TABLA DE CONTENIDO (Grado 9)files.luisfermaticas.webnode.com.co/200000083-ecb82ed365/Modulo... ·...

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003

COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN

ESTADISTICA GRADO NOVENO

Código PGF 02-R04

Página 1 de 68

PRESENTACIÓN En nuestra vida diaria nos llega con mucha frecuencia información estadística. Al leer un periódico o una revista, al consultar información en una enciclopedia o en un texto nos encontramos con cantidad de gráficos, tablas y dato que se presentan en variedad de formas. Tanto en la economía como en los deportes, pasando por las comunicaciones, el estudio de las poblaciones o los resultados de unas elecciones políticas, nos encontramos con datos manejados estadísticamente. En este módulo estudiaremos las nociones básicas de la estadística utilizando como herramienta primordial el modelo pedagógico institucional que nos permitirá, entre otras cosas, comprender algunas presentaciones estadísticas de datos.

AREA DE MATEMÀTICAS

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 2 de 68

TABLA DE CONTENIDO

PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD

UNIDAD I Probabilidad Resultados y espacios muéstrales. Enfoques de la probabilidad. Escala de probabilidades. Diagramas de árbol. Los juegos de azar y las reglas de la probabilidad UNIDAD II

TECNICAS DE CONTEO (PERMUTACIOJES, VARIACIONES, COMBINACIOES, TRIANGULO DE PASCAL) Y PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Y PRODUCTORIA.

Conteo de resultados. Permutaciones. Permutaciones con repetición. Combinaciones. Variaciones.

Combinaciones según el triangulo de Pascal. Problemas de aplicación Propiedades de la sumatoria. Propiedades de la productora.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 3 de 68

PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD

USO DE ANTICONCEPTIVOS

No obstante que la prevalencia de uso de anticonceptivos entre mujeres

adolescentes unidas se incrementó de 30% en 1987 a 48.8% en el año 2000,

sigue siendo la más baja con respecto a los otros grupos de edad y

significativamente menor en comparación con el total de las mujeres unidas.3

Esta es una de las características distintivas de la población adolescente y pone

de manifiesto que las estrategias para hacer llegar los métodos anticonceptivos a

este segmento de la población no han sido del todo exitosas (Figura 4).

Adicionalmente, la demanda insatisfecha de métodos anticonceptivos entre las

mujeres unidas de 15 a 19 años es la más alta de todos los grupos de edad y

representa más del doble con respecto al valor estimado para todas las mujeres.

De acuerdo a las estimaciones hechas por el Consejo Nacional de Población

(CONAPO) en 1997, el porcentaje de las adolescentes unidas de 15 a 19 años

que no pudo obtener un método anticonceptivo a pesar de su deseo manifiesto de

evitar el embarazo fue del 26.7 %; esta cifra contrasta con la obtenida para el

grupo de mujeres unidas de 15 a 49 años, donde el porcentaje estimado fue de

12.1%.

Se estima que durante el año 2000 ocurrieron en el país cerca de 366 mil

nacimientos de madres de 15 a 19 años, lo que representa el 17% del total de

nacimientos y una tasa específica de fecundidad de 70.1% por mil mujeres de ese

grupo de edad. A pesar de que durante los últimos seis años el número de

nacimientos se redujo en poco más del 10%, la prevención del embarazo no

planeado en las adolescentes continúa siendo un desafío prioritario en salud

reproductiva (Cuadro I).

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 4 de 68

* Por 1,000 mujeres de 15 a 19 años. Fuente: Estimación en base a las Encuestas

Nacionales Sociodemográficas.

ACTIVIDAD

1. Lee cuidadosamente el texto anterior, busca las palabras desconocidas y realiza un glosario con ellas.

2. Teniendo como base el texto completa o contesta:

a. No obstante que la prevalencia de uso de anticonceptivos entre mujeres adolescentes unidas se incrementó de __________________________ __________________________________________________________

b. _____ _____ el porcentaje de las adolescentes unidas de ____ a _____

años que no pudo obtener un ___________ __________ a pesar de su

deseo manifiesto de evitar el embarazo fue del ______ esta cifra

contrasta con la obtenida para el grupo de mujeres unidas de _____ a

_____ años, donde el porcentaje estimado fue de _______.

c. A pesar de que durante los últimos seis años el número de nacimientos se redujo en poco más del _____ la prevención del embarazo no planeado en las _________ continúa siendo un desafío prioritario en salud.

3. Según el cuadro el nacimiento en miles de 1900 es de ____________ y el nacimiento en 1998 ________ y de 1996 hasta el 2000 es de __________

4. Representa la información anterior en un histograma. 5. Consulta por internet que significan las siglas CONAPO

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 5 de 68

PROBABILIDAD

DESEMPEÑO

Comprender y clasificar los enfoques probabilísticos y los clasifica según la escala e interpretar las regla de probabilidad y las aplica en problemas prácticos.

INDICADORES DE DESEMPEÑO

Comprender y clasificar los enfoques probabilísticos y los clasifica según la escala de probabilidad

Construye diagramas de árbol, teniendo como base la probabilidad de dos a más sucesos.

Interpreta las reglas de probabilidad y las aplica para la solución de problemas de la vida cotidiana

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 6 de 68

Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima, de su abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente, y ha tenido que esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos. Incluso la idea de juego de azar tiene una larga historia. Aproximadamente por el año 3500 a.C., los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, considerados como los precursores de los dados, y fueron ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del año 2000 A.C. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teoría de la probabilidad.

En 1520, cuando era estudiante de la Universidad de Padua, Hierónimo Cardán escribió el libro sobre juegos de azar pero fue publicado en latín solo hasta 1663, ochenta y siete años después de su muerte. Aunque la historia de la probabilidad se inicia con la correspondencia entre Pascal y Fermat, este libro fue texto de referencia de estos dos genios de la matemática ya que en él se formulan importantes ideas referentes a la probabilidad, a pesar de que es en esencia un libro de juegos de azar.

En esta obra se encuentra implícita la ley de los grandes números, así como también en ella calcula probabilidades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especialmente en el denominado póker medieval. La llamada escuela probabilística o enciclopédico temática surge en Francia a partir del empleo de la matemática en el cálculo de probabilidades como instrumento de investigación.

Basándose en dicha correspondencia, el físico-astrónomo-matemático alemán Christian Huygens, maestro de Leibniz, publicó en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae, (Razonamientos en juegos de azar), el primer libro impreso sobre probabilidad.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 7 de 68

El cálculo de probabilidades nace con Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665). Al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar planteados por Antonio Gamboud, más conocido con el título

nobiliario de caballero de Meré. Posteriormente muchos otros matemáticos prestigiosos como Abraham De Moivre(1667-1754), Pierre Simón Laplace (1749-1827) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855), hicieron trascendentales aportes a esta teoría hasta convertirla en el principal instrumento de análisis de los fenómenos aleatorios.

Durante los S. XIX y XX se destacaron algunos estadísticos como: EGON PEARSON, (1895 - 1980), ANDREI KOLMOGOROV, (1903 -1987), P.L CHEBYSHEV, (1821 - 1894), ANDREI MARKOV, i(1856 - 1922) y A.M LYAPUNOV (1857 -1918).

Resuelve las siguientes preguntas:

1. ¿En que se basó el desarrollo de la primera teoría de la probabilidad?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿En que tiempo y quienes empezaron o se iniciaron los juegos de azar?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Quién fue la primera persona en escribir un libro sobre juegos de azar?, ¿En que año lo publico?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Quién y en que año publicó el primer libro impreso sobre probabilidades? ¿Qué titulo recibió dicha obra?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 8 de 68

5. ¿Según el texto quienes pueden ser considerados como los padres de la probabilidad?

____________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Escriba el nombre de 3 representantes de la teoría de la probabilidad en los siglos XIX y XX.

7. Resalta los personajes que hicieron participes de la historia de la probabilidad y consulta la biografía de cada uno de ellos.

Probabilidad es el grado de incertidumbre o creencia de que algún fenómeno o suceso pueda ocurrir y la forma de determinarlo o cuantificarlo numéricamente.

La probabilidad es un número entre 0 y 1 que permite

predecir la ocurrencia de un evento o suceso dependiendo del entorno en el que se encuentre. Por eso la formula general de una probabilidad es: 0 ≤ P(A) < 1(La probabilidad de un suceso A es mayor

o igual cero, pero menor que uno).

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es

aquel en el que una misma acción da origen a resultados diferentes. Estos experimentos reciben también el nombre de pruebas al azar.

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 9 de 68

espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra S. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.

ESPACIO MUESTRAL: El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de Espacio Muestral. Dicho conjunto se simboliza con la letra mayúscula S y el número total de resultados n(s). Ejemplo: Un Experimento de Probabilidad sencillo y común que se puede efectuar es el lanzamiento de una moneda. Este experimento tiene dos resultados posibles: Cara (c) y Sello (s) y ambos son igualmente posibles. El conjunto {c,s} (CARA, SELLO), es un espacio muestral para el experimento.

La siguiente tabla muestra cómo se aplica el espacio muestral acerca de la probabilidad de otros experimentos.

Experimento Aleatorio Resultados Espacio muestral (S)

A.

Lanzar una moneda moneda,

Es igualmente posible que al caer la moneda caiga cara o caiga sello.

S = { Cara, Sello }

El conjunto de los dos resultados igualmente posibles.

B.

Sacar una carta al azar

Es igualmente posible sacar al azar, cada una de las 52 cartas del póker

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K } Por cada uno de los 4 palos de la baraja (Corazones, Picas, Diamantes y tréboles)

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 10 de 68

C.

Lanzar un dado

Es igualmente posible que cualquiera de las seis caras quede hacia arriba.

S = {1,2,3,4,5,6}

El conjunto de los seis resultados igualmente posibles.

D. D A C B Girar la ruleta.

El indicador tiene la misma probabilidad de detenerse en cualquiera de las cuatro regiones A, B, C o D.

S = {A, B, C, D}

El conjunto de los cuatro resultados igualmente posibles.

Existen dos enfoques para el cálculo de probabilidades:

1. Enfoque Clásico 2. Enfoque la de la Frecuencia Relativa

1. Enfoque Clásico o Probabilidad Clásica: Si en un experimento aleatorio existen n (S) resultados igualmente posibles, entonces la probabilidad de que un evento A ocurra es el cociente del número de resultados favorables al evento A entre el número total de resultados posibles en el experimento; es decir:

doslderesultanúmerotota

Avorablesdesultadosfanúmerodere

Sn

AnAP

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 11 de 68

Ejemplo 1: Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que

muestra hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 2? El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [n(S) =

6], que son:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si A representa el evento de que aparezca el número 2, A = {2}, entonces

6

1)( AP = 0.166 = 16.6%. Este resultado corresponde a la probabilidad

clásica. Ejemplo 2:

Si se tiene una baraja de Póker de 52 cartas, cual es la probabilidad de sacar un as? Si en una baraja existen 4 ases (Picas, corazones, tréboles, y diamantes), entonces la probabilidad de que

sea un as es:

52

4)( BP = 0.076 = 7.6%

LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA

QUE ES LA FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.

2. Enfoque axiomático ó de la Frecuencia Relativa: Concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso, como un número entre 0 y1.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 12 de 68

Este concepto tiene que ver directamente con la noción de frecuencias

relativas, don de 0 ≤ hi < 1.

Ejemplo: Supongamos que se lanza cien veces una moneda, anotamos el número de

veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:

La probabilidad para el lanzamiento No 101 está dado por: Frecuencia Absoluta: Cara: 56 veces Sello: 44 veces Frecuencia Relativa: 56/100 44/100 Probabilidad: P: 56% (éxito) Q: 44% (fracaso)

Hay un 56% de probabilidades que en el lanzamiento No 101 caiga Cara y un 44% de probabilidades que caiga sello.

P = probabilidad de éxito Q = probabilidad de fracaso

Es posible establecer una escala de valores entre 0 y 1. La probabilidad igual a uno (1) ó al 100% corresponde al limite superior, el cual se considera como certeza absoluta. En el otro extremo correspondiente al límite inferior tenemos la probabilidad igual a 0 (cero) donde hablamos de sucesos de imposibilidad absoluta. Si la probabilidad esta entre 0 (cero) y 0.5 (50%), estamos hablando de un suceso inverosímil; cuando la probabilidad es igual a 0.5 (50%), nos encontramos con un

Lanzamientos Número de veces que sale

Cara 56

Sello 44

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 13 de 68

suceso dudoso; y cuando la probabilidad esta entre 0.5 (50%) y menos que 1.0 (100%), decimos que tenemos un suceso verosímil. Veamos la gráfica para una mayor comprensión: 1.0 Certeza absoluta. Ejemplo: Morir algún día 0.5 < P < 1.0 Suceso Verosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 60 de ellas. 0.5 Hecho Dudoso. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda. 0.0 < P < 0.5 Suceso inverosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 25 de ellas. 0.0 Imposibilidad absoluta. Ejemplo: Cruzar el océano nadando.

1. Escribe 3 ejemplos de sucesos verosímil, inverosímil, dudoso y certeza absoluta

2. Un experimento consiste en hacer girar un indicador como el que se muestra en

la figura. Morado Café

Negro Blanco

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 14 de 68

a. Encuentre un espacio muestral para este experimento.

b. ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado en el espacio muestral?

c. Si {Rojo, otro color} fuera un espacio muestral para este experimento,

¿Qué probabilidad debería asignarse a cada resultado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

3 En un juego de escalera los niños lanzaron un dado 150 veces uno de los

niños que estaba anotando los resultados anunció que los números que cayeron fueron:

Número Frecuencia

1 18

2 25

3 16

4 43

5 25

6 23

Total 150

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 15 de 68

a) ¿Que enfoque de la probabilidad está aplicando el ejercicio? Explicar. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento 151 salga 1,2, 3, 4, 5, 6.

3. Decir a qué tipo de suceso pertenecen de acuerdo a la escala de probabilidades:

a) En un tiro de bolos derribar 8 de los 10 pinos __________________ b) Sacar un estudiante de noveno al azar _______________________ c) Sacar un número par en el dado ____________________________ d) Todos nacemos de una mujer_______________________________ e) Mi abuela tiene 20 años ___________________________________

3. Si 380 de 700 amas de casa entrevistados en un supermercado declararon

que preferirían el “Detergente Nuevo y Mejorado“, al anterior, estimemos la probabilidad de que una ama de casa que esté en ese supermercado prefiera el” Detergente Nuevo y Mejorado” ¿A que tipo de suceso pertenece?

4. Una muchacha recoge champiñones. Accidentalmente recoge tres hongos venenosos que son casi idénticos a siete champiñones que ya había recogido. Después se come uno de los diez hongos. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya comido un hongo venenoso? ¿De qué tipo de suceso estamos hablando?

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 16 de 68

5. Completar los siguientes enunciados:

a) Probabilidad es el grado de ________________ o _________________ de que un __________ pueda __________________.

b) La __________________ es un número entre__________________ que

permite__________________la ocurrencia de un ___________________.

c) Si el evento se representa como A, entonces la _____________ de que

ocurra se denota como ______________.

d) Según el enfoque___________________si en un _______________ existen n resultados igualmente ____________, entonces la _______________ de que ocurra un evento A es el ___________ de número de ___________________ entre el número de ________________________.

e) El método ________________ concibe la________________como un

número entre ______________. y este concepto tiene que ver directamente con la noción de __________________ donde _____________.

6. según la escala de probabilidades:

a) 0,5 < P<1, pertenece a _______________. b) 0< P< 0,5, pertenece a ________________.

DIAGRAMA DE ARBOL Los diagramas de árbol son útiles para contar resultados y para determinar probabilidades de algunos sucesos.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 17 de 68

Estos se utilizan para diagramar resultados en sucesos independientes, es decir que ninguno de los sucesos depende de otro (s) para poder ocurrir. Ejemplo: determinar los posibles resultados y la probabilidad de obtener dos caras un sello en el lanzamiento de tres monedas. Solución: El espacio muestra del lanzamiento de una moneda es: {Cara, Sello},

así mismo la probabilidad de cualquiera de los es: P(cara) = ½ = 0.5 = 50% P(sello) = ½ = 0.5 = 50% El diagrama de árbol para este ejemplo seria:

2

1

2

1

C S

2

1

2

1

2

1

2

1

C S C S

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

C S C S C S C S A B C D E F G H

Cada rama del árbol está marcada “2

1” debido a que la probabilidad que resulte

cara o sello es 2

1. Observe que para llegar al punto A en el árbol, se debe

obtener cara en cada uno de los tres primeros lanzamientos. Para encontrar la probabilidad multiplicamos las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol. Así.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 18 de 68

P(A) = P (CCC) = 8

1

2

1

2

1

2

1 = 0.125 = 12.5%

El resultado A (Tres caras) puede representarse mediante el símbolo CCC. El resultado B (Dos caras y un sello) se denota por el símbolo CCS.

El diagrama del árbol indica que hay 8 resultados posibles para tres lanzamientos de una moneda. Puesto que todos los resultados son igualmente posibles. P(A) = P(CCC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(B) = P(CCS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. P(C) = P(CSC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(D) = P(CSS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. P(E) = P(SCC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(F) = P(SCS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. P(G) = P(SSC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(H) = P(SSS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. En el cuaderno resuelva lo siguiente: 1. El gerente de una compañía, desea ocupar tres vacantes en diferentes cargos,

a los cuales se presentan hombres y mujeres, elabore el diagrama de árbol, teniendo en cuenta que hombres y mujeres tienen la misma probabilidad de ser elegidos, construya el espacio muestral y determine:

a. La probabilidad de que se contraten 2 mujeres. b. La probabilidad de que se contraten 3 hombres.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 19 de 68

2. De acuerdo al siguiente indicador realiza un diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el indicador. El espacio muestral para el experimento es {A, B, C}

A

C B

La P(A) = 2

1, P(B) =

4

1 y P(C) =

4

1. El símbolo AC representa el resultado en

el cual se obtiene A en el primer tiro y C en el segundo. Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

a. AA d. BA b. AB e. BB c. AC f. BC

3. De acuerdo al siguiente indicador, realice el diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el círculo en dos ocasiones.

P(A) = 1/3 P(B) = 1/6 P(C) = 1/4 B P(D) = 1/4 A C D Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

a. AA d. BC b. AB e. BD c. AC f. CD

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 20 de 68

4. Si el diagrama de árbol de los puntos 2 y 3 se aplicara a tres tiros, ¿cuántos

resultados diferentes habría? a. ¿Cuál sería P (AAA)?

b. ¿Cuál sería P (ABC)? Para el ejercicio 2 c. ¿Cuál sería P(BCD)? d. ¿Cuál sería P(CCD)? Para el ejercicio 3

Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn – Euler.

MENTEFACTO CONCEPTUAL

ENFOQUES Y ESCALA DE LA PROBABILIDAD

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 21 de 68

DIAGRAMA DE VENN-EULER

PROBABILIDAD:

EXPERIMENTO ALEATORIO:

ESPACIO MUESTRAL:

ELEMENTO MUESTRAL:

ENFOQUE CLASICO:

ENFOQUE RELATIVO:

FRECUENCIA ABSOLUTA:

FRECUENCIA RELATIVA:

SUCESO IMPOSIBLE:

SUCESO INVEROSIMIL:

SUCESO VEROSIMIL:

SUCESO DUDOSO:

SUCESO CERTEZA ABSOLUTA:

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 22 de 68

REGLAS DE LA PROBABILIDAD

Como nos decía la Unidad I, la teoría de la probabilidad esta fuertemente ligada a los juegos de azar; de allí se originó y fue con base en los juegos de azar que se creó la aún actual teoría de las probabilidades.

Vamos ahora a ver los juegos de azar más comunes en probabilidades y los elementos que los conforman.

LANZAMIENTO DE DOS DADOS En la grafica vemos el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados, uno rojo y uno azul.

BARAJA ESPAÑOLA

La baraja española consiste en un mazo de 40 naipes, clasificados en 4 "palos" y numerados del 1 al 12 (no cuentan los ochos y los nueves). Ciertos mazos

http://es.wikipedia.org/wiki/Baraja

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 23 de 68

incluyen Las figuras de la baraja española corresponden a los números 10, 11 y 12, y se llaman "sota", "caballo" y "rey" respectivamente.

Los cuatro palos son: oros, copas, espadas y bastos.

LA BARAJA DE POKER

La baraja de Póker se compone de un mazo de 52 cartas, el cual se clasifica en cuatro “Palos”, donde cada palo se compone de 13 cartas, las diez primeras están numeradas del 1 al 10, las 3 restantes son las figuras y se representan con las letras J, Q y K.

Los palos de la baraja de Póker son: Picas, Corazones, Diamantes y Tréboles

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 24 de 68

Las reglas de la probabilidad son operaciones útiles para calcular probabilidades de diferentes sucesos, teniendo en cuenta el entorno y las circunstancias como estos se presentan.

Para facilitar el cálculo de las probabilidades se emplean cuatro leyes o reglas que son:

a. Regla de la adición. b. Regla de la multiplicación. c. Regla del exponente. d. Regla del complemento

REGLA DE LA ADICIÓN

En la regla de la adición se contemplan dos tipos de sucesos:

a. Sucesos Mutuamente Excluyentes:

Si dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dicen que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso.

pppn

P ...........21

Consideremos que ppppn

,,.........,,321

son las distintas probabilidades de n

sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad (P) de que uno de estos

sucesos se presente en un solo ensayo, estará dada por la suma de las

probabilidades para cada suceso P pppn

...........21

.

De acuerdo a lo anterior mutuamente excluyente significa que solamente un

solo suceso o evento puede ocurrir, o sea que los demás no se pueden presentar al mismo tiempo. La fórmula anterior la podemos expresar de una manera más fácil y entendible:

BAP PP BA

P CBA

PPP CBA

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 25 de 68

Ejemplo 1:

La probabilidad de obtener un As o un rey, sacando una sola carta en una baraja Española de cuarenta cartas. Si uno de los casos aparece queda excluido el

otro.

AsP A 10

1

40

4

yP BRe

10

1

40

4

5

1

10

2

10

1

10

1 PPP BABA

Ejemplo 2: La probabilidad de sacar un As ó un diez de corazones ó un 3 de diamantes, extrayendo una sola carta de una baraja de Póker de 52 cartas.

AsP A 52

4

nesDiezCorazoP B 52

1

tesTresDiamanP B 52

1

%53.111153.0

52

6

52

1

52

1

52

4 PPPP CBABoCA

b. Sucesos Compatibles o complementarios:

Se dice que dos sucesos son compatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la posibilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrencia del otro.

La formula general para los sucesos complementarios es:

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 26 de 68

PPP AyBBA

BAP

Ahora, el experimento con la bajara española de cuarenta cartas consiste en extraer una carta y se desea saber cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea as o copas.

Observamos que al extraer una carta puede ser as, pero también puede ser as

de copas, cumpliéndose la realización de las dos pruebas en forma simultánea; por tal razón, se dice que los sucesos son compatibles, o también nos podemos referir a una probabilidad conjunta.

En este caso la probabilidad de uno de los dos sucesos se halla así:

La probabilidad de que aparezca un as: 40

4P A

; la probabilidad de que

aparezca copas: 40

10P B

; la probabilidad de que sea as de copas: 40

1P AyB

.

40

13

40

1

40

10

40

4BAP = 0,325 = 32.5%

Utilizando la regla de la adición resuelve los siguientes ejercicios. 1. La probabilidad de obtener un tres o un cuatro en el lanzamiento de un dado. 2. Al lanzar un dado Usted apuesta $10000 a que el numero obtenido debe ser par o divisible por 3. ¿Cuál es la probabilidad de que usted gane? 3. Considere una baraja de Póker de 52 cartas y se desea extraer una carta. Cual

es la probabilidad de obtener una J o trébol?

4. La probabilidad de que un alumno del Cisneros pierda matemáticas es del0.3, y

de que pierda Estadística es de 0.5 y de que pierda las dos es de 0.2. Cual es la probabilidad de que el alumno pierda matemáticas o estadística?

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 27 de 68

5. Una empresa ofrece un cargo al cual se presentan 35 aspirantes de diversas profesiones: 8 economistas, 6 administradores, 7 contadores, 10 ingenieros, 4 tecnólogos. Si todos tienen el mismo chance de ser seleccionados:¿ cual es la probabilidad de que el cargo sea ocupado por:

a. ¿Un economista ó un ingeniero? b. ¿Un administrador ó un contador? c. ¿Un contador ó un tecnólogo ó un ingeniero? d. ¿Un economista o un administrador ó un contador?

6 La probabilidad de obtener un 5 o un número mayor de 6 en el lanzamiento de dos dados.

7. La probabilidad de sacar un 10 de corazones o un 6 de diamante o un

as en una baraja de pokers

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

La segunda regla de la probabilidad es la regla de la multiplicación, esta al igual que la regla de la adición se subdivide en dos tipos de sucesos que son:

Sucesos independientes Dos o mas sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro. Es decir, si el resultado de un suceso no afecta al otro estamos hablando de sucesos independientes. En caso contrario se dice que son dependientes. Por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada suceso.

Si PPP n,.....,,

21 son las distintas probabilidades de presentación de n sucesos

Independientes, la probabilidad (P) de que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo, estará dada por el producto de cada suceso.

P = PPPP n .....

321.

Diferencias entre sucesos mutuamente excluyentes y

sucesos independientes

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 28 de 68

Los sucesos independientes y los sucesos mutuamente excluyentes se parecen mucho, por lo tanto se deben saber diferenciar, aquí algunas diferencias:

1. En los sucesos mutuamente excluyentes se tiene un solo dado, una sola baraja una sola moneda, en los independientes se tiene mas de un elemento (barajas, dados, monedas).

2. En los mutuamente excluyentes se extrae una sola carta, o se obtiene una

sola cara del dad, es decir se espera la presentación de un sola suceso; en lo independientes se espera la presentación de dos o mas sucesos.

3. En los mutuamente excluyentes se utiliza la conjunción “Ó” y en los

independientes se utiliza la conjunción “Y” Ejemplo1: ¿Qué probabilidad tendremos de obtener dos reyes sacando una carta de una

baraja y la otra de una segunda baraja?

P =100

1

1600

16

40

4

40

4 = 0.01 = 1%

Ejemplo 2:

Al lanzar dos dados ¿cual la probabilidad de obtener dos ases?

P = %7,2027,036

1

6

1

6

1

Sucesos Dependientes:

Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, en el tercero lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente. Si se van a sacar tres cartas de una baraja, se debe hacer sin reposición, es decir al extraer una carta, ella no vuelve a formar parte del total y en vez de tener en cuenta 40 cartas, para la segunda se tendrán 39.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 29 de 68

Recordemos, que dos o más eventos son dependientes, cuando la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia de los otros, en un orden determinado. En caso contrario los sucesos son independientes.

La formula general será:

P PPPP n ..........

321

Ejemplo 1:

Probabilidad de obtener 3 ases, sacando sucesivamente tres cartas de una baraja española, sin volverlas a incluir (sin reposición) en el montón.

40

41P ,

39

32P ;

38

23P

Ejemplo 2:

En la sede de la asociación de deportistas se encuentran reunidos 6 futbolistas, 3 beisbolistas, 4 tenistas 7 atletas, y 5 golfistas. Si al iniciar la sesión solo había 22 deportistas. ¿Cuál es la probabilidad de que los que se fueron sean:

a. 1 beisbolista y 1 futbolista y 1 tenista? b. 2 atletas y un golfista?

a. 25

3PB

; 24

6PF

; 23

4PT

%521.013800

72

23

4

24

6

25

3P

b. 25

7PA

; 24

6PA

; 23

5PT

%52.113800

210

23

5

24

6

25

7P

%04.059280

24

38

2

39

3

40

4P

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 30 de 68

1. Supongamos que se dispone de tres barajas de 40 cartas cada una. Se desea

extraer tres cartas, una de cada baraja; ¿Cuál es la probabilidad de obtener un As y un Rey de oros y un seis de copas?

2. Una máquina en buenas condiciones de trabajo, produce un artículo defectuoso

por cada 200. Los resultados correspondientes a artículos producidos sucesivamente son independientes. ¿Cuál es la probabilidad para que los próximos dos artículos producidos por esta máquina no tengan fallas?

3. La probabilidad de obtener un As y un Rey de bastos y un Diez de espadas,

sacando sucesivamente tres cartas, sin reposición, de una baraja de 40 cartas. 4. De una baraja de Póker de 52 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja; ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un As de Picas y en la segunda una Q y en la tercera un seis? 5. En la sede de la sociedad de ingenieros, están reunidos 5 ingenieros mecánicos, 8 ingenieros de sistemas, 7 ingenieros industriales, 4 ingenieros electrónicos, 6 ingenieros civiles. Si al iniciar la sesión solo había 27 ingenieros. Cual es la probabilidad de que los que hayan salido sean:

a. 1 ingeniero mecánico y 1 ingeniero industrial y un ingeniero de sistemas?

b. 1 ingenieros civil y un ingeniero electrónico y un ingeniero industrial?

c. 2 ingenieros de sistemas y un ingeniero civil? d. 3 ingenieros industriales?

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 31 de 68

REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN

La regla de la complementación esta ligada directamente con la teoría de conjuntos en la que se dice que si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.

Ejemplos:

a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }

El complemento de A es A’ = (m, a, r)

En la teoría de las probabilidades el conjunto universal es el total de las probabilidades, es decir 1.0 si hablamos en decimales, ó 100%, si lo expresamos en porcentajes.

Las probabilidades de A yA’ están relacionadas según la siguiente igualdad:

APAP 1' 1' APAP

S A’ A Lo anterior se denomina regla de la complementación Ejemplo 1:

¿Cuál es la probabilidad de obtener 1, 2, 3, ó 4 cuando se arroja un dado común?

En un problema de este tipo es mucho más conveniente y acertado obtener

primero P(A), donde A es el evento de obtener los números 5 ó 6, que es 6

2 en

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 32 de 68

este caso. Evidentemente, A’ representa el evento de no obtener un resultado de

5 ó 6, en consecuencia:

%6666.0.6

4

6

211' APAP

Ejemplo 2:

Si se arrojan dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de los dados no sea 7? En este experimento hay 36 posibles resultados, y 6 de ellos corresponden al evento A de que la suma es 7;

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Suponiendo que hay resultados igualmente probables, entonces, la probabilidad de que A’ ocurra, donde A’ es el evento A de que la suma no sea 7, es igual a:

36

6AP

6

5

36

30

36

611' APAP .

Si A y B son un par de eventos definidos en un espacio muestral S, entonces la probabilidad de que ni A ni B ocurran es:

La anterior es la fórmula para la probabilidad de que no ocurra ninguno de dos eventos.

BAPPBAP BA

1''

'́

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 33 de 68

S A B

BA

'' BA

REGLA DEL EXPONENTE

Es una forma muy sencilla para determinar el número de casos posibles, en algunos problemas de probabilidad. En la regla del exponente hacemos uso de la operación denominada potenciación donde se tiene una base que esta representada por el número de resultados posible y un exponente que corresponde al número de experimentos realizados. Ejemplo 1:

Supongamos el lanzamiento de una moneda, en el cual se tendrán dos resultados cara o sello. Este valor tendrá como base el número de resultados posibles (Cara y sello) y como exponente al número de lanzamientos que hagamos, como se puede observar a continuación;

a. En un lanzamiento será : 221 casos posibles

b. En dos lanzamientos será : 422 casos posibles

c. En tres lanzamientos será : 823 casos posibles

d. En cuatro lanzamientos será : 1624 casos posibles, etc.

Y así sucesivamente, durante todos los lanzamientos que sean necesarios

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 34 de 68

Ejemplo 2: Si consideramos el lanzamiento de dados, se tendrá:

a. Un solo dado será : 661 casos posibles

b. Dos dados será : 3662 casos posibles

c. Tres dados será : 21663 casos posibles, etc.

Ejemplo 3:

¿Con cuántos billetes (boletos) juega una lotería, y cuál es la probabilidad de ganar si compro un billete?

a. ¿Si cada uno de ellos tiene 4 cifras? b. ¿Si se juega además con 120 series?

a. Los dígitos son 10 o sea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, por lo tanto el número de

billetes será de 10000104 . La probabilidad de ganar con la compra de un

billete será:

P = %01,00001,0000.10

1 .

b. Ahora 000.200.1120000.10 billetes. La probabilidad de ganar al comprar

un billete será de:

P = %00008,00000008,0000.200.1

1

Ejemplo 4: Un código alfanumérico se compone de 2 números y 3 letras, ¿cuantos códigos diferentes puede haber?

Como los dígitos son 10, entonces determinamos la cantidad de números posibles que conforman el código.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 35 de 68

100102 , luego determinamos la cantidad posible de letras que conforman el

código. El alfabeto se compone de 26 letras (Sin Ch, Ll, Rr), entonces

17576263 . Por ultimo determinamos la cantidad total de códigos posibles:

102* 26

3 175760017576*100 Códigos diferentes.

1. Se arrojan dos dados. Determina la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos:

a. La suma no es 10

b. La suma no es 8

c. La suma es menor que o igual a 6 d. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca un 4 o un 9?

2. En una fábrica de camisas se manufactura independientemente corte, costura y

pulimento, siendo estas partes armadas aleatoriamente en cada camisa. Se sabe que en este proceso, el cinco por ciento (0.05) de los cortes, el cuatro por ciento (0.04) de las costuras y el dos por ciento (0.02) de las pulidas tienen fallas; ¿qué porcentaje de camisas resulta:

a. Con fallas en sus tres componentes?

b. Sin fallas en sus tres componentes?

3. Nicolás y Valentina estudian en el mismo curso: la probabilidad de que Juan pierda al menos una materia es de 0.2 y la probabilidad de que Valentina no pierda ninguna es de 0.7. Cual es la probabilidad de:

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 36 de 68

a. Que los dos pierdan al menos una materia.

b. Que Nicolás pierda una y Valentina ninguna. c. Que Nicolás no pierda ninguna y Valentina al menos una. d. Que los dos no pierdan ninguna. 4. ¿Cuántas series telefónicas pueden haber en una ciudad, si los números

telefónicos están compuestos por:

a. seis dígitos b. siete dígitos

5. Para los vehículos de servicio particular ¿Cuántas placas se pueden elaborar si se conforman de tres letras y tres dígitos? 1. Teniendo en cuenta el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados: ¿Cuál es la probabilidad de:

a. Sacar un resultado cuya suma de seis? b. Sacar un resultado cuya suma de diez? c. Sacar un resultado cuya suma de siete?

2. Las caras de un dado común se hallan numeradas de 1 a 6.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que habiéndose lanzado el dado, aparezca en la cara superior un valor par?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a dos?

3. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, todos sean caras?

c. ¿De que dos de las tres sean sellos?

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 37 de 68

4. ¿Cuál es la probabilidad de que sean varones, dos de tres hijos de una

familia?

5. ¿Cuál es la probabilidad, en la experiencia de los dos dados, uno azul y otro rojo, de obtener? (en cada uno debe establecerse el espacio muestral)

a. De que en uno de ellos se presente el 4 y en el otro un valor menor a 4 b. De obtener en el dado blanco un número menor de tres y en el dado rojo, un valor mayor a tres. 6. Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn - Euler


REGLAS DE LA PROBABILIDAD

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 38 de 68

DIAGRAMA DE VENN-EULER

SUCESOS: SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: SUCESOS COMPATIBLES: SUCESOS INDEPENDIENTES: SUCESOS DEPENDIENTES: REGLA DE LA ADICION: REGLA DE LA MULTIPLICACION: REGLA DE LA COMPLEMENTACION: REGLA DEL EXPONENTE:

UNION DE SUCESOS: INTERSECCION DE SUCESOS:

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 39 de 68

TECNICAS DE CONTEO (PERMUTACIOJES, VARIACIONES, COMBINACIOES, TRIANGULO DE PASCAL) Y PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Y

PRODUCTORIA.

DESEMPEÑO Determinar permutaciones, variaciones y combinaciones y loa aplica en la solución de problema e interpreta las propiedades de las notaciones y las aplica en la solución de ejercicios

INDICADORES DE DESEMPEÑO

Calcula permutaciones y variaciones de los elementos de un conjunto y los

aplica en la solución de problemas prácticos.

Calcula combinaciones y utiliza el triangulo de pascal para solución problemas prácticos.

Interpreta las propiedades de las sumatoria y productorias y los aplica en la solución ejercicios

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 40 de 68

EL ESTADO COLOMBIANO Y LA ESTADISTICA El Departamento Administrativo Nacional de Estadística, DANE, es la institución encargada de realizar, analizar y publicar todas las estadísticas concernientes a las actividades esenciales del país, con el objeto de orientar a todas las ramas del poder público en la toma de decisiones. Una de las tareas más conocidas entre las realizadas por el DANE es el cálculo del índice de precios al consumidor (IPC). Se trata de un instrumento estadístico que permite estimar en los hogares, la llamada canasta familiar. Los artículos que componen esta canasta básica se determinan de acuerdo con el consumo usual de un hogar promedio, se mantienen fijos por un tiempo determinado y se modifican de acuerdo con los cambios en las costumbres de la población. Mediante procedimientos estadísticos se adquiere información sobre los precios de esta canasta básica; con ellos se calculan los cambios producidos en el mes y se obtienen un índice porcentual que refleja el aumento o la disminución en un periodo determinado. Este índice calculado se publica a principios de cada mes en todos los periódicos del país y a su vez se halla el acumulado de cada año. El IPC es un indicador importante para hacer diagnósticos sobre la situación económica del país y por consiguiente para tomar decisiones sobre la política económica. Por ejemplo, para fijar el porcentaje del aumento anual de los salarios, tanto trabajadores como empresarios lo tienen siempre en cuenta.

ACTIVIDAD 8

1. ¿Cuál es el objetivo del DANE? 2. ¿Qué significa IPC? 3. ¿Para qué sirve el IPC? 4. ¿Por qué es tan importante el IPC en nuestro país? 5. Consulta 3 indicadores que sirvan para realizar diagnósticos sobre la economía del país.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 41 de 68

Se definen como métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un experimento aleatorio sin enumeración directa. Con frecuencia la parte más difícil en el análisis de un experimento y en las operaciones relacionadas con las probabilidades asociadas con el experimento consiste en contar el número de resultados posibles.

PERMUTACIONES Son una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto con un orden definido. Se simboliza por Pn = n! o también nPn = n!; se lee como permutación de n elementos formados de n en n. El símbolo n! se lee n factorial y se resuelve así:

4032012345678!8

Ejemplo 1: supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4

y se quiere formar cifras de 4 dígitos. Según la formula anterior se tendrá que: N = 4

4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = = 24 Veamos cuales serían las cifras que se podrían permutar:

1234 2134 3142 4132 1243 2143 3124 4123 1324 2314 3214 4213 1432 2341 3241 4231 1342 2413 3412 4312 1423 2431 3421 4321

Ejemplo 2: Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con las letras de la

palabra libro.

N = 5

5P5= 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 42 de 68

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía en este caso nos referimos a permutaciones con repetición y su fórmula es:

!

!

r

nPn r

Ejemplo 1: Cuantas permutaciones se pueden hacer con las tras de la palabra Casa? N = 4, r = 2 (aa)

12

1234

!2

!44 2

P r

12

2

244 2

P r

Ejemplo 2: ¿Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra

tártara? N = 7 r = 3(aaa), 2(rr), 2(tt)

210

24

5040

226

1235467

!2!2!3

!77 2,2,3

xx

xxxxx

xxP r

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 43 de 68

1. En una universidad de Bogotá a cinco estudiantes se les califica con las letras A, B, C, D, E. De cuántas maneras se les puede calificar, si todos los estudiantes obtienen calificaciones diferentes. 2. Si un futbolista conoce siete jugadas diferentes y si el entrenador le instruye

para que juegue las siete sin que ninguna se repita, ¿Qué libertad le queda a ese jugador?.

3. Una señora invita a cenar a once amigos y después de sentarse ella, ¿De

cuántas maneras se pueden sentar sus invitados? 4. Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra MURCIELAGO

5. ¿Cuántas cifras de nueve dígitos se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? 6. Un examen consta de 14 preguntas y se deja en libertad para contestarlas en

el orden que se desee. ¿De cuántas maneras podrá contestar? 7. ¿Cuántas palabras de con o sin sentido idiomático pueden tomarse a partir de

las letras de la palabra REPUBLICANISMO? 8. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con las letras de la palabra ESTADISTICA?.

9. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra MISSISSIPPI?

10. ¿Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra COOPERATIVISMO?

VARIACIONES

Son permutaciones en las que se implica orden en la colocación de los elementos, pero con la diferencia a las permutaciones, de que se toma únicamente una parte de los elementos del conjunto.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 44 de 68

VPVn

rrrnn Son los diferentes símbolos, que pueden utilizarse y que se leen

como variaciones o permutaciones de n elementos tomados de r en r.

!!

rn

nnPr

n es el total de elementos del conjunto y r es aquella parte de los

elementos que se quiere permutar.

Ejemplo 1:

1. Volvamos nuevamente a los cuatro números naturales: 1, 2, 3, 4 y formemos cifras de tres dígitos, con los siguientes resultados:

123 213 312 413 132 231 321 431 124 214 314 412 142 241 341 421 134 234 342 423 143 243 324 432

24

!1

!4

!34

!444

33

PV

Con la calculadora 4000 directamente se obtendrá el resultado de 24, si operamos de la siguiente manera:

4 SHIFT x1 3 EXE con el resultado en pantalla de 24 observe que al teclear

4 SHIFT x1 3 EXE en la pantalla aparece P3

4

Ejemplo 2: si se tienen 8 pupitres puestos en fila, se quiere determinar de

cuantas maneras posibles se pueden ordenar 3 alumnos.

336

!5

!8

!38

!588

33

PV

Ejemplo 3: ¿cuantas cifras de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9, usándolos una sola vez?

5040

!6

!10

!410

!10810

44

PV

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 45 de 68

El caso anterior es diferente al de la lotería, tomando los dígitos del 0 al 9 y además, a cada billete la corresponden 4 cifras de 4 dígitos, el total de billetes será de 10000.

N = 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000

1. Si un estudiante tiene 9 libros y sedea ordenar a 5 de ellos sobre un estante. ¿De cuantas maneras distintas puede hacerlo?

2. ¿Cuantos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 3, 5, 7, y 9,

si ninguno puede aparecer más de una vez en cada número? 3. ¿Cuantas palabras de 5 letras diferentes se pueden formar con la 27 letras del

alfabeto

COMBINACIONES Las combinaciones son un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se disponga. La fórmula que se utiliza en el cálculo de las combinaciones es:

!!

!

rrn

nC rn

Se pronuncia las combinaciones de n elementos organizados de r en r

Ejemplo 1:

Cambiemos el ejercicio de los cuatro números naturales por las primeras cuatro letras del alfabeto A, B, C, D. Si se desea combinarlos, ¿cuántas combinaciones se podrán hacer Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo

ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB =, etc.

1

!41

!4

!4!0

!4

!4!44

!444

C

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 46 de 68

El 0! Es igual a 1, lo que se puede demostrar. Tomamos la calculadora y la utilizaremos así:

0 - SHIFT - ! - = Y aparecerá como resultado 1.

Ejemplo 2:

Si se fueran a combinar esas cuatro letras de dos en dos, se tendría:

AB = BA AC = CA BC = CB BD = DB CD = DC AD = DA

6

4

24

4

!4

!2!2

!4

!2!24

!424

C

Ejemplo 3: En este mismo ejercicio calcular las combinaciones de tres en tres.

ABC = BCA = CBA = ACB = BAC = CAB

ABD = ADB = BDA = BAD = DAB = DBA

ACD = ADC = CAD = CDA = DCA = DAC

BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB

4

6

24

6

!4

!3!1

!4

!2!34

!434

C

1. ¿Cuantos comités diferentes pueden seleccionarse entre 7 hombres y 4

mujeres, si deben constituirse de:

a. 3 hombres y dos mujeres

b. 5 personas de las cuales por lo menos tres deben ser hombres.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 47 de 68

2. Es necesario elegir un comité de 10 personas entre 6 abogados, 8 economistas y 5 ingenieros. Si el comité debe estar integrado por 4 abogados, 3 economistas y 3 ingenieros.

3. ¿Cuántos comités compuestos de tres diputados y cinco senadores pueden

formarse tomando como base un grupo de cinco diputados y ocho senadores? 4. ¿Cuántas comisiones de tres personas se pueden formar seleccionándolas

entre diez personas? ¿De siete entre diez? 5. ¿De cuántas maneras se puede sacar dos manzanas de una caja que contiene

ocho manzanas? 6. Una caja contiene siete fichas rojas, seis fichas blancas y cuatro fichas azules. Cuántas selecciones de tres fichas se pueden formar si:

a. ¿Las tres deben ser rojas?

b. ¿Ninguna puede ser roja? 7. ¿Cuantos grupos de cinco cartas se pueden armar de una baraja de Póker de

52 cartas? 8. Un examen costa de 14 preguntas, hay que dar respuesta a solo 8 de las14

preguntas para pasar. ¿Cuántas opciones diferentes tiene el estudiante para responder las preguntas necesarias para pasar?

9. De una bolsa que contiene 7 bolas negras y 5 blancas, ¿cuantos conjuntos de 5 bolas pueden extraerse, si se desea que 3 de ellas sean negras y dos blancas?

10. ¿Cuantos grupos diferentes pueden formarse de entre 5 señoritas morenas y 7 rubias, si se desea incluir 2 dos morenas y 4 rubias?

COMBINACIONES SEGÚN EL TRIANGULO DE

PASCAL Se llama Triangulo de Pascal a la distribución de números en forma triangular de la derecha, la cual se puede extender para que tenga todas las filas que desee. En la figura tiene diez filas. Trate de encontrar el patrón de formación del triangulo. Se utiliza para resolver problemas que encierren combinaciones que en otro caso serían difíciles de solucionar, lo cual constituye en una herramienta o alternativa de hallar combinaciones de elementos.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 48 de 68

1

0

0

1

0

1 1

1

1

1

0

2 2

1

2 1

2

2

1

0

3 3

1

3 3

2

3 1

3

3

1

0

4 4

1

4 6

2

4 4

3

4 1

4

4

1

0

5 5

1

5 10

2

5 10

3

5 5

4

5 1

5

5

1

0

6 6

1

6 15

2

6 20

3

6 15

4

6 6

5

6 1

6

6

1

0

7 7

1

7 21

2

7 35

3

7 35

4

7 21

5

7 7

6

7 1

7

7

1

0

8 8

1

8 28

2

8 56

3

8 70

4

8 56

5

8 28

6

8 8

7

8 1

8

8

1

0

9 9

1

9 36

2

9 84

3

9 126

4

9 126

5

9 84

6

9 36

7

9 9

8

9 1

9

9

Ejemplo:

En una prueba de cinco problemas el alumno puede responder tres problemas. ¿Cuántas combinaciones diferentes de problemas puede escoger el alumno?

Tomemos la quinta fila del Triángulo de Pascal

1 5 10 10 5 1

Así para un conjunto de 5 problemas, hay diez combinaciones de 3 problemas que

el alumno puede escoger.

5 problemas

4 problemas 1 problemas

0 problemas

3 problemas 2 problemas

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 49 de 68

1. Por medio del Triangulo de Pascal, halle las respuestas a las preguntas. a. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden seleccionar entre ocho

personas? b. ¿Cuántos comités de cinco miembros se pueden seleccionar entre siete

personas? c. En una prueba de diez problemas, un alumno puede hacer siete cualesquiera. ¿Cuántas selecciones diferentes de los problemas puede hacer?

d. Un entrenador debe seleccionar entre diez jugadores, un equipo de cinco. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar si no se tiene en cuenta que posición ocupa cada jugador?

2. En la siguiente figura aparecen tres números consecutivos de una fila del

Triangulo de Pascal. ¿Cuáles son los números de la fila siguiente que van en el espacio?

66 220 495 3. ¿Cuáles serán los dos primeros números de la fila 17 del Triángulo de Pascal? 4. Susana tiene nueve gatitos. Quiere quedarse con tres y regalar los demás.

a. ¿Cuántos grupos diferentes de cuatro puede regalar? 5. Margarita solo tiene dinero suficiente para comprar dos caramelos pero hay

siete variedades de las cuales puede escoger. ¿Cuántas selecciones diferentes puede hacer si ambos caramelos son distintos?

6. Completar el siguiente mentefacto conceptual y el Diagrama de Venn-Euler.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 50 de 68


TÊCNICAS DE

CONTEO

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 51 de 68

Usando el procedimiento correspondiente, resuelve y señala la respuesta correcta: 1. El valor de 5! es:

a. 15 b. 25 c. 120 d. 3125 e. Ninguna de las anteriores

2. El número de grupos de 5 estudiantes que se pueden formar con un total de 20 es:

a. 4 b. 15.504 c. 100 d. 20 e. Ninguna de las anteriores

3. El número de permutaciones que se pueden tomar con las letras de la palabra “mejoral” es:


4. El número de cifras distintas que se pueden formar con 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, es:


L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 52 de 68

5. Si A y B son un par de eventos cualquiera, el evento de menor probabilidad es:

a. A b. B

c. BA d. BA e. Ninguna de las anteriores

6. Si A y B son un par de eventos mutuamente excluyentes, entonces:

a. P( BA ) = P(A) P(B)

b. P( BA ) = c. P( BA ) = 0

d. P BPA

B

e. Ninguna de las anteriores 7. Si A y B son un par de eventos independientes, entonces:

a. P( BA ) = 0 b. P( BA ) = P(A) + P(B)

c. P APB

A

d. Ninguna de las anteriores 8. Se lanzan tres monedas en forma simultánea. La probabilidad de que una sea

cara es:

a. 1/2 b. 3/9 c. 3/8 d. 1/8 e. Ninguna de las anteriores

9. Para calcular la probabilidad de obtener cara con una moneda cargada, se

debe emplear:

a. La fórmula clásica b. La fórmula de frecuencia relativa c. La fórmula de la suma d. La regla de la complementación e. Ninguna de las anteriores

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 53 de 68

APLIQUEMOS LO APRENDIDO EN EL ICFES

RESPONDE LAS PREGUNATAS 1 – 3 CON EL SIGUIENTE ENUNCIADO

Federico fue el ganador de $100.000 en una mini lotería, él por un costo de $1.000 apostó a tres dígitos diferentes y ganó porque los dígitos que seleccionó coincidieron con los sorteados (no importaba el orden).

1. Federico desea apostar nuevamente utilizando únicamente el dinero que

ganó. Si no puede apostar más de una vez a cada trío de dígitos, es correcto afirmar que si invierte los $100.000

a. incrementará sus ganancias. b. existe una posibilidad entre seis de que pierda. c. puede apostar a todas los tríos de dígitos posibles. d. existen cinco posibilidades entre seis de que pierda.

2. Si Federico decide apostar los $100.000 en el chance y le pagan $500 por

cada $1 apostado pero para ganar debe acertar en su orden los tres últimos dígitos de una lotería, es correcto afirmar que

a. si en el chance apuesta $100 a cada trío posible, gana $100.000. b. en el chance para ganar $100.000 tiene que apostar mínimo $200.

c. si en la mini lotería apuesta $50.000 es seguro que gana $100.000 d. en la mini lotería el número de posibles apuestas es menor que en el chance.

3. Si la mini lotería modificará las reglas y para ganar se deben acertar cuatro

dígitos diferentes en el orden en que salgan en el sorteo, es correcto afirmar que la posibilidad de

a. perder es 42 veces mayor. b. perder es 10 veces mayor. c. ganar se reduce a la cuarta parte. d. ganar es igual con cualquiera de las dos reglas.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 54 de 68

CONTESTA LAS PREGUNTAS DE LA 4 – 6 CON EL SIGUIENTE ENUNCIADO

En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación:

- 1 personero - 1 representante al consejo directivo - 3 representantes al consejo estudiantil (Para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero)

4. Si fueran elegidos 3 hombres para ocupar los cargos del consejo estudiantil, el número de consejos diferentes que se podrían formar es

A. 4 B. 6 C. 15 D. 20 5. Concluida la votación, un observador se da cuenta que de los 4 primeros estudiantes elegidos 3 son mujeres y 1 es hombre, el observador puede afirmar que el quinto estudiante elegido tendrá A. el doble de posibilidad de ser un hombre que una mujer. B. el doble de posibilidad de ser una mujer que un hombre. C. el triple de posibilidad de ser un hombre que una mujer. D. el triple de posibilidad de ser una mujer que un hombre.

6. La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres es igual a la probabilidad de que los elegidos sean

A. 4 hombres y 1 mujer. B. 1 hombre y 4 mujeres. C. 3 hombres y 2 mujeres. D. 5 hombres y ninguna mujer

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 55 de 68

PERMUTACIÓN:

COMBINACIÓN: VARIACION: PERMUTACION CON REPETICION: TRIANGULO DE PASCAL:

Notación es la acción de indicar o representar por medio de signos convencionales términos estadísticos. Estas notaciones se pueden representar por medio de índices, subíndices y símbolos (productoria, sumatoria, etc.).

El uso de la notación genera la rapidez, la versatilidad, la organización de los sistemas numéricos, los cuales en algunos problemas matemáticos y estadísticos eran muy grandes y engorrosos, lo que dificultaba la manipulación y la solución pronta a estos problemas; con la ayuda de la notación se sintetizaron grandes problemas y paso de dificultades grandes a pequeñas.

Estas notaciones se representaron de la siguiente manera:

Se reemplaza “n” en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2,........,n y se suman las expresiones que resulten.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 56 de 68

Ejemplo:

En una encuesta a hogares sobre el presupuesto familiar se preguntó sobre el número de integrantes en la familia. Fueron encuestadas diez familias y los datos son los siguientes:

3 5 4 6 4 3 7 8 3 4

En primer lugar asignamos a cada valor su posición correspondiente así:

X1 = 3 X2 = 5 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 4 X6 = 3 X7 = 7 X8 = 8 X9 = 3 X10 = 4

X1 = 3 significa que la primera familia encuestada tiene tres integrantes. X2 = 5 significa que la segunda familia encuestada tiene cinco integrantes y así sucesivamente.

La variable X en este caso es equivalente a las familias y el subíndice n es igual a la posición en la que la familia fue encuestada en distintas observaciones de un estudio estadístico también así: X1 “se lee” “equis sub-uno” que corresponde al primer dato. X2 “se lee” “equis sub-dos” que corresponde al segundo dato y así sucesivamente hasta Xn “se lee” “equis sub-ene” que es la última o n-esima

medición. El conjunto de n observaciones constituye una muestra de tamaño n. El conjunto de datos X1, X2,......,Xn no permite apreciar los elementos importantes para analizar, pero sí conocer su posición.

1. A la siguiente familia de datos sobre el número de mascotas de 24 familias,

asígnele el sub-índice correspondiente y de una ligera explicación sobre sus posiciones.

1 6 4 2 3 5 2 1 2 1 4 3 2 4 5 1 1 5 4 3 2 3 4 3

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 57 de 68

2. Realizar la tabla de Frecuencias para el punto 1.

Dato F. Absoluta F. Acumulada F. Relativa F. Porcentual

1

2

3

4

5

6

TOTALES

a. Grafica en tu cuaderno de tres maneras diferentes los resultados obtenidos. En estadística nos encontramos frecuentemente con la suma de un gran número de términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. Notación simplificada y simbólica de la suma de un gran número de términos que

guardan entre sí cierta relación. Se simboliza (sigma). Ejemplo:

Dado un conjunto de datos: 4, 8, 3, 12, 15, 16, 20, 22, 21, 14, 12, 5.......... X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9, X10, X11, X12 ......... Xn Se puede representar la suma de los n primeros términos con la notación sumatoria o sigma, así:

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 58 de 68

n

ixi

1

Donde: n = limite superior de la sumatoria

Xi = elemento genérico de la sumatoria

∑ = Sumatoria

i = limite inferior de la sumatoria

Y esto se lee:

La sumatoria de los equis sub - i que van desde 1 hasta n. La letra X es el índice

de la suma o variable de la sumatoria; ahora:

12

1xxi

= 4 + 8 + 3 + 12 + 15 + 16 + 20 +22 + 21 + 14 +12 +5 = 152

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las propiedades de Estadística, las propiedades de la sumatoria tienen una gran importancia. Entre algunas de las propiedades de la sumatoria tenemos:

La sumatoria del producto de una constante por una variable: es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable. Ejemplo:

n

i

ki1

=

n

i

ik1

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 59 de 68

5

1

2i

i 301086425)2(4)2(3)2(221)2(

Siendo igual a la expresión de:

5

1

2i

i 30152543212

Entre otros casos especiales de la sumatoria tenemos:

a.

n

i

i1

=

2

1nn

Ejemplo:

10

1i

i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

10

1i

i =

552

110

2

1110

2

11010

b.

n

ii

1

2

=

6

121 nnn

Ejemplo:

10

1

2

ii = 38510987654321

2222222222

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 60 de 68

10

1

2

ii =

6

12011010 =

6

21110 = 385

c.

n

ii

1

3

=

2

12

nn

Ejemplo:

5

1

3

ii = 54321

33333 = 225

5

1

3

ii =

2

1552

=

2

302

= 225152

Resolver las siguientes sumatorias:

1.

5

1ii

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 61 de 68

2.

10

4

2

ii

3.

9

5

2)10(

ii

4.

5

1

5i

i

5.

8

1

2

)4(i

i

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 62 de 68

6.

8

22

i

i

7.

12

4

3i

i

Notación simplificada y simbólica de la multiplicación de un gran número de

términos que guardan relación entre sí. Se simboliza: (pi).

Ejemplo:

Dado el siguiente conjunto de datos:

2, 4, 3, 6 X1 X2 X3 X4

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 63 de 68

Se puede representar el productos de los n primeros términos con la notación productoria así:

n

iix

1= xxx n

........21

Se reemplaza la n en la ecuación productoria por los enteros 1, 2,......., n y se multiplican las expresiones que resultan, con lo que se llega al lado derecho de la expresión; esto se lee: La productoria de los equis sub-ene que van desde uno hasta ene. La letra X es el índice del producto, ahora:

4

1iix 1446342

PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA El producto de una constante es igual a una potencia: en donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto.

n

i

k1

= kn

kkkk ........ Ó sea

n

i

n

kk1

Ejemplo:

3

1

2i

= 8222 23

El producto de una constante por una variable: es igual a la constante elevada

al límite superior por la productoria de la variable.

n

iixk

1=

n

ii

n

xk1

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 64 de 68

n

iixk

1= xxx n

kkk .......21

= xxx nkkkk .........

21

=

n

ii

n

xk1

Ejemplo:

3

1

2i

i=

3

1

3

2i

i = 48683218

Resolver las siguientes productorias:

1.

4

1i

i

2.

5

1

2i

i

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 65 de 68

3. )44(

3

1

ii

4.

8

2

2 )3(i

i

5.

7

3

2

i

i

6.

3

1

3i

i

7.

8

2

3 8i

i

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 66 de 68

8.

12

3

2i

i

1. Realizar de los siguientes datos las sumatorias y productorias correspondientes: a. 7, 9, 12, 6, 4, 3, 5, 1, 2, 4.

b. 2.5, 3.2, 0.4, 5.8, 1.7, 1.0, 2.5, 3.5, 1.2,

2. Responder con sus propias palabras las siguientes preguntas: a. ¿Qué se entiende por índice y subíndice? b. ¿Qué es una sumatoria?

c. ¿Qué es una productoria?

3. Redacta 2 ejemplos de sumatoria y 2 de productoria.

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 67 de 68

INDICE: SUB- INDICE: SUMATORIA: PRODUCTORIA: CONSTANTE: NOTACION: SIGMA: PI:

L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003



Código PGF 02-R04

Página 68 de 68

Estadística y Muestreo. Ed. Ecoe Ediciones Matemática con Tecnología Aplicada 10. Ed. Prentice Hall

Serie Matemática Moderna Segundo Curso. Ed. Norma

Manual Práctico de Estadística 2. Ed. Pime

www.wikipedia.com www.monografias.com

http://www.wikipedia.com/

http://www.monografias.com/

TABLA DE CONTENIDO (Grado 9)files.luisfermaticas.webnode.com.co/200000083-ecb82ed365/Modulo... ·...

Documents

Transcript of TABLA DE CONTENIDO (Grado 9)files.luisfermaticas.webnode.com.co/200000083-ecb82ed365/Modulo... ·...