Matematica IV - 2000953Taller, Ecuaciones de orden 1

1. Resuelvady

dx=

y3

1 2xy2 , y(0) = 1.

R: y2x = ln y.

2. Determine la solucion general de la ecuacion

(y 4x)dx+ (y x)dy = 0.

3. Una persona tiene una fortuna que aumenta en una razon proporcionala su cuadrado. Si hace un ano esa fortuna era de mil millones de pesosy en la actualidad es de dos mil millones, cual sera el valor de dichafortuna dentro de seis meses? Y dentro de dos anos?

R: 4 mil millones

4. Encuentre una ecuacion diferencial lineal homogenea de coeficientesconstantes cuyo orden sea el menor posible y que tenga a la funcion

ex sin 2x+ 3ex

como solucion.

5. Considere la la ecuacion autonoma

y = y2 + y

a) Halle sus soluciones de equilibrio.

b) Clasifquelas.

c) Haga un bosquejo de las diferentes tipos de curvas solucion que sepuedan presentar.

6. Use el factor integrante 1x2+y2

para hallar la solucion general de la ecua-cion

(y + x5 + x3y2)dx xdy = 0.

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7. Suponga que un recinto contiene 1.200 pies cubicos de aire y esta librede monoxido de carbono. A partir del instante t = 0, se introduce alrecinto humo de cigarrillo, que contiene 4% de monoxido de carbono,a razon de 0, 1 pies cubicos por minuto y se permite que la mezcla biencirculada salga a la misma razon.

a) Halle una expresion x (t) que determine la cantidad de monoxidode carbono en el tiempo t (t 0).R: x(t) = 48(1 e(1/12,000)t)

b) La exposicion prolongada a una concetracion superior a 0.00012es danina para el organismo humano. Halle el instante en quese alcanza esta concentracion.

R: 36 minutos aproximadamente.

Solucion: El modelo correspondiente es:

dx

dt= (0,1) (0,04) x

1, 200(0,1)

= 0,004 x12, 000

,

separando variables e integrando tenemos:

12, 000 ln(0,004 x

12, 000

)= t+ C,

despejando x = x (t) tenemos:

x (t) = 48 48e 112,000 t,

sea es tiempo necesario para obtener la concentracion deseada, en-tonces

x () = (0,00012) (1, 200) = 48 48e 112,000 ,despejando tenemos que

= 12, 000 ln(48 0,144

48

) 36,05410824,

que corresponde a 36 minutos aproximadamente.

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8. Se bombea agua a un tanque cilndrico recto de seccion transversalconstante A a una razon constante k. El agua sale por un pequenoorificio de area a ubicado en el fondo del tanque a una razon de a

2gh

donde h es la profundidad del agua en el tanque, g es la aceleracion dela gravedad y es una constante (0, 5 1).

a) Determine la razon de cambio de la profundidad h del agua. R:dh/dt = (k a2gh)/A

b) Encuentre la profundidad de equilibrio he y diga si es o no esestable. R: k2/22a2g.

9. Una solucion que contiene 2 libras de sal por galon empieza fluir a undeposito que contiene 50 galones de agua pura a razon de 3 gal/min.Despues de 3 minutos la mezcla comienza a salir a razon de 3 gal/min.

a) Cuanta sal hay en el deposito despues de 2 minutos?

b) Cuanta despues de 25 minutos?

c) Cuanta sal tiende a haber en el deposito a medida que el tiempotranscurre indefinidamente?

10. Una cierta familia de curvas constituye la solucion general de la ecua-cion

y = 2xyx2 + y2

, x 6= 0, y 6= 0.

Halle las trayectorias ortogonales a dicha familia.

11. Halle un factor integrante para la ecuacion inexacta

(2x2 + y)dx+ (x2y x)dy.

12. Resuelva la ecuacion del punto 3 usando el factor integrante encontrado.

13. La ecuacion

y =y2 x2 + 1

2xy

no es exacta. Hallele un factor integrante y uselo para resolverla.

14. a) Halle una ecuacion diferencial cuya solucion general sea la familiade crculos que pasan por los puntos (-1,0) y (1,0).

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b) Halle una ecuacion diferencial cuya solucion general sea la familiaortogonal a la familia de curvas del literal anterior.

15. Un deposito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas40 libras de sal. Se desea reducir la concentracion de sal hasta 0,1libras por galon vertiendo en el deposito agua limpia a razon de 5galones por minuto y dejando que salga la misma cantidad mientras semantiene uniforme la mezcla revolviendola. Cuanto tiempo tardara enconseguirse dicho proposito?

16. Halle el dominio de la solucion al PVI

dy

dt= 4y(1 y), y(0) = 2

y su lmite cuando t.17. Un contenedor de 300 galones se encuentra lleno hasta los 2/3 de su

capacidad con agua mezclada con 50 libras de sal. Al tiempo t = 0 seabren las valvulas de manera que se agrega agua pura al contenedora una velocidad de 3 galones por minuto. Si la mezcla bien agitadase extrae de el contenedor a una velocidad de 2 galones por minuto,cuantas libras de sal se encuentran en el contenedor cuando este se llenay todas las valvulas se cierran?

18. En electrostatica, las curvas de fuerza son las trayectorias ortogonalesa las curvas de potencial constante. Suponga que estas estan dadas porla familia de elipses

x2

2+ y2 =

y halle la familia de curvas de fuerza asociadas con este potencial.

19. El cambio de variables x = u+ 1 y y = v 3 transforma la ecuacion

y =3x y 6x+ y + 2

en una ecuacion homogenea. (Note que lo que hace este cambio devariables es trasladar el origen del plano de fase al punto de corte delas rectas 3x y 6 = 0, x + y + 2 = 0.) Resuelva esta ecuacionhomogenea para u y v y de entonces la solucion en forma implcita dela ecuacion original.

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20. Halle y clasifique los puntos de equilibrio de la ecuacion autonoma

y = (y 1) 53 (y 2)2(y 3).

Prediga el comportamiento asintotico de la solucion que satisface lacondicion inicial y(0) = 2, 1 cuando t .

21. Un objeto de masam se deja caer desde el reposo en un medio que ofreceuna resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Halle elintervalo de tiempo que transcurre antes de que la velocidad del objetoalcance el 90% de su valor lmite.

22. Resuelva la ecuacionxy = y + xey/x.

23. para la ecuacion autonoma

y = y2 2y + 1,

a) bosqueje la linea de fase;

b) identifique las soluciones de equilibrio;

c) Clasifique los puntos de equilibrio como sumideros fuentes o nodos;

d) Halle el intervalo de existencia de la solucion que pasa por (0, 2).

24. Suponga que la temperatura de una taza de cafe obedece la ley deNewton de enfriamiento. Si el cafe tiene una temperatura de 200Fcuando acaba de servirse y un minuto despues se ha enfriado hasta190F en un recinto cuya temperatura es de 70F, determine cuando elcafe alcanza una temperatura de 150F.

25. Halle un factor integrante para la ecuacion

(x2y x)dy + ydx = 0

y uselo para hallar su solucion general.

26. Deduzca la ecuacion diferencial que debe satisfacer la familia de trayec-torias ortogonales a las rectas que pasan por el origen. Use esa ecuacionpara identificar dicha familia.

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27. para la ecuacion autonoma

y = y(y2 2y 8),a) bosqueje la linea de fase;

b) identifique las soluciones de equilibrio;

c) Clasifique los puntos de equilibrio como sumideros fuentes o nodos;

d) Bosqueje los cuatro tipos de trayectorias que se pueden presentar.

28. Resuelva :

xdy

dx+ 3y + 2x2 = x3 + 4x para x > 0

R: y = x3

6+ x 2

5x2 + c

x

29. Solucione el siguiente problema de valor inicial

(9x2 + y 1)dx (4y x)dy = 0, y(1) = 0R: 3x3 + yx x 2y2 + 2 = 0

30. El cadaver de una persona con temperatura 85F se descubre a medianoche cuando la temperatura del medio ambiente es de 70F . El cuerpoes trasladado de inmediato a la morgue donde la temperatura se man-tiene constante a 40F . Despues de una hora en la morgue se encuentraque la temperatura del cuerpo es de 60F . Asuma que la temperaturanormal del cuerpo humano es de 98,6F (37C). A que hora ocurrio lamuerte de la persona?

Solucion: = temperatura del cadaver. Modelo en la morge: ddt

=k(40). De ah sale = 40+Cekt. (0) = 85 y (1) = 60 implicanC = 45 y k = 0, 811. Modelo de temperatura del cadaver donde loencontraron: d

dt= k( 40) donde k = 0, 811. De ah sale =

70 + C1ekt. (0) = 98, 6 implica C1 = 28, 6. Luego = 70 + 28, 6ekt.

(t) = 85 implica t = 0, 796.

31. Trace algunas isoclinas (marcando las minitangentes respectivas) de laecuacion

dy

dx= x

y.

Bosqueje algunas curvas solucion incluyendo aquella que satisface lacondicion y(0) = 4. Cual es el rango de x para esta solucion?

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32. La ecuacion logstica para la poblacion de cierta especie ( en miles)esta dada por

dp

dt= 3p 2p2.

a) Bosqueje el campo de direcciones de esta ecuacion.

b) Si la poblacion inicial es de dos mil (i.e., p(0) = 2 ) cual es lapoblacion lmite? (lmt p(t) =?)

c) Y si la poblacion inicial es de 500, cual es la poblacion lmite?

d) Podra una poblacion de 3000 disminuir hasta 500?

33. Un deposito contiene 10 galones de salmuera con dos libras de sal disuel-tas en ella. Se introduce en el deposito salmuera que contiene disueltauna libra de sal por cada galon a razon de 3 galones por minuto y lamezcla bien revuelta se deja salir a razon de 4 galones por minuto.Hallar la cantidad de sal x(t) en el deposito en el instante t.

34. Una curva y = f(x) arranca desde el origen por el primer cuadrante. Elarea bajo la curva desde (0, 0) hasta (x, y) es la tercera parte del areadel rectangulo que tiene esos puntos como vertices opuestos. Halle laecuacion de la curva (f(x) =?).

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