T3Examen resuelto

8/19/2019 T3Examen resuelto

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Calculo infinitesimal

Prueba 3 (Solucion) 17-11-2011 (Grupo A-109)

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1. Enuncia de la forma mas rigurosa posible la Condici´ on necesaria para la convergencia de unaserie numerica. (1 punto)

Soluci´ on:

Enunciado visto en clase.

2. Si la serie∞1

an es convergente ¿se cumple que la serie

∞1

1

1 + (an)2 tambien converge?

(1 punto)

Soluci´ on:

Se trata de aplicar la condici´ on necesaria para la convergencia a la serie

∞1

an. Por el enunciado

se sabe que es una serie convergente, por tanto la condici´ on necesaria asegura que lımn→∞

an = 0. De

esta manera, se tiene

lımn→∞

1

1 + (an)2 = 1

con lo cual, aplicando de nuevo condici´ on necesaria resulta que la serie

∞1

1

1 + (an)2

no converge.

3. Determina el caracter de las siguientes series numericas

a )∞2

lnn

n3 (0.5 puntos)

b)∞1

2n n!

nn

(1 punto)

c )∞1

(−1)n n

2n

(0.5 puntos)

d )∞1

(−1)n 1√ n +

√ n + 1

(0.5 puntos)



Soluci´ on:

a ) Puesto que se trata de una serie de terminos positivos, se aplica el criterio de comparaci´ on

pues:

lnn

n3 ≤ n

n3 =

1

n2 ∀n ≥ 2 y la serie

∞2

1

n2 es convergente

b) Puesto que se trata de una serie de terminos positivos, se aplica el criterio del cociente . En

efecto:

lımn→∞

an+1

an= lım

n→∞

2n+1 (n+1)!(n+1)n+1

2n n!nn

= lımn→∞

2

n

n + 1

n

= lımn→∞

2

1 − 1

n + 1

n

= 2 · e−1 < 1

por tanto converge.

c ) Se trata de una serie alternada. Primero se comprueba si es absolutamente convergente. Esdecir se estudia la serie de terminos positivos

∞1

|an| =∞1

n

2n

Se aplica el criterio del cociente . Con lo cual

lımn→∞

|an+1||an| = lım

n→∞

n+12n+1

n

2n= lım

n→∞1

2

n + 1

n =

1

2 < 1

Por tanto es convergente y esto implica que la serie inicial es absolutamente convergente y portanto converge.

d ) De nuevo se tiene una serie alternada. Primero se comprueba si es absolutamente convergente.Para ello se estudia la serie:

∞1

|an| =∞1

1√ n +

√ n + 1

En este caso si utiliza el criterio de comparaci´ on en el lımite resulta que tiene el mismo caracter

que la serie bn = 12√ n que es divergente, pues

lımn→∞

1√ n+

√ n+1

12√ n

= 1

Se aplica entonces el criterio de Leibnitz y como

lımn→∞

1√ n +

√ n + 1

= 0 y |an+1|

|an| =

1√ n+1+

√ n+2

1√ n+√ n+1

=

√ n +

√ n + 1√

n + 1 +√ n + 2

< 1 decrece

entonces se puede afirmar que converge pero condicionalmente.

4. Determina el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las siguientes series depotencias

a )∞1

xn

nn

(0.5 puntos)

b)∞1

4n

(2n)!(x + 2)n (1 punto)

c )∞1

−6

7

n 1

n2(x + 2)n (1 punto)

d )∞1

2n

2n − 1x2n (1 punto)



Soluci´ on:

a ) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:

∞1

|x|nnn

puesto que es de terminos positivos, se aplica el criterio de la raız con lo cual:

lımn→∞

n

|x|nnn

= lımn→∞

|x|n

= 0 ∀x ∈ R

por tanto siempre converge, con lo cual R = ∞ y el intervalo de convergencia esta formadopor R.

b) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:

∞1

4n

(2n)!|x + 2|n

puesto que es de terminos positivos, se aplica el criterio del cociente con lo cual:

lımn→∞

4n+1

(2n+2)! |x + 2|n+1

4n

(2n)!|x + 2|n = lım

n→∞4|x + 2|

(2n + 1)(2n + 2) = 0

por tanto, converge ∀x ∈ R y de esta manera R = ∞ y el intervalo de convergencia es R.

c ) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:

∞1

6

7

n1

n2|x + 2|n


lımn→∞

67

n+1 1(n+1)2

|x + 2|n+1

67n 1

n2 |x + 2|n

= lımn→∞

6

7 |x + 2

| n2

(n + 1)2

= 6

7 |x + 2

|< 1

de esta manera, para los x ∈ R tales que, cumplen

|x + 2| < 7

6 ⇐⇒ x ∈

−2 − 7

6,−2 +

7

6

se tiene convergencia absoluta. Con lo cual R = 76 . Para determinar el intervalo se estudia el

caracter sobre los extremos.

x = −2 − 76 en este caso:

∞

1

−6

7

n1

n2

−7

6

n

=∞

11

n2

converge.

x = −2 + 76 en este caso:

∞1

−6

7

n1

n2

+

7

6

n

=

∞1

(−1)n 1

n2

converge absolutamente y por tanto converge.

de esta manera:

I c =

−2 − 7

6,−2 +

7

6



d ) Se considera un x ∈ R entonces se estudia la convergencia de la serie:

∞1

2n

2n− 1|x|2n


lımn→∞

2(n+1)

2n+1|x|(2n+2)

2

n

2n−1 |x|2n = lım

n→∞2

2n− 1

2n + 1 |x

|2 = 2

|x

|2 < 1

⇐⇒ |x

|< 1

2

de esta manera, los x ∈−

12 ,

12

la convergencia es absoluta. Ası pues, R =

12 . Para

determinar el intervalo de convergencia se estudian los extremos:

x =

12 ası pues, sustituyendo resulta la serie numerica:

∞1

2n

2n− 1

1

2

2n

=

∞1

1

2n− 1

que es divergente, pues aplicando el criterio de comparaci´ on en el lımite con el termino12n resulta que tiene el mismo caracter que

∞1

12n que es divergente, pues

lımn→∞

1

2n−112n

= 1

x = −

12 ası pues, sustituyendo resulta la serie numerica:

∞1

2n

2n− 1

−

1

2

2n

=∞1

2n

2n− 1

1

2

2n

=∞1

1

2n− 1

que es la misma serie que en el caso anterior y por tanto por el mismo razonamiento esdivergente.

Ası pues, el intervalo de convergencia es:

I c =− 12 , 12

5. Determina el desarrollo de Taylor de la funcion sen x en x = π

2 de grado 4 y resto de orden 5

(1 punto)

Soluci´ on:

En este caso hay que calcular el Polinomio de Taylor de f (x) = senx en x = π

2 y anadir el Termino

complementario. Ası pues:

senx =

4k=0

f k) π2

k!x −

π

2k

+ f 5)

(t)5!x −

π

25

t ∈ π2 , x o t ∈ x, π2sustituyendo las derivadas:

f π

2

= 1; f

π2

= 0; f

π2

= −1; f

π2

= 0; f iv

π2

= 1; f v (t) = cos t;

Por tanto queda:

senx = 1 − 1

2!

x − π

2

2+

1

4!

x − π

2

4+

cos t

5!

x − π

2

5



6. Si el polinomio de grado 3 de la funcion f en x = 1 es

P (x) = 3 + 4(x − 1)2 − 2(x − 1)3

¿tiene la funcion un extremo en x = 1? ¿que tipo de extremo? (1 punto)

Soluci´ on:

Se sabe por definicion que el Polinomio de Taylor viene dado por:

P (x) =n

k=0

f k) (a)

k! (x − a)

k

siendo en este caso n = 3 y a = 1. Identificando terminos:

f (1) = 3; f (1) = 0; f (1) = 4 · 2! > 0

Por tanto al ser la primera derivada nula, y ser derivable la funci on, puede que haya un extremo.Ademas como f (1) > 0 resulta que existe extremo y debe ser un mınimo local.

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