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A
Matemática Básica
Curso Propedéutico-2013
Tabla de contenido
PRESENTACIÓN .............................................................. 1
I UNIDAD “ARITMÉTICA” ............................................... 3
II UNIDAD “ÁLGEBRA” ................................................. 12
III UNIDAD “GEOMETRÍA EUCLIDIANA” .................. 52
IV UNIDAD “FUNCIONES Y GRÁFICAS” .................. 76
V UNIDAD “GEOMETRÍA ANALÍTICA” ..................... 88
Son Autores los Profesores:
Rigoberto Morales Videa y Graciela López Moreno
1
PRESENTACIÓN
La educación construye el capital humano para el crecimiento económico y
para superar la pobreza de un pueblo. Para reinsertar a nuestra región en
una economía mundial, se debe mejorar sustancialmente en la
competitividad, dado que éste implica conocimientos tecnológicos, manejo
de información y destrezas, elevar la calidad de nuestros sistemas
educativos y la preparación de nuestros recursos humanos, se vuelve un
requerimiento insustentable.
Conocer o saber Matemática, por parte de una persona no puede reducirse
a identificar las definiciones y propiedad de los objetos matemáticos. Debe
implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático
en la resolución de problemas. Por esto se postula la necesidad de
establecer puentes entre la Matemática, la realidad natural y social que
rodea a los jóvenes.
Al organizar este material, nos hemos guiado por el interés de contribuir al
mejoramiento de la enseñanza de la Matemática en nuestra región con
énfasis en las carreras de ingenierías. Hemos realizado este loable
esfuerzo de presentarte, estimado estudiante, este documento de
Matemática con el propósito de fortalecer tus conocimientos en esta área y
particularmente estés preparado para realizar tu examen de admisión y
puedas clasificar en la opción que tu elegiste.
El propósito de este dosier es ofrecerte un material pedagógicamente
confiable para que se te facilite tu aprendizaje, con precisión matemática y
comprensible, con una visión para estudiantes con expectativas de coronar
una carrera universitaria.
Este material comprende cinco unidades con descripción de conceptos,
ejemplos resueltos y ejercicios propuestos:
I Unidad: Aritmética.
II Unidad: Álgebra.
III Unidad: Geometría Euclidiana.
IV Unidad: Funciones y Gráficas.
V Unidad: Geometría Analítica Plana.
2
La Aritmética nos proporciona el aprendizaje básico que debemos dominar
para profundizar en las restantes unidades que vamos a desarrollar. Un buen conocimiento de la aritmética es tan fundamental como saber leer y
escribir y no puede reducirse a los algoritmos para realizar las cuatro operaciones fundamentales. Muchos de los fenómenos que nos afectan se han vuelto tan complejos que no podemos percibirlos directamente o
tratarlos de manera puramente cualitativa, sino que requieren técnicas cuantitativas de recolección y tratamiento de información. Los contenidos que ofrece el texto sobre álgebra están enriquecidos con
ejercicios de aplicación, enfatizado en las operaciones fundamentales que
ésta requiere. Ecuaciones aplicadas a problemas cotidianos de la
ingeniería y la vida.
En la unidad de Geometría Euclidiana te ofrecemos una serie de teoremas
y postulados con una secuencia lógica y una serie de gráficos atractivos
vinculados a la percepción de figuras planas, asociadas al medio que te
rodea.
Una de los contenidos más fructíferos y de mayor aplicación en la
matemática y en otras ciencias, es la utilización de las Funciones para la
interpretación objetiva de los fenómenos físicos y químicos. En esta unidad
se presentan diversas gráficas para una mejor comprensión de las
diferentes teorías, mostramos también la riqueza de la aplicación a
problemas relacionados con la solución de la problemática del medio que
nos rodea.
Uno de los grandes atractivos de la matemática consiste en la aplicación
de la geometría analítica a las diferentes ciencias, ingenierías y ramas de
éstas, aportando elementos fundamentales para la modelación de
proyectos arquitectónicos - cónicos aplicados en la construcción de obras
de ingeniería.
Se resaltan algunos teoremas y definiciones para dar énfasis y permitir
una localización rápida. Las gráficas a lo largo del material permiten
reforzar la comprensión de los conceptos de Matemática que pudiesen
resultar complejos, así como aplicaciones de la vida real.
El corazón de cualquier material de Matemática son los ejercicios que
mantienen vivo el interés, exploración, práctica y comprensión del mismo.
Ofrecemos una variedad de ellos con sus respectivas soluciones.
3
I UNIDAD “ARITMÉTICA”
Contenidos a desarrollar
1. Conjunto de los números reales
Operaciones (+,-,*, /) -Propiedades de los Números Reales (+, *).
2. Descomposición factorial ( MCD y MCM)
3. Potenciación
4. Regla de Tres
Regla de tres
Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de
cantidades proporcionales, siendo una desconocida i incógnita, hallar el
valor de esta última.
La regla tres puede ser simple y compuesta.
Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales.
Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades
proporcionales.
Regla de tres Simple
En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y
una desconocida o incógnita. Esta regla puede ser Directa o Inversa, según
las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales.
Supuesto y pregunta.
En toda regla de tres hay dos filas de términos o números. El supuesto
formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la
parte superior. La pregunta formada por los términos que contienen a la
incógnita el problema va en la parte inferior.
4
Ejemplo.
Si 5 lapiceros cuestan C$ 20. ¿Cuánto costaran 12 lapiceros?
Supuesto: 5 lapiceros C$ 20
Pregunta: 12 lapiceros C$ X
De manera formal, la regla de tres simple directa enuncia el problema de la
siguiente manera:
A es a B como X es a Y
lo que suele representarse así:
donde A es 5, B es 20, X es 12 e Y es el término desconocido. Para resolver
todas las reglas de tres simples directas basta con recordar la siguiente
fórmula:
Regla de tres simple inversa
Ejemplo.
Si 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminaran
la misma obra 12 obreros?
Supuesto: 8 obreros 15 días
Pregunta: 12 obreros X días
Formalizado, como antes: A es a B como X es a Y
lo que se representa como:
5
Siendo la solución formalizada la siguiente
Regla de tres compuesta
En la regla de tres compuesta intervienen tres o más partes de cantidades
proporcionales, siendo una la cantidad desconocida o incógnita.
Método Práctico:
Para resolver los problemas de Regla de Tres, aplicamos el método llamado
“La Ley de los Signos”, que no es más que la consecuencia práctica de
magnitudes proporcionales y que consiste en lo siguiente: Se colocan los
valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo de otro, a
continuación se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el
par que contiene a la incógnita, para saber si son directa o inversamente
proporcionales con la incógnita y:
Si son directamente Si son inversamente
proporcionales proporcionales
El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el
producto de todas las cantidades afectadas del signo (+) y cuyo
denominador es el producto de las cantidades afectadas del signo (-) en
todos los problemas sin excepción, el valor numérico que es de la misma
especie que la incógnita, llevara signo (+).
Arriba -
Abajo +
Arriba +
Abajo -
6
-
+
+
-
+
Ejemplo.
Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos
días se necesitaran para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4
obreros menos?
Supuesto: 180 metros 18 obreros 21 días
Pregunta: 120 metros 14 obreros X días
Comparaciones:
Metros con días: Para hacer menos metros de pista tardan menos días; la
regla de tres es directa; colocando arriba de la columna de metros la
letra D.
Obreros con días: Menos obreros tardarán más días, la regla de tres es
inversa; colocando arriba de la columna de obreros la letra I.
Donde:
Supuesto: 180 metros 18 obreros 21 días
Pregunta: 120 metros 14 obreros X días
Luego pasamos a colocar los signos correspondientes
Supuesto: 180 metros 18 obreros 21 días
Pregunta: 120 metros 14 obreros X días
La incógnita viene dada por un quebrado cuyo numerador es el producto
de todas las cantidades afectadas por el signo (+) y cuyo denominador es el
producto de las cantidades afectadas por el signo (-), Así:
D I
7
Ejercicios propuestos
1. Al resolver 5-(7-9)+(3-11) se obtiene:
1. -1
2. -5
3. 5
4. 15
5. NDLA
2. Al operar 5-10(8-6)(2-17)+5 se obtiene:
1. 65
2. 155
3. 310
4. -155
5. NDLA
3. Al resolver (-3)(2)-(-2)(4) se obtiene:
1. 14
2. -16
3. 2
4. -14
5. NDLA
4. Al resolver { [ ( ( ))]} ( ) se obtiene:
1. 2
2. 14
3. 18
4. 24
5. NDLA
5. Al resolver
se obtiene:
1. 17/12
2. 1
3. ¼
4. -25/12
5. NDLA
8
6. Al resultado que se tiene al operar
1. (
) (
) (
)
2. -2/5
3. 2/5
4. -20/9
5. 20/9
6. NDLA
7. Al resolver [
] [
] [
] obtenemos:
1. 3/10
2. 59/30
3. 9/20
4. 20/9
5. NDLA
8. Al simplificar ( )
⁄ la respuesta es:
1. 25
2. 1/25
3. -5
4. ( )
5. NDLA
6.
9. Al efectuar la operación [( ) ] [ ( )]
Se obtiene:
1. 1875
2. 7,5
3. 875
4. 12,5
5. NDLA
10. El resultado de la siguiente operación √ √ √ es:
1. √
2. √
3. √
4. √
5. NDLA
9
11. Al operar √ √ √ se obtiene
1. 10
2.
3. √
4. √
5. NDLA
12. Al resolver la siguiente expresión
( ) √ √ ( ) √
se obtiene.
1. -5
2. 25
3. 22
4. -2
5. NDLA
13. Hallar el MCD de 9, 6, 12
1. 3
2. 36
3. 6
4. 12
5. NDLA
14. El MCM de 3,5,10,14,42 es
1. 3
2. 1
3. 210
4. 420
5. NDLA
15. Si y el mcm es 9000, entonces x es igual:
1. 2
2. 3
3. 1
4. 0
5. NDLA
10
16. ¿Qué tanto % representa 17 de 68?
1. 4%
2. 400%
3. 25%
4. 11.56%
5. NDLA
17. Los ¾ de los 4/5 de 200 litros es:
1. 120 lt
2. 187,5 lt
3. 213,3 lt
4. 310 lt
5. NDLA
18. 3,6 decímetros convertidos a metros son:
1. 36 m
2. 0,36 m
3. 0,036m
4. 360 m
5. NDLA
19. Un individuo va al supermercado y gasta $900. A esta cantidad se le
debe de agregar el impuesto que corresponde al 7% ¿Cuánto es el
valor total a pagar?
1. $63
2. $963
3. $1053
4. $1530
5. NDLA
20. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimentos para ellas para 28 días.
Pero si el número de ovejas fuese 56, sin disminuir la ración diaria y
sin agregar forraje la cantidad de día que se podrá alimentarlas es:
1. 18
2. 14
3. 20
4. 21
5. NDLA
11
21. 20 labradores araron un terreno en 10 días trabajando 8 horas
diarias (suponga que el rendimiento sea constante). Si 60 hombres
labraron el mismo terreno en 8 días, el número de horas que se
trabajaron por día es:
1. 2,67 hrs
2. 4 hrs
3. 30 hrs
4. 3.30 hrs
5. NDLA
22. Para cosechar un campo de berenjenas se emplearon 5 obreros
durante 8 horas. Para terminar en 4 horas se requerirán de:
1. 20 obreros
2. 40 obreros
3. 10 obreros
4. 15 obreros
5. NDLA
23. Una cuadrilla de jornaleros han realizado una obra en 10 días
trabajando 8 hrs. Cuantas horas deberán de trabajar
aproximadamente para terminar la obra en 6 días.
1. 10 hrs
2. 11,1 hrs
3. 12 hrs
4. 13,3 hrs
5. NDLA
24. Juan invierte en un banco una cantidad de $2000 al 6% de interés
anual, deposita el 12 de marzo y retira el 10 de junio ¿cuánto es el
interés recibido? (1 año= 360 días)
1. $300
2. $40
3. $120
4. $30
5. NDLA
12
II UNIDAD “ÁLGEBRA”
Contenidos a desarrollar
Operaciones con expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación,
división
Productos notables y factorización
Teorema del binomio.
Operaciones con fracciones algebraicas
Radicales
Operaciones con radicales
Racionalización
Ecuaciones lineales en una variable.
Ecuaciones cuadráticas en una sola variable
Desigualdades lineales y cuadráticas en una variable
Ecuaciones con valor absoluto
Desigualdades con valor absoluto
Operaciones con Expresiones algebraicas.
¿Qué es una expresión algebraica?
Es toda combinación de símbolos: números y letras, ligadas por las
operaciones fundamentales del algebra: suma, resta, multiplicación,
división, potenciación y radicación.
Ejemplo:
bxax 54 3 ; ; 22 584 baa ; (3x2-y)(x+y) 3
273
x
x
13
Una expresión algebraica es racional cuando no contiene letras bajo el
signo radical, en caso contrario es irracional.
Una expresión racional es entera si no tiene denominador literal ni
exponentes negativos que afecten a las letras, en caso contrario es
fraccionaria.
Ejemplos:
85
7 5 dba , expresión entera.
64
3
x
b, expresión racional fraccionaria.
168 33 xx , expresión irracional.
Variable: Un símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto.
Ejemplo: x, y, z, etc.
Constante: Un símbolo que representa un elemento determinado de un
conjunto.
Ejemplo: en la fórmula s=1/2gt2, g es la gravedad y es constante
g=9.81m/s2 y “t” y "s" son variables.
Término: Es una constante, una variable o bien una o varias constantes
multiplicadas por potencias de variables.
Ejemplos: π, x, 5x2 yz3, etc.
Coeficiente: En un término, es el factor que representa una constante
numérica.
Ejemplo: en la expresión 52
5
7yx ,
5
7es el coeficiente numérico.
Valor numérico de una expresión algebraica.
Valor numérico de una expresión algebraica para un conjunto de valores
atribuidos a sus letras, es el número que resulta al reemplazar cada letra
por su valor y efectuar las operaciones indicadas.
14
Ejemplos:
Determine el valor numérico de la expresión
165
273
22
a
baa , para a=5 y b=2.
Solución:
Monomios:
Un monomio es una expresión algebraica cuyas letras están sometidas
únicamente a la operación de multiplicar (pudiendo llevar exponentes).
Ejemplos:
53
2 x
x , al buscar el mcd se convierte en un monomio.
x
xxx 532 veamos otros ejemplos de monomios
Observación: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte
literal.
Ejemplo:
4323 xba y 432
3
7xba son semejantes.
4233 xba y 4323 xba no son semejantes.
Suma algebraica de monomios semejantes:
Para sumar varios monomios semejantes se suman algebraicamente sus
coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal, su resultado es
siempre un monomio.
Ejemplo: Determine la suma de los siguientes monomios
cba 325 ; cba 32
4
3 y cba 32
2
5
305
9
2745
9
18315
9
817515
1655
225753
22
15
Solución:
cbacbacbacbacbacba 323232323232
4
27
4
10320
2
5
4
35
2
5
4
35
Signos de Agrupación.
Se tendrá en cuenta que si un signo de agrupación está precedido del
signo (+), cada término de la expresión encerrada entre signos de
agrupación, conservan su signo, en cambio sí está precedido del signo
menos (-), cada término de la expresión encerrada entre el signo de
agrupación, cambia de signo.
Ejemplo:
Simplificar:
xzyxzyxxzyxyxzyx 564317643462435634
Observemos que los más internos son los paréntesis por lo tanto son los
primeros en eliminar.
xzyxzyxxzyxyxzyx 564317643462435634
Ahora eliminamos las llaves.
xzyxzyxxzyxyxzyx 564317643462435634
Ahora eliminamos los corchetes.
xzyxzyxxzyxyxzyx 564317643462435634
Nos queda reducir términos semejantes que bien podemos hacerlo de
manera directa o bien agrupando; en este caso lo haremos agrupando.
615574646643343234 zzzzyyyyyxxxxxxx
1081712 zyx
Grado de un monomio: Un monomio tiene dos tipos de grados; absoluto y
relativo.
Grado relativo: Es el grado respecto a una letra (variable).
16
Ejemplo: cba 32
2
5 Es de segundo grado respecto a la variable “a”
De tercer grado respecto a la variable “b”
De primer grado respecto a la variable “c”
Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de su parte literal.
Ejemplo: cba 23
3
5 Su grado absoluto es (3+2+1) = 6, por tanto el término
es de sexto grado.
Polinomios:
Es una suma algebraica de varios monomios y cada uno de estos
constituye un término del polinomio.
Cuando un polinomio contiene sólo dos términos, se llama binomio; si
contiene tres términos es un trinomio.
Ejemplos: 3x4 -2x es un binomio;
5x2+4x-17 es un trinomio;
5a3b-2ab2-3/5a4+6b3 es un polinomio.
De manera general a toda expresión algebraica que tiene de dos a más
términos se le llama polinomio.
Reducción de un polinomio
Sea el polinomio 9x3+5-7x-4+3x-6x3 su forma reducida sería
9x3-6x3-7x+3x+5-4 = 3x3-4x+1, en donde observamos que tanto el
polinomio propuesto como el obtenido son equivalentes y ya no contiene
términos semejantes.
Grado de un polinomio:
Grado relativo: Es el exponente correspondiente únicamente a una
letra.
17
Ejemplo: Sea el polinomio 2x-5x4+4x2 es de cuarto grado con respecto a
“x”
3x5y4-7x3y2-9xy6 de quinto grado en “x”, de sexto grado en “y”
Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio es el grado del
monomio de mayor grado absoluto.
Ejemplo: Sea 3x5y4-7x3y2-9xy2 se busca el término de mayor grado
absoluto el cual es 3x5y4 por tanto el polinomio es de noveno grado
absoluto.
Polinomios Ordenados:
Los polinomios se ordenan de modo creciente o ascendente y decreciente o
descendente, ya sea con respecto a una o más variables.
Ejemplo:
a) Ordenar el polinomios 19x-4x4+2x5-5+11x3-14x2 de forma
decreciente.
2x5 - 4x4 +11x3 -14x2 +19x - 5
Adición y sustracción de polinomios.
Ejemplos:
1. Sumar 5x3-2x2+x-3 y 7x3+5x2+9
Solución:
= (5x3 - 2x2 + x - 3) + (7x3 + 5x2 + 9)
= 5x3 - 2x2 + x – 3 + 7x3 + 5x2 + 9
= 12x3+3x2+x+6
2. Restar 5x3-2x2+x-3 De 7x3+5x2+9
18
Solución:
Colocamos el minuendo al inicio que va acompañado de la palabra “De” y
luego el sustraendo que va acompañado de la palabra “restar”.
= (7x3 + 5x2 + 9) - (5x3 - 2x2 + x - 3)
= (7x3 + 5x2 + 9) + (-1) (5x3 - 2x2 + x - 3)
= (7x3 + 5x2 + 9) + (-5x3+2x2-x+3)
= 7x3 + 5x2 + 9 - 5x3 + 2x2 - x +3
= 2x3 + 7x2 - x + 12
Multiplicación de Expresiones Algebraicas.
La multiplicación de expresiones algebraicas implica el uso de la propiedad
distributiva y las propiedades de los exponentes, las cuales mencionamos
a continuación.
Producto de dos Monomios. El producto de dos monomios es un monomio en el que se verifica:
1. El coeficiente es el producto de los coeficientes de cada uno de los factores.
2. La parte literal está formada por la letra contenida en los dos
monomios, cada una de ellas con un exponente que sea la suma de sus exponentes en cada uno de los factores.
3. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.
Ejemplo: Obtenga el producto de los monomios: 22
7
3yax y 454 xa
2664522
7
124
7
3yxaxayax
Producto de un Polinomio por un Monomio.
Ejemplo: Obtenga el producto de: 6105 23 xxx y yx35
yxyxyxyxyxxxx 3456323 305025556105
19
Producto de dos Polinomios.
Ejemplo: Obtenga el producto de: yxx 234 2 y yx 2
Tenemos varios caminos para resolver esta situación
Forma Horizontal.
yxyxx 2234 2
Distribuir cada término del binomio por el polinomio
yxxyyxxx 2342342 22
Efectuar la multiplicación
2223 234468 yxyyxxyxx
Reducir términos semejantes
xyyyxxx 72468 2223
División de Expresiones Algebraicas.
a) División de un monomio por otro monomio.
Si un monomio dividendo es divisible por un monomio divisor, el
coeficiente es un monomio cuyo coeficiente es igual al cociente de los
coeficientes del dividendo y del divisor. En la división también
aplicamos las leyes de los exponentes.
Ejemplo:
1) yxyxayxa
xa
yxa2203522
32
52
5
6
5
6
10
12
3
25
4
El resultado es un monomio.
2) 2
22
2
1324
22
34
5
3
5
3
5
3
y
xa
y
xa
xya
xa
20
El resultado no es un monomio, no cumple con la definición.
3) x
axa
xa
xa
7
2
7
2
7
2 3223
32
23
El resultado no es un monomio.
b) División de un Polinomio por un Monomio.
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término
del polinomio por el monomio y se suman los cocientes parciales.
Ejemplo:
Efectué:
1) babababa 353245 4)1458(
Solución:
ba
ba
ba
ba
ba
ba3
53
3
23
3
5
4
14
4
5
4
8
4242
2
13
4
52
2
7
4
52 b
babba
2) 2
3223
4
816
ac
cabca Solución: acba 24 2
c) División de dos Polinomios.
Ejemplo:
1) Dividir 4125103 23 aaaa
125103 23 aaa 4a
22 123 aa
aa 52 2
323 2 aa
aa 82 2
123 a 123 a
0
21
División Sintética
Regla de Ruffini
Demostraremos el procedimiento de manera ilustrada.
Ejemplo:
1) Dividir )1()1252( 234 xxxxx
Pasos que no debemos olvidar:
a) Revisar que el dividendo esté completo y ordenado.
b) Extraer los coeficientes del dividendo y despejar el divisor. c) Bajar el primer coeficiente
El cociente es 4623 xxx con resto -3.
Productos Notables y Factorización.
Binomio al cuadrado.
Ejemplo:
1) Calcular 254 x
2225542454 xxx
254016 2 xx
Producto de la suma por la diferencia
Ejemplo:
2222 2332 qppq
En este caso ordenamos la suma para que nos quede en el mismo orden
1 -2 -5 2 1 +1
+1 -1 -6 -4
1 -1 -6 -4 -3
x – 1 = 0
x = 1
22
que la diferencia.
22222222 232323 qpqpqp
2222 2332 qppq 44 49 qp
Cubo de un binomio (Suma)
Ejemplo:
De igual manera se hace con la diferencia al cubo.
Cubo de un binomio (diferencia)
Ejemplo:
23p 22q
2222 2323 qpqp
32 74 xyx
24x
xyx 74322
22 743 xyx
xy7
32yx
3222232 77437434 xyxyxxyxx
332456 34358833664 yxyxyxx
32 74 xyx
322322323 yyxyxx
3223 8126 yxyyxx
23
Cuadrado de un Polinomio.
Ejemplo 2:
23223 432 yxyyxx
323222
33232323222223
432422322
423222432
yxyyyxxyyx
yxxyxyxxyxyyxx
5423333245642246 2416128641694 xyyxyxyxyxyxyyxyxx
6553342246 16244202510 yxyyxyxyxyxx
Producto de binomios con términos en común.
Para facilitar la aplicación de la regla, lo haremos a través de un
esquemas
Ejemplo:
Factor común de un monomio:
yxaayax
Ejemplo:
1) xyx 84 2
Los coeficientes numéricos tienen como MCD a 4.
yxx 24
425 22 xx
425 22 xx
24
Factor común por agrupación de términos:
Ejemplo:
1) 22 735408 xzyzyx
22 735408 xzyzyx Agrupamos.
75758 2 zzxy Extraemos factor común.
7852 yzx Extraemos factor común por segunda vez, hasta llegar a
la factorización total.
Ejercicios propuestos.
En los siguientes ejercicios encierre la respuesta correcta justificando el
resultado.
1) Al operar (3a-2)-( ) se obtiene:
a) -3
b)
c) -2
d) -2 +6a+3
e) Ninguna de las anteriores
2) Al operar 2(a-3 )+3(5a-3), se obtiene:
a) -6
b) -6
c) -6
d) -15
e) Ninguna de las anteriores
3) operar -4y+6-(3 ) obtiene:
a)
b)
c)
d)
e) Ninguna de las anteriores
25
4) Al operar ( ) ( )
a) - +5x+10
b) - +5x-10
c) - +5x
d) - -5x
e) Ninguna de las anteriores
5) Al restar 3 se obtiene
a. 9 +7 -6x+1
b. -3 -3 +4x+3
c. 9 -7 +6x-1
d. -9 +7 -6x+1
e. Ninguna de las anteriores
6) Al operar 2x(x-3 ) ( ) se obtiene
a. -6 +17 -9x
b. -6 +13 -9x
c. -6 -17 +9x
d. -6 -13 +9x
e. Ninguna de las anteriores
7) Al operar (a-3)(a+2), se obtiene:
a) +5a-6
b) -a-6
c) -6a+5
d) +a-6
e) Ninguna de las anteriores
8) Al operar (2a-3)(3a+2), se obtiene:
a) -6
b) +5a-6
c) -5a+6
d) -5a-6
e) Ninguna de las anteriores
9) Al operar (y-5)(3a+2), se obtiene:
a) -6
b) +5a-6
c) +3a-2
26
d) -5a-6
e) Ninguna de las anteriores
10) Al operar (3a-1)(3a+2), se obtiene:
a) -6
b) +5a-6
c) +3a-2
d) -5a-6
e) Ninguna de las anteriores
11) Al multiplicar ( )( ) se obtiene
a)
b)
c)
d)
e) Ninguna de las anteriores
12) Al operar ( ) se obtiene:
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores
13) Al operar ( ) se obtiene
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores
14) Al operar ( ) se obtiene
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores
15) Al multiplicar ( ) es
a.
27
b.
c.
d. -
e. Ninguna de las anteriores
16) Al dividir entre a+1, se obtiene
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores
17) Al dividir entre x+1, se obtiene
como residuo
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores
18) Al dividir
x+2 por 2+3 el cociente y el residuo
respectivamente son:
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores
19) La factorización de 4 es:
a. ( )
b. (2x+9y)(2x+y)
c. (2x-9y)(2x-y)
d. ( )
e. Ninguna de las anteriores
28
Binomio de Newton.
Comúnmente sabemos cómo desarrollar los binomios 23 yx y 335 nm
ya que tenemos a mano una regla precisa. Pero ¿Qué sucede cuando se
nos presenta la situación 43 yx o bien 535 nm ? En este caso tenemos
que acudir al desarrollo de potencias de binomios de la forma nyx
conocido como binomio de Newton en honor a Sir Isaac Newton (1642-
1727) por haber establecido su generalización.
Número Combinatorio.
Dado un número natural n y un número nk ( 0k ó k natural) definimos
el “número combinatorio n, k” como:
!!
!
knk
n
k
nCkn
Ejemplo:
Este número es llamado número combinatorio.
Volviendo al tema del Binomio de Newton, decíamos que al pretender
desarrollar 4ba , lo podemos obtener multiplicando ba por si mismo 4
veces y si tuviésemos 5ba se procederá del mismo modo y así
sucesivamente, hasta tener nba = bababa ... n veces. Es obvio
el tedio que sería calcular 100ba , por ejemplo; por lo tanto se hace
necesario una fórmula que definimos a continuación:
0
nk
knknba
k
nba
15504
!15!.5
!15.16.17.18.19.20
!520!5
!20
5
20520
C
29
¿Cómo encontrar un término cualquiera del desarrollo nba ?
Usamos la ecuación 11
1 .
kkn
knk baCT
Por ejemplo, determinar el quinto término del desarrollo 623 2yx .
Tenemos que n = 6 por el exponente del binomio y k = 5 porque es el
término que nos piden encontrar, de lo que obtenemos:
4223
465 2. yxCT
86
5 16.4
6yxT
86
5 16.!46!4
!6yxT
86
5 16!2!.4
!6yxT
86
5 1615 yxT
86
5 240 yxT
Operaciones con Fracciones Algebraicas.
Simplificación.
Es el proceso de reducir a su forma mínima una fracción algebraica.
Decimos que una fracción está en su forma mínima cuando el numerador
y el denominador no tienen factor común diferente de 1 .
Para simplificar una fracción descomponemos en sus factores tanto el
numerador como el denominador y luego cancelamos los factores que sean
iguales y que estén simultáneamente en ambos.
Ejemplos:
Simplificar
2
3
15 3.5
25
a
a
2.a
5.5 2. a
3
5. aa
30
1)
2)
Adición y Sustracción.
La adición y sustracción de fracciones algebraicas siguen las reglas de la
adición y sustracción de fracciones con números reales.
Ejemplo:
Efectuar la siguiente sustracción de fracciones algebraicas y reducir la
respuesta a su mínima expresión.
xx
x
xx
x
3
5
9
2
96
322
Solución:
xx
x
xx
x
3
5
9
2
96
322
= 3
5
33
2
3
32
xxx
x
x
x
= 3
5
33
2
3
32
xxx
x
x
x
El mínimo común denominador es MCD = 332
xx . Entonces.
3
5
33
2
3
32
xxx
x
x
x=
33
33532332
xx
xxxxxx
=
33
956962
222
xx
xxxxx=
33
4556962
222
xx
xxxxx
= 33
4556962
222
xx
xxxxx =
33
30752
2
xx
xx
1
1
11
11
1
1 22
2
3
x
xx
xx
xxx
x
x
31
Multiplicación y División.
Se deduce la multiplicación y la división de fracciones algebraicas a partir
de las reglas de multiplicación y división de números reales.
Ejemplo:
1)
Ejercicios Propuestos.
I. Desarrolle.
a) 7232 yx
b) 5nm ba
En las potencias indicadas obtenga el término que se les pide.
a) El quinto término de 72 27m
b) Los dos términos centrales de 53 2yx
c) El término central de 102 abc
12
1
6
1
11
32
2
1
6
1
1
322
2
2
2
223
2
3
23
xx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
xx
x
xxx
11
12
23
1
11
13 2
2
x
xx
xxx
xx
xxx
xxx
32
d) El término que contiene a 4x de 5
2 1
xx
Efectué las operaciones indicadas.
a. y
xyx 3
2
33
2
b.
xx
x1
1
21
c.
d.
e)
11
1
x
x
x
xx
f)
g.
8
3
8
12
1
x
x
11
1
1
x
xx
x
x
x
x
1
11
11
11
x
y
y
x
yxyx22
22
9
2
3
1
3
22
y
y
yy
33
h.
Radicales
Raíz n-ésima de un número: se llama raíz n-ésima de un número a otro
número que elevado a la potencia n-ésima reproduce el primero.
Notación:
Raíz n-ésima de nn bbb1
El símbolo se llama radical, “n” es el índice y b el radicando. Ejemplo
si n = 2, se escribe b en lugar de 2 b .
Propiedades básicas de los radicales.
a) Raíz de un Producto: La raíz m-sima de un producto de las raíces m-
sima de los factores mmmm cxbxaabc
Ejemplo:
3 3323 333 633 336 32727 yxxyxxyxx
Igual podemos simplificar de manera directa.
b) Raíz de un Cociente: la raíz m-sima de un cociente es igual al cociente
de las raíces m-simas de sus términos.m
m
m
b
a
b
a
Ejemplo: ba
ab
ba
ba
ba
ba
2
2
422
2
42 4416
c) Potencia de una Raíz: para elevar una raíz a una potencia se eleva la
cantidad subradical a dicha potencia. n mm
n aa
34
Ejemplo:
1) 7 547 5747 1247 434
7 3 yxyyyxyxxyxy
d) Raíz de una Potencia: para extraer una raíz de una potencia cuyo
exponente es múltiplo del índice de la raíz, se divide dicho exponente por el índice de la raíz.
pm mp aa Siendo mmpp :
Ejemplo:
1) 34
124 12 222
e) Raíz de una raíz: Para extraer la raíz de una raíz se extrae la raíz que indica el producto de los índices.
nmm n aa
Radicales semejantes.
Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y la misma
cantidad sub-radical.
Ejemplo:
1) xx 8,3
Simplificar un radical es transformarlo en otros equivalentes de
expresión más sencilla, es decir los factores bajo el radical tiene
exponentes menor que el índice del radical; no hay fracciones bajo el
radical y el índice del radical es el menor posible.
Ejemplo:
Simplificar
35
a) 22222484 222222223 aababaabababa
Operaciones con radicales.
Adición y Sustracción de radicales.
Al sumar o restar radicales lo hacemos del mismo modo que lo hicimos
con polinomio, teniendo cuidado de reducir los radicales semejantes.
Ejemplo:
Sumar bb 25285
bb 25285 , eliminamos los paréntesis.
28255 bb , agrupar y reducir términos semejantes
234 b
Multiplicación de radicales.
Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican las cantidades
subradicales. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al
mismo índice.
Ejemplo:
Multiplicar:
a) 3 243 243 4 4523 cabacab
cbacbacbacba 23233 36933 369 302.15215815
División de radicales.
Para dividir radicales del mismo índice se dividen las cantidades
subradicales. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al
mismo índice.
36
Ejemplos:
1) 33 2223 xyzzyxxyz xyzxyz
zyx
xyz
xyz 1
3
3 222
3
3
Racionalización del denominador.
Ejemplo:
Racionalice el denominador de las siguientes expresiones.
a) 5
52
5
52
5
5.
5
2
5
2
2
El denominador es un binomio irracional:
Para racionalizar, se multiplican numeradores y denominadores por el
binomio conjugado del denominador.
Se llaman expresiones conjugadas dos expresiones que están formadas
una por la suma y otra por la diferencia de iguales términos.
Ejemplo:
La conjugada de ba es ba
La conjugada de 32 es 32
Ejemplo:
Racionalice el denominador de las siguientes expresiones.
37
Ejercicios propuestos
I) Efectué las siguientes operaciones indicadas.
a) 333 12825054
b) 2
43532 23
b
accca
ccab
c) 454
17
3
228
3
15
4
3
d) 205725382
e) 46 9272
II) Racionalice el denominador de:
a) 523
2
x
x
b) 2335
3223
c) 3 32
124
a) 24
2222224
22
1682224
22
22.
22
82
22
82 42
22
38
d) yx
xyyx
Ecuaciones Lineales en una variable.
Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos
expresiones, las cuales contienen números y variables.
Igualdad:
Expresiones que igualados cantidades con el mismo valor: cba
Ejemplo: 3
10
3
42
Ecuación:
Es una afirmación de que dos expresiones son iguales, en la que hay una o
más incógnitas y que solo se verifica para determinados valores.
Ejemplo:
1) 1725 x , es una ecuación con una incógnita con solución única, x = 3
Ecuaciones Lineales:
Ecuaciones Equivalentes:
Ejemplo: 012 x ; 2
112 xx
Solución o Raíces de la ecuación.
Ejercicio:
Definición 1: Una ecuación de la forma 0bax , 0a , donde a y b
son números reales, se llama Ecuación Lineal.
Definición: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma
solución.
39
Resuelva. 063 x
60663 x
603 x
63 x
63
13
3
1x 2x
La única solución de la ecuación original es 2.
Ecuaciones Lineales con una variable real.
Una ecuación de la forma 0bax , donde ba, ; a 0 recibe el nombre
de ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo:
Resuelva: 6572 xx
Solución:
765772 xx
13502 xx
xxxx 513552
0133 x
3
1133
3
1x
Ejemplo:
Resuelva xxxx 4
2
4
112
3
13x
40
Solución: Para eliminar los denominadores, multiplicamos a ambos
miembros por el m.c.m de los denominadores de las fracciones en la
ecuación.
m.c.m x , 4x , xx 42
x , 4x , 4xx
4 xx
44
2
4
114
xx
xxxxxx
24
14
14
xxx
xxx
24 xx
422 x
62 x
2
6x
Ejercicios Propuestos.
I. Encuentre la solución de la ecuación dada.
a) xxxx 154
b) 1262363 2 xxxxx
c) 18
7
8
3x
d)
4
1
32
3
2
3
3
1 uuuu
3x
41
e) xxx 32.05.05.3
f) xx 82
12
g) xxxx 262 23
h) 288
3
24
5
12
32
xxxx
i) xx
xx
296
j) 1
53
3
1
xxx
k) 42
14
83
78
x
x
x
x
Resuelve los siguientes problemas
1. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el
segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
2. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el
orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número.
3. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.
42
4. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados
sea 193 y la diferencia sea 95.
5. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco córdobas y otras de un córdoba. ¿Puedo tener en total 78 córdobas?
Ecuaciones Cuadráticas.
Una ecuación cuadrática es una ecuación del tipo 02 cbxax con 0a
y cba ,, .
Método de Factorización.
Anteriormente estudiamos los diferentes casos de Factorización pues aquí
es donde aplicamos el caso que contiene un trinomio de la forma
cbxax 2 .
Ejemplo:
Resuelva 0352 2 xx
Solución:
Aplicamos el método de factorización para obtener una ecuación
equivalente:
02
)3(25)2(2 2
xx
02
652 22
xx
0
2
1262
xx
0
2
1232
xx
0123 xx
Si aplicamos la multiplicación por cero:
43
03 x ó 012 x
Las soluciones de las ecuaciones lineales son:
3x y 2
1x
Estas son las raíces de la ecuación cuadrática y se puede verificar
sustituyendo en la ecuación original.
Por medio de la Fórmula General.
Fórmula cuadrática.
La naturaleza de las raíces está determinada por el radicando acb 42 , al
cual se le llama discriminante.
Ejemplo:
Resuelva 0423 2 xx
Solución:
De la fórmula cuadrática con 3a , 2b , 4c , tenemos:
32
434222
x
6
4842 x
6
522 x
6
1322 x
)3(2
)131(2 x
Si 0a , entonces las raíces de 02 cbxax están dadas por a
acbbx
2
42
44
3
131x
Las soluciones son:
3
131,
3
131
Ejercicios propuestos.
I) Resuelva
a) 0162 x
b) uu 84 2
c) 8152 2 dd
d) 12211 2 vv
e) AA 123 2
f) 0422 yy
g) 03218 24 xx
h) 0254 35 gg
i) 0813 xx
Ecuaciones Reducibles a la Forma Cuadrática
Consideramos ahora dos tipos de ecuaciones que se pueden resolver
reduciendo o transformándolas a la forma cuadrática.
Ecuaciones que implican exponentes radicales o ecuaciones irracionales.
Ecuaciones que implican exponentes racionales.
Ecuaciones que implican radicales. Ejemplo:
Resolver una ecuación que implica un radical como 2 xx
45
Se puede eliminar el radical, elevando ambos miembros al cuadrado, así:
22 2 xx
22 xx
Con lo que obtenemos una ecuación cuadrática y la reescribimos.
022 xx
Es entonces que procedemos a resolver por factorización o fórmula
general.
022 xx
012 xx
0102 xx
12 xx
Solución: 2,1
Ecuaciones que implican exponentes racionales.
Ejemplo:
Resolver la ecuación: 0631
32
xx
Solución:
Reescribimos la ecuación de la forma:
0631
2
31
xx , de esta forma obtenemos una ecuación cuadrática.
a) solución directa
0631
2
31
xx
023 31
31
xx
46
331
x ó 231
x , elevando al cubo ambos lados.
33
31
3
x ó 3
3
31
2
x
27x ó 8x Conjunto solución 27,8
Ejercicios Propuestos.
1) 353 x
2) xx 243
3) 5
73
73
58
x
x
x
x
4) 082127 3 xx
5) 3802 34 xxx
6) 433324 xx
7) 4
12
2
12
x
x
x
8) 312
2
a
a
aa
Desigualdades o Inecuaciones Lineales y Cuadrática.
Desigualdades Lineales.
Ejemplo:
Resuelva xx 51648
Solución:
4516448 xx , restando 4 a ambos lados.
xxxx 551258 , restando 5x a ambos lados.
47
123 x
3
1123
3
1x , multiplicando por
3
1 a ambos lados
4x
En el ejemplo anterior, la solución escrita en forma de intervalo y gráfica
seria respectivamente.
4x 4,
Ejemplo:
Resuelve 2
53
2
1 x
Solución:
2
1
2
53
2
1
2
1 x
3
123
3
1x
3
2x Solución:
,
3
2
Desigualdades Cuadráticas.
Ejemplo:
Resuelva 2310 xx
Solución: Escribimos todos los términos distintos de cero al mismo lado.
003 2 xx
2
43 x
23 x
0
3
2
4 0
48
Factorizando
0
3
5363
xx
0532 xx
Los números críticos son:
02 x
2x
053 x
3
5x
Solución:
3
5,2x ,
Desigualdades Radicales y no Racionales.
Son proposiciones que representan el coeficiente de dos polígonos )(
)(
xQ
xP ,
considerando las raíces del denominador no forman parte del conjunto
solución.
Ejemplo:
2)
02
1
x
xx
Solución:
Como todos los términos diferentes de cero están a un lado de la
desigualdad; entonces procedemos a elaborar la tabla de los signos.
Puntos críticos:
De aquí obtenemos que la solución está dada por 1,02,
3
5 -2
49
Desigualdades Polinómicas de grado “n”
Se puede usar los métodos desarrollados para las desigualdades
cuadráticas y racionales, para resolver desigualdades polinómicas de “n”
grados y racionales de naturaleza más general.
La mayoría de las aplicaciones importantes de la matemática implican más
el uso de desigualdades que de igualdades; pues en el mundo real pocas
cosas son exactas.
Ejemplos:
Resuelva: 4
1
2
3
xx
04
1
2
3
xx
042
2143
xx
xx
0
42
2123
xx
xx
0
42
104
xx
x
Puntos críticos: 4,2,2
5 xxx
Solución: ,25.2,4
0 1 -2
-4 2
5 2
50
Ejercicios Propuestos.
Resuelva las siguientes desigualdades, exprese las soluciones en notación de intervalo y trace la gráfica.
1) 032 x
2) 1332 xx
3) 236 x
4) 2370 x
5) 51122 xx
6) 2323 xxxx
7) 2424
312 x
8) 215
2715 x
9) 01522 xx
10) 03
23
x
x
Valor Absoluto en Ecuaciones Lineales y Desigualdades.
La relación entre el Álgebra y la Geometría, una herramienta importante
cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades que implican valor
absoluto. Recuerde que anteriormente definimos que x representa la
distancia a lo largo de la recta numérica desde x hasta el origen.
51
Por ejemplo el enunciado algebraico.
21 x
Ejemplos:
Resuelva y escriba la solución en notación de desigualdad y de intervalo
donde corresponda.
1) 1082 x
1082 x ó 1082 x
8102 x 8102 x
182 x 22 x
2
18x
2
2x
9x 1x
Solución: 9,1
Ejercicios propuestos.
Resuelve las siguientes ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
a. xx 251
b. 0126 x
c.
d.
624 xx
945 x
52
e. 4
232
x
x
x
x
f. 023 22 xxx
III UNIDAD “GEOMETRÍA EUCLIDIANA”
Contenidos a desarrollar
Conceptos Básicos (Punto, recta, plano, espacio)
Ángulos Paralelismo Relaciones y Proporciones
Perpendicularidad Clasificación de los triángulos
Recta y puntos notables Razones Proporciones
Congruencia de triángulos. Cuadriláteros. Polígonos regulares.
Circunferencia y círculo. Cuerpos sólidos.
Ejemplos:
1) En la figura a partir de la información dada, determine el valor x:
405/2 xº
Solución. De la figura
deducimos que los ángulos
indicados forman un par lineal,
y por tanto son suplementarios,
luego:
5/2 xº + 40 º = 180
5/2 xº = 180 - 40 º
x = (140) 2/5
53
2) Sean
m 1 ||
m 2 y
m 3 es una secantes a
m 1 y
m 2. Determine los
valores de X e Y, dada la información en la figura.
3) En la figura
m 1 ||
m 2. A partir de la información dada determine el
valor de x.
x = 56º
m1
m2 Y + 18
2x
m3
3x - 40
Solución
Con la información dada los ángulos 2x y
3x – 40 son alternos internos por lo que
son congruentes, de donde tenemos:
2x = 3x – 40
2x – 3x = - 40
(- x = - 40) (-1)
x = 40
xº
m2.
m1
xº
60º 110º
m2.
m1
xº
60º 60º
Solución
Si trazamos una línea auxiliar
paralela a las rectas dadas que
pase por el vértice del ángulo que
mide 110°, se forman ángulos
alternos – internos entre paralelas
con los ángulos que miden 60° y x°,
luego se tiene:
x + 60° = 110°
x = 110° - 60°
x = 50°
54
Ejercicios sobre Ángulos.
1) A partir de la información dada en la
figura encuentre el valor de X.
2) Si A, B y C son colineales, BD AC .
Hallar el valor de x.
3)- En las figuras, los rayos, segmentos y rectas paralelas se representan
colocándoles puntas de flecha en el mismo sentido .En cada uno
determine el valor del ángulo indicado.
a)
c)
e)
b)
d)
f)
55
Triángulos
Ejemplos
1-Encuentre la media proporcional entre 9 y 16
Solución:
De acuerdo a la definición, se pide el valor de X, tal que
12144
144
169
,16
9
2
2
XX
X
X
luegox
x
2- Encuentre la tercera proporcional entre 4 y 6
Solución:
De acuerdo a la definición, se pide el valor de X, tal que
9
4
36
664
6
6
4
x
x
x
x
3- Si un triángulo tiene un perímetro de 84cm y sus lados son
proporcionales a los números 5,7 y 9, encuentre las longitudes de dichos
lados.
Solución:
56
Sea a, b y c. Las longitudes de los lados del triángulo, luego c
Por las propiedades de las proporciones se tiene 975975
cbacba
Pero el perímetro es P= a + b + c = 84, luego 421
84
975
cba
Por tanto a = (5) (4) = 20cm
b = (7) (4) = 28cm
c = (9) (4) = 36cm
Teorema sobre proporcionalidad y semejanza de triángulo.
Teorema.
Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los
otros lados quedan divididos en segmentos proporcionales.
v
u
y
xBCDE ________
Ejercicios:
1- Si P representa el perímetro de un triángulo, determine las longitudes
de sus lados si:
a) p = 75 y sus lados proporcionales a 3, 5 y 7
A
‘’
B
‘’
C
‘’
D
‘’
E
‘’
X
‘’
U
‘’ V
‘’
Y
‘’
57
b) p = 90 y sus lados proporcionales a 2, 3 y 4
2- Teniendo como referencia la rotulación en el triángulo dado y la información que se brinda a continuación, calcule los elementos
restantes.
a) x = 9 b) a = 5, b = 3 c) a = 10, c = 8 d) b = 4,c = 3 e) a = 32,c = 12
Ejercicios sobre semejanzas
1. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la
distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED?
a) 1 m b) 9 m c) 6 m d) 3 m e) 30 m
2. En la figura 1 ||
m 2. A partir de la información dada determine el
valor de x
a) 50º b) 60º c) 110º d) 55º e) 70º
a
c b h
x y D B C
A
m
m
58
Clasificación de los Cuadriláteros.
Ejemplos
1- La figura representa un trapecio isósceles
con _____
CDIIAB .S :AC=BD=13.CD=12 y AB=22,
determine su área.
Solución:
Por ser un trapecio isósceles EF=CD=12, luego
AE=FB= 52
1222
2
EFAB
Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos
h= 1214425169513 22
Por tanto el área buscada es
A= 220412
2
1222Ux
m
59
3- El lado de cada cuadro mide 1.La estrella de la figura se forma uniendo
vértices de los cuadrados con los puntos medios de los lados opuestos
¿Cuál es el área de la estrella?
Solución:
Toda la figura es un cuadrado, por lo que encontramos su área.
222 42 uA Observemos que las partes no sombreadas son triángulos
rectángulos, en total son 8, así que
225.02
5.01
2
.u
hbA Área no
sombreada=8 2225.08 uA
Luego para obtener el área de la estrella, restamos el área de todo el
cuadrado menos el área no sombreada.
A - Ans = 4 222 22 uuu
Polígonos Regulares
Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden
inscribirse y circunscribirse en una circunferencia.
EL hexágono está
circunscrito a la
circunferencia
El octágono está
inscrito en la
circunferencia
60
4
222 ra p
La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita en el polígono.
En general, si R es el radio de un polígono regular, la apotema y la
longitud de los lados.
Áreas y perímetros de polígonos regulares.
Si n es el número de lados, a la longitud de cada lado y pa la apotema, se
tiene:
Ejemplo
(1) El perímetro de un decágono regular es 24.72 y su apotema 3.8 ¿Cuál
es el radio de la circunferencia circunstancia? Determine el área de la
región poligonal correspondiente (Redondee su respuesta)
Solución
Datos P = 24.72, 8.3pa n = 10 472.210
72.24
n
pa
Se tiene R = 42
472.28.3
2
12
2
2
2
pa
4
222 apR
2242
1 Rap
Perímetro: p = n.a
Área: A = pp apaan .
2
1..
2
1
478.372.242
1
2
1 PapA
61
Ejercicios.
2
4. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en
su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud
de la curva?
En la figura, los círculos son tangentes y tienen
radio igual a 10. Si se unen los centros de los
círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área
de la región sombreada?
A B C
Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos
centros están sobre un diámetro del círculo que
se muestra en la figura.
Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de
la región sombreada y el área de la región no
sombreada es:
3
62
5. el área de un rectángulo es 5,586.2m2 y su perímetro es 365m. Calcular
sus dimensiones.
6. calcular los lados de un rectángulo, sabiendo que si se agregan 3 m a
su base y se quita otro tanto a la altura, el área no se altera; pero si se
agrega 5 m a su base y se quita 3m a su altura, el área aumente 16 m2.
7. un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado
mide 1.8m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11m,
hallar la altura del árbol. (12.22).
8. una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su
sombra mide 1.5m, entonces si el árbol mide 36m, ¿Cuánto mide su
sombra? (18m)
9. un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo
en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio
pueda verse en el espejo ¿Qué altura tiene un edificio si una persona
cuyos ojos están a 1.5m del piso observa la parte superior del edificio
cuando el espejo está a 120m del edificio y la persona está a 6m del
espejo? (30m)
10. en un jardín de forma cuadrada de 48.60m de lado se desea construir
un estanque circular 15 veces menor que el jardín ¿Qué ha de ser su
diámetro?
11. una puerta está formada de una parte rectangular y un semicírculo. El
ancho es de 1.60m y la altura total 3m. ¿Cuál es el área de la superficie?
3m
1.6m
63
Circunferencias y polígonos
Ejemplos
1. En la figura O representa el centro de la circunferencia si m < A0C=20º, determine los valores de yX , .
2- En la figura de la izquierda, determine valor de si m
9030 CDymAB
Solución:
º30º602
1,
2
1)
º60º120º180º180)
º120)
BCperoMBCmc
ADCb
AOCMACmxa
Solución:
Por ser un ángulo interno tenemos
º602
º30º90
30º 90º
D
C A
B
o A B
C X
64
Ejercicios Propuestos
1) Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, 50Am y
70Bm se trazan tangentes a la circunferencia por A, B y C de forman
que forman el triángulo circunscrito a A' B' C'.
2) A partir de la figura y la información dada, encuentre el valor indicado
A
B a) AC = 16, PB = 6, PD = 8. Hallar AP y PC.
b) AP = 3, PC = 5, PD = 4. Hallar PB.
c) PC = 2PA, FD 0 4, y BD = 12. Hallar AC.
D C d) BD = 15, PB = 6 y PB = 3PA. Hallar PC.
3) a) PA = AD, PB = 4, BC = 7. Hallar PD. D A
b) PD = 6, PA = 2 y PC = 5. Hallar PB.
c) PD = 7, AD = 4 y BC = 5. Hallar PB. P d) PA = 8, AD =12 y BC = 10. Hallar PC. C B
e) PD = 12, PA = 4, PC = 10. Hallar PB.
Área de un círculo.
P
N K
T
Q
R
S
M
65
El área de un círculo, es el límite de las áreas de los polígonos regulares
inscritos en la circunferencia correspondiente. Puede probarse que el área de u circulo de radio r o diámetro d está dada por:
Regiones Circulares
Sector Circular: es la sección de un círculo limitada por dos radios y el arco
correspondiente rsr
A2
1
º360
2
rA2
1 ( en radianes)
1) Segmento Circular: es la sección del círculo limitada por una curda
y el arco correspondiente.
El área de un segmento Circular puede calcularse mediante la diferencia entre
el área del sector circular correspondiente y el triángulo formado por lados
radios y la cuerda que une los extremos del arco.
Para calcular el área del triángulo generalmente hay que hacer uso de la
trigonometría, salvo los casos de triángulos con ángulos de 30º, 45º, 60º, 90º o múltiplos de
ellos.
Tenemos yrh
2tan2
22
42
1
2cot
2
1
2cos 22
yrsenx
xrxry
Si se mide en radianes, el área del segmento circular esta dada por
xyrssenrA 2
1
2
1 2
Corona Circular: es la sección de un plano limitado por dos
circunferencias concéntricas. El área puede obtenerse como la
diferencia entre las áreas del círculo exterior y el círculo interior o
sea que 22 rRA
66
2) Trapecio Circular: es la sección de una corona circular,
limitada por dos radios.
El área es la diferencia entre las áreas de los sectores circulares
que los determinan.
Si hacemos rRh y si 1s y
2s son las longitudes de los arcos exterior e interior
respectivamente se tiene 21
2
1
2
1sshrRhA
Ejemplo:
1) ¿Cuál es el radio de la circunferencia cuya longitud es ?
Solución:
Como CrC 2
r2
2
112 rr
2) la longitud de la circunferencia correspondiente a un círculo y el perímetro de un
cuadrado son 20cm cada uno ¿Cuál tendrá mayor área?
Solución:
Tenemos
10
2
20202 rrC
2
2
2
2 83.3110010010
cmrAO
54
202044 llllP
222 255 cmAAlA
El círculo tiene mayor área.
22 rRA o 22
2
1rRA , en radianes.
67
3) si O es el centro de la circunferencia de la figura, 6r y º60 AOBm
determine el área de la región sombreada y la longitud del área AB.
Solución:
Tenemos que para un sector circular rsr
A2
1
º360
2
y
º180
rs
6
º360
º6062
A ,
2º180
º606s
Ejercicios Propuestos.
1.
O
A
B
C
Si es un diámetro de la circunferencia y
su longitud es , encuentre el área del
ABC.
2.
Si el área del sector circular
OAB mide 31.5 cm2 y la
longitud del arco AB es 3 cm,
encuentre el radio del círculo. O
A
B
3.
B
A O
Encuentre el área de la corona
circular si
a) OA = 6 y AB = 2
b) OB = 6 y AB = 2
c) OB = 6 y OA = 2
68
4.
6.
Cuerpos Sólidos.
Volúmenes y áreas de prismas
En general el volumen de un prisma está dado por donde Ab es el área de la base y h es la altura del prisma.
Las áreas laterales y totales dependen del tipo de prisma. No hay una fórmula general, sin embargo no hay que olvidar que las bases
son regiones poligonales y las caras laterales son regiones paralelográmicas.
Para un Prisma Recto.
En la figura, cada pétalo es formado al trazar arcos cuyo centro está
en la circunferencia y que pasan por el centro de la misma. Si el radio
de la circunferencia es 1’’, encuentre el área de los seis pétalos.
1 2 1 1 2 1 1
2
2
Determine el área cubierta por las
tres letras de la figura
5.
En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10.
Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
V = Ab∙h
AL = P.a = P.h, AT = P.a + 2Ab
69
Donde AL: Área lateral, AT: Área total, P: Perímetro de la base, a = h:
Longitud de la arista lateral o altura.
Para un paralelepípedo regular, si a, b y c representa el largo, ancho y alto tenemos:
Volumen: abcV
Área Total: acbcabAT .2
La diagonal está dada por: 222 cbad
En particular para el cubo de lado a, se tiene:
Volumen: 3aV
Área Total: 26aAT
La diagonal está dada por: ad 3
Ejemplos:
1) Dado un cubo cuya diagonal mide 316 , determine su volumen y su
área total. Solución:
Tenemos que para un cubo ad 3
Entonces la longitud del lado es 163
316
3
ba
Su volumen está dado por 3aV 33 096,416 uV
Su área total está dada por 26aAT 22
536,1166 uAT
Pirámides.
Una pirámide es un sólido que se caracteriza por tener una base poligonal
y sus caras son regiones triangulares que tiene un vértice en común V.
d c
b
a
70
La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice V al plano de la
base.
Las pirámides se clasifican de acuerdo al tipo de base. Así tenemos pirámides triangulares, si su base es un triángulo, pirámides cuadradas, si
su base es un cuadrado; etc. También se clasifican en regulares y no regulares.
Pirámide Regular. Es una pirámide cuya base es un polígono regular u el pie de la
perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es el centro de la base.
Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. A las alturas de dicho triangulo se le llama apotema de la pirámide
Sección transversal.
Similar en los prismas, una sección transversal de una pirámide es la intersección no vacía con un plano paralelo al plano que contiene a la
base. Toda sección transversal de una pirámide es semejante a la base.
Si h es la altura de la pirámide y k es la distancia del vértice a la sección transversa, y si A es el área de la base y A’ el área de la sección transversal,
entonces:
2'
h
k
A
A
h
k
71
Además, si la base de la pirámide es un polígono regular y l y l’ son las longitudes de los lados de la base y la sección transversal respectivamente,
entonces h
k
l
l
'
Principio de Cavalier. Dados dos cuerpos sólidos y un plano, supongamos que todo plano
paralelo al plano dado que interseca a cada uno de los dos cuerpos, interseca también al otro y las secciones transversales tienen igual área,
entonces los cuerpos tienen el mismo volumen. Basados en este principio se obtienen las fórmulas para el volumen de
diversos cuerpos sólidos: Pirámides, conos, esferas, etc. Volumen de una Pirámide:
alturah
baseladeareaA
hAV
b
b
.3
1
Áreas: únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares:
lateralescaraslasdeapotemaa
baseladeperímetrop
donde
APaA
aPA
PT
L
:
2
1
.2
1
Pirámide Truncada o Tronco de Pirámide.
Es el sólido que resulta cuando una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Si AB es el área de la base de la pirámide original, Ab el
72
área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco
de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene.
Si consideramos la pirámide “original” y la pirámide que “quitamos” para formar un tronco de pirámide, se obtiene la siguiente relación.
Si H es la altura de la pirámide original k es la
distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de pirámide, entonces si V
es el volumen de la pirámide original y V’ el
volumen de la pirámide que se quita 3
'
H
k
V
V
El volumen de la pirámide truncada es la diferencia V-V’
Ejemplos:
1) Determine el volumen de una pirámide de base triangular regular si su altura es 20cm y la arista de la base mide 15cm.
Solución:
Tenemos que hAV b.3
1
Por ser la base un triángulo equilátero se tiene.
222 43.97154
3
4
3cmlAb
Luego 352.6492043.973
1cmV
baseslasdeperímetroslossonPyPdonde
AAaPPATotalArea
aPPALateralArea
AAAAhVVolumen
bBT
L
bBbB
'
'2
1:
'2
1:
3
1:
73
Cilindros y Conos Circulares
Volumen y Área de un Cilindro
*Para un Cilindro Circular de radio r y altura h tenemos:
Su área lateral es un rectángulo en el caso del cilindro circular recto o bien
un paralelogramo en el caso de un cilindro circular oblicuo, de base la longitud de la circunferencia y altura h. En ambos casos se tiene:
Volumen y Área del Cono
*Para los conos en general su volumen está dado por:
hrhAbV 2
3
1*
3
1
*Para un cono circular recto, su área lateral está formada por un sector
circular, cuyo radio es la generatriz del cono y la longitud del área corresponde a la circunferencia de su base. Luego:
BLTL AAArhgdondergA ,,, 22
Cono Truncado
Área Lateral rhAL 2
Área Total 2222 rrhAbAA LT
Volumen hrhAbV 2*
22
22
22
3
1
rRhg
rRAA
rRgA
RrrRhV
LT
L
74
Área y Volumen de una Esfera Se puede probar a partir del principio de Cavalier, que para una esfera de
radio R, su volumen V y el área de la superficie esférica está dado por:
Regiones Esféricas
*Cuando un plano secante corta a una esfera, se forman dos sólidos llamados segmentos esféricos de dos bases. Si consideramos la superficie esférica en lugar del sólido, cada parte recibe el nombre de casquete
esférico o zona de una base. Zona y segmento de una base
22
2
2
36
1
33
1
2
hahV
hhV
pRhS
*Si la esfera es cortada por dos planos secantes paralelos, la parte de la esfera limitada por dichos planos recibe el nombre de segmentos esféricos de dos bases. De manera similar se considera si consideramos la superficie
limitada por los planos recibe el nombre de zona de dos bases. Zona de segmentos de dos bases
222 336
1
2
hbahV
RhS
3
3
4RV y 24 RS
75
Ejercicios Propuestos.
1) El volumen de una caja es 6.48 dm3. su longitud es de 30cm, su
altura es igual a los 2/3 de su anchura. Calcular la superficie total. (22.32 dm2)
2) Dado un cubo cuya diagonal mide 316 , determinar su volumen y
su área total. (V=4096, AT=1536)
3) Calcular el volumen, el área lateral y el área total de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 12cm de radio
y 16cm de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 9cm de la base (2210.7 cm3, 609.66cm2, 1,148cm2)
4) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 10cm. Si sus bases
son triángulos equiláteros con área 239 cm . Determine la arista de
la base y el área lateral. (23 180,6,390 cmAcmlcmV L )
5) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 4cm, si sus bases
son hexágonos regulares y el área lateral es 144cm2. (374.12cm3)
6) Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son regiones trapezoides, si las aristas paralelas de las bases miden 4 y 9 y las no paralelas 5 y 6. la altura del prisma es 12 y las no paralelas 5 y
6. la altura del prisma es 12. (374.4u3) 7) Las bases del prisma de la figura son triángulos equiláteros y sus
caras son regiones rectangulares. Si la longitud de una arista de la base es 6 y la altura del prisma es 10, calcule el volumen del prisma
y la superficie total. (V=155.88, AT=211.18)
8) La altura de un cono es de 5cm. Un plano paralelo a la base lo interseca a 2cm de la misma formando un cono pequeño en la parte
76
superior. Si el volumen del cono pequeño es 24cm3, halle el
volumen del cono original. (V=111.11cm3)
UNIDAD IV “FUNCIONES Y GRÁFICAS”
Contenidos a desarrollar
Función. Definición, dominio y rango.
Graficas de funciones algebraicas.
Funciones exponenciales.
Funciones logarítmicas.
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométrica en un triángulo rectángulo
Resolución de triángulos oblicuángulos
Ecuaciones trigonométricas
Evaluación de funciones
Ejemplo:
Dadas las siguientes funciones:
3
15
xxf 2316 xxxg 225 xxh
Encuentre:
a) 6f
b) 7g
c) 10h
d) 340 hgf
e) 1af
f)
a
afaf 1
77
Función compuesta Un símbolo de función especial se usa frecuentemente para representar a
la función compuesta de dos funciones, las cuales en términos generales
de la siguientes manera.
Ejemplo:
1) Encuentre xfog y xgof y su dominio para 10xxf y 13 4 xxg
Solución:
1044 1313 xxfxgfxfog
1313 4041010 xxxgxfgxgof
Función inversa:
Ejemplo:
Determine la función inversa de 13 xxf , asumiendo que xf es
biyectiva, verifique.
Solución:
Despejamos x en función de y, luego intercambiar las variables.
3
13113
yxxyxy
Definición:
Dadas dos funciones f y g entonces fog se llama compuesta y se define
por la ecuación:
El conjunto de fog es el conjunto de todos los números reales x en el
dominio de g donde g(x) está en el dominio de f.
xgfxfog
78
3
11 y
yfx , intercambiamos variables 3
11 x
xf
I. Dadas las siguientes funciones
53 xxf
423 2 mmmF
ttg 4
2uuuG
Evalúe como se le indica:
1. 1f
2. 2G
3. 31 fF
4. 122 GF
5. 3
2.0
F
gf
6. 6g
7. 3F
8. 32 gG
9. 1223 FG
10.
12.4
G
fg
II. Dadas las siguientes funciones, determine su dominio y bosqueje su gráfica.
1) 83 xxf , dom
79
2) 2 xxh , 2x
3) x
xxs
4
32, 4
4) 82
922
2
xx
xxxn , 4,2
5) 24 xxF , 22 x
6) 112 xxg ,
7) xxk 4 , 4x
III. Las siguientes funciones son uno a uno halle f —1
1. xxf 3
2. 34 xxf
3. 5
3
10
1 xxf
4. 1
2
xxf
5. 2
x
xxf
IV. Para las funciones indicadas f y g encuentre las funciones fog y gof y
su dominio.
1) 3xxf 12 xxxg
2) 2xxf 423 xxxg
3) 31
xxf 42 3 xxg
80
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Al operar con funciones exponenciales son válidas las leyes algebraicas
relacionadas con exponentes.
a) yxyx aaa .
b) XXXbaab
c) yx
Y
X
aa
a
d) xyyx aa
e)
f) x
x
aa
1
Ejercicios Propuestos
a) Sobre funciones logarítmicas:
1. Cambie a la forma logarítmica
1.1- 000,100105
1.2- 81
13 4
x
xx
b
a
b
a
81
1.3- pe 7
2. Cambie a la forma exponencial
2.1- 532log2
2.2- 52log3 x
2.3- 43log2 xm
3. Encontrar x, y, o b según corresponda:
3.1- 2log 2 x
3.2 y16log 4
3.3 216log b
3.4 y
7
1log49
3.5 2
1log25 x
4- Escriba en términos de formas logarítmicas más simples, usando las propiedades de los logaritmos.
4.1- vw
ualog
4.2- uvwblog
4.3- 25log wb
82
4.4- 5log Mb
5.5- 4
32
logz
yxb
Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas:
¿Cómo resolver una ecuación exponencial?
Ejemplos: Resolver
a) 52 23 x
5log2log 23 x, aplicamos logaritmos a ambos lados (3x+2)log2 = log5,
aplicamos la propiedadxPx a
P
a loglog ,
2log
5log23 x , iniciamos a despejar x
3
22log
5log
x
x = 1.4406
b) 213 x
21log3log x
21log3log x
7712.23log
21logx
Si aplicamos ln, ¿El resultado es el mismo?, veamos
21ln3ln x
83
21ln3ln x
3ln
21lnx
7712.2x
Analicemos un caso en que hay variables a ambos miembros
1254 xx
125log4log xx
5log124log xx
5log5log24log xx
5log5log24log xx
5log5log24log x
8782.0
3978.16020.0
6989.0
6989.026020.0
6989.0
5log24log
5log
x
Ecuaciones Logarítmicas
Ejemplos:
a) Resolver la ecuación 3log1log xx
Solución 1log)3log( xx
13log xx
xx 3101
01032 xx
84
025 xx
5
05
x
x y 2
02
x
x verificar si satisfacen la ecuación
1log)3log( xx
1)5log()35log(
1)5log()3log( , de hecho no la satisface ya que el dominio de la función
logarítmica es ,0
12log)32log(
12log5log
12*5log
110log
1 = 1
Ejercicios Propuestos
Resuelva las siguientes ecuaciones
a) 02552652
xx
b) 3437 12 x
c) 3282
2 xx
d) x
x
2193
1
e) 23log15log xx
f) 244log 2 xx
g) 02
4log
3
1
x
x
85
h) 13loglog xx
i) 3100log9log xx
Funciones Trigonométricas
Ejercicios Propuestos
Aplicaciones de las leyes de los senos y cosenos
Resuelva aplicando las leyes de los senos y cosenos.
1. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una
distancia uno del otro de 1.5 Km. en los puntos A y B, y divisan un bote que se está hundiendo situado en el punto C. Si el salvavidas en A mide un ángulo CBA igual a 43.6º. ¿A qué distancia está el bote
de cada salvavidas? ¿A qué distancia está el bote de la costa? R/ 1.76 Km. de A 1.23 Km. de B.
2. Dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. Otro punto C se localiza en el mismo lado que B a una distancia de
250 m de B. Si el ángulo ABC es de 110º y el ángulo ACB es de 18º; encuentre la distancia a lo largo del río entre A y B R/ 98.04m
3. Por una carretera recta transita un vehículo rumbo norte a 80 Km/h. En cierto momento desde el vehículo se observan las luces
de un pueblo situado a N 20º W. Una hora más tarde estas luces se encuentran a S 59º W desde el vehículo, Si se construye la carretera de menor longitud desde el pueblo a la carretera por la que transita
el vehículo, ¿Cuál será su longitud? R/ 23.9 Km
4. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se encuentran a un
ángulo de 35º10` y tienen longitudes de 3 y 8 pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo (con tres dígitos
significativos)? R/ 5.81 pies.
Ecuaciones Trigonométricas
86
Son aquellas que contienen expresiones trigonométricas. Las soluciones
de ecuaciones trigonométricas se encuentran mediante técnicas
semejantes a las que se usan en álgebra despejando a senx, cos , etc. de
la ecuación trigonométrica y a continuación se determinan los valores de x
o que satisfagan la ecuación, pudiendo expresarlos como números reales
o como ángulos.
Ejemplo
Encuentre las soluciones exactas de:
1) 0coscos2 2 xx exprese x en términos de π
01cos2cos xx factorizar
cosx = 0 y 2cosx-1 = 0 igualar cada factor a cero.
0cos x y 2
1cos x
Busquemos cuales son los valores de las variables:
0cos x y 2
1cos x
23,
2
x y
35,
3
x
de manera general
x =
k
k
k
k
23
5
22
3
22
23
donde k es cualquier constante
87
Ejercicios Propuestos
Resuelva con exactitud para la variable indicada en el intervalo que se
especifica.
a) 132 2 senxxsen 2,0
b) 03cos4 2 x 2,0
c) 03cot 2 x 2,0
d) senxxsenx 2tan 2,0
e) 01tan º360,0
f) 12
cos21
x 2,0
g) 03tan x 2,0
h) 656 2 senxxsen º90,0
i) 0cos2cos º360,º0
j) senxx 2tan 2,0
k) 1cos senxx 2,0
l) 03cos2 2 sen 2,0
88
UNIDAD V “GEOMETRÍA ANALÍTICA”
Contenidos a desarrollar
Distancia entre dos puntos
Punto medio
Ángulo entre dos rectas
Paralelismo
Perpendicularidad
Ecuaciones de la recta
Distancia de un punto a una recta
Distancia entre rectas paralelas
Intersección entre rectas
Ejercicios
1. Hallar el perímetro y el área del cuadrilátero cuyos vértices son:-3, -1),
(0, 3), (3, 4), y (4, -1) R: P = 20, A = 22 2U
2. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), y (2, -1) son colineales, es
decir, que están sobre una misma línea recta.
3. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2), y
(3, -4). R: 5 2U
4. Determine si el triángulo dado por las coordenadas de sus vértices, es
isósceles, equilátero, o escaleno.
a) A (1, 2), B(3, 4), C(2, 7)
b) D(-2, 0), E(2, 0), F(0, 2 3 )
89
c) P(-1, -3), Q(6, 1), R(2, -5)
5. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y (4, 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. R: -2, 1/5, 7/2
6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. R: 5
7. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los puntos (2, -1) y (7, 3). R: 4x -5y -13
= 0
8. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por
los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por los puntos (3, 9) y A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. R: -8
9. Una recta
1l pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6) y otra recta
2l pasa por el
punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del
punto A, sabiendo que
1l es perpendicular a
2l . R: 1
10. Verificar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos. R: 4133 ’, 56 19’
11. Halle la distancia desde el punto medio del segmento que une A (-2, -10) y B (4, 6) hasta el punto medio del segmento que une C (3, 5) y
D (-1, 3). R: 6
12. Encuentre la distancia desde el punto (2, 3) hasta la recta 3x-4y+0 = 0.
R: 4/5
13. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D (8, 0).
Hallar las ecuaciones de sus lados. R: 2x –y = 0, 3x -4y +10 = 0, 7x +2y – 56, y = 0
14. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x +y -8 = 0 y 3x -2y +9 = 0. R: 4x + y
-10 = 0
90
15. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A (-3, 2) y B (1, 6). R: x + y – 3 = 0
16. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. R: 6x + 5y -82 = 0
17. Sea el triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 7) y c(6, -3), hallar:
a) Ecuación de la recta que pasa por A paralela a BC . R: 5x + y + 9 = 0
b) Ecuaciones de las medianas y su punto de intersección. R: (8/3, 5/3)
18. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y que
forman cada una un ángulo de 45 con la recta 2x – 3y + 7 = 0.
R: 5x – y – 11 = 0, x + 5y + 3 = 0
19. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3x – 4y + 8 = 0 y 6x – 8y + 9 = 0. R: 7
SECCIONES CÓNICAS
Ejercicios
1. Determine el centro y el radio de las siguientes circunferencias
a) 86522 yx b) 22554
22 yx
c) 818322 yx d) 14453
22 yx
R/ a) C (-5, 6), r = 22 b) C (-4, 5), r = 15 c) C (-3, -8), r = 9 d) C (3,
5), r = 12
2. Encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones.
a) C (3, 5), r = 6 b) C (-6, 4), r = 3
c) C (2, -1), pasa por (4, 0) d) C (3, -2) y es tangente al eje x
91
R/ a) x2 + y2 – 6x +10y – 2 = 0 b) x2 + y2 +12x -8y + 43 = 0
c) x2 + y2 – 4x + 2y = 0 d) 42322 yx
3. Determine los puntos donde la circunferencia con ecuación x2 + y2 –
6x – 7 = 0 corta al eje x.
R/ (7, 0), (-1, 0)
4. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y -24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0.
R/ 253622 yx
5. Para la parábola cuya ecuación se da, encontrar su foco, ecuación
de la directriz y longitud del lado recto. Trazar su gráfica.
a) x2 = 4y b) x2 -12y = 0 R/ a) F (0, 1), y = -1, LR = 4 b) F (0, 3), y = -3, LR = 12
6. Encontrar la ecuación de la parábola que cumpla con las
condiciones dadas: Trazar su gráfica.
a) Foco (0, -2) y directriz y – 2 = 0 R/ x2 = -8y
b) Vértice (0,0), se abre hacia la izquierda y longitud del lado recto 6.R/ y2 = -6x
7. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola.
R/ y2 - 20x – 6y + 9 = 0
8. Hallar la ecuación de la elipse cuyo vértice son los puntos (4, 0) y (-4, 0) y cuyos focos son los puntos (3, 0) y (-3, 0). Trazar su gráfica.
R/ 1716
22
yx
9. Los focos de una elipse son (3, 0) y (-3, 0) y la longitud de sus lados rectos es 9. Hallar su ecuación y trazar su gráfica.
R/ 12736
22
yx
92
10. Los focos de una elipse son los puntos (-4, -2) y (-4, -6) y la longitud
de cada lado recto es 6. Hallar su ecuación y excentricidad. Trazar su
gráfica. R/
116
4
12
422
yx
, e = ½
11. La ecuación de una familia de elipses es 4x2 + 9y2 + ax + by – 11 = 0.
Hallar la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (2, 3) y (5, 1)
R/ 4x2 + 9y2 – 16x – 18y – 11 = 0
12. El punto medio de una cuerda de la elipse x2 + 4y2 – 6x – 8y – 3 = 0 es el punto (5, 2). Hallar la ecuación de la cuerda.
R/ x + 2y – 9 = 0
13. Dada la elipse 4x2 + 9y2 – 32x + 54y + 109 = 0, encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el mismo que la elipse y como radio la mitad de la longitud del eje menor.
R/ x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0
14. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,
3) y (0, -3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar su ecuación y
la excentricidad. R/ 199
22
yx
, e = 2
15. Los vértices de una hipérbola son (0, 4) y (0, -4) y su excentricidad
es 3/2. Hallar su ecuación y los focos. Trazar su gráfica.
R/ 12016
22
xy
, F (0, 6)
16. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3, -1), su
centro está en el origen, su eje transverso sobre el eje x, y una de sus
asíntotas es la recta 0232 yx . Graficarla
R/ 2x2 – 9y2 = 9