Soluciones

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INTRODUCCIÓN

Soluciones: Las soluciones o disoluciones son sistemas materiales o mezclas homogéneas.

Tipos de soluciones:

1. Una clasificación posible es de acuerdo al número de componentes que forman la solución. Así pueden ser: soluciones binarias (2 componentes), soluciones ternarias (3 componentes), cuaternarias (4 componentes), etc.

2. Otra clasificación es de acuerdo al estado físico de los componentes. Así las soluciones pueden estar en estado gaseoso, líquido o sólido. Veremos algunos ejemplos:

*Soluciones en estado gaseoso:

a- Gases en gases: cualquier mezcla de gases, ej. el aire.

b- Líquidos en gases: agua en aire.

c- Sólidos en gases: partículas de polvo en aire.

*Soluciones en estado líquido:

a- Gases en líquidos: dióxido de carbono en agua.

b- Líquidos en líquidos: alcohol en agua

c- Sólidos en líquidos: sales en agua.

*Soluciones en estado sólido:

a- Gases en sólidos: hidrógeno en paladio.

b- Líquidos en sólidos: mercurio en cobre.

c- Sólidos en sólidos: oro en plata.

Unidades de concentración y sus relaciones.

Nos enfocaremos en las unidades de concentración referidas a soluciones al estado

Ing. Yolanda Reyes Carbajal

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líquido, dado que son las de uso más frecuente.

También resulta útil destacar que se denomina solvente o disolvente (sv o dv) al componente de la solución (sn) que se encuentra en mayor proporción y que es el medio en que se disuelven los otros componentes, que se encuentran en menor proporción y se denominan solutos (st).

La concentración de una solución es la cantidad de soluto que hay en una cantidad dada de disolvente o de solución (soluto + disolvente).

Cualitativamente podemos clasificar a las soluciones como diluidas y concentradas.

La solución se denomina diluida cuando la cantidad de soluto es pequeña respecto a la de disolvente mientras que se llama concentrada cuando la concentración de soluto es grande. Pero estos términos no informan con precisión la cantidad de soluto en la solución, por lo que es necesario expresar en forma cuantitativa la concentración de una solución.

A continuación presentamos unidades de concentración de uso más frecuente.

Unidades de concentración físicas:

Porcentaje Peso en Peso (%P/P): cantidad de soluto en gramos que hay en 100 gramos de solución.

Porcentaje Peso en Volumen, (%P/V): cantidad de soluto en gramos que hay en 100 mL de solución.

Porcentaje Volumen en Volumen, (%V/V): cantidad de soluto en mL que hay en 100 mL de solución.

Unidades de concentración químicas:

Molaridad (M): número de moles de soluto presentes por litro (L) de solución.


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M= moles de soluto

Volumen solución (L)

Normalidad (N): número de equivalentes-gramo de soluto por litro de solución.

N= equivalentes-gramo soluto

Volumen solución (L)

Molalidad (m): número de moles de soluto en 1000 gramos (1 Kg) de disolvente.

m= moles de soluto

Kg disolvente

Recordar que n (número de moles)= masa de la sustancia

masa molar de la sustancia.

REGLA DE DILUCIÓN

Si disponemos de una solución de concentración conocida (solución inicial o solución 1) podemos diluirla con agua destilada para preparar una nueva solución de una concentración menor (solución final o solución 2). En el laboratorio es frecuente almacenar soluciones concentradas con el fin de ahorrar espacio y tiempo en las preparaciones de soluciones para el trabajo diario.

La siguiente ecuación se utiliza cuando deseamos preparar diluciones.

V1xC1=V2xC2

C= concentración en cualquiera de sus formas de expresión, Ej. M, N, % P/P, etc.

V= Volumen

V1 y V2= deben expresarse en las mismas unidades de volumen.

C1 y C2= deben expresarse en las mismas unidades de concentración.


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SOLUCIONES QUIMICAS

RELACIONES BASICAS

m = V × D

Donde:m : masa medida en [ g ]V : volumen medido en [ ml ]D : densidad medida en [ g / ml ]

Ejemplo: Un líquido de densidad 1,2 [ g / ml ] , ocupa un volumen de 60 [ ml ] . Calcula su masa.

m = 60 × 1,2 = 72 [ g ]

mn = ——

PM

Donde:n : número de moles medido en [ mol ]m : masa medida en [ g ]PM : peso molecular o masa molecular medida en [ g / mol ]

Ejemplo: Calcula el número de moles de NaOH que hay en 8 [ g ] de este compuesto.PM NaOH = 40 [ g / mol ]

8n = —— = 0,2 [ mol ]

40

mn equiv = ——

PE

Donde:n equiv : número de equivalentes gramo medido en [ equiv ]m : masa medida en [ g ]PE : peso equivalente o masa equivalente medida en [ g / equiv ]

Ejemplo: Calcula el número de equivalentes gramo de H2SO4 que hay en 14,7 [ g ] de este compuesto.PE H2SO4 = 49 [ g / equiv ]


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14,7n equiv = –––– = 0,3 [ equiv ]

49

PORCENTAJE PESO / PESO ( O MASA / MASA )

m solución = m soluto + m solvente ( soluciones binarias )

Donde:m solución : masa de la solución medida en [ g ]m soluto : masa del soluto medida en [ g ]m solvente : masa del solvente medida en [ g ]

100 × m soluto ( P / P ) soluto = ——————–

m solución

Donde:( % P / P ) soluto : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutom soluto : masa del soluto medida en [ g ]m solución : masa de la solución medida en [ g ]

100 × m solvente ( P / P ) solvente = ——————––

m solución

Donde:( % P / P ) solvente : porcentaje peso / peso o masa / masa de solventem solvente : masa del solvente medida en [ g ]m solución : masa de la solución medida en [ g ]

( P / P ) soluto + ( P / P ) solvente = 100 ( soluciones binarias )

Donde:( % P / P ) soluto : porcentaje peso / peso o masa / masa de soluto( % P / P ) solvente : porcentaje peso / peso o masa / masa de solvente

Ejemplo: Calcula el porcentaje peso / peso de soluto y de solvente de una solución formada por 30 [ g ] de soluto y 170 [ g ] de solvente.


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100 × 30( P / P ) soluto = ————– = 15 %

30 + 170

100 × 170( P / P ) solvente = ————– = 85 %

30 + 170

PORCENTAJE PESO / VOLUMEN ( O MASA / VOLUMEN )

100 × m soluto ( P / V ) soluto = ——————–

V

Donde:( % P / V ) soluto : porcentaje peso / volumen o masa / volumen de solutom soluto : masa del soluto medida en [ g ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]

100 × m solvente ( P / V ) solvente = ——————––

V

Donde:( % P / V ) solvente : porcentaje peso / volumen o masa / volumen de solventem solvente : masa del solvente medida en [ g ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]

( P / V ) soluto + ( P / V ) solvente = 100 × D ( solución binaria )

Donde:( % P / V ) soluto : porcentaje peso / volumen o masa / volumen de soluto( % P / V ) solvente : porcentaje peso / volumen o masa / volumen de solventeD : densidad de la solución medida en [ g / ml ]

Ejemplo: Calcula el porcentaje peso / volumen de soluto de una solución formada por 80 [ g ] de soluto disueltos en 500 [ ml ] de solución. Si la densidad de la solución es 1,1 [ g / ml ] , calcula el porcentaje peso / volumen de solvente.


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100 × 80( P / V ) soluto = ————– = 16 %

500

m solución = 500 × 1,1 = 550 [ g ]

m solvente = 550 – 80 = 470 [ g ]

100 × 470( P / V ) solvente = ————— = 94 %

500

PORCENTAJE VOLUMEN / VOLUMEN

100 × V soluto ( V / V ) soluto = ——————

V

Donde:( % V / V ) soluto : porcentaje volumen / volumen de solutoV soluto : volumen del soluto medido en [ ml ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]

100 × V solvente ( V / V ) solvente = ———————

V

Donde:( % V / V ) solvente : porcentaje volumen / volumen de solventeV solvente : volumen del solvente medido en [ ml ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]

Si los volúmenes son aditivos:

( V / V ) soluto + ( V / V ) solvente = 100 ( soluciones binarias )

Donde:( % V / V ) soluto : porcentaje volumen / volumen de soluto


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( % V / V ) solvente : porcentaje volumen / volumen de solvente

Ejemplo: 300 [ ml ] de una cierta solución acuosa contienen 60 [ ml ] de CH 3CH2OH . Calcula el porcentaje volumen / volumen de soluto. Si los volúmenes son aditivos, calcula el porcentaje volumen / volumen de solvente.

100 × 60( V / V ) soluto = ————– = 20 %

300

V solvente = 300 – 60 = 240 [ ml ]

100 × 240( V / V ) solvente = ————– = 80 %

300

FRACCION MOLAR

n soluto

X soluto = ————————— ( soluciones binarias ) n soluto + n solvente

Donde:X soluto : fracción molar de soluton soluto : número de moles de soluto medido en [ mol ]n solvente : número de moles de solvente medido en [ mol ]

n solvente

X solvente = —————–——— ( soluciones binarias ) n soluto + n solvente

Donde:X solvente : fracción molar de solventen soluto : número de moles de soluto medido en [ mol ]n solvente : número de moles de solvente medido en [ mol ]


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X soluto + X solvente = 1 ( soluciones binarias )

Donde:X soluto : fracción molar de solutoX solvente : fracción molar de solvente

Ejemplo: Una solución está formada por 324 [ g ] de H2O y 120 [ g ] de CH3COOH. Calcula la fracción molar de cada uno.PM H2O = 18 [ g / mol ]PM CH3COOH = 60 [ g / mol ]

120n soluto = —— = 2 [ mol ]

60

324n solvente = —— = 18 [ mol ]

18

2X soluto = ———— = 0,1

2 + 18

18X solvente = ———— = 0,9

2 + 18

MOLARIDAD

1000 × nM = ————–

V

Donde:M : molaridad de la soluciónn : número de moles de soluto medido en [ mol ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]

Ejemplo: Una solución contiene 8,5 [ g ] de NaNO3 por cada 500 [ ml ] . Calcula su molaridad. PM NaNO3 = 85 [ g / mol ]

8,5n = —–– = 0,1


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85

1000 × 0,1M = —————– = 0,2

500

NORMALIDAD

1000 × n equiv N = ————–——

V

Donde:N : normalidad de la soluciónn equiv : número de equivalentes gramo de soluto medido en [ equiv ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]

Ejemplo: Una solución contiene 0,74 [ g ] de Ca ( OH ) 2 por cada 500 [ ml ] . Calcula su normalidad.PE Ca ( OH ) 2 = 37 [ g / equiv ]

0,74n equiv = ——– = 0,02 [ equiv ]

37

1000 × 0,02N = —————– = 0,04

500

MOLALIDAD

1000 × nm = —————

m solvente

Donde:m : molalidad de la solución medida en [ mol / kg ]n : número de moles de soluto medido en [ mol ]m solvente : masa de solvente medida en [ g ]


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Ejemplo: Se disuelven 17 [ g ] de NaNO3 en 400 [ ml ] de H2O . Calcula la molalidad de la solución formada.D solvente = 1 [ g / ml ]PM NaNO3 = 85 [ g / mol ]

m solvente = 400 × 1 = 400 [ g ]

17n = —– = 0,2 [ mol ]

85

1000 × 0,2m = ————— = 0,5

400

CALCULOS RELACIONADOS CON EL % P / P DE SOLUTO Y DENSIDAD DE LA SOLUCION

Si se conocen el porcentaje peso / peso ( o masa / masa ) de soluto y densidad de la solución, se pueden calcular el porcentaje peso / volumen ( o masa / volumen ) y la fracción molar de soluto y la molaridad, normalidad y molalidad de la solución:

% P / V = ( % P / P ) × D

Donde:% P / V : porcentaje peso / volumen o masa / volumen de soluto% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutoD : densidad de la solución medida en [ g / ml ]

Ejemplo: Calcula el % P / V de una solución 16 % P / P de CuSO4 , de densidad 1,18 [ g / ml ] ( 20º C ).

% P / V = 16 % × 1,18 = 18,88 %

10 × D × ( % P / P )M = —————————

PM


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Donde:M : molaridad de la soluciónD : densidad de la solución medida en [ g / ml ]% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutoPM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]

Ejemplo: Calcula la molaridad de una solución 33 % P / P de HNO3 , de densidad 1,2 [ g / ml ] ( 20º C ).

10 × 1,2 × 33M = —————— = 6,29

63

10 × D × ( % P / P )N = —————————

PE

Donde:N : normalidad de la soluciónD : densidad de la solución medida en [ g / ml ]% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutoPE : peso equivalente o masa equivalente del soluto medida en [ g / equiv ]

Ejemplo: Calcula la normalidad de una solución 35 % P / P de H2SO4 , de densidad 1,26 [ g / ml ] ( 20º C ).

10 × 1,26 × 35N = ——————— = 9

49

1000 × ( % P / P )m = —––––————————— ( 100 – ( % P / P ) ) × PM


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Donde:m : molalidad de la solución% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutoPM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]

Ejemplo: Calcula la molalidad de una solución 20 % P / P de NaOH .

1000 × 20m = —––––————— = 6,25 ( 100 – 20 ) × 40

( % P / P ) × PM solvente

X soluto = —––––——————————————————————— ( % P / P ) × PM solvente + ( 100 – ( % P / P ) ) × PM soluto

Donde:X soluto : fracción molar de soluto% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutoPM soluto : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ] PM solvente : peso molecular o masa molecular del solvente medida en [ g / mol ]

Ejemplo: Calcula la fracción molar de soluto en una solución 40 % P / P de HNO3 .

40 × 18X soluto = —––––————–––————– = 0,16 40 × 18 + ( 100 – 40 ) × 63

CALCULOS RELACIONADOS CON LA MASA DE SOLUTO

V × D × ( % P / P ) 100 × m soluto

m soluto = ————————— V = ——————— 100 D × ( % P / P )

Donde:m soluto : masa de soluto medida en [ g ]V : volumen de la solución medido en [ ml ]D : densidad de la solución medida en [ g / ml ]% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de soluto

Ejemplo 1: Calcula la masa de soluto que hay en 30 [ ml ] de una solución de HF 20 % P / P de densidad 1,08 [ g / ml ] ( 20º C ).

30 × 1,08 × 20m soluto = ——————— = 6,48 [ g ]

100


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Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución de NaOH 36 % P / P de densidad 1,39 [ g / ml ] ( 20º C ) que contiene 8,01 [ g ] de soluto.

100 × 8,01V = ————— = 16 [ ml ]

1,39 × 36

M × V × PM 1000 × m soluto

m soluto = —————— V = ——————— 1000 M × PM

Donde:m soluto : masa de soluto medida en [ g ]M : molaridad de la soluciónV : volumen de la solución medido en [ ml ]PM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]

Ejemplo 1: Calcula la masa de soluto que hay en 200 [ ml ] de solución 1,5 M de HCl.

1,5 × 200 × 36,5m soluto = ———————– = 10,95 [ g ]

1000

Ejemplo 2: Calcula el volumen de solución 0,5 M de CH3COOH que contiene 3 [ g ] de soluto.

1000 × 3V = ————– = 100 [ ml ]

0,5 × 60

N × V × PE 1000 × m soluto

m soluto = —————– V = ——————— 1000 N × PE

Donde:m soluto : masa de soluto medida en [ g ]N : normalidad de la soluciónV : volumen de la solución medido en [ ml ]PE : peso equivalente o masa equivalente del soluto medida en [ g / equiv ]

Ejemplo 1: Calcula la masa de soluto que hay en 50 [ ml ] de solución 2 N de H2SO4 .

2 × 50 × 49


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m soluto = —————– = 4,9 [ g ] 1000

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución 2 N de CaCl2 que contiene 11,1 [ g ] de soluto.

1000 × 11,1V = —————– = 100 [ ml ]

2 × 55,5

m × V × D × PM ( 1000 + m × PM ) × m soluto

m soluto = ———————— V = —————————————– 1000 + m × PM m × D × PM

Donde:m soluto : masa de soluto medida en [ g ]m : molalidad de la soluciónV : volumen de la solución medido en [ ml ]D : densidad de la solución medida en [ g / ml ]PM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]

Ejemplo 1: Calcula la masa de soluto que hay en 50 [ ml ] de una solución de HCOOH 10,7 m de densidad 1,08 [ g / ml ] ( 20º C ).

10,7 × 50 × 1,08 × 46m soluto = —————–————— = 17,8 [ g ]

1000 + 10,7 × 46

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución de HNO 3 6,8 m, de densidad 1,18 [ g / ml ] ( 20º C ), que contiene 20 [ g ] de soluto.

( 1000 + 6,8 × 63 ) × 20V = ———————————– = 56,5 [ ml ]

6,8 × 1,18 × 63

CALCULOS RELACIONADOS CON EL NUMERO DE MOLES DE SOLUTO

V × D × ( % P / P ) 100 × n × PMn = ————————– V = ——————–

100 × PM D × ( % P / P )

Donde:n : número de moles de soluto medido en [ mol ]


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V : volumen de la solución medido en [ ml ]D : densidad de la solución medida en [ g / ml ]% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de solutoPM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]

Ejemplo 1: Calcula el número de moles de soluto que hay en 500 [ ml ] de una solución de CuSO4 16 % P / P y de densidad 1,18 [ g / ml ] ( 20º C ).

500 × 1,18 × 16n = ———————– = 0,59 [ mol ]

100 × 159,6

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución de KCl 8 % P / P , de densidad 1,05 [ g / ml ] ( 20º C ) , que contiene 0,1 moles de soluto.

100 × 0,1 × 74,6V = ———————– = 88,8 [ ml ]

1,05 × 8

M × V 1000 × nn = ——–– V = ———––

1000 M

Donde:n : número de moles de soluto medido en [ mol ]M : molaridad de la soluciónV : volumen de la solución medido en [ ml ]

Ejemplo 1: Calcula el número de moles de soluto que hay en 20 [ ml ] de una solución de KOH 0,5 M .

0,5 × 20n = ———— = 0,01 [ mol ]

1000

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución de NH3 2 M , que contiene 0,05 moles de soluto.

1000 × 0,05V = —————– = 25 [ ml ]

2

m × V × D ( 1000 + m × PM ) × nn = ———————– V = ———————————

1000 + m × PM m × D


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Donde:n : número de moles de soluto medido en [ mol ]m : molalidad de la soluciónV : volumen de la solución medido en [ ml ]D : densidad de la solución medida en [ g / ml ]PM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]

Ejemplo 1: Calcula el número de moles de soluto que hay en 35 [ ml ] de una solución de HNO3 5,87 m de densidad 1,16 [ g / ml ] ( 20º C ).

5,87 × 35 × 1,16n = ————————– = 0,174 [ mol ]

1000 + 5,87 × 63

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución de HCOOH 10,7 m y de densidad 1,08 [ g / ml ] ( 20º C ) , que contiene 0,1 moles de soluto.

( 1000 + 10,7 × 46 ) × 0,1V = ————————————– = 12,9 [ ml ]

10,7 × 1,08

CALCULOS RELACIONADOS CON EL NUMERO DE EQUIVALENTES GRAMO DE SOLUTO

N × V 1000 × n equiv n equiv = ——–– V = ———––——

1000 N

Donde:n equiv : número de equivalentes gramo de soluto medido en [ equiv ]N : normalidad de la soluciónV : volumen de la solución medido en [ ml ]

Ejemplo 1: Calcula el número de equivalentes gramo de soluto que hay en 300 [ ml ] de solución 5 N de HBr.

5 × 300n equiv = ———— = 1,5 [ equiv ]

1000

Ejemplo 2: Calcula el volumen de solución 2,5 N de CuSO4 que contiene 0,5 equivalentes gramo de soluto.

1000 × 0,5


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V = ————— = 200 [ ml ] 2,5

PREPARACION DE SOLUCIONES

Si se conocen el porcentaje peso / peso o masa / masa de soluto y la densidad de una solución, es posible calcular el volumen que se necesita de esta solución para preparar otra del mismo soluto.

V2 × D2 × ( P / P )2 V1 × D1 × ( P / P )1 V1 = ————————– V2 = ——————–——

D1 × ( P / P )1 D2 × ( P / P )2

Donde:V1 : volumen de la solución inicial medido en [ ml ]V2 : volumen de la solución a preparar medido en [ ml ]D1 : densidad de la solución inicial medida en [ g / ml ]D2 : densidad de la solución a preparar medida en [ g / ml ]( P / P )1 : porcentaje peso / peso o masa / masa de la solución inicial( P / P )2 : porcentaje peso / peso o masa / masa de la solución a preparar

Ejemplo 1: Calcula el volumen que se requiere de una solución de HF 20 % P / P, de densidad 1,08 [ g / ml ] ( 20º C ), para preparar 200 [ ml ] de una solución del mismo ácido, de densidad 1,04 [ g / ml ] ( 20º C ) y 10% P / P.

200 × 1,04 × 10V1 = ———————– = 96,3 [ ml ]

1,08 × 20

Ejemplo 2: Calcula el volumen de solución 15 % P / P de HCOOH , de densidad 1,037 [ g / ml ], que puede prepararse a partir de 50 [ ml ] de una solución del mismo ácido 33% P / P y de densidad 1,08 [ g / ml ].

50 × 1,08 × 33V2 = ——————— = 114,6 [ ml ]

1,037 × 15


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V2 × M × PM 10 × V1 × D × ( % P / P )V1 = ————————— V2 = ———————————

10 × D × ( % P / P ) M × PM

Donde:V1 : volumen de la solución inicial medido en [ ml ]V2 : volumen de la solución a preparar medido en [ ml ]M : molaridad de la solución a prepararPM : peso molecular o masa molecular del soluto medida en [ g / mol ]D : densidad de la solución inicial medida en [ g / ml ]% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de soluto, de la solución inicial

Ejemplo 1: Calcula el volumen de una solución de HCl 20 % P / P de densidad 1,098 [ g / ml ] ( 20º C ), que se necesita para preparar 500 [ ml ] de solución 1 M , del mismo ácido.

500 × 1 × 36,5V1 = –——————– = 83,1 [ ml ]

10 × 1,098 × 20

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución 0,5 M de NaOH que se puede preparar a partir de 5 [ ml ] de una solución 36 % P / P del mismo soluto y de densidad 1,39 [ g / ml ] ( 20º C ).

10 × 5 × 1,39 × 36V2 = ————————– = 125,1 [ ml ]

0,5 × 40


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V2 × N × PE 10 × V1 × D × ( % P / P )V1 = ————————— V2 = ——————————––

10 × D × ( % P / P ) N × PE

Donde:V1 : volumen de la solución inicial medido en [ ml ]V2 : volumen de la solución a preparar medido en [ ml ]N : normalidad de la solución a prepararPE : peso equivalente o masa equivalente del soluto medida en [ g / equiv ]% P / P : porcentaje peso / peso o masa / masa de soluto, de la solución inicial

Ejemplo 1: Calcula el volumen de una solución de H2SO4 35 % P / P de densidad 1,26 [ g / ml ] ( 20º C ) que se necesita para preparar 1000 [ ml ] de una solución 1 N del mismo ácido.

1000 × 1 × 49V1 = ——————–– = 111,1 [ ml ]

10 × 1,26 × 35

Ejemplo 2: Calcula el volumen de una solución 2 N de H2SO4 , que se puede preparar a partir de 50 [ ml ] de una solución 12 % P / P del mismo ácido y de densidad 1,08 [ g / ml ] ( 20 º C ).

10 × 50 × 1,08 × 12V2 = ————————— = 66,1 [ ml ]

2 × 49


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