CETIS 109

GUSTAVO ANGEL CASTILLO ROJAS

MARAGARITA ROMERO ALVARADO

2 AM

PROGRAMACION

VerdaderoEl valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

FalsoEl valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.

Variable

Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores

fundamentales se definen así:

Negación

La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el

valor contradictorio de la proposición considerada.

Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores

de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas

proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando

ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Disyunción

La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores

de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las

proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Implicación o Condicional

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los

valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera

proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Equivalencia, doble implicación o Bicondicional

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad,

típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de

verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso

cuando sus valores de verdad son diferentes.

La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Número de combinaciones

Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor

verdadero: V, o falso: F, por Combinatoria, podemos saber que el número total de

combinaciones: Nc, que se pueden presentar es:

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales

puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de

combinaciones: Nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:

Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un

resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada

tenemos que se pueden construir Cp circuitos posibles con n variables de entrada, donde:

Que da como resultado la siguiente tabla:

Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea

horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que

se pueden formar con V y F, dando lugar a la distintas Nc, número de combinaciones.

Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de

verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se

pueden ver todas las combinaciones posibles Cp, que pueden darse para el número

de variables dado.

Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los

valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: Nc= 4, con estos valores

se pueden definir dieciséis resultados distintos, Cp= 16, cada una de las cuales seria

una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los

resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de Nc, cuando n toma

valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y

si se quiere representar las combinaciones posibles Cp, resulta ya complejo para n=

3.

Para una variable

El caso de una variable binaria, que puede presentar dos combinaciones posibles: Nc=2, con

4 circuitos posibles: Cp=4.

1 2 3 4

A ·A ·A ·A ·A

V V V F F

F V F V F

Para dos variables

Considérese dos variables proposicionales A y B.1 Cada una puede tomar uno de dos valores

de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden

combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa,

o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

Considérese además a "·" como una operación o función lógica que realiza una función de

verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad.

Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que

muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de

verdad de A y de B.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A BA·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

A·B

V V V V V V V V V V F F F F F F F F

V F V V V V F F F F V V V V F F F F

F V V V F F V V F F V V F F V V F F

F F V F V F V F V F V F V F V F V F

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles

de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas

despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función "·".

De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles

valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y

cuando definamos los valores que devuelva la función.

Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un

sistema lógico.

De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción

natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos.

Tablas de verdad

Las tablas nos manifiestan los posibles

valores de verdad de cualquier proposición

molecular, así como el análisis de la misma

en función de las proposicíones que la

integran, encontrándonos con los siguientes

casos:

Verdad Indeterminada o Contingencia[editar]

Se entiende por verdad contingente, o verdad

de hecho, aquella proposición que puede ser

verdadera o falsa, según los valores de las

proposiciones que la integran. Sea el

caso:  .

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada

una de las proposiciones A, B, C.(Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de   aplicando la definición

del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición

de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna  , (columna

4) que representarán los valores de la proposición completa  , cuyo valor de

verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición   es V y cuándo

es F.

Contradicción

Se entiende por

proposición

contradictoria, o

contradicción, aquella

proposición que en

todos los casos

posibles de su tabla de

verdad su valor

siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las

proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas lasrelaciones

sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su

contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su

contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas

da falso en todos los casos.

Tautologías

Se entiende por

proposición

tautológica, o

tautología, aquella

proposición que en

todos los casos

posibles de su tabla de

verdad su valor

siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las

proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas lasrelaciones

sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de

verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su

negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las

dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.

LIGAS: http://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_verdad