Soluciones Ejercicios 5: Logica de Predicados

TAII(I)-Logica

26 de abril de 2006

1. Ejercicio 5.1

Formalizar en el calculo de predicados las siguientes sentencias en lenguajenatural.

1. Todos los actores son famosos.

a) D = las personasA(-): - es actorF(-): - es famoso∀x[A(x) −→ F (x)]

b) D = los actoresF(-): - es famoso∀xF (x)

2. Algunos padres son responsables.

a) D = las personasP(-): - es padreR(-): - es responsable∃x[P (x) ∧R(x)]

b) D = los padresR(-): - es responsable∃xR(x)

3. Todos los miembros son padres o son maestros.

a) D = las personasM(-): - es miembroP(-): - es padreMA(-): - es maestro∀x[M(x) −→ P (x) ∨MA(x)]

b) D = los miembrosP(-): - es padreMA(-): - es maestro∀x[P (x) ∨MA(x)]

4. Algunos polıticos son incompetentes o son corruptos.

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a) D = las personasP(-): - es polıticoI(-): - es incompetenteC(-): - es corrupto∃x[P (x) ∧ (I(x) ∨ C(x))]∃x[(P (x) ∧ I(x)) ∨ (P (x) ∧ C(x))]∃x¬[P (x) −→ ¬(I(x) ∨ C(x))]

b) D = los polıticosI(-): - es incompetenteC(-): - es corrupto∃x[I(x) ∨ C(x)]

5. Las manzanas y los platanos son nutritivos.

a) D = las frutasM(-): - es manzanzaP(-): - es platanoN(-): - es nutritivo∀x[M(x) ∨ P (x) −→ N(x)]∀x[(M(x) −→ N(x)) ∧ (P (x) −→ N(x))]

b) D1 = las manzanas (x)D2 = los platanos (y)N(-): - es nutritivo∀xN(x) ∧ ∀yN(y)

6. Algunas frutas y verduras son nutritivas.

a) D = los alimentosF(-): - es frutaV(-): - es verduraN(-): - es nutritivo∃x∃y[F (x) ∧ V (y) ∧N(x) ∧N(y)]∃x[F (x) ∧N(x)] ∧ ∃x[V (x) ∧N(x)]∃x[(F (x) ∨ V (x)) ∧N(x)]

b) D1 = las frutas (x)D2 = las verduras (y)N(-): - es nutritivo∃xN(x) ∧ ∃yN(y)

7. Si algo anda mal, entonces todos se quejan.

D1 = las cosas (x)D2 = las personas (y)M(-): - anda mal

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Q(-): - se queja∃xM(x) −→ ∀yQ(y)

8. Luis es Guapo.

D = las personasG(-): - es guapoG(l)

9. a) Pedro es amigo de todos.

b) Algunos son amigos de Pedro.

c) Todos son amigos de todos.

D = las personasA(-,-): - es amigo de -a) ∀xA(p, x)b) ∃xA(x, p)c) ∀x∀yA(x, y)

10. Solo los ejecutivos llevan cartera.

D = las personasE(-): - es ejecutivoC(-): - lleva cartera∀x[C(x) −→ E(x)]∀x[¬E(x) −→ ¬C(x)]

11. Hay por lo menos una cosa que es humana y que es mortal.

D = las cosasH(-): - es humanaM(-): - es mortal∃x[H(x) ∧M(x)]

12. Nadie sino los valientes merecen a bella.

D = las personasV(-): - es valienteM(-,-): - merece a -∀x[M(x, b) −→ V (x)]∀x[¬V (x) −→ ¬M(x, b)]

13. Ningun abrigo es impermeable a menos que haya sido especial-mente tratado.

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a) D = los abrigosI(-): - es impermeableT(-): - esta especialmente tratado∀x[¬T (x) −→ ¬I(x)]∀x[I(x) −→ T (x)]

b) D = las cosasA(-): - es abrigoI(-): - es impermeableT(-): - esta especialmente tratado∀x[A(x) −→ (I(x) −→ T (x))]∀x[A(x) ∧ I(x) −→ T (x)]

14. Ningun coche que tenga mas de 10 anos sera reparado si esta real-mente averiado.

a) D = los coches de mas de diez anosR(-): - es reparadoA(-): - esta realmente averiado∀x[A(x) −→ ¬R(x)]

b) D = los cochesD(-): - tiene mas de diez anosR(-): - es reparadoA(-): - esta realmente averiado∀x[D(x) ∧A(x) −→ ¬R(x)]

c) D = las cosasC(-): - es cocheD(-): - tiene mas de diez anosR(-): - es reparadoA(-): - esta realmente averiado∀x[C(x) ∧D(x) ∧A(x) −→ ¬R(x)]∀x[C(x) −→ (D(x) −→ (A(x) −→ ¬R(x)))]

15. En toda pareja de vecinos hay algun envidioso.

D = las personasV(-,-): - es vecino de -E(-): - es envidioso∀x∀y[V (x, y) −→ E(x) ∨ E(y)]

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2. Ejercicio 5.2

Dada la siguiente frase en lenguaje natural:

¿ solo los amigos de Juan son divertidos À

Se pide:

1. Formalizarla en el calculo de predicados utilizando como domino general¿ las personas À

Solucion:

D = las personasA(-,-): - es amigo de -D(-): - es divertivo

F1(x, j) : ∀x[D(x) −→ A(x, j)] Primera posibilidad

F2(x, j) : ∀x[A(x, j) −→ D(x)] Segunda posibilidad

2. Evaluarla en el dominio D = {Pedro, Juan, Luis}, sabiendo que:

Pedro es divertido y Juan y Luis no lo son.

Pedro es amigo de sı mismo y de Luis.

Juan es amigo de todos.

Luis es amigo de sı mismo y de Juan.

Solucion:

D = {pedro, juan, luis}Predicado A(-,-), aridad 2 (poliadico)⇒ no de interpretaciones: D2 →{T, F}, es decir 9 asignaciones (32 → {T, F}).

Predicado D(-), aridad 1 (monadico)⇒ no de interpretaciones: D1 →{T, F}, es decir 3 asignaciones (31 → {T, F}).

x D(x)p Tj Fl F

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x y A(-,-)p p Tp j Fp l Tj p Tj j Tj l Tl p Fl j Tl l T

Evaluacion de la formula:

x D(x) A(x,j) D(x) → A(x, j) ∀xF1(x, j)p T F F Fj F T T Fl F T T F

3. Ejercicio 5.3

Dada la siguiente frase en lenguaje natural:

¿ todos los vecinos del vecindario odian a una persona À

Se pide:

1. Formalizarla en el calculo de predicados utilizando como domino general¿ las personas À

Solucion:

D = las personas;O(-,-): - odia a -V(-): - pertenece al vecindario

F (x, y) : ∀x[V (x) −→ O(x, y)]

2. Evaluarla en el dominio D = {Begona,Maria,Nieves}, sabiendo que:

Begona y Nieves pertenecen al vecindario, y Nieves no.

Nieves no odia a nadie.

Begona y Marıa solo odian a Nieves.

(La variable libre representa al elemento Nieves)

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Solucion:

D = {begona,maria, nieves}Predicado V(-,-), aridad 2 ⇒ no de interpretaciones: 32 → {T, F}; esdecir 9 asignaciones.

Predicado O(-), aridad 1 ⇒ no de interpretaciones: 31 → {T, F}; esdecir 3 asignaciones.

x V (x)b Tm Tn F

x y O(-,-)b b Fb m Fb n Tm b Fm m Fm n Tn b Fn m Fn n F

Evaluacion de la formula, que asignando la variable libre al valor denieves quedarıa: F (x, n) : ∀x[V (x) −→ O(x, n)]

x V (x) O(x,n) V (x) → O(x, n) ∀xF (x, n)b T T T Tm T T T Tn F F T T

4. Ejercicio 5.4

Dada la siguiente frase en lenguaje natural:

¿ Si los obreros no son trabajadores, entonces algunos empresar-ios no son demasiado listos y se arruinaran À

Se pide:

1. Formalizarla en el calculo de predicados, empleando dos dominios: D1 =¿losobrerosÀ,D2 =¿los empresariosÀ.

Solucion:

D1 = los obreros (x)D2 = los empresarios (y)

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T(-): - es trabajadorL(-): - es listoA(-): - se arruinara

F (x, y) : ∀x¬T (x) −→ ∃y[¬L(y) ∧A(y)]

2. Evaluarla en los dominios D1 = {obrero−Pedro, obrero−Luis, obrero−Carlos}, y D2 = {empresario−Juan, empresario−Miguel, empresario−Roberto}, sabiendo que:

Pedro es el unico obrero trabajador.

Juan es listo y no se arruinara.

Miguel no es listo y se arruinara.

Roberto se arruinara a pesar de ser listo

Solucion:

D1 = {obrero− Pedro, obrero− Luis, obrero− Carlos}D2 = {empresario−Juan, empresario−Miguel, empresario−Roberto}

Los tres predicados son monadicos, y ambos dominios estan restrigi-dos a tres objetos por lo que el numero de asignaciones sera 3(31 →{T, F}).

x T (x)p Tl Fc F

y L(y) A(y)j T Fm F Tr T T

Evaluacion de la formula, antecendente:

x T (x) ¬T (x) ∀x¬T (x)p T F Fl F T Fc F T F

Evaluacion de la formula, consecuente:

y L(y) A(y) ¬L(y) ¬L(y) ∧A(y) ∃y[¬L(y) ∧A(y)]j T F F F Tm F T T T Tr T T F F T

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Dado que el antedente de la formula predicativa es falso, y el consecuentees verdadero, puede concluirse que la evaluacion de F(x,y) es verdadera(F → T ⇒ T ).

5. Ejercicio 5.5

Dada la siguiente formula:

∀x∃y(Mayor − que(x, y) −→ Igual − a(y, menor(a, y)))

En el dominio de tres elementos D = {0, 1, 2}, se pide obtener la evaluaciontotal de la formula para dicho dominio.

Suponer que la asignacion π(a) = 1

x y π(menor(x, y))0 0 00 1 00 2 01 0 01 1 11 2 12 0 02 1 12 2 2

x y π(Igual − a(x, y))0 0 T0 1 F0 2 F1 0 F1 1 T1 2 F2 0 F2 1 F2 2 T

x y π(Mayor − que(x, y))0 0 F0 1 F0 2 F1 0 T1 1 F1 2 F2 0 T2 1 T2 2 F

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