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TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para obtener las expresiones algebraicas hay que utilizar el lenguaje algebraico. Hay expresiones algebraicas de varios tipos: Monomios Monomios Monomios Monomios. Polinomios Polinomios Polinomios Polinomios Identidades Identidades Identidades Identidades. . . . Son igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de la letra. Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones. . . . Son igualdades algebraicas que se cumplen solo para algunos valores de la letra. Ejercicios. Ejercicios. Ejercicios. Ejercicios. 1. 1. 1. 1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones. a) a) a) a) El doble de un número menos su cuarta El doble de un número menos su cuarta El doble de un número menos su cuarta El doble de un número menos su cuarta parte. parte. parte. parte. b) Años de Ana Belén dentro de 12 años. b) Años de Ana Belén dentro de 12 años. b) Años de Ana Belén dentro de 12 años. b) Años de Ana Belén dentro de 12 años. c) Años de Isabel hace tres años. c) Años de Isabel hace tres años. c) Años de Isabel hace tres años. c) Años de Isabel hace tres años. d) La cuarta parte de un número más su siguiente. d) La cuarta parte de un número más su siguiente. d) La cuarta parte de un número más su siguiente. d) La cuarta parte de un número más su siguiente. e) Perímetro de un cuadrado. e) Perímetro de un cuadrado. e) Perímetro de un cuadrado. e) Perímetro de un cuadrado. d) Un número par. d) Un número par. d) Un número par. d) Un número par. e) Un número impar. e) Un número impar. e) Un número impar. e) Un número impar. f) Un múltiplo de 7. f) Un múltiplo de 7. f) Un múltiplo de 7. f) Un múltiplo de 7. g) Dos números enteros consecutivos. g) Dos números enteros consecutivos. g) Dos números enteros consecutivos. g) Dos números enteros consecutivos. h) Dos números que se diferencian en dos unidades. h) Dos números que se diferencian en dos unidades. h) Dos números que se diferencian en dos unidades. h) Dos números que se diferencian en dos unidades. i) El doble de un número menos su quinta parte. i) El doble de un número menos su quinta parte. i) El doble de un número menos su quinta parte. i) El doble de un número menos su quinta parte. j) El quíntuplo de un número más su quinta parte. j) El quíntuplo de un número más su quinta parte. j) El quíntuplo de un número más su quinta parte. j) El quíntuplo de un número más su quinta parte. k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. l) Dos números se diferencian en 13 un l) Dos números se diferencian en 13 un l) Dos números se diferencian en 13 un l) Dos números se diferencian en 13 unidades. idades. idades. idades. m) Dos números suman 13. m) Dos números suman 13. m) Dos números suman 13. m) Dos números suman 13. n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre. n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre. n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre. n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre. ñ) La cuarta parte de la mitad de un número. ñ) La cuarta parte de la mitad de un número. ñ) La cuarta parte de la mitad de un número. ñ) La cuarta parte de la mitad de un número. 2. 2. 2. 2. Traduce al lenguaje algebraico Traduce al lenguaje algebraico Traduce al lenguaje algebraico Traduce al lenguaje algebraico a) a) a) a) El 25% de un número. El 25% de un número. El 25% de un número. El 25% de un número. b) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada ) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada ) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada ) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros. metro cuesta 8 euros. metro cuesta 8 euros. metro cuesta 8 euros. c) El ben ) El ben ) El ben ) El beneficio que se obtiene en la venta de un eficio que se obtiene en la venta de un eficio que se obtiene en la venta de un eficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se vende por artículo que cuesta “a” euros y se vende por artículo que cuesta “a” euros y se vende por artículo que cuesta “a” euros y se vende por “b” euros. “b” euros. “b” euros. “b” euros. d) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” ) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” ) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” ) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros. euros. euros. euros. e) e) e) e) Considerando un rebaño de “x” ovejas: Considerando un rebaño de “x” ovejas: Considerando un rebaño de “x” ovejas: Considerando un rebaño de “x” ovejas: Número de patas del rebaño. Número de patas del rebaño. Número de patas del rebaño. Número de patas del rebaño. Número de patas si se Número de patas si se Número de patas si se Número de patas si se mueren 6 ovejas. mueren 6 ovejas. mueren 6 ovejas. mueren 6 ovejas. Número de ovejas después de nacer 18 Número de ovejas después de nacer 18 Número de ovejas después de nacer 18 Número de ovejas después de nacer 18 corderillos. corderillos. corderillos. corderillos. Número de ovejas después de dos años si el Número de ovejas después de dos años si el Número de ovejas después de dos años si el Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año. rebaño crece un cuarto al año. rebaño crece un cuarto al año. rebaño crece un cuarto al año. f) f) f) f) Considerando que Ana tiene “x” euros: Considerando que Ana tiene “x” euros: Considerando que Ana tiene “x” euros: Considerando que Ana tiene “x” euros: Enrique tiene 100 euros más que Ana. Enrique tiene 100 euros más que Ana. Enrique tiene 100 euros más que Ana. Enrique tiene 100 euros más que Ana. Susana tiene el doble de Enrique. Susana tiene el doble de Enrique. Susana tiene el doble de Enrique. Susana tiene el doble de Enrique. Charo tiene 400 euros menos que Charo tiene 400 euros menos que Charo tiene 400 euros menos que Charo tiene 400 euros menos que

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TEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOSTEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOSTEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOSTEMA 4: EL LENGUAGE ALGEBRAICO. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICASEXPRESIONES ALGEBRAICASEXPRESIONES ALGEBRAICASEXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para obtener las expresiones algebraicas hay que utilizar el lenguaje algebraico.

Hay expresiones algebraicas de varios tipos:

• MonomiosMonomiosMonomiosMonomios.

• PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios

• IdentidadesIdentidadesIdentidadesIdentidades. . . . Son igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de la letra.

• EcuacionesEcuacionesEcuacionesEcuaciones. . . . Son igualdades algebraicas que se cumplen solo para algunos valores de la letra.

Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.

1.1.1.1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones.Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones.Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones.Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones.

a) a) a) a) El doble de un número menos su cuartaEl doble de un número menos su cuartaEl doble de un número menos su cuartaEl doble de un número menos su cuarta parte. parte. parte. parte.

b) Años de Ana Belén dentro de 12 años.b) Años de Ana Belén dentro de 12 años.b) Años de Ana Belén dentro de 12 años.b) Años de Ana Belén dentro de 12 años.

c) Años de Isabel hace tres años.c) Años de Isabel hace tres años.c) Años de Isabel hace tres años.c) Años de Isabel hace tres años.

d) La cuarta parte de un número más su siguiente.d) La cuarta parte de un número más su siguiente.d) La cuarta parte de un número más su siguiente.d) La cuarta parte de un número más su siguiente.

e) Perímetro de un cuadrado.e) Perímetro de un cuadrado.e) Perímetro de un cuadrado.e) Perímetro de un cuadrado.

d) Un número par.d) Un número par.d) Un número par.d) Un número par.

e) Un número impar.e) Un número impar.e) Un número impar.e) Un número impar.

f) Un múltiplo de 7.f) Un múltiplo de 7.f) Un múltiplo de 7.f) Un múltiplo de 7.

g) Dos números enteros consecutivos.g) Dos números enteros consecutivos.g) Dos números enteros consecutivos.g) Dos números enteros consecutivos.

h) Dos números que se diferencian en dos unidades.h) Dos números que se diferencian en dos unidades.h) Dos números que se diferencian en dos unidades.h) Dos números que se diferencian en dos unidades.

i) El doble de un número menos su quinta parte.i) El doble de un número menos su quinta parte.i) El doble de un número menos su quinta parte.i) El doble de un número menos su quinta parte.

j) El quíntuplo de un número más su quinta parte.j) El quíntuplo de un número más su quinta parte.j) El quíntuplo de un número más su quinta parte.j) El quíntuplo de un número más su quinta parte.

k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.k) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.

l) Dos números se diferencian en 13 unl) Dos números se diferencian en 13 unl) Dos números se diferencian en 13 unl) Dos números se diferencian en 13 unidades.idades.idades.idades.

m) Dos números suman 13.m) Dos números suman 13.m) Dos números suman 13.m) Dos números suman 13.

n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.n) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.

ñ) La cuarta parte de la mitad de un número.ñ) La cuarta parte de la mitad de un número.ñ) La cuarta parte de la mitad de un número.ñ) La cuarta parte de la mitad de un número.

2.2.2.2. Traduce al lenguaje algebraicoTraduce al lenguaje algebraicoTraduce al lenguaje algebraicoTraduce al lenguaje algebraico

a)a)a)a) El 25% de un número.El 25% de un número.El 25% de un número.El 25% de un número.

bbbb) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros.metro cuesta 8 euros.metro cuesta 8 euros.metro cuesta 8 euros.

cccc) El ben) El ben) El ben) El beneficio que se obtiene en la venta de uneficio que se obtiene en la venta de uneficio que se obtiene en la venta de uneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se vende porartículo que cuesta “a” euros y se vende porartículo que cuesta “a” euros y se vende porartículo que cuesta “a” euros y se vende por “b” euros.“b” euros.“b” euros.“b” euros.

dddd) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p”) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p”) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p”) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros.euros.euros.euros.

e) e) e) e) Considerando un rebaño de “x” ovejas:Considerando un rebaño de “x” ovejas:Considerando un rebaño de “x” ovejas:Considerando un rebaño de “x” ovejas:

Número de patas del rebaño. Número de patas del rebaño. Número de patas del rebaño. Número de patas del rebaño.

Número de patas si seNúmero de patas si seNúmero de patas si seNúmero de patas si se mueren 6 ovejas. mueren 6 ovejas. mueren 6 ovejas. mueren 6 ovejas.

Número de ovejas después de nacer 18Número de ovejas después de nacer 18Número de ovejas después de nacer 18Número de ovejas después de nacer 18 corderillos.corderillos.corderillos.corderillos.

Número de ovejas después de dos años si elNúmero de ovejas después de dos años si elNúmero de ovejas después de dos años si elNúmero de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año.rebaño crece un cuarto al año.rebaño crece un cuarto al año.rebaño crece un cuarto al año.

f) f) f) f) Considerando que Ana tiene “x” euros:Considerando que Ana tiene “x” euros:Considerando que Ana tiene “x” euros:Considerando que Ana tiene “x” euros:

Enrique tiene 100 euros más que Ana. Enrique tiene 100 euros más que Ana. Enrique tiene 100 euros más que Ana. Enrique tiene 100 euros más que Ana.

Susana tiene el doble de Enrique. Susana tiene el doble de Enrique. Susana tiene el doble de Enrique. Susana tiene el doble de Enrique.

Charo tiene 400 euros menos queCharo tiene 400 euros menos queCharo tiene 400 euros menos queCharo tiene 400 euros menos que

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3.3.3.3. En un aparcamiento hay coches deEn un aparcamiento hay coches deEn un aparcamiento hay coches deEn un aparcamiento hay coches de color blanco, de color rojo y de colorcolor blanco, de color rojo y de colorcolor blanco, de color rojo y de colorcolor blanco, de color rojo y de color negro. El número de coches de colornegro. El número de coches de colornegro. El número de coches de colornegro. El número de coches de color rojo es rojo es rojo es rojo es

el doble del de color blancoel doble del de color blancoel doble del de color blancoel doble del de color blanco más 1 y el de color negro el trmás 1 y el de color negro el trmás 1 y el de color negro el trmás 1 y el de color negro el triple deliple deliple deliple del de color blanco menos 5. Con estosde color blanco menos 5. Con estosde color blanco menos 5. Con estosde color blanco menos 5. Con estos datos completa datos completa datos completa datos completa

la siguiente tabla:la siguiente tabla:la siguiente tabla:la siguiente tabla:

MONOMIOSMONOMIOSMONOMIOSMONOMIOS

Es el producto de un número por una o varias letras. Todo monomio consta de varias partes.

cba

7323

El grado de un monomiogrado de un monomiogrado de un monomiogrado de un monomio es el número de letras que tiene y se calcula sumando los exponentes de las letras. El grado del

monomio anterior será ….

Los númerosnúmerosnúmerosnúmeros se pueden considerar como monomios de grado ceromonomios de grado ceromonomios de grado ceromonomios de grado cero ya que xxxx0000 = 1. = 1. = 1. = 1.

Por ejemplo: 8 =8.x0

Dos o más monomios monomios monomios monomios son semejantessemejantessemejantessemejantes si tienen la misma parte literal. Por ejemplo, vamos a escribir monomios semejantes

a 2x3y5z

Suma y resta de monomios.Suma y resta de monomios.Suma y resta de monomios.Suma y resta de monomios. Para sumar o restar monomios estos han de ser semejantes. El resultado es otro monomio.

Por ejemplo:

3xy + 12 xy – 2 xy + xy =

Si los monomios no son semejantes se deja la operación indicada. Por ejemplo:

3x4y +9xy4-12xy4+21x4y=

Producto y cociente de monomios.Producto y cociente de monomios.Producto y cociente de monomios.Producto y cociente de monomios. El producto de dos o más monomios es otro monomio. Por ejemplo:

(-5x3y6).(4xy6c)=

(13a6b3c5) : (-7ab2c3)=

PotenciaciónPotenciaciónPotenciaciónPotenciación de monomios. de monomios. de monomios. de monomios. Es otro monomio. Por ejemplo:

(3x4y5)3=

Valor numéricoValor numéricoValor numéricoValor numérico de un monomio. Es el resultado de sustituir las letras del monomio por valores previamente asignados.

Por ejemplo:

Si x=3 e y=-5 calcular el valor numérico de 12 x2y3=

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Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.

4.4.4.4. Realiza las sumas y restas de monomios.Realiza las sumas y restas de monomios.Realiza las sumas y restas de monomios.Realiza las sumas y restas de monomios.

a) 1a) 1a) 1a) 12x2x2x2x2222yyyy3333z + 3xz + 3xz + 3xz + 3x2222yyyy3333z z z z

b) 2 b) 2 b) 2 b) 22x2x2x2x3333 − 5x− 5x− 5x− 5x3333 = = = =

c) 3 c) 3 c) 3 c) 33x3x3x3x4444 − 2x − 2x − 2x − 2x4444 + 7x + 7x + 7x + 7x4444 = = = =

d) 4 d) 4 d) 4 d) 42 a2 a2 a2 a2222bcbcbcbc3333 − 5a − 5a − 5a − 5a2222bcbcbcbc3333 + 3a + 3a + 3a + 3a2222bcbcbcbc3333 − 2 a − 2 a − 2 a − 2 a2222bcbcbcbc3333 = = = =

5.5.5.5. Efectúa los productos de monomios.Efectúa los productos de monomios.Efectúa los productos de monomios.Efectúa los productos de monomios.

a)a)a)a)(2x(2x(2x(2x3333) · (5x) · (5x) · (5x) · (5x3333) =) =) =) =

b) b) b) b)(12x(12x(12x(12x3333) · (4x) =) · (4x) =) · (4x) =) · (4x) =

c) c) c) c)(2x(2x(2x(2x2222yyyy3333z) = z) = z) = z) =

d) d) d) d) (5x(5x(5x(5x2222yyyy3333z) · (2yz) · (2yz) · (2yz) · (2y2222zzzz2222) = ) = ) = ) =

e) e) e) e) 18x18x18x18x3333yyyy2222zzzz5555) · (6x) · (6x) · (6x) · (6x3333yzyzyzyz2222) = ) = ) = ) =

f) f) f) f)(−(−(−(−2x2x2x2x3333) · (−5x) · (−3x) · (−5x) · (−3x) · (−5x) · (−3x) · (−5x) · (−3x2222) =) =) =) =

6.6.6.6. Realiza las divisiones de monomios.Realiza las divisiones de monomios.Realiza las divisiones de monomios.Realiza las divisiones de monomios.

a)a)a)a)(12x(12x(12x(12x3333) : (4x) =) : (4x) =) : (4x) =) : (4x) =

b) b) b) b)(18x(18x(18x(18x6666yyyy2222zzzz5555) : (6x) : (6x) : (6x) : (6x3333yzyzyzyz2222) =) =) =) =

c) c) c) c)(36x(36x(36x(36x3333yyyy7777zzzz4444) : (12x) : (12x) : (12x) : (12x2222yyyy2222) =) =) =) =

7.7.7.7. Calcula las potencias de los monomiosCalcula las potencias de los monomiosCalcula las potencias de los monomiosCalcula las potencias de los monomios

a)a)a)a)(2x(2x(2x(2x3333))))3333 = = = =

b) b) b) b)(−3x(−3x(−3x(−3x2222))))3333 = = = =

c) (2x c) (2x c) (2x c) (2x3333yyyy5555))))3333====

8.8.8.8. Calcula el valor numérico dCalcula el valor numérico dCalcula el valor numérico dCalcula el valor numérico de los siguientes monomios para a=3/2 y b=1/3e los siguientes monomios para a=3/2 y b=1/3e los siguientes monomios para a=3/2 y b=1/3e los siguientes monomios para a=3/2 y b=1/3

a) 2 aa) 2 aa) 2 aa) 2 a2222b=b=b=b=

b)b)b)b) =ba3

2

3

9.9.9.9. Piensa un número, súmale Piensa un número, súmale Piensa un número, súmale Piensa un número, súmale 5555, multiplica el resultado obtenido por , multiplica el resultado obtenido por , multiplica el resultado obtenido por , multiplica el resultado obtenido por 6666, réstale , réstale , réstale , réstale 20202020,súmale ,súmale ,súmale ,súmale 5555, réstale , réstale , réstale , réstale 15 15 15 15 y finalmente y finalmente y finalmente y finalmente

divide el resultado entre divide el resultado entre divide el resultado entre divide el resultado entre 6666. ¿Obtienes el número que has pen. ¿Obtienes el número que has pen. ¿Obtienes el número que has pen. ¿Obtienes el número que has pensado?. Investiga por qué siempre obtienes el número sado?. Investiga por qué siempre obtienes el número sado?. Investiga por qué siempre obtienes el número sado?. Investiga por qué siempre obtienes el número

que habías pensado.que habías pensado.que habías pensado.que habías pensado.

POLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOSPOLINOMIOS

Un polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los monomios que forman el polinomio se llama término. término. término. término.

El gradogradogradogrado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo firman cuando el polinomio se ha reducido.

Cuando reducimos el polinomio, conviene ordenar los términos de grado mayor a grado menor.

El valor numéricovalor numéricovalor numéricovalor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos asignados

previamente.

Si el valor numérico de un polinomio es cero para un cierto valor de la letra, se dice que ese valor es una raízraízraízraíz del

polinomio. Por ejemplo, x=3 es una raíz del polinomio x2-2x-3 ya que si sustituimos la x por 3 da cero:

32 – 2 . 3 -3 =9 – 6 – 3 = 0

Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.

10.10.10.10. Indica el grado de los siguientes polinomios:Indica el grado de los siguientes polinomios:Indica el grado de los siguientes polinomios:Indica el grado de los siguientes polinomios:

a) 3xa) 3xa) 3xa) 3x4444----5x5x5x5x3333+4x+4x+4x+4x----8888

b) 3xb) 3xb) 3xb) 3x3333+5x+5x+5x+5x2222----6x6x6x6x4444+3x+3x+3x+3x----12121212

c) 3xc) 3xc) 3xc) 3x3333----5x5x5x5x4444+6x+6x+6x+6x2222+5x+5x+5x+5x4444----2x2x2x2x2222+7x+7x+7x+7x----6666

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11.11.11.11. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios:

a) 3xa) 3xa) 3xa) 3x2222+5x+5x+5x+5x----4 para x=4 para x=4 para x=4 para x=----2, para x=5 y para x=32, para x=5 y para x=32, para x=5 y para x=32, para x=5 y para x=3/5/5/5/5

b) 2ab) 2ab) 2ab) 2a2222bbbb----3ab+2b3ab+2b3ab+2b3ab+2b2222 para a= para a= para a= para a=----3/2 y b=1/33/2 y b=1/33/2 y b=1/33/2 y b=1/3

Opuesto Opuesto Opuesto Opuesto de un polinomio es el polinomio cambiado de signo.

Por ejemplo el opuesto de P(x)=3x3+5x2-6x+12 es –P(x)= …

Suma y resta de polinomios.Suma y resta de polinomios.Suma y resta de polinomios.Suma y resta de polinomios. Para sumar o restar polinomios, se suman o restan los términos semejantes.

Por ejemplo, si P(x)=3x3+5x2-6x+12 , Q(x)=-7x3-2x2+x-8 y R(x)=-3x2+7x-6

P(x)+Q(x)-R(x)= …

Producto de un monomio por un polinomio.Producto de un monomio por un polinomio.Producto de un monomio por un polinomio.Producto de un monomio por un polinomio. Se multiplica el monomio por todos los términos del polinomio.

Por ejemplo:

4x3. P(x)= …

Producto de dProducto de dProducto de dProducto de dos polinomios.os polinomios.os polinomios.os polinomios. Se multiplica cada uno de los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Por

ejemplo:

(-5x2+7x-1).(3x2+5x) = …

Sacar factor común.Sacar factor común.Sacar factor común.Sacar factor común. Los factores son los términos de un producto. Hemos de encontrar en el polinomio factores que se

repitan en todos los sumandos.

Por ejemplo:

9x3y2 - 30xy4+12x2y5= …

25x5 - 15x3+5x2 = …

Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.

12.12.12.12. Simplifica las siguientes expresiones.Simplifica las siguientes expresiones.Simplifica las siguientes expresiones.Simplifica las siguientes expresiones.

a) a) a) a) ( ) ( ) =+−+−⋅−−+−⋅ 653626453232

xxxxxxx

b) b) b) b) ( )

=−++−

−+−

6315

34

5

45533

xxxxx

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c) c) c) c) ( )( ) ( )( ) =+−+−−+−− 72535233522

xxxxxx

13.13.13.13. Extrae factor comExtrae factor comExtrae factor comExtrae factor común.ún.ún.ún.

a) a) a) a) =−432

25155 xxx

b) b) b) b) =−−15

1

93

4xx

c) c) c) c) =++−33274253

7232 yxyxyxyx

d) d) d) d) ( ) ( ) ( ) =−−−+− 353332 xxxx

e) e) e) e) =+−3322

462 xyyxxy

IDENTIDADES NOTABLESIDENTIDADES NOTABLESIDENTIDADES NOTABLESIDENTIDADES NOTABLES

Las identidades con este nombre son tres:

( ) abbaba 2222

++=+

( ) abbaba 2222

−+=−

( )( ) 22. bababa −=−+

Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.

14.14.14.14. Desarrolla las siguientes identidades notables:Desarrolla las siguientes identidades notables:Desarrolla las siguientes identidades notables:Desarrolla las siguientes identidades notables:

a) a) a) a) ( ) =+2

52x

b) b) b) b) ( ) =−2

5yx

c) c) c) c) ( )( ) =−+ 73.73 xx

d) d) d) d) =

2

3

1

2

x

e) e) e) e) ( ) =+22

52 xx

f) f) f) f) ( ) =−23

63 x

g) g) g) g) =

+

5

2

3.

5

2

3

xx

15.15.15.15. Simplifica las siguientes expresiones:Simplifica las siguientes expresiones:Simplifica las siguientes expresiones:Simplifica las siguientes expresiones:

a) a) a) a) ( ) ( )( ) =−+−+ xxxx 2323532

b) b) b) b) ( ) ( ) =−−+22

4545 xx

c) c) c) c) ( ) =+3

9x

d) d) d) d) ( )( ) =−+2

353 xx

e) e) e) e) ( ) ( )[ ]=−+−+222

33 xxx

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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIODESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIODESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIODESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO

Para descomponer en factores un polinomio seguimos dos pasos:

1º Extraer factor común.

2º Identificar identidades notables.

Veamos algunos ejemplos:

4x3-2x= ..

8x2-25=

X2+2x+1=

8x2+50-40x=

X2+8x+16=

X4-81=

Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.Ejercicios.

16.16.16.16. Descomponer en factores los siguDescomponer en factores los siguDescomponer en factores los siguDescomponer en factores los siguientes polinomios:ientes polinomios:ientes polinomios:ientes polinomios:

a)a)a)a) x x x x3 3 3 3 + x+ x+ x+ x2 2 2 2 ====

b) 2xb) 2xb) 2xb) 2x4444 + 4x + 4x + 4x + 4x2222 = = = =

c) xc) xc) xc) x2222 − 4=− 4=− 4=− 4=

d) xd) xd) xd) x4444 − 16= − 16= − 16= − 16=

e) 9 + 6x + xe) 9 + 6x + xe) 9 + 6x + xe) 9 + 6x + x2222 = = = =

f) 25xf) 25xf) 25xf) 25x2222 − 1= − 1= − 1= − 1=

g) xg) xg) xg) x2222 − 20x + 100 = − 20x + 100 = − 20x + 100 = − 20x + 100 =

h) 2h) 2h) 2h) 2xxxx3333 + 20x + 20x + 20x + 20x2222 +50x = +50x = +50x = +50x =

i) i) i) i) xxxx2222 + 14x + 49 = + 14x + 49 = + 14x + 49 = + 14x + 49 =

j) j) j) j) xxxx3333 − 4x − 4x − 4x − 4x2222 + 4x = + 4x = + 4x = + 4x =

FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios o monomios. Por ejemplo:

SimplificaSimplificaSimplificaSimplificación.ción.ción.ción. Para simplificar se descomponen en factores el numerador y el denominador y se simplifican los

factores comunes. Por ejemplo:

( )

=−

+

25

532

x

xx …

=−

++

xx

xx2

221

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Mínimo común múltiplo.Mínimo común múltiplo.Mínimo común múltiplo.Mínimo común múltiplo. Para calcularlo hemos de proceder como con los números, primero descomponer en factores y

luego coger los comunes y no comunes al mayor exponente. Por ejemplo:

El m.c.m. de 2x2-4x , x3-x2 y x2+4-4x

Suma y resta. Suma y resta. Suma y resta. Suma y resta. Se procede igual que con las fracciones de números. Veamos unos ejemplos

...5

5

5

65

5

3=

+−

+

−+

+ xx

x

x

x

...2

65

5

3=

−+

+

+

x

x

x

x

...32

53522

=+

−−

++

xx

x

x

x

Producto y cociente.Producto y cociente.Producto y cociente.Producto y cociente. Se procede como con las fracciones numéricas. Aunque es conveniente, para ayudar a la

simplificación, que antes de operar, descompongamos numerador y denominador en factores. Los pasos que tenemos que

seguir son:

- MARCAR los productos (en paralelo si es un producto y en cruz si es un cociente)

- DESCOMPONER numerador y denominador en factores.

- SIMPLIFICAR

- OPERAR.

Por ejemplo:

...9

255

5

32

=−

+⋅

+

+

x

x

x

x

...112

2

=−

÷+−

x

x

x

xx

( )...

2

422

=+

−⋅

x

x

x

xx

...35

1

353=

+⋅

x

x

x

x

x

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EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS 1.1.1.1. Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a) El cuadrado de un número menos su doble. b) El 80% de un número. c) Un número impar. d) Los dos tercios de un número más cinco unidades.

2.2.2.2. Expresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita.

a) El triple de un número menos dos.

b) El producto de dos números consecutivos.

c) El cuadrado de un número más su mitad.

d) La suma de un número con otro diez unidades mayor.

3.3.3.3. Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos:

4.4.4.4. Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas.

a) La suma de los cuadrados de dos números.

b) El cuadrado de la diferencia de dos números.

c) La mitad del producto de dos números.

d) La semisuma de dos números.

5.5.5.5. Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, expresa los siguientes enunciados utilizando ambas incógnitas:

a) La suma de las edades que tenían hace 5 años.

b) El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años.

c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor.

6.6.6.6. Expresa cada enunciado con una identidad:

a) La raíz cuadrada del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces cuadradas del dividendo y del divisor.

b) La potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias de los factores.

c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos.

d) El producto de un número por el siguiente es igual a ese número más su cuadrado.

7.7.7.7. Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos:

8.8.8.8. Expresa algebraicamente:

a) El área del triángulo azul. b) El área del trapecio amarillo. c) La longitud de l.

9.9.9.9. Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada....

Sol: Sol: Sol: Sol: 4444x x x x + 4+ 4+ 4+ 4y y y y –––– 16 16 16 16

10.10.10.10. Expresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio:

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11.11.11.11. Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números consecutivos.

Sol: Área = 6Sol: Área = 6Sol: Área = 6Sol: Área = 6xxxx2222 + 12 + 12 + 12 + 12x x x x + 4 y volumen = + 4 y volumen = + 4 y volumen = + 4 y volumen = xxxx3333 + 3 + 3 + 3 + 3xxxx2222 + 2 + 2 + 2 + 2x.x.x.x. 12.12.12.12. Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base.

Sol: Área = 6πSol: Área = 6πSol: Área = 6πSol: Área = 6πRRRR2222 Volumen Volumen Volumen Volumen = 2π= 2π= 2π= 2πRRRR3333

13.13.13.13. Expresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles:

Sol: Área = Sol: Área = Sol: Área = Sol: Área = 2

92 xx −

14.14.14.14. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes:

15.15.15.15. Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para x = –1 e y = 3.

Sol: a) 15 Sol: a) 15 Sol: a) 15 Sol: a) 15 b) 343 c) b) 343 c) b) 343 c) b) 343 c) ----8 d) 9 e) 6 f) 8 d) 9 e) 6 f) 8 d) 9 e) 6 f) 8 d) 9 e) 6 f) ----4/5 g) 9/5 h) ½.4/5 g) 9/5 h) ½.4/5 g) 9/5 h) ½.4/5 g) 9/5 h) ½.

16.16.16.16. Simplifica.

Sol: a) 2Sol: a) 2Sol: a) 2Sol: a) 2xxxx2222 b) b) b) b) ----xy c) xy c) xy c) xy c) ----13/5 xy13/5 xy13/5 xy13/5 xy2222 d) d) d) d) ----2/15 x2/15 x2/15 x2/15 x3333....

17.17.17.17. Efectúa.

a) 5x – x2 + 7x2 – 9x + 2 b)2x + 7y – 3x + y – x2 c) x2y 2 – 3x2y – 5xy2 + x2y + xy2

18.18.18.18. Efectúa los siguientes productos de monomios:

Sol: a) Sol: a) Sol: a) Sol: a) ––––18181818xxxx3333 b) 8 b) 8 b) 8 b) 8xxxx3333yyyy3333 c) 3/8 x c) 3/8 x c) 3/8 x c) 3/8 x6666 d) 3/8 x d) 3/8 x d) 3/8 x d) 3/8 x2222yz.yz.yz.yz.

19.19.19.19. ¿Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio?

Comprueba si 3 es raíz de alguno de estos polinomios:

P = x3 – 2x2 + x – 12 Q = x3 – 5x2 – 7x R = (x4 – 5x + 10)(x – 3)

¿Es 0 raíz de alguno de los polinomios anteriores?

Sol: 3 es raíz de Sol: 3 es raíz de Sol: 3 es raíz de Sol: 3 es raíz de PPPP y de y de y de y de RRRR. Cero es raíz de . Cero es raíz de . Cero es raíz de . Cero es raíz de Q.Q.Q.Q. 20.20.20.20. ¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio: x3 – 5x2 – 7x + k? Justifica tu respuesta. Sol: Sol: Sol: Sol: k k k k = 14.= 14.= 14.= 14.

21.21.21.21. Comprueba si 5 y -5 son raíces del siguiente polinomio P(x) = x3 - 5x2 - 5x + 5. Sol: Ni 5 ni Sol: Ni 5 ni Sol: Ni 5 ni Sol: Ni 5 ni ----5 son raíces.5 son raíces.5 son raíces.5 son raíces.

22.22.22.22. Simplifica las siguientes expresiones:

a) (2x3 – 5x + 3) – (2x3 – x2 + 1) b) 5x – (3x + 8) – (2x2 – 3x)

¿Cuál es el grado de cada polinomio?

Sol: a) Sol: a) Sol: a) Sol: a) xxxx2222 –––– 5 5 5 5x x x x + 2 Grado 2. b+ 2 Grado 2. b+ 2 Grado 2. b+ 2 Grado 2. b) ) ) ) ––––2222xxxx2222 + 5 + 5 + 5 + 5x x x x –––– 8 Grado 2. 8 Grado 2. 8 Grado 2. 8 Grado 2.

23.23.23.23. Considera estos polinomios: A = 3x3 – 5x2 + x – 1 B = 2x4 + x3 – 2x + 4 C = –x3 + 3x2 – 7x Halla: A + B; A – C; A – B + C Sol: A + B = 2Sol: A + B = 2Sol: A + B = 2Sol: A + B = 2xxxx4444 + 4 + 4 + 4 + 4xxxx3333 –––– 5 5 5 5xxxx2222 –––– x x x x + 3 ; A + 3 ; A + 3 ; A + 3 ; A –––– C = 4 C = 4 C = 4 C = 4xxxx3333 –––– 8 8 8 8xxxx2222 + 8 + 8 + 8 + 8x x x x –––– 1 ; A 1 ; A 1 ; A 1 ; A –––– B B B B + C = + C = + C = + C = ––––2222xxxx4444 + + + + xxxx3333 –––– 2 2 2 2xxxx2 2 2 2 –––– 4 4 4 4x x x x –––– 5. 5. 5. 5.

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24.24.24.24. Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante.

Sol: a) Sol: a) Sol: a) Sol: a) ––––2222xxxx3333 –––– 13 13 13 13xxxx2222 –––– 5 5 5 5x x x x –––– 7 Grado 3. b) 7 Grado 3. b) 7 Grado 3. b) 7 Grado 3. b) ––––12121212xxxx3 + 33 + 33 + 33 + 3xxxx2222 –––– 6 6 6 6x x x x Grado 3. c) Grado 3. c) Grado 3. c) Grado 3. c) ----1/2 1/2 1/2 1/2 xxxx4444 + 2 + 2 + 2 + 2xxxx3333 –––– 3 3 3 3xxxx2222 Grado 4. Grado 4. Grado 4. Grado 4.

25.25.25.25. Opera y simplifica.

Sol: a) 2Sol: a) 2Sol: a) 2Sol: a) 2xxxx3333 –––– 3 3 3 3xxxx2222 + 5 + 5 + 5 + 5x x x x –––– 3 b) 2 3 b) 2 3 b) 2 3 b) 2xxxx3333 + 14 + 14 + 14 + 14xxxx2222 + 4 + 4 + 4 + 4x x x x –––– 20 c) 20 c) 20 c) 20 c) ––––6666xxxx3333 + 8 + 8 + 8 + 8xxxx2222 d) 3 d) 3 d) 3 d) 3xxxx3333 + 4 + 4 + 4 + 4xxxx2222 –––– 19 19 19 19x x x x –––– 2. 2. 2. 2.

26.26.26.26. Efectúa estas divisiones.

a) (60x3 - 75x2) : 15x b) (121x2 - 55x) : 11x2 Sol: a) 4Sol: a) 4Sol: a) 4Sol: a) 4xxxx2222 ---- 5 5 5 5xxxx b) 11b) 11b) 11b) 11----5/x5/x5/x5/x

27.27.27.27. Realiza estas divisiones.

a) (x3 + 6x2 + 6x + 5) : (x2 + x + 1) b) (x4 - 5x3 + 11x2 - 12x + 6) : (x2 - x - 2)

c) (x5 - 2x4 + 3x2 - 5x + 6) : (x2 + 3x - 2) d) (x6 + 3x4 - 2x2 + 5x 7) : (x4 - 3x + 1)

Sol: a) Cociente:x+5 resto: 0 b) Cociente:Sol: a) Cociente:x+5 resto: 0 b) Cociente:Sol: a) Cociente:x+5 resto: 0 b) Cociente:Sol: a) Cociente:x+5 resto: 0 b) Cociente: xxxx2222 ---- 4x + 5 re 4x + 5 re 4x + 5 re 4x + 5 resto: xsto: xsto: xsto: x----4444

c) Cociente: c) Cociente: c) Cociente: c) Cociente: xxxx3333 ---- 5 5 5 5xxxx2222 + 17 + 17 + 17 + 17x x x x ---- 58 resto: 203x 58 resto: 203x 58 resto: 203x 58 resto: 203x----110 d) Cociente: x110 d) Cociente: x110 d) Cociente: x110 d) Cociente: x2222 +3 resto: 3 +3 resto: 3 +3 resto: 3 +3 resto: 3xxxx3333 ---- 3 3 3 3xxxx2222 + 14 + 14 + 14 + 14x x x x –––– 10 10 10 10

28.28.28.28. Efectúa la siguiente división de polinomios: (6x4 + 7x3 - 2x2 + 8x - 3) : (2x2 + 3x - 1) Sol: Cociente: 3xSol: Cociente: 3xSol: Cociente: 3xSol: Cociente: 3x2222----x+1 resto: 4xx+1 resto: 4xx+1 resto: 4xx+1 resto: 4x----2.2.2.2.

29.29.29.29. Efectúa cada división indicando el polinomio cociente y el polinomio resto. a) (x5 - 3x4 + x3 + 2x2 + x) : (x2 + x + 1) b) 2x4 + 2x2 + 3) : (x2 + x - 1) c) (x6 - x3 + x - 1) : (x3 - x + 2) Sol: a) Cociente:Sol: a) Cociente:Sol: a) Cociente:Sol: a) Cociente: xxxx3333 ---- 4 4 4 4xxxx2222 + 4 + 4 + 4 + 4x x x x + 2 resto: + 2 resto: + 2 resto: + 2 resto: ----5x5x5x5x----2 b) Cociente: 2x2 b) Cociente: 2x2 b) Cociente: 2x2 b) Cociente: 2x2222----2x+6 resto: 2x+6 resto: 2x+6 resto: 2x+6 resto: ----8x+9 8x+9 8x+9 8x+9

c) Cociente: x c) Cociente: x c) Cociente: x c) Cociente: x3333+x+x+x+x----3 resto: x3 resto: x3 resto: x3 resto: x2222----4x+5. 4x+5. 4x+5. 4x+5. 30.30.30.30. Extrae factor común.

31.31.31.31. Extrae factor común

a) 2x (x – 2) + x2 (x – 2) – 3 (x – 2) b) x2 (x + 1) – x2 (x + 2) + 2x2 (x – 3) c) 3x2 (x + 3) – 6x (x + 3) 32.32.32.32. Desarrolla estas expresiones:

33.33.33.33. Efectúa estos productos:

34.34.34.34. Simplifica todo lo posible las expresiones siguientes:

Sol: a) 6Sol: a) 6Sol: a) 6Sol: a) 6x x x x –––– 18 b) 18 b) 18 b) 18 b) ----9 c) 39 c) 39 c) 39 c) 3xxxx3333 + 2 + 2 + 2 + 2xxxx2222 + 3 + 3 + 3 + 3x x x x + 1 d) 2+ 1 d) 2+ 1 d) 2+ 1 d) 2xxxx2222 –––– 5. 5. 5. 5.

35.35.35.35. Transforma en diferencia de cuadrados.

36.36.36.36. Completa con el término que falta para que cada expresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia:

a) x2 + … + 4x b) x2 + … – 10x c) x2 + 9 + … d) x2 + 16 – … 37.37.37.37. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia a) x2 + 49 – 14x b) x2 + 1 – 2x c) 4x2 + 1 + 4x d) x2 + 12x + 36 38.38.38.38. Expresa como el cuadrado de una suma, como el cuadrado de una diferencia o como una diferencia de cuadrados.

a) x2 + 9 – 6x b) 4x2 + 1 + 4x c) 4x2 – 9 d) 9x2 – 12x + 4 e) 16x2 – 1 f) 16x2 + 40x + 25

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39.39.39.39. Factoriza los siguientes polinomios: a) x3 – 4x b) 4x3 – 4x2 + x c) x4 – x2 d) 3x4 – 24x3 + 48x2 Sol: a) Sol: a) Sol: a) Sol: a) xxxx((((x x x x + 2)(+ 2)(+ 2)(+ 2)(x x x x –––– 2) b) 2) b) 2) b) 2) b) xxxx(2(2(2(2x x x x –––– 1) 1) 1) 1)2222 c) c) c) c) xxxx2222((((x x x x + 1)(+ 1)(+ 1)(+ 1)(x x x x –––– 1) d) 3 1) d) 3 1) d) 3 1) d) 3xxxx2222((((x x x x –––– 4) 4) 4) 4)2222

40.40.40.40. Simplifica estas fracciones algebraicas:

Sol: Sol: Sol: Sol: x

xc

xb

xa

2

2)

5)

4

3)

+

41.41.41.41. Comprueba si las fracciones x

x 1+ y

xx

x

−2

21

son equivalentes.

42.42.42.42. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

Sol: Sol: Sol: Sol: x

fx

xe

xd

xc

xb

x

xa

5)

12

4)

2)

1

3)

2

3)

4)

2

−++

43.43.43.43. Simplifica.

Sol: Sol: Sol: Sol: ( )

3

1)

2

2)

3)

2

1)

1

1)

3

2)

+

+

+−−

xxf

x

xe

x

xd

xc

xb

xa

44.44.44.44. Efectúa.

Sol: Sol: Sol: Sol:

xx

xxf

xx

xxxe

x

xxd

xx

xc

xx

xxb

x

xxa

+

−+

−+−

++−

−+−+

2

2

2

23

2

2

2

2

2

2

3

2

152)

44

214)

9

36)

4

8)

7

14)

6

318)

45.45.45.45. Reduce las siguientes expresiones:

Sol: Sol: Sol: Sol: a) 9a) 9a) 9a) 9x x x x –––– 12 b) 7 12 b) 7 12 b) 7 12 b) 7x x x x + 15 c) + 15 c) + 15 c) + 15 c) xxxx2222 –––– 8 8 8 8xxxx d) d) d) d) ––––3333xxxx2222 –––– 14 14 14 14x x x x + 10.+ 10.+ 10.+ 10.

46.46.46.46. ¿Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa? Compruébalo con 2+x

x y su inversa.

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47.47.47.47. Opera y simplifica si es posible.

Sol: Sol: Sol: Sol: 36

647017)

8

4203)

18

47465)

12

115)

24

135)

222−−−−−+−−− xx

exx

dxx

cx

bx

a

48.48.48.48. Opera, y simplifica si es posible.

Sol: Sol: Sol: Sol: ( ) ( ) 1

2)

12

3)

1

23)

1

3)

2

2

−−−

+

+ xd

xc

x

xxb

xxa

49.49.49.49. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

( ) 1818

333)

5

5

10

5)

22

4

1

2)

112)

22

22

−⋅

+⋅

+

−÷

+−

x

x

x

xd

x

xc

x

x

x

xb

x

x

x

xxa

xd

xc

xbxaSOL

2

1)

102

1)

1)1):

+−

50.50.50.50. Opera y simplifica todo lo posible las siguientes expresiones:

Sol: Sol: Sol: Sol: ( )( ) 12

42)

42

23)

5)

2−

++

+−

− x

xc

xx

xb

x

xa

AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN 1.1.1.1. Traduce al lenguaje algebraico:

a) El triple de un número menos la cuarta parte de otro.

b) El perímetro de un rectángulo cuya base es el doble de su altura.

c) El precio de un producto rebajado un 15% .

d) El doble de la edad de Juan (que hoy tiene x años) hace siete años.

2.2.2.2. Opera y simplifica: ( ) ( ) ( ) =−+−⋅−−+⋅− 124744964342322 xxxxxxxx

3.3.3.3. Extrae factor común:

a) =+− bababa 223453129 b) ( ) ( ) ( ) =+⋅−+⋅−+⋅ 3837312 yyxyx

4.4.4.4. Desarrolla las identidades notables:

( ) =−2

23 yx =

+⋅

3

1

53

1

5

xx

5.5.5.5. pera y simplifica:

( ) ( ) ( ) ( ) =+−−+⋅−++ 451342427322

xxxxx

6.6.6.6. Reduce las siguientes expresiones:

a) ( ) ( ) =−−−++

326

11

3

1

2

3xx

x b) =−

++

xx

x

x 2

1122

7.7.7.7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a1) ( )

=−

+

1

142

x

x a2)

( )=

+

−2

2

3

273

x

x

Page 13: T4 El lenguage algebraico. Polinomios · tema 4: el lenguage algebraico. polinomios tema 4: el lenguage algebraico. polinomios expresiones algebraicasexpresiones algebraicas para

8.8.8.8. Opera y simplifica: =+

++÷

+

33

44

1

22

2 x

xx

x

x

9.9.9.9. Opera:

a) =−

++

+

5

32

2

63

x

x

x

x b) =+

+−

+

+4

1

7

1

522

x

x

x

x