SOLUCIONES TEMA 11 - MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS 1º. Dado el vector de origen A (3,1) y extremo B (8,1), calcula las componentes del vector y su módulo. Solc. 𝐴𝐵 = 8− 3, 1− 1 = 5,0 𝐴𝐵 = 5! + 0 =5u 2º. Los puntos A (2,1), B (4,3) y C (6,1) son tres vértices de un paralelogramo ABCD (citados los vértices de

forma consecutiva). Calcula las coordenadas del vértice D y de los vectores y , así como los módulos de estos últimos. ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD? Solc. Paralelogramo: cuadrilátero cuyos lados son paralelos dos a dos

Por lo que representando los puntos dados, se tiene que cumplir que 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 (2 , 2) = (6 – d1, 1 – d2)

Igualando componentes una a una obtenemos el punto D (4 , -1) 𝐴𝐵 = 2,2 𝐴𝐷 = (2,−2) 𝐴𝐵 = 2! + 2! = 8 = 𝐴𝐷 = 2! + (−2)! = 8𝑢

ABCD es un cuadrado porque todos sus lados miden lo mismo.

3º. A partir de la figura, formar un friso mediante traslaciones de vector .

4º. Dados los vértices de un triángulo A (2,1), B (0,3), C (2,5), halla las coordenadas de los vértices del

triángulo que se obtiene al trasladar ABC por acción del vector . Solc.

A (2,1) A’ (4 , 5)

B (0,3) B’ (2 , 7) C (2,5) C’ (4 , 9)

5 º. Representa gráficamente la figura e indica los nuevos vértices con los siguientes movimientos:

a) Con centro el origen de coordenadas, efectúa un giro de -90º al triángulo de vértices A (3,0), B (1,1), C (2,5).

𝑨 𝟑,𝟎𝑮 𝟎,!𝟗𝟎°

𝑨! 𝟎,−𝟑

𝑩 𝟏,𝟏𝑮 𝟎,!𝟗𝟎°

𝑩! 𝟏,−𝟏

𝑪 𝟐,𝟓𝑮 𝟎,!𝟗𝟎°

𝑪! 𝟓,−𝟐 [ 𝑆𝑖 𝑃 𝑥,𝑦 → 𝑃′(𝑦,−𝑥) ]

ABuuur

ABuuur

ADuuur

b) Efectúa al mismo triángulo ABC anterior un giro de 90º.

𝑨 𝟑,𝟎𝑮 𝟎,𝟗𝟎°

𝑨!′ 𝟎,𝟑

𝑩 𝟏,𝟏𝑮 𝟎,𝟗𝟎°

𝑩!′ −𝟏,𝟏

𝑪 𝟐,𝟓𝑮 𝟎,𝟗𝟎°

𝑪!! −𝟓,𝟐 [ 𝑆𝑖 𝑃 𝑥,𝑦 → 𝑃′′(−𝑦, 𝑥) ]

6º. Dado el cuadrilátero de vértices A (2,3), B (3,3), C (3,5), D (2,5), efectúale un giro de 180º con centro el

origen de coordenadas. Representa gráficamente la figura obtenida indicando las coordenadas de los vértices.

𝑨 𝟐,𝟑𝑮 𝟎,𝟏𝟖𝟎°

𝑨! −𝟐,−𝟑

𝑩 𝟑,𝟑𝑮 𝟎,𝟏𝟖𝟎°

𝑩! −𝟑,−𝟑

𝑪 𝟑,𝟓𝑮 𝟎,𝟏𝟖𝟎°

𝑪! −𝟑,−𝟓

𝑫 𝟐,𝟓𝑮 𝟎,𝟏𝟖𝟎°

𝑫! −𝟐,−𝟓

[ 𝑆𝑖 𝑃 𝑥,𝑦 → 𝑃′(−𝑥,−𝑦) ]

7º. El vector tiene coordenadas (3,5) y el punto A es (1,2), ¿Cuáles son las coordenadas de B? 𝐿𝑙𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐵 𝑥,𝑦 .𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝐵 𝑥 − 1,𝑦 − 2 . 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝐴𝐵 3,5 , 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑥 − 1 = 3 → 𝑥 = 4𝑦 − 2 = 5 → 𝑦 = 7 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐵(4,7)

Nota: Cuidado al despejar las incógnitas.

ABuuur

8º. El vector tiene coordenadas (3,5) y el punto B es (1,2), ¿Cuáles son las coordenadas de A? 𝐿𝑙𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐴 𝑥,𝑦 .𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴𝐵 1− 𝑥, 2− 𝑦 . 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝐴𝐵 3,5 , 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:

1− 𝑥 = 3 → 𝑥 = −22− 𝑦 = 5 → 𝑦 = −3 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐵(−2,−3)

Nota: Cuidado al despejar las incógnitas. 9º. Dado el cuadrilátero de vértices A (2,1), B (4,1), C (4,7) y D (2,7), aplícale una simetría de eje el eje de

ordenadas. Indica los vértices de la figura obtenida.

𝑨 𝟐,𝟏𝑺(𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀)

𝑨! −𝟐,𝟏

𝑩 𝟒,𝟏𝑺(𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀)

𝑩! −𝟒,𝟏

𝑪 𝟒,𝟕𝑺(𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀)

𝑪! −𝟒,𝟕

𝑫 𝟐,𝟕𝑺(𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀)

𝑫! −𝟐,𝟕

[ 𝑆𝑖 𝑃 𝑥,𝑦 → 𝑃′(−𝑥,𝑦) ]

10º. Dado el triángulo de vértices A (4,4), B (5,1) y C (1,3), aplícale una simetría central de centro O. Indica qué

figura se obtiene y las coordenadas de los vértices.

ABuuur

3)1,C´(C(1,3)

1)5,B´(B(5,1)

4)4,A´(A(4,4)

−−→

−−→

−−→

y)x,P´(y)P(x, −−→

Recuerda: en la simetría central un punto P se transforma en

P´con esta fórmula:

11º. ¿Qué movimiento transforma el triángulo ABC de vértices A (3,2), B (4,1), C (2,1) en la figura de vértices A' (-2,3), B' (-1,4), C' (-1,2)?

12º. ¿Qué movimiento transforma el triángulo ABC de vértices A (3,2), B (4,1), C (2,1) en el triángulo A'B'C' de

vértices A' (-3,-2), B' (-4,-1), C' (-2,-1)?

13º. Aplícale al triángulo ABC de vértices A (0,0), B (3,1), C (1,5) una simetría respecto del eje de abscisas.

Haz el dibujo y calcula las coordenadas del nuevo triángulo A'B'C'

x)y,P´(y)P(x, −→

Se trata de un giro con centro O y ángulo 90º.

Recuerda, en ese movimiento la transformación de un punto P en otro P´ se realiza con la fórmula:

x,-y)P´(y)P(x, −→

Se trata de un giro con centro O y ángulo 180º. Que es lo mismo

que una simetría de centro O Recuerda, en ese movimiento la transformación de un punto P en otro P´ se realiza con la fórmula:

5)C´(1,C(1,5)

1)B´(3,B(3,1)

A´(0,0)A(0,0)

−→

−→

→

y)P´(x,y)P(x, −→

Recuerda: en la simetría respecto del eje de abscisas un punto P se

transforma en P´con esta fórmula:

14º. A la figura ABCD de vértices A (-2,1), B (2,1), C (4,0), D (3,-1) aplícale una traslación de vector T(-1,2)

calcula los nuevos vértices A', B', C', D'.

15º. Calcula siendo

16º. Calcula los módulos de los tres vectores del ejercicio anterior. 𝑢 = 2! + −5 ! = 29 u

𝑤 = −3 ! + (−4)! = 25 = 5 𝑢

𝑢 + 𝑤 = −1 ! + (−9)! = 82 𝑢 19º. Los lados de un triángulo miden 3, 6 y 9 cm. Halla cuánto miden los lados de un triángulo semejante de

perímetro 36 cm. P = 3 + 6 + 9 = 18 cm

!!!= 𝑟

!"!"= 2 es la razón de semejanza por lo que cada lado L’ = L ∙ r

Los lados del triángulo semejante medirán 6, 12 y 18 cm respectivamente

20º. Obtén la figura semejante al paralelogramo de vértices A (-8,-3), B (0,3), C (6,3), D (-2,-3) desde el punto

( )4- 3,-wy 5)- (2,. ==!!u

!u.+!w

D´(2,1)D(3,-1)

C´(3,2)C(4,0)

B´(1,3)B(2,1)

A´(-3,3)A(-2,1)

T(-1,2)

→

→

→

→

b)ya,P´(xy)P(x,

b)T(a,

++→

( )4- 3,-wy 5)- (2,. ==!!u

!u.+!w = (2 -3, -5 -4)=(-1,-9)

B (0,3) y con razón de semejanza 1/2.

21º. Obtén la figura semejante al triángulo de vértices A (0,2), B (2,2), C (0,4) desde el punto O (0,0) y con

razón de semejanza 2.

22º. Las siguientes figuras tienen ejes de simetría y centro de simetría. ¿Cuál es el menor ángulo que deben

girar para quedar invariante? Sol.: a) 90º b) 72º c) 45º d) 60º e) 90º

23º. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P(4,-2) en la simetría de eje la bisectriz del primer cuadrante?

24º. Al aplicarle al punto P(-4,2) una simetría respecto del eje de ordenadas se obtiene P´; a P´ le aplicamos

una simetría respecto del eje determinado por la bisectriz del cuarto cuadrante, obteniéndose P´´; ¿Cuáles son las coordenadas de P´ y P´´? ¿Cuál es el ángulo de giro que transforma directamente P en P´´?

𝑷 −𝟒,𝟐𝑺(𝑬𝒋𝒆 𝑶𝒀)

𝑷! 𝟒,𝟐

𝑷′ 𝟒,𝟐𝑺(𝒃𝒊𝒔𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛)

𝑷!! −𝟐,−𝟒 El ángulo de giro respecto del origen de

coordenadas O(0,0) es de -270º

25º.Al punto A(-4,1) le aplicamos una traslación de vector (3, -2), obteniéndose A´. A este nuevo punto le

aplicamos la translación de vector (2,5) obteniéndose A´´. Calcula las coordenadas de A´ y A´´. Calculas las coordenadas del vector de traslación que trasforma directamente A en A´´.

𝑨 −𝟒,𝟏 𝒗 𝟑,!𝟐

𝑨! −𝟏,−𝟏

𝑨′ −𝟏,−𝟏 𝒖 𝟐,𝟓

𝑨!! 𝟏,𝟒

𝑨𝑨!!(𝟓,𝟑)