Syllabus algebra I

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G Í A

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

1

UNIDAD ACADÉMICA SANTA CRUZ

Facultad de Ciencia y Tecnología

Ingeniería en Gas y Petróleo

PRIMER SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ÁLGEBRA

Revisado por: Ing. Maria A. Garcia Zurita

Gestión Académica I/2013



2

UDABOL UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado (a) estudiante: El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.

Aprobado por: Fecha: Marzo del 2013

SELLO Y FIRMA

JEFATURA DE CARRERA



3

SYLLABUS Asignatura: Álgebra

Código: MAT – 101A

Requisito: Ninguno

Carga Horaria: 100 horas

Horas Teóricas 50 horas

Horas Prácticas 50 horas

Créditos: 10

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA. En esta asignatura tenemos objetivos de dos tipos: uno encaminados a la formación Científica y otros a la Formación Personal. Formación Científica: Se pretende que el alumno domine todo lo relacionado con el álgebra y su uso en el estudio de los conjuntos, la lógica y las estructuras algebraicas. Al final del curso el estudiante conocerá el uso de símbolos en la representación de la realidad. Podrá usar expresiones algebraicas para resolver problemas. Nos ponemos como meta que el alumno adquiera nuevos conceptos, técnicos y resultados que son importantes para su formación como universitario, y porque dichos conocimientos son necesarios para la comprensión de otras asignaturas del curriculum.

II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA. UNIDAD I: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA TEMA I. Introducción al álgebra

1.1. Álgebra

1.2. Propiedades de los números reales

1.3. Expresiones algebraicas

1.4. Operaciones algebraicas

1.4.1. Suma algebraica

1.4.2. Resta algebraica

1.4.3. Multiplicación algebraica

1.4.4. División algebraica

1.4.5. División sintética

1.5. Reducción de términos semejantes

1.6. Productos y cocientes notables

1.7. Factorización

1.8. Fracciones Algebraicas

1.9. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

1.10. Operaciones con fracciones algebraicas

1.11. Simplificación de Fracciones algebraicas.

TEMA II. Ecuaciones

2.1. Ecuaciones Algebraicas.

2.2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.

2.3. Problemas de aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

2.4. Sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2

2.4.1. Método de Sustitución.

2.4.2. Método de Reducción.

2.5. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2x2

2.6. Ecuaciones de grado superior

2.6.1. Ecuaciones Cuadráticas

2.6.2. Ecuaciones Polinómicas.

2.7. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas con una incógnita

2.8. Sistema de ecuaciones exponenciales y logarítmicas de 2 x 2

2.9. Aplicaciones de las Ecuaciones de grado superior.

TEMA III. Inecuaciones

3.1. Definición y características de los conjuntos numéricos.

3.1.1. Notación de conjuntos por extensión.

3.1.2. Notación de conjuntos por comprensión.

3.2. Desigualdades, teoremas e intervalos.

3.3. Inecuaciones Lineales.

3.4. Inecuaciones de grado superior.

3.5. Inecuaciones con valor absoluto.

3.6. Problemas de Aplicación.

TEMA IV. Logaritmos.

4.1. Leyes de exponentes.

4.2. Problemas de aplicación de leyes exponenciales.



4

4.3. Definición de logaritmo.

4.4. Propiedades de los logaritmos.

4.5. Problemas de aplicación de propiedades de logaritmos.

TEMA V. Trigonometría

5.1. Definición de Trigonometría

5.2. Círculo y sistema de medición de ángulos.

5.3. Razones trigonométricas y teorema de Pitágoras.

5.4. Identidades trigonométricas.

5.5. Ecuaciones trigonométricas.

5.6. Ley de senos y cosenos.

5.7. Aplicación de la trigonometría

TEMA VI. Geometría Plana.

6.1. Definición.

6.2. Sistemas de coordenadas.

6.3. Relaciones y Funciones

6.4. Distancia entre dos puntos.

6.5. La recta.

6.5.1. Pendiente.

6.5.2. Angulo de inclinación.

6.5.3. Ecuaciones de la recta.

6.6. Cónicas.

6.7. La circunferencia: Ecuación general y radical.

6.8. La parábola: Ecuación general y radical.

6.9. La Elipse: Ecuación general y radical.

6.10. La Hipérbola: Ecuación general y radical.

III.- ACTIVIDADES A REALIZAR POR LAS BRIGADAS UDABOL Tipo de Asignatura: De acuerdo a las características de la carrera y de la materia Álgebra es una materia de TIPO A. Diagnostico para la detección del problema: En la actualidad los estudiantes de colegios y estudiantes universitarios en el área de la Ingeniería no valoran la importancia y aplicación de las materias de las ciencias exactas, como ser Álgebra, Calculo I, Física I, etc. en el diario vivir de la sociedad en general. Nombre del proyecto: APLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LAS CIENCIAS EXACTAS EN LA FORMACIÓN PROFESIONAL DEL INGENIERO. Contribución de la asignatura al proyecto: La asignatura aportara al proyecto, con los trabajos que serán expuestos en la feria de ciencias exactas, los cuales estarán enfocados específicamente en la aplicación del Álgebra.

TRABAJO A REALIZAR POR LOS ESTUDIANTES

LOCALIDAD, AULA O LABORATORIO

INCIDENCIA SOCIAL

FECHA PREVISTA

Profundizar los conceptos y solución a problemas específicos del álgebra.

Aula Estudiantes de Primer Semestre

En el transcurso del semestre

Identificar en la ciudad la aplicación e incidencia del álgebra.

Calles, Avenidas, construcciones, etc.

Estudiantes de Primer Semestre

Semana 10 a la Semana 14

Plasmar en maquetas la actividad anterior

Laboratorio Estudiantes de Primer Semestre

Semana 14 y 15

Presentar sus proyectos en la feria de ciencias exactas

Loby de la Universidad

Alumnos de la Universidad y estudiantes de colegios

24 de Junio



5

IV. EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.

DIAGNOSTICA Se realizará un examen diagnostico el primer día de clases, así como pregunta de control al comienzo de cada tema. Se calificarán como B; R o M. y no se les asignará puntaje.

PROCESUAL Durante el semestre se realizarán exámenes prácticos, talleres, exposiciones que serán propuestos por el docentes, además de Work Paper, Dif’s y trabajos prácticos que se especifican en el presente Syllabus, las cuales tendrán una ponderación de 0 a 50 puntos, tantos en el primer y segundo parcial. Las actividades de brigadas que se lleven acabo en el primer y segundo parcial también serán evaluadas sobre 0 a 50 puntos. En la tercera etapa los exámenes prácticos, talleres, exposiciones, Work Paper, Dif’s y trabajos prácticos tendrán una ponderación de 0 a 20 puntos, la presentación del proyecto de la materia en la feria de ciencias exactas será evaluada sobre 0 a 20 puntos.

DE RESULTADOS

Se realizan 3 evaluaciones: 2 parciales con contenido teórico – práctico los cuales serán evaluados sobre 50 puntos y el examen final será evaluado sobre 60 puntos en la tercera etapa.

V. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.

Lazo, Sebastián: Álgebra Con Trigonometría y Geometría, Editorial Soipa Ltda, La Paz, 2006. (Signatura Topográfica: 512.1 L45, 512.1 L45 c.2).

Goñi Galarza, Juan: Álgebra, Latinas Editores Oruro, 1993. (Signatura Topográfica: 511 G58)

Goñi Galarza, Juan: Geometría plana y del espacio. Latinas Editores. Oruro. 1999. (Signatura Topográfica: 516.22 G58)

Rojo, Armando, Álgebra I, décimo octava edición, Librería Editorial El Ateneo, Cochabamba, 2003. (Signatura Topográfica: 512 R63 t.1, 512 R63 t.1 c.2)

Gutierrez , Pedro: La práctica del Calculo Diferencial e Integral, Editorial la Hoguera, 1990. (Signatura Topográfica: 515.33 G97 v.1, 515.33 G97 v.2, 515.33 G97 v.1 c.2, 515.33 G97 v.2 c.2)

Baldor, Aurelio: Álgebra, Décimo tercera edición, México, 1995. (Signatura Topográfica: 512 B19).

COMPLEMENTARIA.

Cáceres, Braulio: Lógica y Teoría de Conjuntos., Bolivia, Santa Cruz, 1992.

Ross W: Matemáticas discretas, Editorial. Prentice Hall, Mexico, 1994.

Lehman, Geometría analítica, México, Editorial Limusa, 1990.



6

VI. PLAN CALENDARIO.

SEMANA ACTIVIDADES OBSERVACIONES

1 TEMA I Introducción al Álgebra: Clase 1: Introducción al algebra, Propiedades Clase 2: Expresiones algebraicas

2 Clase 1: Suma y Resta de expresiones algebraicas Clase 2: Multiplicación y División de expresiones algebraicas

Ejercicios sobre el Tema

3 Clase 1: Reducción de términos semejantes

Clase 2: Productos y cocientes notables


4 Clase 1: Fracciones Algebraicas

Clase 2: Simplificación de Fracciones algebraicas.


5

TEMA II Ecuaciones:

Clase 1: Ecuaciones de primer grado

Clase 2: Problemas de aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita.


6 Clase 1: Sistema de ecuaciones lineales Clase 2: Examen Parcial

1ª EVALUACIÓN Presentación de

notas

7

Clase 1: Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales

Clase 2: Ecuaciones de grado superior


8

TEMA III. Inecuaciones

Clase 1: Definición y características de los conjuntos numéricos, Desigualdades, teoremas e intervalos.

Clase 2: Inecuaciones Lineales.


9 Clase 1: Inecuaciones de grado superior.

Clase 2: Inecuaciones con valor absoluto Ejercicios sobre el

Tema

10

TEMA IV Logaritmos:

Clase 1: Leyes de exponentes.

Clase 2: Problemas de aplicación de leyes exponenciales.


11 Clase 1: Propiedades de los logaritmos.

Clase 2: Problemas de aplicación de propiedades de logaritmos


12

Clase 1: Sistema de ecuaciones exponenciales y logarítmicos Clase 2: Examen Parcial

2ª EVALUACIÓN Presentación de

notas

13

TEMA V Trigonometría:

Clase 1: Definición de Trigonometría, razones trigonométricas

Clase 2: Identidades trigonométricas




7

14

Clase 1: Ecuaciones trigonométricas

Clase 2: Ley de senos.


15 Clase 1: Ley de cosenos.

Clase 2: Aplicación de la trigonometría


16

TEMA VI Geometría

Clase 1: Definición, Sistemas de coordenadas

Clase 2: Distancia entre dos puntos, La recta.


17 Clase 1: Ejercicios de la Recta

Clase 2: Conicas


18 EVALUACIÓN FINAL Presentación de

notas

19 SEGUNDA INSTANCIA Presentación de

notas



8

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: 1. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

TITULO: I. OPERACIONES ALGEBRAICAS

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer etapa.

1.1. Álgebra El álgebra es la parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos. Cada letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incógnita o variable. En álgebra se usan fórmulas para representar relaciones numéricas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces, generalmente en el cuerpo de los números reales . La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema:

a2+ b2=c2

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un

conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas. Las operaciones algebraicas son: suma, resta, multiplicación y división de monomios o polinomios. 1.2. Propiedades de los números reales 1. La suma y la multiplicación son operaciones

binarias dentro de los números reales . 2. La suma y la multiplicación son

conmutativas. 3. La suma y la multiplicación son asociativas. 4. Los tienen un elemento neutro aditivo

único, a saber, el cero. 5. Los tienen un elemento neutro

multiplicativo único, a saber el uno. 6. Todo número real a tiene un opuesto o

inverso aditivo único, -a. 7. Todo número real a tiene un opuesto o

inverso multiplicativo único, 1/a. 8. Propiedad distributiva del producto sobre la

suma: para cualesquiera números reales a, b, c:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 9. La suma de dos reales positivos es positiva. 10. El producto de dos reales positivos es

positiva. 11. Ley de la tricotomía: Para todo a є R es

verdadera solamente una de las siguientes proposiciones:

a) a es positivo b) -a es positivo; esto es a es negativo. c) a es cero.



9

Ley de exponentes. Exponentes con la misma base: an

.am = an+m

Potencia de potencia: (an)m = an.m Ley de signos. Para la suma:

Signos iguales se suman y al resultado se pone mismo signo.

Signos desiguales se restan, y al resultado se pone el signo del mayor (valor absoluto).

Para la multiplicación:

+ * + = + + * - = - - * + = - - * - = +

1.3. Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos. Monomio. Un solo término de la forma axn.

Por ejemplo: Grado de un monomio. El grado de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de las variables. Por ejemplo, el grado del monomio 4x3y2 es 5. Binomio. Suma de dos monomios. Por ejemplo: Trinomio. Suma de tres monomios. Por ejemplo: Polinomio. En general, un polinomio es una función de la forma:

donde x es una variable escalar, n es un entero no negativo y los a0,...,an son escalares fijos que reciben el nombre de coeficientes del polinomio P. La potencia más alta de x (n si el coeficiente an es distinto de cero) se denomina grado de P. Grado de un polinomio: Es el grado (relativo) del término de mayor grado. También se define el grado absoluto de un polinomio como el

grado del término cuya suma de exponentes es el mayor. Esto último se aplica a polinomios de mas de una variable.

-El término de primer grado se llama término lineal. -El término de grado cero se denomina término independiente.

Teorema del resto Se llama valor de un polinomio P(x) = a0x

n + a1x n -1 +…+ an -1x + an para x = c, y se designa P(c), el valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la indeterminada, x, por el número c y se realizan las operaciones. Por ejemplo, si P(x) = 3x4 - 5x2 + 3x - 20 para x = 2 se obtiene: P(2) = 3·24 - 5·22 + 3·2 - 20 = 14 Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de grado 1, el resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número): P(x) | x - a R(x) Q(x) El teorema del resto afirma que “el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a”, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)C(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene P(a) = (a - a)C(a) + R = 0 + R = R 1.4. Operaciones algebraicas Suma o adición Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Para que entiendas mejor: Para sumar dos polinomios se agrupan los Términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. El resultado es otro polinomio.

Ejemplos:

Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1

Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2

Sumar aplicando la regla

00

11

22

11 ...)( xaxaxaxaxaxP n

nn

nn

nn



10

P(x) + Q(x) = -2 x4 + (5 + 3) x3 – 6 x2 + (-3 –5) x + (1 – 2) = -2 x4 +8 x3 – 6 x2 – 8x - 1

Disposición práctica -2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2 -------------------------------------- -2 x4 +8 x3 - 6 x2 – 8 x – 1

Resta o sustracción La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplos: Para restar Q(x) de P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x). P(x) - Q(x) = P(x) + [- Q(x)] Sean los polinomios: P(x) = -2 x4 +5 x3 – 3 x + 1 Q(x) = 3 x3 – 6 x2 – 5 x – 2 Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes. Aplicando la regla P(x) - Q(x) = -2 x4 + 5 x3 - 3 x + 1 + (-3) x3 + ( 6)x2 + ( 5) x + 2 = -2 x4 +2 x3 + 6 x2 + 2x + 3 Disposición práctica -2 x4 +5 x3 + 0 x2 – 3 x + 1 -3 x3 + 6 x2 + 5 x + 2 ------------------------------------ -2x4 +2 x3 + 6 x2 + 2 x + 3 Multiplicación Para la multiplicación se tienen que multiplicar los términos entre ellos. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos semejantes. Para operar se deben tener en cuenta la propiedad distributiva del producto sobre la suma de números reales y la ley del producto de potencias de la misma base. Sean nuevamente los polinomios: P(x) = -2x4 +5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x2 – x + 2 determinar el polinomio producto P(x).Q(x) Aplicando la regla

P(x).Q(x) = 3x2 P(x) + (-x) P(x) + 2 P(x) = (-2x4 +5x3 – 3x + 1) 3x2 + (-2x4 +5x3 – 3x + 1) (-x) + (-2x4 +5 x3 – 3x + 1) 2 =

= - 6x6 + 15x5 - 9x3 + 3x2 + 2x5 – 5x4 + 3x2 – x –4x4 + 10x3 – 6x + 2 = = - 6x6 + 17x5 - 9x4 + x3 + 6x2 – 7x + 2 Disposición práctica -2 x4 +5x3 – 3x + 1 3x2 – x + 2 ---------------------------------- -6x6 + 15x5 + 0x4 – 9x3 + 3x2 2x5 – 5x4 + 0x3 + 3x2 – x - 4x4 + 10x3 + 0x2 - 6x + 2 ---------------------------------------------------- - 6x6 + 17x5 – 9x4 + x3 + 6x2 – 7x + 2 División La división es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) P(x) y el otro de los factores (divisor) Q(x) hallar el otro tercer factor llamado (cociente) D(x). El grado del divisor debe ser menor o igual que el grado del divisor. Luego se procede a dividir término a término, hasta obtener un resto R(x) cuyo grado sea menor que el grado del divisor. Si el resto es cero se dice que la división es exacta. La reversión de los pasos efectuados en los cálculos muestra que: P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) Ejemplo: dividir P(x) entre Q(x) P(x) = 6x4 + 7x3 + 12x2 + 10x +1 Q(x) = 2x2 +x +4

6x4 + 7x3 + 12x2 +10x +1 |2x2 +x +4

–6x4 – 3x3 – 12x2 6x2 +2x -1

4x3 + 0x2 + 10x +1

–4x3 – 2x2 – 8x .

–2x2 + 2x +1

2x2 + x + 4

3x + 5

División sintética Cuando el divisor es un binomio de la forma x – a se puede aplicar la división sintética: Ejemplo: dividir 5x3 + 3x2 + 4x + 5 entre x – 2

Residuo

Cociente



11

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1

I. Resolver las siguientes operaciones

algebraicas:

1) 5x +5 – {5x – 4 -[-2x +5- (2 – x)] – 2x } 2) -3x2 +4x – {2x – 7x2 -[-6x +2x2- (5 – x)] – 2x2 } 3) 2xy +5 – {3x – 4 -[-6xy +5x- y(3 – 3x)] – 4x } 4) z3 {– 3x[-2y + 5x – ( 8x +3y )] – Z3 – 2(xy + 3)} 5) (3x +1) – [-4x + 5 - (2 – 8x)] – 5x 6) -3x2 + 4x{2x – 7 -[-( 3x +2 )( 2 – x )] – 2x2 } 7) 4xy - 2{3x – 4[-6xy +5x - 2y(3 – 5x)] – 7xy } 8) (3x - 1)[-2x -4 (2 – x)] 9) (-3x2 + 4x –2)(2x – 7x2 – 2) 10) (2y +5)(–3x – 4)(5x – y) 11) (z3 – 3x2 + 5x – 8)(-3y – 2xy + 3)

12) )38( 32528475 babababa por

)7578( 48644543 babababa

13) )38417( 765828443 babacbacba por

)71375( 73324343 babacabcba

14) )211392( 9432827995 babacbacba

)538( 3523275284475 cbabacbabacba

15) x4 – x2 - 2x – 1 entre x2 + x + 1 16) x5 + Y5 entre x + Y 17) x6 + 6x3 – 2x5 – 7x2 – 4x + 6 entre x4 –

3x2 + 2 18) x4 – 2x2 + 4x – 6 entre x2 + 5 19) -3x2 + 4x –2 entre 6x – 3

20) xxmxm 24; entre: xxm

21) 144 2456 mmmmm ; entre:

1423 mmm

22) 43818113 23457 mmmmmm ; entre:

43 24 mm

23) 1010 yx ; entre:

22 yx

24) 72423222 4 aaaa xxxx ; entre:

213 aaa xxx

25) nxnx bbaaba 11 ;entre: ba

II. Otros ejercicios Dados los siguientes polinomios :

;

; t(x) = x+1 Determine el polinomio que resulta de cada operación: a) p(x) + q(x) b) p(x) - h(x) c) r(x)× h(x)

d) p(x) ÷ t(x



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WORK PAPER # 2


TITULO: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

FECHA DE ENTREGA:


1.5. Tecnicismo Algebraico

Términos Semejantes Los términos algebraicos que difieren únicamente en su coeficiente se llaman términos semejantes, o sea, son semejantes aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal. Puesto que un término con coeficiente 0 se reduce a 0, y en un término que contenga un factor o divisor literal con exponente 0 se puede sustituir dicho factor o divisor por 1, es por ellos que se aplica la siguiente Definición: Dos términos son semejantes cuando son ambos numéricos o cuando ambos se componen de los mismos factores o divisores literales con exponentes correspondientes iguales. En este último caso los coeficientes numéricos pueden ser números cualesquiera distintos de cero. Ejemplos: Son términos semejantes: + 5 y - 2 2ab y -4ab

- 3ª y 4ª

CUESTIONARIO WORK PAPER # 2 Reducir a términos semejantes los siguientes polinomios. 1.- 7 a – 9b + 6 a – 4 b 2.- a + b – c –b – c + 2 c – a 3.- 5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y 4.- - 6m + 8n + 5 – m – n – 6m – 11 5.- - a + b + 2b – 2c + 3ª + 2c – 3b 6.- - 81x + 19y – 30z + 6y + 80x + x – 25y 7.- - 71 a3b – 84 a4b2 + 50 a3b + 84 a4b2 – 45a3b + 18 a3b 8.- 5a2 - 6ab - 8ab + 20 - 5ab – 31 + a2 - ab 9.- x4y - x3y2 + x2y3 - 8x4y - x2y3 - 7x3y2 – 9 + 21x4y - y5 + 50 10.- 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a - 0,7b - 0,9c + 3a - 3b - 3c

11.- 2

1

4

3

6

1

4

332

3

1

2

1yxyxyx

12.- 5 x-2y + 3 xy-2 – 2 x-2y + 3 x-2y + 4xy-2 13.- 2 ab-1 + 5 a-1b + 6 a-2b-3 + 6 ab-1 + 3 a-1b 14.- ⅔ xy - ⅛ xy + ½ x2y2 - ¾ xy + 2 x2y2 15.- x-2 + x-1 + 2 x0 + 3 x + 6 x-1 + 2 x-2 + 4 x0 16.- 4 xnym + 2 xnym – 5 x2ym – 3 xnym + 6 x2ym 17.- ⅛ x - ⅜ x + ¾ x - ⅞ x 18.- o.4 x2y + 31 + ⅜ xy2 – 0.6 y3 - ⅔ x2y – 0.2 xy2 + ¼ y3 – 6



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WORK PAPER # 3


TITULO: PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

FECHA DE ENTREGA:


1.6. Productos Notables. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas cuyos resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Entre estos productos tenemos: binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados, binomio al cubo y producto de dos binomios. El Binomio al cuadrado es el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Ejemplo:

a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica aplicando el producto notable: el binomio al cuadrado:

2

221

2

13 ya

ax =

yyaaaaxx 22

22211 2

2

1

2

1323

= yyxxaaxx 4422122

4

139

La Diferencia de cuadrados llamada también Binomios Conjugados es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

(a + b) (a – b) = a² - b²

Ejemplo: a) Desarrollar la siguiente expresión

algebraica aplicando el producto notable: diferencia de cuadrados:

22 )5()3()53)(53( xyxyxy

259 22 yx

El Binomio al cubo es el cubo del primero más el triple producto del cuadrado del primero más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Ejemplo: a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica

aplicando el producto notable: diferencia de cuadrados:

353 xxy =

3223 )5()5)(3(3)5()3(3)3( xxxyxxyxy =

332333 1254513527 xyxyxyx

El Cuadrado de un trinomio se desarrolla de la siguiente manera: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc



14

Cocientes Notables. Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades:

baba

ba 22

; baba

ba 22

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de dos cantidades:

2233

bababa

ba

2233

bababa

ba

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de dos cantidades: Ejemplos:

322344

babbaaba

ba

322344

babbaaba

ba

43223455

babbabaaba

ba

43223455

babbabaaba

ba

En resumen:

Los resultados anteriores pueden expresarse abreviadamente de este modo:

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 3

1. Hallar los siguientes productos: 1) 3x2 ( x – y + z ) 2) ( a – b ) ( x+ y ) 3) ( a + 3b )2 4) ( 2a – 5b )2

5) ( a – b + c )2 6) ( x + 10y ) ( x – 10y ) 7) ( x – 8 ) ( x + 6 ) 8) ( 2x + 3 ) ( 5x + 1) 9) ( 2a + b )3 10) ( a – 2b )3 11) ( x + 5 ) ( x2 - 5x + 25 ) 12) (6a2+2ab5)3

2. Hallar los siguientes cocientes:

1) 4a2 + 6ab + 8ac 2a

2) 9c2 + 6cd + d2 3c + d

3) x2 – 4xy + 4y2 x – 2y

4) a2 – 64 a + 8

5) 25 – y2 5 – y

6) 3a2b2c2 – 2abc + ab2c abc

7) 16x4 + 8x2y2 + y4 4x2 + y2

8) 9p2 – 24pq + 16q2 3p – 4q

9) a4 – 16 a2 + 4

10) 81 – z4 9 – z2

Problemas elementales:

1) En un patio rectangular se construye una piscina cuyas dimensiones se muestran en la figura. Si el piso alrededor de la piscina tiene un ancho constante, ¿cuál es el área total de éste?

2) Demuestre que la diferencia de los

cuadrados de dos números impares consecutivos es divisible por 8.

1. an – b

n es siempre divisible por a – b, siendo n

cualquier numero par o impar.( –/– siempre + )

2. an – b

n es solo divisible por a + b, cuando n es

un numero par. (–/+ n par)

3. an + b

n es solo divisible por a + b, cuando n es

un numero impar. (+/+ n impar)

4. an + b

n nunca es divisible por a – b ni por a + b,

siendo n un numero par. (+/– nunca)



15


1.7. Descomposición Factorial La Factorización es la descomposición de una expresión algebraica de varios términos, en un producto de factores equivalente.

a2 + ab = a(a + b)

Los factores a y (a + b) que multiplicadas entre sí dan como producto a2 + ab, son factores o divisores de a2 + ab, es por ello que descomponer en factores o factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. A continuación resumimos los diez casos más comunes de Factorización: CASO I CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN Se trata de encontrar un o más factores comunes de tipo monomio o polinomio dentro de una expresión. a2 + 2 a = a(a + 2 a) 10b – 30 ab2 = 10b(1 – 3ab) CASO II FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Consiste en encontrar grupos de términos que contengan factores comunes, que a su vez volverán a ser factores comunes. ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y)

CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Consiste en encontrar en un trinomio, raíces cuadradas exactas de dos de sus términos, de modo que su producto multiplicado por 2 sea igual al término restante. 25 + 10b + b2 La raiz cuadrada de 25 es 5 La raiz cuadrada de b2 es b El doble producto de ambos es 2.5.b es 10b Por tanto se trata de un trinomio cuadrado

perfecto. 22 b) (a b 10b 25

CASO IV DIFERENCIAS DE CUADRADOS PERFECTOS Se determinan las raíces cuadradas de cada uno de los términos Con las raíces obtenidas en el paso anterior se forma un producto de binomios conjugados 1 – a2 = (1 + a) (1 – a) 16 x2 – 25 y2 = (4x + 5 y2) (4x – 5 y2) CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN x4 + x2y2 + y4 no es un cuadrado perfecto ya que falta en el 2do. Término 2x2y2, por lo tanto es necesario adicionarle x2y2 pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad:

WORK PAPER # 4


TITULO: Factorización

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Primera etapa.



16

x4 + x2y2 + y4 + x2y2 - x2y2 x4 + 2 x2y2 + y4 – x2y2 = (x4 + 2 x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – x2y2 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 – xy) = (x2 + xy + y2) (x2 – xy +y2) CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c x2 + 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x: x2 + 5x + 6 (x ) (x ) En el primer binomio después de x se pone el signo + porque el segundo término del trinomio + 5x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de + 5x por el signo de +6 y se tiene que + por + da +, o sea: x2 + 5x +6 (x + ) (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego: x2 + 5x + 6 = (x +2) (x + 3) CASO VII TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c 6 x2 – 7x – 3 Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se tiene: 36 x2 – 6(7x) – 18, pero 36x2 = (6x)2 y 6(7x) = 7(6x), luego podemos escribir: (6x)2 – 7(6x) – 18 descomponiendo el nuevo trinomio: (6x - ) (6x + ), Buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18. Estos son 9 y 2. Tendremos entonces: (6x – 9) (6x + 2) Como habíamos multiplicado el trinomio por 6 al comienzo debemos dividirlo por la misma cantidad para que no varíe, tendremos: (6x – 9) (6x+2) = (6x – 9) (6x + 2)=(2x – 3) (3x+ 1) 6 3 x 2

por lo tanto: 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1) CASO VIII CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:

I. Tener cuatro términos (ordenados) II. Que el primero y el último término sea

cubos perfectos. III. Que el 2do. término sea más o menos el

triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

IV. Que el 3er. Término sea más o menos el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

Ej. Halla si 8x3 + 12x2 + 6x + 1 es el cubo de un binomio Veamos si cumple las condiciones expuestas anteriormente: - Tiene cuatro términos - La raíz cúbica de 8 x3 es 2x La raíz cúbica de 1 es 1

- 3(2x)2 (1) = 12 x2, segundo término - 3(2x) (1)2 = 6x, tercer término Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión es el cubo de (2x + 1), es decir, de otro modo la expresión es equivalente a (2x + 1)3 CASO IX SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Regla 1: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: i. La suma de sus raíces cúbicas ii. El cuadrado de la primera raíz, menos el

producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ej: x3 + 1 La raíz cúbica de x3 es x; la raíz cúbica de 1 es 1. Según la regla i: x3 + 1 = (x + 1) [x2 – x(1) + 12] = (x + 1) (x2 – x + 1) Regla 2: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: i. La diferencia de sus raíces cúbicas.



17

ii. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ej: x3 – 8 La raíz cúbica de x3 es x; la raíz cúbica de 8 es 2. Según la regla i: x3 – 8 = (x – 2) [x2 + x(2) + 22] = (x – 2) (x2 + 2x + 4) CASO X SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Por ejemplo:

m5 + n5 Dividiendo entre m + n los signos del cociente son alternativamente + y - : m5 + n5 = m4 – m3n + m2n2 – mn3 + n4, m + n luego: m5 + n5 = (m + n) ( m4 – m3n + m2n2 – nm3 + n4) La diferencia se realiza con las mismas reglas, excepto que los signos del cociente son todos +. CASOS ESPECIALES Factorización de polinomios: Para factorizar un polinomio se utiliza el método de Rufini el cual consiste en expresar un polinomio en producto de binomios. Método de Ruffini Se aplica a polinomios de grado n. Consiste en buscar un valor “x=a”; tal que este valor reemplazado al polinomio da como resultado cero (Recuerde el teorema del resto). Luego el término (x - a) será un factor del polinomio original. En un polinomio P(x) existirán “n” valores de “x” según sea el grado del polinomio. Para factorizar el polinomio utilizando el método de Rufini se sigue los siguientes pasos: 1. Ordenar el polinomio en forma

descendente. 2. Copiar los coeficientes del polinomio y si

falta un término asignarle coeficiente cero. 3. Buscar un valor tal que al realizar la

operación se elimine el último término. Se pueden probar con factores del termino independiente.

4. Una vez encontrado los valores de “x” copiarlos como productos de binomios.

Ejemplo

4434 234 xxxx

Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4 1 -4 3 4 -4 x=1 . 1 -3 0 4 1 -3 0 4 0 x=2 . 2 -2 -4 1 -1 -2 x=-1 . -1 2 1 -2 0 Por tanto:

)2)(1)(2)(1(4434 234 xxxxxxxx

CUESTIONARIO WORK PAPER 4

1. 5 a2 + a 2. m2 + 2mx + x2 3. x2 – 36 4. 9 x2 – xy + y2 5. 27 a3 – 1 6. x5 + m5 7. a3 – 3 a2b + 5 ab2 8. 2 xy – 6y + xz – 3z 9. 4 x4 + 3 x2y2 + y4 10. x8 – 6 x4y4 + y8 11. a2 – a – 30 12. 15 m2 + 11m – 14 13. 8 m3 – 27 y6 14. 16 a2 – 24ab + 9 b2 15. x4 + 4x2 – 21 16. 6 x2 + 19x -20 17. a(x + 1) – b(x + 1) + c(x + 1) 18. 1 – a2b4 19. x6 + 4 x3 – 77 20. 1 + (a – 3)3 21. 343 + 8 a3 22. 6am – 4an – 2n + 3m 23. 16 – (2ª + b)2 24. n2 + n – 42 25. x3 – 64 x4 26. (x + 1)2 – 81 27. a2 – (b + c)2 28. 7 x2 + 31x – 20 29. 81 x4 + 25 y2 – 90 x2y 30. c4 – 4 d4 31. 9 n2 + 4 a2 – 12an 32. x2 + 3x – 18 33. 1 + 18ab + 81 a2b2 34. 4 a6 – 1 35. a4 + 3 a2b – 40 b2



18

36. 8(a + 1)3 – 1 37. 1 + 1000x6 38. 49 a2 – x2 – 9y2 + 6 xy 39. x2 - y6

4 81

40. x4 + 11 x2 – 390 41. (x + y)2 + x + y 42. a2- b2 + a3 – b3

Ejercicios Resueltos

1. 44 23 xxx (grupos)

)4()4( 23 xxx

)4()4( 22 xxx

)4)(1( 2xx

)2)(2)(1( xxx

De aquí:

)2)(2)(1(44 23 xxxxxx

2. 322 4x (combinación)

)16(2322 44 xx

)4)(4(2 22 xx

)2)(2)(4(2 2 xxx

De aquí:

)2)(2)(4(2322 22 xxxx

3. yyxx 161632244 22 (combinación)

Sumando y restando 4:

4161636244 22 yyxx

)14496(4 22 yyxx

)144()96(4 22 yyxx

22 )12()3(4 yx

)]}12()3)][(12()3{[(4 yxyx

)123)(123(4 yxyx

Finalmente:

)42)(22(4 yxyx

4. 510 32yx (+/+)

)16842)(2( 4322345 yxyyxyxxyx

5. 814x

Primera forma:

)2793)(3(3 2344 xxxxx

)]3(9)3()[3( 2 xxxx

)9)(3)(3( 2xxx

Otra forma:

)2793)(3(3 2344 xxxxx

)3(9)3()(3( 2 xxxx

)9)(3)(3( 2xxx

6. 4434 234 xxxx (Rufini)

Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4 1 -4 3 4 -4 x=1 . 1 -3 0 4 1 -3 0 4 0 x=2 . 2 -2 -4 1 -1 -2 x=-1 . -1 2 1 -2 0 Por tanto:

)2)(1)(2)(1(4434 234 xxxxxxxx

Ejercicios propuestos

1 15112 2 xx (Trinomio de la forma 2)

Resp. )52)(3( xx

2 22 2yxyx (Trinomio de la forma 1)

Resp. ))(2( yxyx

3 6420 24 xx (Trinomio de la forma 1 y dif.

cuad.)

Resp. )2)2)(2)(4( xxxx

4 22 69 yxx (trinomio perf. y dif. cuad.)

Resp. )3)(3( yxyx



19

numerador

denominador


1.8. Fracciones algebraicas Es el cociente indicado por dos expresiones

algebraicas, como ser:

Mínimo Común Múltiplo de monomios (M.C.M.).- Se factorizan los coeficientes y se toman los factores con mayor exponente. En el caso de las literales se toman las literales con mayor exponente sin que éstas se repitan. Ejemplo a) Encontrar el mínimo común múltiplo de los

siguientes monomios:

mbxmaxa42223 24,36,10

)3)(2(24

)3()2(36

)5)(2(10

3

22

Literales con mayor exponente: mbxa4223

Entonces: mbxambxa4223422323 360))(5)(3)(2(

Mínimo común múltiplo de polinomios (m.c.m.) En el caso de los polinomios se aplica la factorización a cada polinomio, luego en m.c.m. es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo:

a) Encontrar el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:

yaaxyxa22 484 y ybxb 22 66

xyyxyyxx

yxyx

yxyxayaaxyxa

2))((2,,

)2(

)2(4484

22

22

2222

)2(422 yxyxadondede )(22 2

yxa

Por otra parte:

ybxb 22 66

)(6 2 yxb )(3.2 2 yxb

Por tanto, el M.C.M. entre ambos polinomios será:

22 )(12 yxab

1.9. Máximo Común Divisor de monomios (M.C.D.).- Se factoriza cada monomio y se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo a) Encontrar el máximo común divisor de las

siguientes expresiones:

zyx3212 ; zyx

218 ; zyx

2324

zyxzyx32232 )3()2(12

zyxzyx222

)3)(2(18

zyxzyx23323 )3()2(24

xyzxyzDCM 6)3)(2(...

WORK PAPER # 5


TITULO: FRACCIONES ALGEBRAICAS

FECHA DE ENTREGA:


)5)(3)(2(23

y

x

5

3



20

Simplificación de factores: Sé factoriza tanto numerador como denominador, se cancelan los factores iguales y, se agrupan los factores que quedan, en un solo término. Ejemplo:

a) Simplificar la siguiente expresión: mba

ba33

52

6

4

mba

ba

mba

ba33

52

33

52

)3)(2(

)2)(2(

6

4

am

b

3

2 2

1.10. Operaciones Algebraicas Las operaciones que se puede realizar con dos o más expresiones algebraicas son: Suma, Resta, Multiplicación y División. Suma de fracciones: Se obtiene el común denominador a través del mínimo común múltiplo, dicho denominador se dividirá entre los denominadores de cada fracción; el cociente que resulte será el nuevo numerador, el cual se simplificará con términos semejantes. Una vez simplificado se observa si el numerador se puede simplificar

1. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores

2. Se divide el mínimo común múltiplo entre cada uno de los denominadores

3. Se multiplica resultado obtenido en el paso 2 por su respectivo numerador.

4. Se sustituyen los nuevos numeradores y denominador y se procede a la simplificación.

Resta de fracciones: Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se aplica el procedimiento de la suma recordando que el sustraendo es afectado por el signo de la operación. Multiplicación: Se factoriza tanto numerador como denominador en cada factor de la multiplicación, se establece la multiplicación de fracciones numerador por numerador y denominador por denominador. Finalmente se simplifica cada multiplicación. División: Para realizar la división de fracciones se cambia la operación de la división por la multiplicación con solo invertir el numerador por el denominador y el

denominador por el numerador del segundo termino, una vez invertido se factorizan tanto numerador como denominador y se aplica el procedimiento de la multiplicación de fracciones.

CUESTIONARIO WORK PAPER # 5

1. Realizar las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

1) 1

1

22

1

33

12xxx

2) 22 xax

a

ax

xa

axa

x

3) 32 )1(

1

)1(1

2

a

a

a

a

a

4) yyxy

x 12

5) 1

2

1

432yy

x

y

x

6) )()(1

7 2

ba

ba

ba

a

ab

ab

7) 33222

312 yx

yxyx

yx

xy

yxyx

8)

22

2

22

211

11

ba

x

abba

xbaab

x

ba

9) ba

bab

b

aa 12

2

10) 22

2

2

2

2

11

11

yx

xy

xy

yx



21

Ejercicios resueltos

1. Simplificar 22

24

yx

x

yx

yx

yx

yx

El m.c.m. de los denominadores es (x - y)(x + y)

))((

4)()( 222

yxyx

xyxyx=

=))((

4)2()2( 22222

yxyx

xyxyxyxyx=

=)(

4

))((

)(4

))((

44 2

yx

x

yxyx

yxx

yxyx

xyx

2. Simplificar 22

2

2

2

2

11

11

yx

xy

xy

yx

2

2

2

2

2

22

2

22

22

2

2

2

2

)1()1(

11

11

11

y

xy

x

xy

x

yx

y

yx

yx

xy

xy

yx

)1)(1)(1)(1(

11

)1()1(

11 2222

22

2222

xyxyxyxy

yxyx

xyxy

yxyx

111

112222

2222

yxyx

yxyx



22


WORK PAPER # 6

UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONES

TITULO: ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer período

Ecuaciones algebraicas Una ecuación algebraica es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica la igualdad de la ecuación para determinados valores de la incógnita. Las Incógnitas de una ecuación son representadas por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, etc. Transposición de términos Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro, para realizar estos cambios se deben cumplir las siguientes reglas: 1. Toda expresión que este sumando en un

miembro; pasa a restar al otro miembro. 2. Toda expresión que este restando en un

miembro; pasa a sumar al otro miembro. 3. Toda expresión que este multiplicando en

un miembro, pasa al otro miembro a dividir. 4. toda expresión que este dividiendo en un

miembro, pasa al otro miembro a multiplicar.

Raíces o solución de una ecuación: Las raíces de una ecuación son valores que reemplazados en las incógnitas o variables satisfacen la igualdad de la ecuación. Una ecuación tiene uno, dos o mas soluciones esto dependerá del grado de la ecuación. Grado de una ecuación: Las ecuación pueden ser lineales o de primer grado,

cuadráticas o de segundo grado y polinómicas de grado mayores o iguales a 3. El grado de la ecuación es el mayor exponente que tienen la variable o exponente. Ejemplo: Indicar el grado de las siguientes ecuaciones

435x ecuación de 1er grado

3632 2 xx ecuación de 2do grado

6237 23 xxx ecuación de 3er grado

3401114 25 xxx ecuación de 5º grado

Solución de las ecuaciones Existe un teorema que indica que el grado de una ecuación determina el número de soluciones que tiene la ecuación. En estas soluciones se incluyen las soluciones complejas. Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita: Son aquellas ecuaciones que tienen grado uno; para resolver este tipo de ecuación solo se debe despejar la variable o incógnita. Ejemplo: a) Resolver:

933x

933x

393x

3

12x 4x



23

b) Resolver:

23

)1)(3(

x

xx

21x 3x

CUESTIONARIO WORK PAPER # 6 1. Resolver las siguientes ecuaciones

lineales algebraicas 1 ) 533 xx

2 ) 3 ( a - 4 x ) + 7 ( 2 x - a ) - 5 ( 3 x + 2 a ) = 0 3 ) )]}12([5{)12(6 xxxx

4 ) }10)]5(3[{)52()3)(12(3 22 xxxxx

5 ) 2

222

3

67

15

64

5

)4(2

3

72

x

x

x

x

x

xx

6 ) 13

2

19

6

3

22

2

xx

x

2. Problemas sobre ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. 1) Un Hacendado ha comprado caballos y

vacas por $us 40000. Por cada caballo pagó $us 600 y por cada vaca $us 800. Si compró 6 vacas menos que caballos, ¿Cuantas vacas y cuantos caballos compró?

2) En cada día, de lunes a jueves, gano $us 6 más que lo que gano el día anterior. SI el jueves gané el cuadruplo de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané cada día?

3) % personas han comprado un negocio contribuyendo por partes iguales. Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado $us 800 menos. ¿Cuánto costó el negocio?

4) Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La liebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos altos debe dar el perro para alcanzar a la liebre?

5) Dos autos que llevan la misma velocidad pasan en el mismo instante por dos puntos, A y B, distante entre si 186 Km y van uno hacia el otro. ¿A que distancia de A se encontraran?

P r o b l e m a s r e s u e l t o s y p r o p u e s t o s

Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?

Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos:

x = edad del hermano menor.

A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:

x + 3 : edad del hermano mediano

x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor

Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,

Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:

Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.

Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. (Sol: 12, 24, 108).

Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m)

b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4).



24


WORK PAPER # 7

UNIDAD O TEMA: 2. ECUACIONES

TITULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES – ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

FECHA DE ENTREGA


Sistema de ecuaciones lineales: Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas se los realiza utilizando los siguientes métodos: Sustitución, Igualación y Reducción. Método de sustitución: Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra ecuación para obtener una de las variables; una vez obtenida una de las variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable. Ejemplo: a) Determinar los valores de las variables en el

siguiente sistema de ecuación :

1938

2452

yx

yx

Despejamos la variable “x” de la primera ecuación:

2452 yx

yx 5242

2

524 yx

Reemplazo la “x” en la segunda ecuación:

1938 yx

1932

5248 y

y

193)524(4 yy

1932096 yy

961923y

23

115y 5y

y = -5; reemplazo en la ecuación 1

2

524 yx

2

2524x

2

1x

Por lo tanto la solución del sistema de ecuación

es 2

1x ; 5y

Método de reducción: Este consiste en prepararan las dos ecuaciones (multiplicando por los números convenientes) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, una vez multiplicadas se suman ambas ecuaciones y desaparece una incógnita de donde se despeja una de las variables; una vez obtenida una de las variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable. Ejemplo: a) Determinar los valores de las variables en el

siguiente sistema de ecuaciones:

36

624

yx

yx

2

)5(524x



25

Para eliminar la variable “y” multiplicamos por -2 a la segunda ecuación:

624 yx 6212 yx

1208x

8

12x

2

3x

x = 5; reemplazo en la ecuación 1

624 yx

622

34 y ; 626 y

662y

2

12y 6y

CUESTIONARIO WORK PAPER # 7 1. Resolver los siguientes sistemas de

ecuaciones lineales:

1 ) 743

2652

yx

yx

2 ) 1389

547

yx

yx

3 ) 53

12

yx

yx

4 )

75

4

4

3

997

2

yx

yx

5 )

47

3

5

4

35

2

3

yx

yx

2. Problemas de aplicación 1) Jorge se arriesga a preguntar la edad de su

novia y ella le responde: Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tú tengas la edad que tengo nuestras edades sumarán

63 años. Halle las edades actuales de los novios. (Resp. 28, 21)

2) Un tren sale de Cochabamba hacia Santa

Cruz, a 216 km de distancia, a las 9.00 a.m . Una hora más tarde, un tren sale de Santa Cruz hacia Cochabamba. Se encuentran al mediodía. Si el segundo tren hubiese partido a las 9.00 a.m y el primero a las 10.30 a.m, también se hubieran encontrado al mediodía. Averigüe la velocidad de cada tren. (Resp. 36 Km/h, 54 Km/h)

3) Para el día de comienzo del Forum sobre

Ingeniería de Sistemas, se vendieron 1000 boletos. Los asientos de platea costaron 8 Bs., los del medio 6 Bs., y los del fondo 5 Bs. El número combinado de boletos vendidos para platea y del medio excedían por 400 el doble de los boletos del fondo. El total de ingresos para ese Forum fue de 6280 Bs.. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada uno? (Resp. 240, 560, 200)

4) En una fábrica de Telecomunicaciones se

fabrican dos tipos de antenas parabólicas que se venden a 3 y 5 $us, respectivamente. Si se venden 140 antenas de los dos tipos, los ingresos obtenidos son de 526 $us. ¿Cuántas antenas se vendieron de cada tipo? (Resp. 87, 53)

5) La familia González, la familia López y el

matrimonio Ugarte almorzaron en el mismo restaurante. Los González, que comieron 3 bifes, 2 ensaladas y 5 gaseosas, gastaron 53 Bs. Los López que comieron 5 bifes, 3 ensaladas y 9 gaseosas, gastaron 91 Bs. ¿Cuánto gastaron los Ugarte que comieron entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1 gaseosa?

6) Roxana cuenta que cuando cumplió años

en el 2005 descubrió que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía?

7) Las personas que asistieron a un examen

de grado se estrecharon las manos. Uno de ellos advirtió que los estrechones de mano



26

fueron 66. ¿Cuántas personas asistieron al examen? (Resp. 12 pers.)

8) Un Docente gasta la mitad de su sueldo

mensualmente en el alquiler de la vivienda y alimentos de su familia y 3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 5 meses ha ahorrado 400 Bs.. ¿Cuál es su salario mensual? (Resp. Bs. 640)

9) Un comerciante de implementos petroleros

vende dos plantas generadoras: la primera en 8920 $us. y la segunda en 1200 $us. Según el comerciante , la ganancia por la segunda planta fue de 40% sobre su precio de costo y una pérdida de 20% por la venta de la primera. Determine la ganancia total obtenida por el comerciante.

10) Un ingeniero se va a retirar del negocio de

las computadoras y las reparte entre sus cuatro hijos. El primero recibe la mitad, el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta parte y el último las 7 últimas computadoras. ¿Cuántas computadoras se repartieron?

11) El sábado Juan compró 6 disquetes para su

computadora. Dos días después el precio de los disquetes se redujo en 1.2 Bs. por unidad. Alida compró 10 disquetes en la oferta y pagó 4 Bs.. más que Juan por los disquetes. ¿Cuál era el precio original?

12) Dos remolques deben trasladar cierto

número de equipos petroleros a un mismo depósito. El primero lo pude hacer tres veces más rápido que el segundo. Juntos pueden completar el trabajo en 12 horas. Determine el tiempo que tardaría cada uno en trasladar todos los equipos por sí solo.

13) En un prado la hierba crece en todas partes

con igual rapidez y espesura. Se necesitan 70 hombres para cortar en 24 días y 30 hombres para hacerlo en 60 días. ¿Cuántos hombres serían necesarios para cortar toda la hierba en 96 días?

14) Durante el día de las Brigadas Udabol se

habilitaron 900 asientos en los micros que

trasladarían a los estudiantes. Se les dieron 2 papeletas rojas a Medicina, 3 papeletas verdes a Ingeniería y 4 papeletas azules a Empresariales. En cierto monitoreo con todos los asientos ocupados, la mitad de los asientos de Empresariales era igual a Medicina e Ingeniería juntos. Si las papeletas totalizaron 3200. ¿Cuántos de Medicina asistieron a la reunión?

15) Isaac Newton nació en el siglo XVII y murió

en el siglo XVIII. Sabiendo que el número formado por los dos últimos dígitos del año de nacimiento aumentado en 12 es el doble del número formado por los dos últimos dígitos del año de su muerte, u éste último número aumentado en la unidad es dos tercios del primero. Determinar, a que edad murió Newton?

Ecuaciones cuadráticas Son aquellas ecuaciones que tienen grado dos, las ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0 ; a 0 Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:

0)()( 2 acaxbax

acaxbax )()( 2

44)()(

222 b

acb

axbax

42

22b

acb

ax

42

22b

acb

ax

4

4

2

2 acbbax

2

4

2

2 acbbax

En consecuencia: a

acbbx

2

42

Esta expresión encierra dos fórmulas, que se pueden expresar en la siguiente forma:



27

a

cabbx

2

4–– 2

2,1

Una ecuación cuadrática tiene solución real

solo si: (b 2 – 4 a c) 0 esta expresión es denominado discriminante de la ecuación. Ejemplo: a) Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

3 x 2 + 5 x 2 = 0

32

)2–(34–55– 2

x

6

75–

6

24255–x

3

1

6

75–1x

2–6

7–5–2x

b) Resolver la siguiente ecuación cuadrática:

2x2 8x = 0

A veces también es posible resolver la ecuación cuadrática, factorizando:

2 x 2 8 x = 0

2 x (x 4) = 0

2 x = 0 x 1 = 0

x 4 = 0 x 2 = 4 Naturaleza de las raíces: Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0, con a , b y c números

reales y a 0, x1 y x2 sus raíces, entonces:

1. b 2 – 4 a c > 0 x1 y x2 son reales y distintas.

2. b 2 – 4 a c = 0 x 1 = x 2 y además son reales.

3. b 2 – 4 a c < 0 x 1 y x 2 no son reales, son complejas conjugadas

Ejemplo: Determinar la naturaleza de las raíces de las siguiente ecuación cuadrática, sin resolverlas: x2 +2x + 3 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 b 2 – 4 a c = 22 –4 * 1 * 3 = – 8 Las raíces no son reales. Son complejas conjugadas

Ecuaciones Polinómicas o de grado superior: Las ecuaciones polinómicas son igualdades de grado mayor o igual a 3 y para resolverlas es recomendable expresar la ecuación en factores aplicando cualquiera de los casos de factorización anteriormente estudiados, posteriormente se procede a igualar cada factor a cero, de donde vamos a obtener cada una de las raíces de la ecuación. En el caso de ecuaciones no factorizables por métodos analíticos, se pueden aplicar procesos de aproximación denominados “métodos numéricos”, los cuales permiten obtener soluciones o “raíces acotadas” de la ecuación. Uno de estos métodos es el llamado “método de Newton-Raphson”. Habitualmente estos métodos requieren de matemáticas avanzadas.

Formula de Newton )('

)(1

i

iii

xf

xfxx

CONTINUACIÓN CUESTIONARIO WORK PAPER # 7 1) Resolver las siguientes ecuaciones de

segundo grado

1 ) 1)4(

22

2

x

x

2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) - 3 ( 4 x - 3 ) = ( 5 - x ) 2

3 ) 23

735

52

58

x

x

x

x

4 ) 01582 xx

5 ) )3(22 xx

6 ) 01

xx

7 ) 0295 2 xx

8 ) 05194 24 xx



28


WORK PAPER # 8

UNIDAD O TEMA: 3. INECUACIONES

TITULO: INECUACIONES

FECHA DE ENTREGA:


Desigualdad A veces se dan condiciones en las que, en lugar de aparecer el signo igual, se presentan otros signos llamados: “signos de desigualdad”, los cuales permiten establecer diferencias claras entre ecuaciones e inecuaciones. Los símbolos de desigualdad que relacionan dos o más números o expresiones matemáticas entre si son los siguientes: < Menor que, > Mayor que, ≤ Menor igual que,

Mayor igual que, Inecuaciones. Se llama inecuación a una expresión de algebraica cuyos miembros están relacionados por uno o varios símbolos de desigualdad. Ejemplo:

a) 3 + 7 > 6 b) x - 1 < x + 5

Las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. Esta valoración en el caso de las literales puede depender del valor de la variable. En los ejemplos considerados, la primera y la cuarta son ciertas, la segunda falsa, y la tercera depende del valor que le demos a x. Intervalo Los intervalos en IR (números reales) se puede representar en la recta real, tales que sus extremos pueden ser cerrados, abierto, abierto

a la derecha, abierto a la izquierda. Para hacer la representación gráfica podemos utilizar la siguiente simbología:

;] [: Abierto ; [ ]: Cerrado

Solución de una inecuación. La solución de una inecuación es siempre un conjunto de valores que pertenece a los números reales, es te conjunto a veces puede ser vació; el conjunto de solución son valores que siempre hacen verdadera la desigualdad de la inecuación original. Las inecuaciones según la expresión algebraica que tienen se clasifican en: inecuaciones lineales, cuadráticas algebraicas y de valor absoluto. Inecuaciones lineales. Son inecuaciones que poseen incógnita de primer grado, para resolver solo se debe despejar la variable “x”; al despejar la variable se debe tener en cuenta para cualquier inecuación que al multiplicar por (-1) a una inecuación se invierte el signo de desigualdad. Cada valor de la incógnita que satisface la inecuación se dice que es una solución particular, y el conjunto de todas las soluciones particulares se llama solución general o conjunto solución “C. S.”. Vemos también que las expresiones de la solución general se corresponden con la de los intervalos: ] - ∞ ; a [; x < a; x menor que a



29

] - ∞ ; a] ; x ≤ a; x menor igual que a ] a ; + ∞ [; x > a; x mayor que a [ a ; + ∞ [; x ≥ a; x mayor igual que a Estos intervalos podemos representarlos en la recta real como se observa en los siguientes ejemplos. a) Resuelve la siguiente inecuación y

representa en la recta real el conjunto solución:

3 - x > 6 3 - x > 6 - x > 6 – 3 *(-1)

x < - 3

C. S.: ] - ∞ ; -3 [ b) Resuelve la siguiente inecuación y

representa en la recta real el conjunto solución:

2 + x ≥ 5 2 + x ≥ 7

x ≥ 7-2 x ≥ 5

C. S.: ] - ∞ ; -3 [

Inecuaciones con valor absoluto Las inecuaciones con valor absoluto tienen dos

formas básicas: abx y abx .

1) abx

Si a < 0, es verdadera para todo x.

Si a = 0, es verdadera para todo x 0.

Si a > 0, abxabx

2) abx

Si a < 0, no tiene sentido. Si a = 0, no tiene sentido.

Si a > 0, abxa

CUESTIONARIO WORK PAPER # 8 1. Determinar el conjunto solución de las

siguientes inecuaciones y represente las respectivas soluciones en la recta real.

1 ) 37 xx

2 ) 29

x

3 ) 253132 22 xxxx

4 ) 0622 2 xx

5 ) 625 23 xxx

6 ) 4322 xx

7 ) 021

1

x

x

8 ) 1

2

23

4

xx

9 ) 1

3

2

1

xx

1 0 ) 92

34

xx

1 1 ) 0127

52 xx

x

1 2 ) 065

42 xx

x

1 3 ) 016

22x

x

1 4 ) x

x

x

x

32

1

1 5 ) 2

3

3

2

1

1

xxx

1 6 ) 041

2122

432

xxx

xxx

1 7 ) 123 xx

1 8 ) 122 xx

1 9 ) 2322 xx

2 0 ) 11x

x

-3



30


WORK PAPER # 9

UNIDAD O TEMA: 4. LOGARITMOS

TITULO: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMOS

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Período

Exponente. Es el número que se coloca como superíndice de otro número o letra al que se le llamara base. Si el exponente es entero y positivo indicara el número de veces que se toma como factor a la base. Si no existe el exponente, se supone que esta indicado y, se asume que es 1. Potencia. La potencia de un número es el resultado de tomar al mismo número como base elevado a un exponente. Potenciación Es una operación que tiene por objeto hallar las potencias de un número.

potencialaesb

elesn

baselaesadondeban

exponente

:

Leyes de exponentes:

n

nnnn

nnn

nmnm

mnmnnmnm

aababa

aababa

aaaa

aaaaa

1

1

1

0

Radicación. Es la operación inversa de la potenciación. Se conoce el número de veces que se multiplico (índice de la raíz) y el resultado (radicando), deseando encontrar el número que se multiplicó (raíz).

0:

:

bparesnsiNota

raízlaesa

índiceelesn

radicandoelesbdondeabn

Una raíz se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario.

n

mn m bb

Logaritmo. Se denomina logaritmo de un numero, a aquel exponente al que se debe elevar determinada base para obtener el numero, es decir

númeroelesb

elesn

baselaesa

Donde

logaritmo

:

nbloga

00;1:

log

byaaNota

banb

definiciónPorn

a



31

Ejemplo: Calcular los siguientes logaritmos:

1) ?1000log10

Entonces el resultado será 3 por que 10 elevado al cubo”3” da como resultado 1000.

2) ?8log2


3) ?64log4


Logaritmo decimal o vulgar Es aquel que tiene por base el número 10. Al ser muy usados no escribir la base (log). Logaritmo Neperiano o Natural Es aquel que tiene por base el número natural “e” y se representan por (ln). Constante natural o número natural ”e” La constante natural es aquel número denotado por la letra “e” y cuyo valor es:

67182188284.2e

Propiedades de logaritmos

vn

vxa

unuxa

vuvua

vuvu

an

a

x

an

ax

a

aaaa

aaaa

a log1

log

logloglog

logloglog1log

logloglog01log

log

Cambio de base:

ab

a

BB

b

a

c

ca

log

1log;

log

loglog

Antilogoaritmo

BBaa )(loglog 1

BBanti aa )(loglog

Ecuaciones exponenciales. Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas igualdades en las que la variable aparece como exponente de una determinada base. Ejemplo:

749217)217) 524 xxxx ba

081-3 ) 0322 ) xx dc

452

734

4

9

4

9

2

3)6255)

xx

xx fe

Ecuaciones logarítmicas: Se llaman ecuaciones logarítmicas, a aquellas ecuaciones, que presentan a su incógnita afectada por un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica, se aplican las propiedades de logaritmos o antilogaritmos según se precise, como también los cambios de base que se requieran. Sistema de ecuaciones exponenciales. Es un conjunto de igualdades donde cada una de ellas es una ecuación de tipo exponencial. Ejemplo:

094

03.2yx

xx

Ecuaciones logarítmicas: Es un conjunto de igualdades donde cada una de ellas posee logaritmos. Ejemplo:

0)log()log(

2)log()log(

yx

yx

CUESTIONARIO WORK PAPER # 9 1. Simplificar las siguientes expresiones

aplicando leyes de exponentes:

1) 32123 ..... zyxzyx



32

2) 2

1

3

4.

5

3

5

3

3

2

2

1

..

..

zyx

zyx

3) yxzy

zx

32

3

2

4) 3

12 2

yx

yxxx

5)

3

3

43 231

13

2

..4 zx

zyxzyx

31

42

32

3 241

2

3

yx

xyz

yx

yzx

yx

z

6) 5

2

4 5 2 2.

zyx

7) 5

2

4 2

3

6.81.243 xx

8) 3 724243..100 xzyxyz

9) 2 7 4

3

2 5 3 2

1

2

23

y

zx

x

yz

zy

x

2. Calcular los siguientes logaritmos:

1) 64log2

2) 100log5

3) 2401log7

4) 2ln e

5) 100000log10

3. Resolver las siguientes ecuaciones

exponenciales:

1) 324 1x

2) 042 112 xx

3) 0644 93x

4) 06255 62x

5) 0639 xx


logarítmicas:

1) 02)15log( x

2) 09)38(log2 x

3) 364logx

4) 2

33 log)54(log xx

5) 3)6(loglog 33 xx

6) 1logloglog 34

2

1 x

7) 0loglogloglog 2345 x

8) 01(loglogloglog 5

9

45

3

2 x

9) 0)137(log 2

2

1 xx

10) 075log 2

2

7 xx

5. Resolver los siguientes sistemas de

ecuaciones logarítmicas exponenciales:

1) 36

1)log()log(22 yx

yx

2) 1

1)log()log(2

y

x

yx

3) 62512525

81273yx

yx

4) 353

572yx

yx

5) 357

729yx

yx



33



34

EJERCICIOS RESUELTOS

1. 5505·35 1212 xx

2

332

55

1255

27505)325(

27505·35·25

5//5505·5

35·5

32

2

2

22

22

xx

por

x

x

x

xx

xx

2. 163844 62 xx

1;7

076

014122

14)6(2

22

21

2

2

2

14)6(2 2

xx

xx

xx

xx

xx

3. 2331 xx

xexistenot

xt

tt

tt

tiabledecambio

x

x

x

x

x

;333

0;131

032

23

3var

233

3

2

1

2

4. 243·32·4 xx

68478755,16

3

4log

2

243log

2

243log

3

4log

2

243log

3

4log

2

243

3

4

243·32·4

x

x

x

x

x

xx

5 . 10

log3log2x

x

100

2log

13log

10loglog3log2

x

x

x

xx

6 . 2)1log()3(log xxx

1

123

)1()3(22

2

x

xxxx

xxx



35

a

a

b c

α


WORK PAPER # 10

UNIDAD O TEMA: 5. TRIGONOMETRÍA

TITULO: TRIGONOMETRÍA

FECHA DE ENTREGA:


Trigonometría Es el estudio de las relaciones numéricas entre los ángulos y lados de los triángulos. Medición de ángulos: En Geometría los ángulos tienen medidas positivas solamente, en cambio, en Trigonometría un ángulo puede tener una medida positiva, nula o también negativa. El sistema sexagesimal, asigna al ángulo completo una medida de 360º, existe otro sistema para medir ángulos, llamado sistema absoluto, cuya unidad es el radián (rad). Un ángulo del centro en una circunferencia tiene la magnitud de 1 rad, si el arco que subtiende tiene una longitud igual al radio de ésta.

En este sistema el ángulo completo mide 2 rads, por lo tanto:

1 rad equivalente a 180º Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo. Un triangulo rectángulo es aquel triangulo en el cual uno de sus ángulos es de 90º. Dado el triángulo rectángulo en C se tiene las razones trigonométrica del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Seno del ángulo en α sen (α): Cociente entre las longitudes del cateto

opuesto al ángulo en y de la hipotenusa:

c

bsen )(

Coseno del ángulo en α cos (α): Cociente entre las longitudes del cateto

adyacente al ángulo en y de la hipotenusa:

c

a)(cos

Tangente del ángulo en α tg (α): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto adyacente al ángulo en α:

a

btg )(

Cotangente del ángulo en α ctg (α): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente y del

cateto opuesto al ángulo en :

b

actg )(

Secante del ángulo en α sec (α): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del

cateto adyacente al ángulo en :

a

c)(sec

Cosecante del ángulo en α csc (α): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del

cateto opuesto al ángulo en :

b

c)(csc



36

Teoremas En cualquier triangulo rectángulo se cumplen los siguientes teoremas: Teorema 1: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de cuadrados de los otros catetos. Teorema de Pitágoras

222 bac

Teorema 2: Dado un ángulo, el valor de cualquier razón trigonométrica depende únicamente de la magnitud de dicho ángulo. Teorema 3: Si α + β = 90º, entonces:

sen (α ) = cos (β ) cos (α ) = sen (β ) tg (α ) = ctg (β ) ctg (α ) = tg (β ) sec (α ) = csc (β ) csc (α) = sec (β )

Teorema 4:

Si n Z, entonces: sen (α + 360º × n ) = sen (α ) cos (α + 360º × n ) = cos (α ) tg (α + 180º × n ) = tg (α )

Tabla de razones trigonométricas de

algunos ángulos

A sen (α ) cos (α ) tg (α )

0º 0 0 1 0

30º 6

2

1

2

3

3

3

45º 4

2

2

2

2 1

60º 3

2

3

2

1 3

90º 2

1 0 indefini

da

180º 0 – 1 0

270º 2

3 – 1 0

indefinida

Ley de los senos. La ley de los senos se aplica a cualquier triangulo oblicuángulo, los triángulos oblicuángulo son aquellos en que sus ángulos son diferentes entre si. La ley de senos se aplica cuando se conocen las medidas de: a) Dos lados y uno de los ángulos opuestos a ellos. b) Dos ángulos y un lado.

Dado un triángulo ABC cualquiera:

Siempre se cumple las siguientes relaciones:

c

Csen

b

Bsen

a

Asen )()()(

Ley de los cosenos. La ley de coseno se aplica a cualquier triangulo oblicuángulo. La ley de coseno se aplica cuando se conocen las medidas de: a) Los tres lados. b) Dos lados y el ángulo comprendido por ellos. Dado el triángulo ABC:



37

) C ( cos b a 2- b a c

) B ( cos c a 2- c a b

)A ( cos c b 2 - c b a

222

222

222

CUESTIONARIO WORK PAPER # 10

1. Resolver los siguientes problemas

mediante la aplicación de trigonometría.

1) En un triángulo se conocen º45 ,

º105 y 2c . Determine sus lados y

sus ángulos.

2) Dos lados de un paralelogramo miden 5 m. Y 8 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden las diagonales?

3) Desde la cúspide de un faro de 80 m. De

altura, se observan hacia el oeste dos botes según ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los botes.

4) Un asta de bandera está enclavada en lo

alto de un edificio. Desde un punto situado en el suelo, a 12 m. del edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura del edificio y la longitud del asta.

5) Desde un punto A situado en el suelo se

observa hacia el norte el campanario de una iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100 m., calcule la altura del campanario.

6) A medio día, dos aviones de búsqueda se

disponen a salir de Santiago de Chile para rastrear un helicóptero que cayó en el Océano Pacífico. El avión A viaja directamente al Oeste a una velocidad de 400 km/hora, el avión B viaja hacia el

Noreste a 500 km/hora. A las 14:00 horas el avión A encuentra a los sobrevivientes del helicóptero y llama por radio al avión B para que acuda y ayude en el rescate. ¿A qué distancia está el avión B del avión A en ese instante?

7) Un observador que se encuentra a 2

kilómetros de distancia de un camino recto, ve pasar un automóvil frente a él y un minuto más tarde lo ve pasar bajo un

ángulo 35 a la derecha de la posición

anterior. Calcular la velocidad aproximada del automóvil.

8) La distancia entre dos edificios de tejado

plano es de 70 mts. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 mts, se observa a la azotea del otro con un ángulo de elevación de 50º. ¿Cual es la altura del edificio más alto?

9) Desde la ventana de un edificio a 43 m de

altura, se observa un auto con un ángulo de depresión de 45º. ¿A que distancia desde la base del edificio se encuentra el automóvil?

10) Dos lados de un paralelogramo miden 9 m.

Y 17 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden las diagonales?

2. Demostrar las siguientes identidades

trigonométricas

1) tan

11

cos

sen

sen

2) ecg cosseccottan

3) 1)sec()cos(tan 22 senec

4) sencottan

sec

5) tan1

cot1

sec

cosec

6) sen

sen

1

cos

cos

1

7) 2

22

tan1

tan121 sen



38

8) cot.cos21sec

1

1sec

1ec

9) 2sec21

1

1

1

sensen

10) cottan1tan1

cot

cot1

tan


trigonométricas:

1) 012sen

2) 04

cos

3) tan)80tan(

4) sen.3cos

5) 1)2(2cot sen

6) 06tan5tan2

7) 01282 sensen

8) 0cos4cos3

9) 0)2()4( sensen

10) 1sec.cottan

cos).2( ecsen



39


WORK PAPER # 11

UNIDAD O TEMA: 6. GEOMETRÍA ANALÍTICA

TITULO: GEOMETRÍA ANALÍTICA

FECHA DE ENTREGA:


Geometría analítica Sistema de coordenadas rectangulares Un sistema de coordenadas en el plano esta formado por dos rectas perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas o abscisa “eje x” y ordenada “eje y” que pertenecen a los números reales. Distancia entre dos puntos. La distancia que existe en una línea de segmentos formados por dos puntos esta definida por el teorema de Pitágoras que dice:

2

12

2

12 yyxxd

Pendiente de una recta.

Se llama pendiente de una recta a la tangente del ángulo de inclinación que forma la recta con el semieje positivo de abscisas, medido siempre en sentido contrario al de las agujas de un reloj. Dados dos puntos por los cuales pasa la recta A, B su pendiente se calcula así:

12

12tanxx

yym

La recta. La recta es una sucesión de puntos que es considerada como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos. Además tenemos los siguientes conceptos: La recta en un plano cartesiano puede estar representada por las siguientes ecuaciones Forma general de la ecuación de la recta:

La encontramos haciendo operaciones con cualquiera de las formas antes mencionadas, su representación es:

ax + by + c = 0. Forma pendiente-ordenada, la ecuación

es:

x

y

I II

III IV

x

y

B

x1

A

x2

y2

y1

x

y

B

x1

A

x2

y2

y1 α )



40

y = mx + b (b es la intersección con el eje Y). Forma punto-pendiente, la ecuación es:

y – y1 = m(x – x1). Forma punto-punto, la ecuación es:

y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] (x – x1) Forma abscisa-ordenada, la ecuación es:

x/a + y / b = 1 (donde a es la intersección con el eje x y b la intersección con el eje y).

Ecuación pendiente-ordenada. Esta ecuación esta dada cuando se conoce como datos la pendiente de la recta y la ordenada.

bmxy

Donde: tanm : es la pendiente

b = parámetro lineal por donde la recta corta al eje y

Ecuación punto-pendiente. Esta ecuación esta dada cuando se conoce un punto de la recta P(x1, y1) y su pendiente de la recta.

11 xxmyy

Donde la pendiente es: tanm

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Esta ecuación esta dada cuando se conoce dos puntos de la recta P(x1, y1), P(x2, y2).

Sea 12

12tanxx

yym , entonces:

1

12

121 xx

xx

yyyy

Ecuación abscisa-ordenada. Esta ecuación esta dada cuando se conoce la intersección de la recta con el ejex y eje y.

1b

y

a

x

Donde:

“a” es la abscisa “b” es la ordenada

Rectas paralelas. Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales es decir:

x

y

b .

.

a

a

x

y

x1

P y1

y2

x2

P

x

y

x1

P y1 α )

x

y

b . α

)



41

2

1

1

mm

Rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares entre si y solo si forman un ángulo de intersección de 90°, es decir:

Ángulo entre dos rectas. Si dos rectas se intersectan entre si, el ángulo de intersección entre ambas rectas esta dado por la siguiente ecuación:

La circunferencia. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera

que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2

desarrollamos los cuadrados y tenemos: x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2

agrupando términos:

x2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0 reemplazando tenemos: x2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 Por último tenemos: La ecuación general de la circunferencia:

0 F Ey Dx y x 22

La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria.

La parábola. La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta

X

Y

Radio ( r )

Centro (h, k)

Punto móvil

x

y

θ )

x

y

x

y

21 mm

21

21

1arctan

mm

mm



42

fija es la directriz. La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.

Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de

la forma kyphx 42

y sus elementos

son:

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma:

hxpky 42

y sus elementos son los

siguientes:

La elipse. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje X es:

12

2

2

2

b

ky

a

hx

La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal paralelo al eje Y es:

12

2

2

2

a

ky

b

hx

En donde para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro hacia cada foco y a, b, c están ligadas por la siguiente relación:

222 cba , en donde c es la distancia desde

el centro de la elipse hacia su foco. También para cada elipse, la longitud de cada

uno de sus lados rectos es: a

bLR

22.

La excentricidad de una elipse es:a

ce .

Los elementos de una elipse son los que se describen en la figura siguiente:

X

Y

Vértice (h, k)

Foco

Directriz

Lado recto

Eje

foc

al

X

Y

L’

V V’F’F C

c

b

a

L

A

A’

CF CF

Foco(h + p, k)

Directriz x = h – p

Eje focal y = k

Donde 4|p| es la magnitud del lado recto

y siendo |p| la distancia entre el foco y el

vértice.

Si p > 0 la parábola se abre a la derecha.

Si p < 0 la parábola se abre a la izquierda.

Foco (h, k + p)

Directriz y = k – p

Eje focal x = h

Donde 4|p| es la magnitud del lado

recto y siendo |p| la distancia entre el

foco y el vértice.

Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.

Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.



43

La hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos.

La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:

12

2

2

2

b

ky

a

hx

Sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k). Sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k). La ecuación de una hipérbola centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje Y es de la forma:

12

2

2

2

b

hx

a

ky

Sus focos son (h , k + c) y (h, k - c). Sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ). Donde para cada parábola a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado

y c la distancia del centro a cada foco; a, b, c

están ligadas por la relación 222 bac .

También para lado recto de la hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es:

a

bLR

22.

La excentricidad de una elipse es:a

ce .

Sus elementos son los que se muestran en la figura:

F y F’, focos. V y V’, vértices. L, eje focal. VV’, eje transverso. C, centro. L’, eje normal. AA’, eje conjugado. CF, lado recto.

Las asíntotas de una hipérbola están dadas

por siguiente ecuación: khxa

by

CUESTIONARIO WORK PAPER # 11 1. Distancia entre dos puntos.

1) Demostrar que las coordenadas de los siguientes puntos, forman un triangulo isósceles : P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )

2) Hallar la distancia entre los puntos:

P1 (2, 1); P2 (6, 4).

3) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 4); P2 (-6, -3). 2. Pendientes, ángulos y grafica.

1) Hallar el ángulo de inclinación que tiene la línea de segmentos formada por los puntos: (5,2), (3,-4).

2) Hallar la pendiente y el ángulo de

inclinación de la recta 2X + Y – 8 = 0. 3) Hallar el ángulo de intersección de las

rectas L1: 6X + 3Y – 15 =0 L2: X + 2Y + 2 =0. 3. Distancia entre dos puntos.

X

Y

LF V V’C

A

L’

A’

F’

CF CF’

F y F’, focos.

V y V’, vértices

C, centro.

d(V, V’), eje mayor.

CF, lado recto.

d(A, A’) eje menor.

L’, eje normal.

L, eje focal.



44

1) Demostrar que las coordenadas de los siguientes puntos, forman un triangulo isósceles : P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )

2) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 1); P2 (6, 4).

3) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 4); P2 (-6, -3).

4. Rectas con sus respectivas grafica.

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 ( 3 , 3 ) ; P2 ( 5 , - 3 ) .

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa

por el punto P1 ( 5 , 4 ) y su pendiente es: m = -3.

3) Hallar la ecuación de la recta que corta

al eje de las abscisa en 3 y la ordenada en -2.


a la ordenada en -5 y su pendiente es 2 / 3

5. Rectas paralelas y perpendiculares con

sus respectivas graficas. 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa

por P1 ( 5 , 4 ) y es paralela a la recta 2x + 3y - 9 = 0.


a la abscisa en -3 y es paralela a la recta que pasa por los puntos: P 1 ( 0 , - 2 ) ; P 2 ( 5 , 2 )

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa

por la intersección de las rectas: L1: 7 x + 8 Y - 2 9 = 0 L 2 : 5 X + 1 1 Y - 2 6 = 0 y es perpendicular a la recta: 4 X + 2 Y - 5 = 0

6. La circunferencia con sus respectivas

graficas.

1) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en P ( 5 , - 1 ) y u n r a d i o R = 4

2) Hallar la ecuación de la circunferencia

que tiene centro en P1 (4, 4) y es tangente al eje X.

3) Encontrar la ecuación de la

circunferencia que tiene su centro en el punto P1 (5, 7) y posee un radio R = 3

7. La parábola con sus respectivas

graficas 1) Hallar la ecuación de la parábola que

tiene vértice en V (3,2) y foco en: F (5,2).

2) Hallar la ecuación de la parábola que tiene foco en F (6,-2) y por directriz a la recta X = 2.

3) Determinar la ecuación de la parábola

que tiene vértice en V (-5,-3) y tiene directriz en Y = 4

8. Graficar las siguientes cónicas

1) x2 – 4x – 12x + 6 =0 2) y2 +6y +2x -3 = 0 3) x2 + 2x – 7y+2 = 5 4) 9x2 + 4y2 – 36x – 8y – 104 = 0 5) 4x2 – 25y2 – 32x + 50y – 61 = 0 6) 1 6 x 2 + 2 5 y 2 - 1 2 8 x - 3 0 0 y + 7 5 6 = 0 7) 2 5 x 2 + 9 y 2 - 2 2 5 = 0 8) x 2 + 4 y 2 - 4 x - 8 y - 2 8 = 0 9) 5 x 2 - 4 y 2 - 2 0 x + 2 4 y + 2 0 = 0 10) 2 5 x 2 - 4 9 y 2 - 1 0 0 x + 2 9 4 y + 8 8 4 = 0



45


DIF’s # 1

UNIDAD O TEMA: 1

TITULO: OPERACIONES ALGEBRAICAS

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Período

Se pueden aplicar operaciones algebraicas para analizar fenómenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramo. . CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes): AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA



46


DIF’s # 2

UNIDAD O TEMA: 2

TITULO: ECUACIONES Y PROBLEMAS DE ECUACIONES

FECHA DE ENTREGA:


Las ecuaciones, son herramientas matemáticas, que permite el análisis fenómenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramo

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):





47


DIF’s # 3

UNIDAD O TEMA: 5

TITULO: APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACIÓN Segundo Período:

La trigonometría es una herramienta matemática, que permite el análisis fenómenos relacionados con su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello consulte con especialistas de ramo CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):



Syllabus algebra I

Career

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