Situacin problemtica 1Calcular cul es el monto que se obtiene al depositar $10000 al 10% de inters semestral, sabiendo que esa suma permanece depositado durante 4 semestres.Datos:Co: $ 10000i: 10% semestral ( capitaliza cada 6 meses)n: 4 semestres la unidad de tiempo converge con la unidad de tiempo de la tasa.Trabajemos una linea de tiempo:Capitalizacinhoy: $ 100000 - 1 - 2 - 3 - 4 (semestres)Futuro: ?i: 10% semestral

Tener en cuenta:10%= = 0,10 = iEl monto lo obtendremos a partir de la frmula:Cf = Co(1 + i)nCf = 10000(1 + 0,10)4= 14641, por lo tanto, el monto al cabo de 4 semestres es $ 14641.Situacin problemtica 2Una persona deposita $ 7200 en una entidad financiera que paga el 12% semestral de inters. Sabiendo que el capital permanece depositado durante 4 aos, se desea saber: cunto se retira al final del plazo estipulado?Datos:Co: $ 7200i: 12% semestraln: 4 aos la unidad de tiempo no converge con la unidad de tiempo de la tasa de inters.Lo primero a tener en cuenta:La convergencia de la unidad de tiempo con la unidad de tiempo de la tasa de inters.1 ao 2 semestres 2 aos 4 semestres ,.........4 aos 8 semestresTrabajemos una linea de tiempo:CapitalizacinHoy0 -1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 (semestres) 4 (aos)futuro: ?i: 10% semestral

Tener en cuenta:12% == 0,12= iLuego para obtener el monto al cabo de 4 aos = 8 semestresCf= Co(1 +i)nCf = 7200(1 + 0,12)8= 17826,93Por lo tanto, al cabo de 4 aos retira $ 17826,93.Cf = $Situacin problemtica 3Una persona deposita a plazo fijo por 8 meses la suma de $ 20000, sabiendo que la tasa es de 3,5% mensual, calcular cunto podr retirar al vencimiento.Datos:Co: $ 20000 Cf:?i: 3,5% mensualn: 8 mesesTrabajemos la linea de tiempo:Capitalizacinhoy: $ 200000 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 (meses)Futuro: ?i: 3,5% mensual

Tener en cuenta:3,5% == 0,035 = iLuego si queremos calcular el monto al final del plazo:Cf = Co(1 + i)n=Cf = 20000(1 + 0,035)8=Cf = $26336,18Por lo tanto el monto al cabo de 8 meses es $ 26336,18.

Entre los mtodos ms comunes de calcular el inters de un capital, estn los llamadosINTERS SIMPLEoINTERS COMPUESTO.Recordemos las caractersticas delinters simple: el inters es constante. se calcula sobre el capital invertido (Co) y solo una vez.

Mientras que elinters compuestogenera inters de un capital invertido (Co) y sus intereses, es decir:cuando la inversin es aINTERS COMPUESTO,los intereses se acumulan al capital inicial para volver a generar intereses.Entonces definimosInters compuestocomo los intereses generados a travs de la suma del Co (capital inicial) ms los intereses que produjo dicha suma.Sabemos que...al invertir un capital durante un determinado tiempo nos devuelven ese capital invertido ms los intereses.Veamos en este video cmo surge el inters de un capital invertido a travs de un tiempo determinado.Por lo tanto, si nos referimos al rgimen de capitalizacin compuesto, el inters es la diferencia entre el monto producido por una determinada inversin y el valor de esa inversin.En smbolos:I= Cf - CoObtengamos el Inters de estas operaciones financieras. En una inversin de $ 10000 hemos obtenido un monto de $ 14641 al cabo de 4 semestres.Si el Co : $ 10000 y el Cf : $ 14641.Hemos ganado $ 4641 de inters. Una persona deposita $ 7200 y recibe luego del plazo estipulado $17826,93.Ha ganado $10626,93 de inters.En consecuencia, elmtodo de capitalizacin a inters compuestose caracteriza: el capital vara periodo a periodo, el inters ser una cantidad variable, ya que se calculan sobre el monto reunido hasta el final del periodo anterior, el monto vara con cada periodo que trascurre.Importante:Observa la relacin entre las frmulas trabajadas:

Luego, el inters de una capitalizacin a inters compuesto tambin podemos obtenerlo a travs de conocer el capital inicial (Co), tasa de inters y el tiempo que trascurre dicha operacin.Trabajemos algunas situaciones problemticas:Situacin problemtica 1Cul es el inters producido por un capital inicial de $20000 que produjo un monto de $26640?Datos:Co : $20000Cf : $ 26640El inters producido es la diferencia entre el Cf y el Co es decir:I= Cf - Co si reemplazamos obtenemosI= $ 26640 - $ 20000= $6640Por lo tanto el inters producido en esta inversin es $ 6640

Situacin problemtica 2Determinar en cunto se ha incrementado un capital de $50000 durante 14 meses al 6 % mensual.Recordar:El inters es un incremento de capital invertido.Datos:Co : $50000i : 6% mensual. n: 14 meses converge la unidad de tiempo con la unidad de tiempo de la tasa de inters.Observa la informacin.No tienes en forma directa el monto,pero si cuentas con el capital inicial, la tasa de inters y el tiempo de capitalizacin.Por lo tanto puedes obtener el inters de la siguiente forma.I = Co.[(1 + i)n- 1]=I= 50000 [(1 + 0.06)14- 1]=I = 50000[1,260903956] = 63045,20El inters producido al cabo de 14 meses es $ 63045,20.

Situacin problemtica 3Cul es el inters generado de una inversin cuyo capital inicial fue $12000 durante 4 aos con una tasa de inters de 12% anual?Datos:Co:$ 12000i : 12 % anualn : 4 aos la unidad de tiempo converge con la unidad de tiempo de la tasa.Luego el inters podemos obtenerlo aplicando la siguiente frmula:I= Co [(1 + i)n- 1]=I= 12000 [(1 + 0,12)4- 1]=I = 12000[0,57351936]= 6882,23232Por lo tanto el inters generado es $ 6882,23232 al cabo de 4 aos.

Situacin problemtica 1:Qu inters genera un capital inicial de $ 36000 durante 15 meses a una tasa de 2% mensual?Datos:Co: $36000i : 2% mensualn : 15 mesesEl inters generado ser obtenido por la siguiente frmula:I=Co [(1 + i)n- 1] =I=36000 [(1 + 0,02)15- 1]=I = 36000[0,345868338 ] = 12451,26018.Por lo tanto genera $ 12451,26018 de inters al cabo de 15 meses.

Situacin problemtica 2:Determinar en cunto se ha incrementado un capital de $ 7200 durante 11 meses al 3% mensual.Datos.Co : $7200i : 3% mensualn :15 meses la unidad de tiempo converge con la unidad de tiempo de la tasa.Luego podemos obtener el inters a partir de trabajar la siguiente frmula:I= Co [(1 + i)n- 1]=I= 7200 [(1 + 0,03)11- 1]=I = 7200 [0,38423387]=2766,48.Por lo tanto el capital invertido se ha incrementado en $ 2766,48.

Situacin problemtica 3:Cul es el inters producido por un capital inicial de $ 100000 que produjo un monto de $ 121644,62?Datos:Co : $ 121644,62Cf : $ 100000Si conocemos el Cf y Co obtenemos el inters de la diferencia entre stos:I= Cf - CoI= 121644,62 - 100000= 21644,62.Por lo tanto el inters producido por el capital invertido es $ 21644,62.Aqu te presentamos lasformas de capitalizacin,para ello trabajamos con diferentes tipos de tasas de inters que se utilizan en el mercado financiero.Para qu debemos tener en cuenta las formas de capitalizacin?Para cuando vayas a negociar cualquier crdito, ya sea crdito hipotecario, prstamo directo con el banco, o con alguna institucin financiera, tambin el crdito por medio de la tarjeta de crdito.Te hacemos la siguiente pregunta:Has escuchado la frase "tasa nominal anual (TNA)" o "tasa efectiva anual (TEA)"?Seguramente s, fjate en estos ejemplos: "El banco Superville otorga prstamos de $ 350000 a 60 meses con una TNA de 35%, TEA de 41,21%". "Depsito a plazo fijo con una TNA de 12% y TEA de 12,67%".

En esta etapa queremos explicarte el por qu del enunciado de las dos tasas cuando se realiza una operacin financiera, y qu representan cada una de ellas.Para ello trabajaremos las tasas de inters en una situacin problemtica bajo el rgimen simple y compuesto, el desarrollo y caractersticas de cada operacin.Empecemos primero recordando que:"la capitalizacin es la modificacin de una suma inicial de dinero debido a la accin del tiempo y la tasa de inters".Latasa nominal anual (TNA)tambin es llamadatasa peridica. La tasa nominal es enunciada en las operaciones de crdito y sirven de base para los clculos.

Se representa la tasa nominal anual (TNA): J(m)Pero tambin se empezaron a utilizar en nuestro pas, a raz del proceso inflacionario que soportamos,tasas nominales subperidicas,que son aquellas tasas nominales que se refieren a periodos inferiores al ao.Es decir, cuando la capitalizacin se realiza en periodos inferiores al ao, decimos que existecapitalizacin subperidica.Por ejemplo:"Un capital de $ 10000 depositado a plazo fijo, colocado al 40% (TNA) secapitalizamensualmente"."Como el periodo de la tasa no coincide con el de capitalizacin, es problema previo determinar la tasa que corresponde al subperiodo",esto sucede cuando el periodo de la tasa es mayor que el de capitalizacin.Cmo se resuelve?Determinando la tasa proporcional, que es aquella que resulta de dividir la tasa periodica "J(m)" por el nmero de subperiodos m, que tieneel ao.A la tasa peridica "J(m)" corresponde entonces la tasa proporcional:"La tasa nominal anual TNA es aquella que por lo general se refieren todas las operaciones financieras, adems tiene cierta relacin con el inters simple".Trabajemos el inters en un rgimen a inters simple.Qu inters produce un capital, de $1 colocado al 36% anual durante 1 ao, que se capitaliza?Cuatrimestral?Trimestral?Bimestral?Mensual?.Recordar que el inters se calcula: I= Co. i . nPara esta actividad organizaremos los datos de la siguiente manera:Datos:Co= $ 1i= 36 % anual trabajaremos con su correspondiente tasa proporcional.n: 1 ao; pero se capitaliza en subperiodos.Luego si i = 36% anual y se capitaliza cuatrimestral, le corresponde la tasa proporcional:= 12 % = 0,12, y as los siguientes subperiodos.Si hemos trabajado con una tasa proporcional al periodo de capitalizacin, el inters ser igual:I = Co . i/m.mm: es el nmero de subperiodos en el ao (n)

Co: $n: aoPeriodo de capitalizacin: mInters I: $

11Cuatrimestral m = 31. 0,12. 3 = 0,36

11Trimestral m = 41. 0,09. 4 = 0,36

11Bimestral m = 61. 0,06. 6 = 0,36

11Mensual m = 121. 0,02. 12 = 0,36

Observa:Mientras el periodo de capitalizacin vara, el inters es el mismo, es decir, se pagar $0,36 de inters por un capital invertido de $1 para cualquier periodo de capitalizacin estudiado.Por qu obtuvimos el mismo inters si capitalizbamos en diferentes subperiodos? Cuando se trabaja a inters simple, los intereses se calculan de una sola vez por todo el tiempo en que estuvo invertido el capital, y son capitalizados nicamente al trmino de la operacin. Un capital colocado durante "n" periodos a una tasa periodica "i" dar el mismo inters que al estar colocado a una tasa proporcional.Trabajemos el inters de un rgimen a inters compuestoAnalicemos la misma situacin problemtica:Qu inters produce un capital de $1 colocado a una tasa nominal anual del 36%, durante un ao que se capitaliza?Cuatrimestral?Trimestral?Bimestral?Mensual?.Datos de la situacin:Co: $1TNA: J(m)= 36% trabajaremos con la tasa proporcional que corresponde a cada subperiodo.n: 1 ao , capitalizable en subperiodos.Para obtener la tasa proporcional "i" al subperiodo:m= cuatrimestral == 12% = 0,12.Y as las dems tasas proporcionales.La informacin que se nos brinda es el Co, la tasa i y el periodo de tiempo, el inters lo calculamos con la siguiente frmula:I= Co [(1 + i)n- 1]=Como trabajamos con la tasa proporcional que le corresponde a cada subperiodo, el inters lo obtendremos a partir de:I = Co. [(1 + i/m)m- 1]Organicemos la informacin:Co: $n: aoPeriodo de capitalizacin: mI:$

11Cuatrimestral: m=30,4049

11Trimestral: m = 40,41158

11Bimestral: m = 60,418519

11Mensual: m = 120,42576

Si el inters vara en cada periodo de capitalizacin, indica que el monto o capital final tambin lo hace.Es decir se obtendr $0,4049 de inters por un capital de $1 con capitalizacin cuatrimestral, $ 0,41158 de inters por un mismo capital de $1 con capitalizacin trimestral y as sucesivamente.Trabajemos una nueva tabla donde tabulemos el monto en cada periodo de capitalizacin.Co: $Periodo de capitalizacin: mI: $Cf = Co + I = $

1m= 30,40491,4049

1m = 40,411581,41158

1m=60,4185191,418519

1m= 120,425761,42576

Observa: El monto aumenta a medida que disminuye la duracin del periodo de capitalizacin por cuanto generan inters. Si se capitaliza en forma subperiodica con una tasa proporcional, el monto que se obtiene al final del plazo de colocacin del capital es mayor que el monto que se obtiene con la tasa nominal periodica durante el mismo plazo.Si capitalizamos anualmente obtendremos:I = Co [(1 + i)n- 1]=I= 1 [0,36] = 0,36, el inters es menor si se capitaliza anualmente, es decir, en el inters compuesto, el monto con tasa proporcional en la capitalizacinsubperidicaes mayor que el monto con tasa nominal en la capitalizacinperidica.Conclumos que:Si se obtienen resultados distintos, es porque existen tasas implcitas distintas, la aplicacin de tasas proporcionales en la capitalizacin subperidica produce una modificacin de la tasa enunciada.Es decir, si se desea capitalizar un sola vez al ao, capitalizar peridicamente, pero obteniendo el mismo monto que al capitalizar cuatrimestral, trimestral, bimestral y mensualmente, deber usarse una tasa de inters algo mayor al 36%.Cmo se llama esa tasa implcita?Cmo la calculamos?Tasa efectivaEsta tasa de inters, que capitalizada una sola vez en el periodo nos da un monto igual al que se obtiene capitalizando subperidicamente con la tasa proporcional, recibe el nombre deTASA EFECTIVA.Definimos a latasa efectivacomo aquella que, aplicada a un rgimen de capitalizacin peridica, produce para un mismo capital y en el mismo tiempo un monto igual al que se obtiene utilizando tasas proporcionales en la capitalizacin subperidica.Latasa efectiva anual (TEA) es la que indica el rendimiento de su inversin;o sea, es aquella a la que efectivamente est colocado el capital.Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operacin financieraimplique.Cmo la simbolizamos?Con la letra:i

Cmo obtenemos la tasa efectiva?i = (1 + i/m)m- 1 Trabajemos con la misma situacin que venimos estudiando y obtengamos la tasa efectiva que corresponde a cada periodo de capitalizacin.Co: $n: aoTNA Periodo de capitalizacin: mTasa proporcional TEA : i

1136%Cuatrimestral0,120,40490 = 40,49%

1136%Trimestral0,090,41158 = 41,158%

1136%Bimestral0,060,418519 = 41,8519%

1136%Mensual0,020,42576 = 42,576%

La tasa efectiva (TEA) es mayor que la tasa nominal anual(TNA) y es aplicable siempre que la capitalizacin sea subperidica.Es decir, si se tiene una tasa nominal anual (TNA) del 36% capitalizable cuatrimestralmente, se obtiene el mismo monto que si se capitaliza una sola vez en el ao al 40,49%.Representemos en una linea de tiempo:TNA: J(m) = 36%Capitalizacin cuatrimestralCo $1 Cf: $1,40490 - 1 - 2 - 3TEA: i = 40,49%

Conclusin:Con el objetivo de conocer con precisin el valor del dinero en el tiempo, es necesario que las tasas de inters nominales sean convertidas a tasas efectivas.Entonces la TEA, son aquellas que forman parte de los procesos de capitalizacin y de actualizacin de un monto de dinero, mientras que TNA solamente son una definicin o una forma de expresar una tasa efectiva.Situacin problemtica 1Calcular la tasa anual efectiva TEA correspondiente a la tasa nominal anual TNA del 12%, capitalizable trimestralmente.Datos:m: 4 trimestresJ(m): 0,12 anuali: ?Obtengamos la TEA a travs de la frmula:i = (1+ i / m)m- 1i =(1 + 0,12 / 4)4- 1i = 0,125508Es decir, la TEA es 12,5508%, por lo tanto si se tiene una tasa nominal del 12% capitalizada trimestralmente , se obtiene el mismo monto que si se capitaliza una sola vez en el ao al 12,5508%.Situacin problemtica 2Calcular la tasa efectiva que corresponde a la tasa nominal anual TNA del 5% capitalizada por semestres.Datos:J(m):5% = 0,05m: 2 semestresi = ?Debemos obtener la TEA, usamos la frmula:i = (1 + i / m)m- 1i =(1 + 0,05 / 2)2- 1=i = 0,05062Es decir la TEA es 5,062% para obtener el mismo monto como si se capitalizara semestralmente con una TNA de 5%.Situacin problemtica 3Completa el siguiente cuadro:TNA: J(m)Periodo de capitalizacin: mTasa proporcional: iTEA: i

0,24Bimestral

0,42Cuatrimestral

0,4Mensual

TNA: J(m)Periodo de capitalizacin: mTasa proporcional: iTEA: i

0,24Bimestral26,53%

0.42Cuatrimestral48,15%

0,4Mensual48,21%