7/27/2019 Solucin_de_Ejercicios_de_Matrices-Determinante

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Solucin de Ejercicios de Matrices y Determinantes

1. Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica22 ABAXA

Siendo

001

010

100

A y

002

020

200

B .

Solucin:

Como el detA=1, es diferente de cero, la matriz A es invertible.

Adems:

,,1det

100

010

001

001

010

100

001

010

10022

3

2InvertibleesAAIA

Luego resolviendo la ecuacin matriz dada:

vidadDistributiPorAAIXAAXAABAXAAA ,)2(2,2 22322222

333

122122

3 2)()()2( IXIIXAAAAIX

2. Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente de un parmetro real k:

12)1(

12)1(

kzyxk

kzykx

zykx

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k

b) Resolver el sistema cuando tiene una solucin

c) Resolver el sistema cuando tenga infinitas soluciones

Solucin:

a) Sea la matriz ampliada del sistema y usando el Mtodo de Gauss:

kkk

kkkk

k

kRkRR

kkRRR

kk

kk

k

22110

22110

1211

,1,1)1(33

,0,122

1121

11

1211

2

2

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kkkk

k

k

k

kk

Rk

R

kkkk

kkk

k

RR

22110

)1(

2

)1(

)21(10

1211

2)1(

12

22110

22110

1211

23

2

222

2

2

1)1(

121

)1(

1)21(00

)1(

2

)1(

)21(10

1211

2)1(33

2

2

2

2

22

2

k

kkk

k

kkk

k

k

k

kk

RkkRR

Al obtener la matriz de los coeficientes como una matriz triangular superior y pasar el

sistema matricial AX=B al sistema de ecuaciones, haciendo sustitucin de atrs hacia

adelante, se tiene:

,202)1(

1101

)1(

1

,2

1,21

21

)1(

121

)1(

1)21(

2

22

2

2

2

2

2

2

kkk

kkk

k

kk

kk

kz

k

kkkz

k

kkk

Entonces:

,,,2,2

1)1 solucinsolaunatieneyeConsistentessistemaelkk

b) La solucin es:

2,

2

1),

21

2,0,

12

21( kk

k

k

k

kS

Si k=1/2, la matriz ampliada es:

6000

104

10

122

31

3533

104

50

104

10

122

31

,12

133

,12

122

2

312

2

12

111

2

1

122

31

RRR

RRR

RRR

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De donde:

nteInconsisteSistemaSolucinhayNozk ,,602

1

Si k=2, la matriz ampliada es:

0000

4350

1231

233

4350

4350

1231

,133

,1222

3121

2112

1231

RRRRRR

RRR

De donde:

eConsistentSistemaSolucinesinitashayzzk ,inf,,002

c) Si k=2, hay infinitas soluciones, el sistema es Consistente, la solucin es:

zzzz

S ),,5

34,

5

7(