Sonido

Física II

Contenido

• Velocidad de ondas sonoras• Ondas sonoras armónicas• Intensidad de ondas sonoras armónicas• Ondas esféricas y planas• Efecto Doppler• Superposición de ondas• Interferencia de ondas sonoras• Ondas sonoras en cuerdas• Ondas sonoras en columnas de aire• Pulsaciones

Velocidad de ondas sonorasPulso longitudinal a través de un medio compresible.

La velocidad de la ondas sonoras depende de la compresibilidad y la inercia del medio. Si el medio tiene un módulo volumétrico B y una densidad de equilibrio ρ, la velocidad de las

ondas sonoras en ese medio es

ρB

v =

De hecho, la velocidad de todas las ondas mecánicas se obtiene de una expresión de la forma general

inercial propiedad

elástica propiedad=v

Ondas sonoras armónicas

Cuando un émbolo oscila senoidalmente, las regiones de condensación y rarefacción se establecen de forma continua.

La distancia entre dos condensaciones consecutivas es igual a la longitud de onda, λ.

A medida que esta ondas viajan por el tubo, cualquier volumen pequeño del medio se mueve con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de la onda.

Si s(x, t)es el desplazamiento de un pequeño elemento de volumen medido a partir de su posición de equilibrio, podemos expresar esta función de desplazamiento armónico como

s(x, t) = smáx cos(k x –ω t)

donde smáx es el desplazamiento máximo medido a partir del equilibrio, k es el

número de onda angular, y ω es la frecuencia angular del émbolo.

Onda longitudinal senoidal que se propaga en un tubo lleno de gas.

La fuente de la onda es el émbolo de la izquierda.

Onda de presión

Onda de desplazamiento

Onda de variación presión

La variación de la presión del gas, ∆P, medida desde su valor de equilibrio, también es periódica y está dada por

∆P = ∆Pmáx sen(k x –ω t)

La amplitud de presión ∆Pmáx es el cambio máximo en la presión a partir de

su valor de equilibrio. La amplitud de presión es proporcional a la amplitud de desplazamiento, smáx:

∆Pmáx = ρ vω smáx

Donde ω smáx es la velocidad longitudinal máxima del medio frente al

émbolo.

La variación de la presión en un gas es

V

VBP

∆−=∆

El volumen en un segmento del medio que tiene un espesor ∆x en la dirección horizontal y un área de sección transversal A es V = A∆x.

El cambio en el volumen ∆V que acompaña al cambio de presión es igual a A∆s, donde ∆s es la diferencia entre el valor de s en x + ∆x y el valor de s en x. Por tanto, podemos expresar ∆P como

x

sB

x

s

A

AB

V

VBP

∆∆−=

∆∆−=∆−=∆

A medida que ∆x se aproxima a cero, la proporción ∆s/∆x se vuelve . En consecuencia

x

sBP

∂∂−=∆

x x + ∆x

s s + ∆s

A

Puesto que el módulo volumétrico esta dado por B = ρ v2, la variación de la presión se reduce a

∆P = ρ v2smáx k sen(k x –ω t)

Además, podemos escribir k = ω / v, consecuentemente, ∆P puede expresarse como

∆P = ρω v smáx sen(k x –ω t)

Tomando el valor máximo de cada lado

∆Pmáx = ρω vsmáx

Si el desplazamiento es la función senoidal simple dada anteriormente, encontramos que

( )[ ] ( )tkxksBstkxsx

BP máxmáx ωω −=−∂∂−=∆ encos

Intensidad de ondas sonoras armónicas

La energía promedio de la capa de aire en movimiento puede determinarse por:

∆E = ½ ∆m(ω smáx)2 = ½ (ρ A∆x) (ω smáx)

2

Donde A∆x es el volumen de la capa. La tasa en el tiempo a la cual se transfiere la energía a cada capa es

( ) ( ) 2212

21

máxmáx sAvst

xA

t

EPotencia ωρωρ =

∆∆=

∆∆=

( )[ ] ( )tkxstkxst

txst

txv ω−ω=ω−∂∂=

∂∂= sencos),(),( maxmax

( ) ( )( ) kxsxA

kxsxAkxsmmvK22

max21

2max2

12max2

1221

sen

sensen

ω∆ρ=

ω∆ρ=ω∆=∆=∆

( ) ( ) λωρ=ωρ== ∫∫λ

λ2

max41

0

22max2

1 sen sAdxkxsAdKK

La intensidad es

( ) vsI máx2

21

área

Potencia ωρ==

Esto también puede escribirse en términos de la amplitud de presión como

v

PI máx

ρ2

2∆=

Definimos la intensidad de una onda, o potencia por unidad de área, como la tasa a la cual la energía que es transportada por la onda fluye por un área unitaria A perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

∆Pmáx = ρω vsmáx

Dado el amplio rango de valores de intensidad, es conveniente utilizar una escala logarítmica, el nivel sonoro β se define como

β ≡ 10 log(I / I0)

La constante I0 es la intensidad de referencia.

Avión de reacción 150

Perforadora de mano;ametralladora 130

Sirena; concierto de rock 120

Tren urbano; segadora eléctrica 100

Tráfico intenso 80

Aspiradora 70

Cenversación normal 50

Zumbido de un mosquito 40

Susurro 30

Murmullo de hoja 10

Umbral auditivo 0

Niveles sonoros de algunas fuentes

Ejemplo

El umbral auditivo del ser humano a 1000Hz es 10–12 W/m2. Y el umbral de dolor es 1.00 W/m2 . Encuentre la amplitud de presión y de desplazamiento asociadas a estos límites. v = 343 m/s y ρ = 1.2 kg/m3.

v

PI máx

ρ2

2∆=

∆Pmáx = ρω vsmáx

Ondas esféricas y planas

La intensidad de onda a una distancia r de la fuente es

24 r

P

A

PI propro

π==

Como Ppro es la misma en cualquier superficie

esférica centrada en la fuente, vemos que las intensidades a las distancias r1 y r2 son

22

221

1 44 r

PIy

r

PI propro

ππ==

En consecuencia, la proporción entre las intensidades sobre las dos superficies esféricas es 2

1

22

2

1

r

r

I

I=

Dado que I ∝ s2, entonces s ∝ 1/r. Por tanto podemos escribir

( ) ( )tkrsenr

stx ω−=Ψ 0,

donde s0 es la amplitud de desplazamiento en t = 0.

Es útil representar las ondas esféricas mediante una serie de arcos circulares concéntricos con la fuente. Cada arco representa una superficie sobre la cual la fase de la onda es constante. Llamamos a dicha superficie de fase constante frente de onda.

Fuente

Frente de onda

Rayo

La distancia entre dos frentes de onda es igual a la longitud de onda, λ. Las líneas radiales que apuntan hacia fuera desde la fuente se conocen como rayos

A distancias de la fuente que son grandes si se les compara con la longitud de onda, podemos aproximar los frentes de onda por medio de planos paralelos. A este tipo de onda se le conoce como onda plana. Cualquier porción pequeña de una onda esférica alejada de la fuente puede considerarse como una onda plana.

La figura muestra una onda plana que se propaga a lo largo del eje x, lo cual significa que los frente de onda son paralelos al plano yz. En este caso la función de onda depende solo de x y de t y tiene la forma

Ψ(x, t) = A sen(kx –ωt)

Ejemplo

Sea una fuente puntual de ondas sonoras con una salida de 80 W.

Encuentre la intensidad a 3m de la fuente.

Hallar la distancia a la cual el sonido es 10–8 W/m2

24 r

P

A

PI propro

π==

Tarea

Calcule el nivel sonoro en decibeles de una onda sonora que tenga una intensidad de 4 µW/m2, 4 mW/m2 y 0.4 W/m2

β ≡ 10 log(I / I0)

Efecto Doppler

Se experimenta un efecto Doppler siempre que hay un movimiento relativo entre la fuente y el observador.

Cuando la fuente y el observador se mueven uno hacia otro la frecuencia que escucha el observador es más alta que la frecuencia de la fuente.

Cuando la fuente y el observador se alejan uno del otro, la frecuencia escuchada por el observador es más baja que la frecuencia de la fuente.

Cuando el observador se mueve hacia la fuente con velocidad v0, la velocidad de la onda es v’ = v + v0. La frecuencia es entonces

f ’ = v’ / λ = (v + v0) / λ

o

f ’ = f (1 + v0/v)

Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia es

f ’ = f (1 − v0/v)

v

v0

v0 vv0

vv’v’

Cuando la fuente se mueve hacia el observador con velocidad vs, durante cada vibración la fuente se mueve una distancia vs T = vs /f. Y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Entonces

λ’ = λ − ∆ λ = λ − vs /f

Entonces

f ’ = v / λ’ = v /(λ − vs /f ) = v /(v /f − vs /f)

o

f ’ = f /(1− vs /v)

λ’

vs

Similarmente, si la fuente se aleja del observador se tiene que:

f ’ = f /(1 + vs /v)

Los dos resultados se pueden resumir en

f ’ = f (v ± v0)/(v vs)

Los signos superiores se refieren al movimiento de uno hacia el otro, y los inferiores se refieren al movimiento de uno alejándose del otro.

Cuando vs excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra.

Frente de choque cónico

vt

01

2

S0 S1 S2

vS t

θ

SN

Sv

v=θsen

Ejemplo Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez constante de 40.0 m/s. El silbato del tren suena a una frecuencia característica de 320 Hz. a) ¿Qué cambio en la frecuencia detecta una persona en la plataforma conforme el tren pasa? b) ¿Qué longitud de onda detecta una persona conforme el tren se aproxima?

f ’ = f (v ± v0)/(v vs)

v0 = 0

vs = 40 m/s

f = 320 Hz

f ’ = 320(343 + 0)/(342 – 40)

= 362

λ’ = 343/362 = 0.95 m

Tarea

Una ambulancia emite un sonido de sirena de 450 Hz, encuentre la frecuencia que escucha un oyente si

a) La ambulancia se mueve hacia él a 20 m/s

b) La ambulancia está en reposo y el oyente se mueva hacia ella a 20 m/s

c) La ambulancia se mueve hacia el a 10 m/s y el se mueve hacia la ambulancia a 10 m/s ambos respecto al piso.

d) La ambulancia se aleja a 10 m/s y el oyente está en reposo.

Superposición e interferencia de ondas senoidales

El principio de superposición nos indica que cuando dos o más ondas se mueven en el mismo medio lineal, el desplazamiento neto del medio en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos causados por todas las ondas.

Podemos expresar las funciones de onda individuales como

y1 = A0 sen (kx - ωt) y2 = A0 sen (kx - ωt - φ)

En consecuencia, la función de la onda resultante y es

y = y1 + y2 = A0 [sen (kx - ωt) + sen (kx - ωt - φ)]

Esta puede rescribirse como

y = 2A0 cos (φ / 2) sen (kx - ωt -φ / 2)]

Si la constante de fase es cero, entonces la amplitud resultante es 2A0. En este caso, se dice que las ondas

estarán en fase, por lo que interferirán constructivamente.

En general, la interferencia constructiva ocurre cuando cos (φ / 2) = ±1, lo cual es equivalente a que φ = 0, 2 π, 4 π, ... rad.

Por otra parte, si φ es igual a π rad, o a cualquier múltiplo impar de π, entonces cos (φ/2) = 0 y la onda resultante tiene amplitud cero.

En este caso, las ondas interferirán destructivamente.

Interferencia de ondas sonorasDispositivo para producir interferencia en ondas sonoras.

Cuando la diferencia en las longitudes de las trayectorias ∆r = r2 - r1 es cero algún múltiplo

de la longitud de onda λ, las dos ondas alcanzan el receptor y están en fase e interfieren constructivamente.

Si la longitud de r2 se ajusta de manera que la

diferencia de trayectorias es λ/2, 3λ/2, ..., nλ/2 (para n impar), las dos ondas están exactamente 180º fuera de fase en el receptor y consecuentemente se cancelan entre sí.

La diferencia de trayectoria se puede expresar en función de la diferencia de fase como

φπλ2

=∆r

Considere dos ondas senoidales en el mismo medio con la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando en direcciones opuestas. Sus funciones de onda pueden escribirse

y1 = A0 sen (kx - ωt) y2 = A0 sen (kx + ωt)

donde y1 representa la onda que viaja hacia la derecha y y2

representa la onda que viaja hacia la izquierda. La suma de las dos funciones produce la función de onda resultante y:

y = y1 + y2 = A0 sen (kx - ωt) + A0 sen (kx + ωt)

Esta expresión se reduce a:

y1 = (2A0 sen kx)cos ωt

que es la función de una onda estacionaria.

Superposición de dos ondas viajeras que produce una onda estacionaria.

La amplitud máxima tiene un valor 2A0. Dicho máximo ocurre cuando las

coordenadas x satisfacen la condición sen kx = ±1, o cuando

puesto que k = 2π/λ, las posiciones de amplitud máxima, llamadas antinodos, son

Del mismo modo, la onda estacionaria tiene una amplitud mínima de cero cuando x satisface la ecuación sen kx = 0, o cuando

kx = π, 2 π , 3 π, ...

lo que produce

Estos puntos de amplitud cero se denominan nodos.

,...5,3,14

,...4

5,

4

3,

4=== n

nx

λλλλ

,...3,2,1,02

,...2

3,,

2=== n

nx

λλλλ

,...2

5,

23

,2

πππ=kx

EjemploDos ondas senoidales se describen por las ecuaciones y1= (5.00 m) sen [2π(4.00x- 1 200t)] y y2= (5.00 m) sen [2π(4.00 x – 1200t – 0.250)] donde x, y1 y y2 están en metros y t en segundos, a) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? b) ¿Cuál es la frecuencia de la onda resultante?

y = 2A0 cos (φ / 2) sen (kx - ωt -φ / 2)]

Ondas sonoras en una cuerda

Los modos de vibración normales en una cuerda corresponden a las frecuencias:

µF

Ln

vLn

fn 22==

Modos normales en una cuerda.

Ondas estacionarias en columnas de aire

Modos normales de vibración en tubos abiertos, las frecuencias normales son:

vLn

fn 2=

Modos normales de vibración en tubos cerrados, las frecuencias normales son:

vLn

fn 4=

Interferencia EspacialLas ondas sonoras, luminosas y las ondas en el agua, presentan patrones de interferencia en el espacio.

Si se tienen dos fuentes sonoras ligeramente espaciadas se produce interferencia como la de la figura.

P

Pulsaciones

Las pulsaciones se producen cuando se superponen dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes.

Sean y1 = A0 cos 2πf1t y y2 = A0 cos 2πf2t, es fácil mostrar que

y = y1 + y2 = A0 cos 2πf1t + A0 cos 2πf2t =

2A0 cos 2π(f1 − f2)/2 t cos 2π(f1 + f2)/2 t

Resultante dos formas de onda senoidales de diferente frecuencia y la misma amplitud.

Note como varía la amplitud de la resultante.

Series de FourierEl teorema de Fourier establece que una función periódica y(t) puede escribirse como una suma de senos y cosenos de la forma:

( ) ( )∑ +=n

nnnn tfBtfAty ππ 2cos2sen

Síntesis de una onda cuadrada como suma de funciones seno.

Esta función solo utiliza funciones seno para su síntesis, es decir Bn = 0 para toda n.