle click al ejercicio para proporcionarle la respuesta u orientación.

EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Consiste en sustituir una variable por una nueva variable: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x). ( )∫ ∫ +=+== cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(

Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral: ( )∫ + dxxx 4 2

Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 += xu , y derivamos: dxxdu 2=

Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral inicial. ( )∫ ∫=+2

4 21

2 duudxxx

Observa que dxxdu 2= y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu 2

= .

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 21 se escribe fuera de la integral por ser

una constante. ( )∫ ∫=+ 21 4 2

12 duudxxx

Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente: ∫ +

+=

+

cuduu1

212

121

121

21

cucucu+=+=+

= 23

232

3

31

62

232

1

Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 += xu y se sustituye en el resultado:

( ) ( )∫ ++=+ cxdxxx 23

22 431 4 Por lo tanto la respuesta es: ( ) cx ++=

32 431

Otra manera es despejar dx así: dxx

du 2

= . Se reemplaza en la integral original y se

simplifica la x .

( )∫ ∫=+ 21 4 2

12 duudxxx y se siguen los pasos 4 y 5 para llegar a la respuesta.

Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.

( )∫ + dxxx 1243

Paso 1: Esta vez se sustituye 124 += xz , entonces la derivada de z es dxxdz )04( 3 += ,

Paso 2: despejamos dx así: dxx

dz 4 3 =

Paso 3: Se sustituyen los valores de z y dz en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de variable.

( )∫ + dxxx 1243 321

3

4xdzzx∫= Simplificamos 3x

Paso 4: Cómo 41 es una constante se saca de la integral ∫∫ = dzzdzz

41

421

21

Paso 5: Se resuelve la integral respecto a z.

( ) czczczdxxx +

=+

=+

+=+

+

∫ 232

3121

43

122

234

1 1

214

1 12

Paso 6: Se sustituye a 124 += xz y se obtiene el resultado de la integral.

( ) ( )23

443 1261 12 +=+∫ xdxxx En forma de radical =

( ) cx ++34 12

61

Ejercicios complementarios: Utilizar el método de sustitución para resolver las integrales:

1. ( )∫ − dxxx 23 2 2. ( )∫ − dxxx 432 5

3. ∫ +dx

ee

x

x

21 4. ( )∫ − dxx 3

21

5. ∫ dxxxsen cos 3 6. ∫ −dx

xx

932

7. ( )∫

+x

dxxln2 8. ∫ dxtg xx2

22 sec

9. ∫ xdxe xsen 2cos2 10. ∫− 5x

x

e

dxe

11. Dada ∫ + dttt )3(5 2 .

a) Calcular la integral después de realizar la multiplicación en el integrando. b) Calcula la integral por el método de sustitución. c) ¿Por qué los resultados son diferentes? ¿ambas son correctas? Explicar.

En el siguiente enlace encontrará ejercicios de sustitución para reforzar el tema. Contiene la respuesta y tips para su solución. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-SUST.HTML Problemas de aplicación: 1. Una pelota de golf se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde del techo de un edificio de

384 pies de altura con una velocidad inicial de 32pies/s. Determinar: a. ¿Cuál es la velocidad en t=2 segundos? b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? c. ¿Cuánto tiempo permanece en el aire la pelota? d. ¿Cuál es la velocidad y rapidez de impacto de la pelota con el piso?

2. Se deja caer una piedra desde el mirador de la torre Colpatria, de altura. a. Determine una ecuación que representa la distancia recorrida por la piedra en cada instante

t b. ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en llegar al suelo? c. ¿Con qué velocidad llega al suelo? d. Si se lanza hacia abajo la piedra con una velocidad de , ¿Cuánto tarda en llegar al

suelo la piedra?

AREA ENTRE CURVAS: Ejemplo: Encontrar el área de la región acotada por las gráficas 62 =+ xy y 032 =−+ xy , realizar la gráfica. Paso 1: Para encontrar los límites de integración procedemos a igualar las dos ecuaciones. Así: Sea 62 =+ xy Ecuación (1) y 032 =−+ xy Ecuación (2) Despejando “y” de la ecuación (1) y (2), tenemos: De la ecuación (1) 62 +−= xy Ecuación (3) De la ecuación (2) 32 +−= xy Ecuación (4) Igualando las ecuaciones (3) y (4), se tiene: 3262 +−=+− xx

06322 =−+− xx 0322 =−− xx Ecuación de segundo

grado Factorizando esta ecuación:

0)1)(3(322 =+−=−− xxxx También se puede resolver por fórmula cuadrática.

Igualando a cero cada factor: 3 03 =⇒=− xx ; 1 01 −=⇒=+ xx Por lo tanto, los límites de integración es el intervalo: [ ]3 ,1− Paso 2: Se realiza la gráfica de las dos funciones. y

32 +−= xy

-4

-2 0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 x

(3, -3)

(-1, 5) 62 +−= xy

Como se puede observar en la gráfica los puntos donde se intersectan las dos gráficas son (-1, 5) y (3, -3), esto nos indica que 3 1 =−= xyx son los límites de integración. Paso 3: La gráfica que está por encima de la región es la que tiene por ecuación 62 +−= xy , como se observa en la gráfica, y la que está por debajo del área a determinar es la que tiene por ecuación 32 +−= xy . Esto nos indica que el área A entre las curvas está dada por la diferencia de las funciones, (función mayor-función menor), es decir, la ecuación 62 +−= xy menos la ecuación 32 +−= xy , esto se representa por la integral siguiente:

( ) ( )[ ]∫ +−−+−−

dxxx 32623

1

Paso 4: Se calcula la integral definida:

( ) ( )[ ]

( ) ( )

2

23

23

3

1

23

23

1

23

1

332

3111 31

319 31

31999

19(3)1(3

)1(3333)3(

32

23

)32( 326

u

xxx

dxxxdxxx

=−=+−−=

−+−++−=

−+−+

−−−++−=

++−=

++−=+−−+−

−

−−∫∫

Por lo tanto el área es: 2 3

32 uA =

Ejercicios complementarios:

1. Observe la siguiente figura y establezca las integrales definidas para encontrar el área delimitada por las funciones y .

2. Calcular el área entre las curvas: 22)( xxxf −= y 4)( xxg = , realiza las gráficas correspondientes. (Graficar)

3. Encontrar el área de la región acotada por las gráficas realizar las gráficas correspondientes. (Graficar)

4. Hallar el área de la región acotada por las funciones 22 xy +−= y xy =

5. Determine el área acotada por las funciones . (Graficar).

6. Calcule: ( )∫3

1

ln dxxx e interprete su resultado como el área de una región. Grafica la

región.

7. Halla el área del recinto limitado por la parábola 2xy = , la recta de ecuación 2+−= xy y el eje OX. (Graficar)

8. Hallar el área del recinto limitado por las gráficas 1,ln == yxy y los ejes coordenados. (Graficar)