Superficies extendidas
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Capítulo 3 IMC 484 1
Superficies Extendidas (Aletas)Una superficie extendida (también conocida como aleta) es un sistema que combina la conducción y la convección. En una aleta se asume que la transferencia de calor es 1D. El calor también se transfiere por convección (y/o radiación) desde la superficie a los alrededores.
Capítulo 3 IMC 484 2
Superficies Extendidas (Aletas)Las superficies extendidas pueden existir en muchos tipos de situaciones pero son normalmente utilizadas como aletas para mejor la transferencia de calor al incrementar el área de convección (y/o radiación). Ellas son particularmente útiles cuando h es pequeño, o en convección natural con gases.
Capítulo 3 IMC 484 3
Superficies Extendidas (Aletas)
Capítulo 3 IMC 484 4
Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal variable
Balance de energía para un volumen de control diferencial
dx
qx+dxqx
dqconv
dAs Ac(x)
xin qE =&
convdxxout dqqE += +&
( ) 0112
2=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ∞TT
dxdA
kh
AdxdT
dxdA
AdxTd s
c
c
c
Capítulo 3 IMC 484 5
Distribución de temperatura en una aleta de sección transversal constante
( ) 0112
2=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ∞TT
dxdA
kh
AdxdT
dxdA
AdxTd s
c
c
c
Cambios de variable:qf
Ac
qconv
Tb ( ) 02
2=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ∞TT
kAhP
dxTd
c
PdxdA
dxdA sc == and 0
( ) ( ) ∞−≡ TxTxθckA
hPm ≡2
Capítulo 3 IMC 484 6
Condiciones de fronteraSolución de la ecuación diferencial resultante en una aleta de sección
transversal constante
( ) mxmx eCeCx −+≡ 21θBase (x = 0)
( )0 b bT Tθ θ∞= − ≡
Transferencia de Calor:
Extermo derecho ( x = L)
)(Lhdxdk
Lx
θθ=−
=
A. Convección:
B. Adiabático: 0=−=Lxdx
dk θ
C. Temperatura cte: ( ) LL θθ =
D. Aleta infinita: ( ) 0=Lθ
( )0|ff c x A s
dq kA h x dAdxθ θ== − = ∫
Capítulo 3 IMC 484 7
Distribución de temperatura y balance de calor para aletas de sección transversal cte
Capítulo 3 IMC 484 8
fεDesempeño de aletas,
• Las aletas se usan para aumentar q aumentando A• Sin embargo las aletas son una resistencia de
conducción para la transferencia de calor
Desempeño de una aleta, εf
∴=bbc
ff hA
qθ
ε,
Ac,b: Área de la sección transversal en la base de la aleta
2≥fεSe justifica el uso de aletas si
Capítulo 3 IMC 484 9
Desempeño de aletas, εf
Hipótesis: h sin aleta = h con aleta
• Aleta infinita:
• Extremo de la aleta adiabático
bcf hPkAq θ=
4≥chA
kP2≥⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cf hA
kPεbcc
bbc
bcf AA
hAhPkA
,,
=∴=θθ
ε
)tanh(mLhPkAq cf =
)tanh(mLhAkP
cf ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=ε 0,1)tanh( si max, =mLfε
Capítulo 3 IMC 484 10
Extremo de la aleta adiabático
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
mL
tanh
(mL)
mL=2,3
tanh(mL)=0,98
Capítulo 3 IMC 484 11
Eficiencia de la aleta, fη
mL
( )
( ) 0tanh
1tanh0
→=∞→
→=→
mLmLL
mLmLLSi
f
f
η
η
fηPara una aleta de sección transversal uniforme con un extremo adiabático
mLmL
hPLmLhPkA
hAq c
bf
adff
)tanh()tanh(, ===θ
η
bf
fff hA
qqq
θη ==
max
1
0
Af: Área superficial de la aleta
Costo
fη
Capítulo 3 IMC 484 12
Cómo saber si la consideración de extremo adiabático es buena? Consideremos una aleta en aluminio (k=237 W/mK) de 20,0 cm de largo, 3,0 cm de profundidad y 0,5 cm de ancho. con una temperatura en la base igual a 100 ºC. Asumamos que h=5W/m2K. El ambiente se encuentra a 25 ºC.
a) Cual sería la temperatura del extremo si en el extremo hay transferencia de calor por convección.
b) La misma pregunta pero con un extremo adiabático.
Eficiencia de la aleta, fη
T x TT T
m L x h mk m L xmL h mk mL
x x
T x x x
b b
( ) cosh[ ( )] ( / )sinh[ ( )]cosh ( / )sinh
cosh[ . ( . )] . sinh[ . ( . )]cosh( . ) . sinh( . )
( ) . {cosh( . . ) . sinh( . . )}
- ∞
∞−= =
− + −+
=− + −
+= + − + −
θθ
3138 0 2 0 00672 3138 0 20 6276 0 00672 0 6276
25 62 09 0 6276 3138 0 00672 0 6276 3138
138,3 , ==ckA
hPm
Ecuación larga
Capítulo 3 IMC 484 13
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.285
88.75
92.5
96.25
100
T( )x
T c( )x
x
T: Ext adiabática; Tc: Ext convectivo
T(0.2)=87.32 °CTc(0.2)=87.09 °C
Nota 1: la temperatura en el extremo de la aleta es ligeramente inferioren el caso de un intercambio por convección, lo que es lógico!!!Note 2: La diferencia entre las dos soluciones es ínfima. Luego es posible encontrar aproximadamente el mismo resultado en los dos casos si se aplica un factor correctivo al caso del extremo adiabático (especialmente en el caso de aletas delgadas) lo que compensaría el efecto de transferencia de calor por convección en el extremo de la aleta.
Eficiencia de la aleta, fη
T x TT T
m L xmL
T x
T x x
b b
( ) cosh ( )cosh
cosh[ . ( . )]cosh( . * . )
,
( ) . * cosh[ . ( . )]
- ∞
∞−= =
−
−−
=−
= + −
θθ
25100 25
3138 0 23138 0 2
25 62 32 3138 0 2
Extremo adiabática
Capítulo 3 IMC 484 14
Eficiencia de la aleta, fη
Para ahorrarse la utilización de la ecuación larga se utiliza la suposición de extremo adiabático pero utilizando una longitud de aleta corregida para tener en cuenta la transferencia de calor por convección en el extremo LC=L+(t/2).
L L
LC=L+t/2
Con convecciónt/2
Extremo aislado
t
Luego se aplica una condición de extremo adiabática
Capítulo 3 IMC 484 15
Retomando el ejemplo anterior tenemos, m=3.138. La longitud corregida es LC=L+(t/2)=0.2+0.0025=0.2025(m)
Eficiencia de la aleta, fη
( ) ( )[ ]( )
( ) ( )[ ]( )2025,0138,3cosh
2025,0138,3cosh25100
25 ; cosh
cosh×
−=
−−−
==−−
∞
∞ xxTmL
xLmTT
TxT corr
c
c
bb
corr
θθ
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.285
88.75
92.5
96.25
100
T( )x
T c( )x
T corr( )x
( ) ( )[ ]xxTcorr −×+= 2025,0138,3cosh05,6225
T(0.2)=87.32 °C Tc(0.2)=87.09 °CTcorr(0.2025)=87.05 °C
Capítulo 3 IMC 484 16
Curvas para calcular en aletasfη• D.R. Harper y W.B. Brown en 1922 desarrollar el siguiente método para
calcular de forma simple la eficiencia de aletas de diferentes formas• El método: utilizar la expresión para aletas con extremo adiabático, pero
utilizando una longitud corregida:
• La velocidad de transferencia de calor y la eficiencia de la aleta serán entonces de la forma
( ) cuadrada aleta ,4 cilíndrica aletas ,4/resrectangula aletas ,2/
wLLDLLtLL
c
c
c
+=+=+= t: espesor de la aleta
D: diámetro de la aleta
( )( ) tanh
tanh
mL
mL
mLMq
c
cf
cf
=
=
η
( ) / PALL cc += Ac es el área de la sección transversal y P es el perímetro de la aleta en el extremo.
bchPkAM θ=
Capítulo 3 IMC 484 17
Curvas para calcular en aletasfη
23
2121
cp
cc
c LkA
hLkAhPmL ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=wPtw 2 Si ≈⇒>>
Capítulo 3 IMC 484 18
Arreglo de aletas
Arreglo representativo de aletas(a) rectangulares(b) anulares.
– Área superficial total :
Número de aletas Área de la base
– Calor transferido total:
– Eficiencia y Resistencia total :
bft ANAA +=
ot
bbtobbbfft R
hAhAhANq,
θθηθθη ==+=
( )ft
fo A
NAηη −−= 11
tot
bot hAq
Rη
θ 1, ==
Capítulo 3 IMC 484 19
Circuitos térmicos para arreglo de aletas
• Circuito térmico equivalente SIN resistencia de contacto superficial :
• Circuito térmico equivalente CON resistencia de contacto superficial :
tcocot
cot
bbtcot hA
RR
hAq)(
)(,)(,
)(1
ηθ
θη =∴==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
1)( 11
CANA f
t
fco
ηη
( )bcctff ARhAC ,",1 /1 η+=
Capítulo 3 IMC 484 20
Aletas de sección transversal no uniforme
( ) 0112
2
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ∞TT
dxdA
kh
AdxdT
dxdA
AdxTd s
c
c
c• Ecuación general
( ) 0212
2
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+ ∞TT
kth
drdT
rdrTd
01 22
2
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+ θθθ m
drd
rdrd Ec de Bessel modificada
( ) ( ) ( )mrKCmrICr 0201 +=θSolución
I0 y K0 funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera
C.F ( ) brr
rdrd θθθ
=∧==
102
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21102110
210210
mrImrKmrKmrImrImrKmrKmrI
b ++
=θθ
I1 y K1 funciones de Bessel de primer orden modificadas de primera y segunda clase. Anexos B.4 y B.5, pag 858 y 859 Incropera
Capítulo 3 IMC 484 21
Ejercicio• Los álabes de turbina montados en un disco rotatorio de una turbina de gas se exponen
a un flujo de gas que esta a T∞=1200 ºC y mantiene un coeficiente de convección de h=250 W/m2K sobre los álabes. Los álabes, fabricados en Inconel, k=20 W/mK, tienen una longitud de L=50 mm. El perfil del álabe tiene un área de sección transversal Ac=6x10-4 m2 y un perimetro P=110 mm. Un esquema de enfriamiento de álabe que se propone, el cual implica dirigir aire a través del disco de soporte, es capaz de manter la base de cada álabe a una temperatura Tálabe=300 ºC.
• a) Si la temperatura máxima permisible del álabe es 1050 ºC y se supone que la punta del alabe es adiabática, ¿es satisfactorio el esquema de enfriamiento que se propone?
• b) Para el esquema de enfriamiento propuesto, ¿cuál es la transferencia de calor de cada álabe al fluido refrigerante?
• c) En que estado (gaseoso, líquido o en ebullición) debe estar el fluido refrigerante para asegurar la transferencia de calor calculada en el numeral anterior. Sugiera un rango para h lado refrigerante. Justifique su respuesta!!!