ACTIVIDAD: TALLER 1 ANTIDERIVADAS Y

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Resolver los ejercicios del taller en el portafolio de

evidencias de manera individual o grupal, haciendo uso del

video chat para despejar dudas con sus compañeros.

Objetivos / competencias: 1. Competencia comunicativa: Identifica y usa el lenguaje propio de la matemática para comunicar

sus ideas en forma clara y coherente.

2. Tratamiento de la información y competencia digital: Utiliza de manera adecuada software libre,

plataformas digitales, OVAS, ODAS, webquest.

3. Interpretar y resolver problemas en contexto: Plantea, analiza, resuelve, y argumenta

problemas en contextos de la disciplina o reales, mediante modelos matemáticos.

4. Trabajo colaborativo: Identifica objetivos comunes permitiendo la asignación de

responsabilidades que conlleven a la producción colectiva de resultados, mediante el trabajo en

equipo.

5. Competencia social y ciudadana: Reconoce fortalezas y debilidades a nivel actitudinal y

cognitivo, para potencializar la confianza en sí mismo, logrando avanzar en su formación

profesional, a través de la matemática

6. Aprender a aprender:

7. Autonomía e iniciativa personal.

1. Resolver paso a paso los ejercicios de integrales directas que aparecen en el siguiente

enlace:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-INM.HTML

EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en sustituir una variable por una nueva variable:

Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f.

Entonces u = g(x). cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(

Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral: dxxx 4 2

Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , y derivamos: dxxdu 2

Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral inicial. 2

4 2

1

2 duudxxx

Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu

2

.

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2

1se escribe fuera de la integral por ser

una constante. 2

1 4 2

1

2 duudxxx

Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

cu

duu

12

12

1

2

11

2

1

2

1

cucucu

2

3

2

32

3

3

1

6

2

2

32

1

Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:

cxdxxx 2

322 4

3

1 4 Por lo tanto la respuesta es: cx

32 43

1

Otra manera es despejar dx así: dxx

du

2 . Se reemplaza en la integral original y se

simplifica la x .

2

1 4 2

1

2 duudxxx y se siguen los pasos 4 y 5 para llegar a la respuesta.

Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.

dxxx 1243

Paso 1: Esta vez se sustituye 124 xz , entonces la derivada de z es dxxdz )04( 3 ,

Paso 2: despejamos dx así: dxx

dz

4 3

Paso 3: Se sustituyen los valores de z y dz en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de

variable.

dxxx 1243 3

2

1

3

4x

dzzx Simplificamos 3x

Paso 4: Cómo 4

1es una constante se saca de la integral dzz

dzz

4

1

42

1

2

1

Paso 5: Se resuelve la integral respecto a z.

czcz

cz

dxxx

2

32

31

2

1

43

12

2

2

34

1

12

14

1 12

Paso 6: Se sustituye a 124 xz y se obtiene el resultado de la integral.

2

3443 12

6

1 12 xdxxx En forma de radical =

cx 34 12

6

1

Ejercicios complementarios:

Utilizar el método de sustitución para resolver las integrales:

1. dzzz 23 2 2. drrr 32

32 5

3. dx

e

ex

x

21 4. dppp

21

5. dwwwsen cos 3 6. dk

k

k

9

32

7.

t

dttln2 8. dxtg xx

2

2

2sec

9. zdze zsen 2cos2 10.

52

3

x

x

e

dxe

11. Para la integral: dttt )3(5 2 .

a) Calcular la integral después de realizar la multiplicación en el integrando.

b) Calcula la integral por el método de sustitución.

c) ¿Por qué los resultados son diferentes? ¿ambas son correctas? Explicar.

En el siguiente enlace encontrará ejercicios de sustitución para reforzar el tema de integración

cambiando variable. Contiene la respuesta y tips para su solución.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-SUST.HTML

Elaboró:

NELSON QUINTERO ACUÑA Profesor de Matemáticas.