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MATEMÁTICA

DE PIE SOBRE LOS HOMBROS DE LOS DEMÁS

SIGM

AT

SOLUCIONARIO UNASAM - 2010 I

SIGMATHACADEMIA

Pregunta N.º 01La suma de dos números es 930. Su cociente es 17, y su residuo de su división es el mayor posible. In-dique la diferencia de los números.

A) 822 B) 832 C) 842D) 850 E) 845

Resolución

Tema: Cuatro operaciones

Sean A y B los números buscados, entonces según las condiciones del problema se tiene:

930 (1)A B

1 17

A BB

17 1A B B

18 1 (2)A B

Reemplazando (2) en (1)

18 1 930B B

19 931B

49 B

88149

AB

Respuesta:Por lo tanto la diferencia de los números es:

881 49 832A B Alternativa B

Pregunta N.º 02Hallar el valor de “y” si:

1 2 3 1317yy y y

A) 9 B) 14 C) 13D) 12 E) 11

Resolución

Tema: Numeración

Descomponiendo polinómicamente

1 2 3 1317yy y y

21 2 3 1317y y y y y

3 2 2 2 3 1317y y y y y

3 3 1317y y 3 1320y y

2 21 11 11 1y y

Por igualdad de componentes

11y

Respuesta:

Por lo tanto el valor de 11y Alternativa E

Pregunta N.º 03Si el producto de dos números A y B es 1 000 y el

2, ,MCM A B MCD A B .

¿Cuánto es el valor de

2,

,

MCM A B

MCD A B

?

A) 1 000 B) 1 100 C) 2 500D) 3 000 E) 1 500

Resolución

Tema: MCD y MCM

Nos piden calcular el valor de

2,

,

MCM A B

MCD A B

Según condición del problema

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2

2, ,MCM A B MCD A B

Simplificamos adecuadamente esta expresión para darle forma a lo que se pide:

, , ,MCM A B MCD A B MCD A B

,

,,

MCM A BMCD A B

MCD A B

2,

, ,,

( )

MCM A BMCD A B MCM A B

MCD A B

Por propiedad del MCD y el MCM para dos números A y B se cumple:

, ,MCD A B MCM A B A B

Entonces:

, , 1000 ( )MCD A B MCM A B dato

Reemplazando en ( )

2,

1000,

MCM A B

MCD A B

Alternativa A

Pregunta N.º 04Si se sabe que la magnitud “A” es directamente pro-porcional al cuadrado de la magnitud “B”, determi-nar en qué fracción de su valor aumenta “A” si “B” aumenta en un medio de su valor.

A) 74

B) 45

C) 54

D) 34

E) 35

Resolución

Tema: Comparación de Magnitudes

Construyamos el siguiente cuadro

2

232

A B

Bx

. .D PComo B aumenta en ½ de su valor, entonces

B+1/2B=3B/2

Sea x el valor de A cuando B aumenta:

Como A D.P. 2B , entonces

2

valor de B

ctevalor de A

2

23

92 4

BB

x AA x

Ahora determinamos en que fracción de su valor au-mentó A, para ello hacemos la siguiente diferencia

9 54 4A A A

Respuesta:Por lo tanto, cuando B aumenta en ½ de su valor, A aumenta en 5/4

Alternativa C

Pregunta N.º 05Dado el polinomio:

1 3 2 3m n m nmP x m n x x mn

n

ordenado

y completo, la suma de sus coeficientes es:

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

Resolución

Tema: Polinomios

Como el polinomio es ordenado y completo

1 2 3 2 3 1m n m n

De donde: 2

1mn

Reemplazando estos valores en el polinomio P

23 2 2P x x x

Para hallar la suma de coeficientes, evaluamos el po-linomio en el punto 1x

21 3 1 2 1 3coeficientes P

7coeficientes Respuesta:

Por lo tanto, 7coeficientes Alternativa C

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3

Pregunta N.º 06Sean los conjuntos:.

2 3A x x ,

1 4B y y

Y sea la relación

, 0S x y B A x y .

La suma de los elementos del rango de S es:

A) – 2 B) 0 C) – 1D) 1 E) 3

Resolución

Tema: Relaciones

Definimos los elementos de los conjuntos A y B.

2, 1,0,1,2,3A

1,0,1,2,3B

Se tiene una relación

, 0S x y B A x y

En el diagrama de Veen

10123

21

0123

SB

A

De donde:

1,0,1,2Dom S

2, 1,0,1Rang S

Respuesta:

Por lo tanto la suma de los elementos del rango de 2 1 0 1 2S

Alternativa A

Pregunta N.º 07

Si , ,a b es un conjunto solución de la

inecuación, 2 12 3x x , el valor de 1a

b

es:

A) 58 B) 60 C) 30D) 72 E) 64

Resolución

Tema: Desigualdades e Inecuaciones

:

0 ; 0

Teorema

y x y x

Aplicando el teorema se tiene:

2 12 3 x x

2 12 0x x

4 3 0 x x

, 3 4,x

Como la solución tiene la forma , ,a b , entonces igualando componentes se tiene:

333 1 1

4 644 4

aab b

Respuesta:

Por lo tanto el valor de 164

a

b

Alternativa E

Pregunta N.º 08

Si ,x y tal que 10

log log3y xx y , 256xy .

El valor de 2

x y es:

A) 28 B) 30 C) 32D) 34 E) 36

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Resolución

Tema: Logaritmos

En 10

log log ( )3y xx y

Hacemos el siguiente cambio de variable:

1log logy xx m y

m

Reemplazando en ( )

1 103

mm

3 1 3 0m m

13

3m m

Si 33 log ym x x y

Del dato

3 4256 256 256xy y y y

24 4 16 0y y y

4 4 4 4y y y i y i

Pero como , x y 4y

Luego 64x

Por lo tanto:

64 434

2 2x y

Respuesta:

Por lo tanto 342

x y

Alternativa D

Pregunta N.º 09

De un grupo de 8 hombres y 6 mujeres se elige al azar 2 personas. La probabilidad de que ambas sean mujeres es:

A) 591

B) 791

C) 1391

D) 1591

E) 1791

Resolución

Tema: Probabilidades

Piden: ¿Cuál es la probabilidad que ambas sean mu-jeres?. Se tiene:

: 8 se extraen 2 personas al azar

: 6HM

142

14 13 7 13 91

2!N casos totales C

Queremos que las dos personas elegidas sean mu-jeres.

62

6 5 3 5 15

2!N casos favorables C

Por lo tanto la probabilidad de que las dos sean mu-jeres es:

2 15 91

las sean N casos favorablesP

mujeres N casos totales

Respuesta:

Por lo tanto, 2 15

91las sean

Pmujeres

Alternativa D

Pregunta N.º 10En un trapecio isósceles la base mayor mide 60 cm y los lados no paralelos 30 cm. Si sus diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos, la base menor mide:

A) 15 cm. B) 30 cm. C) 40 cm.D) 20 cm. E) 25 cm.

Resolución

Tema: Cuadriláteros

Bosquejando la gráfica

60

x

30 30

A

B C

D

30 3

30

30

30

30

30 30

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5

En el triángulo ACD , usamos el teorema de Pi-

tágoras para calcular AC :

2 2 230 60 30 3AC AC

Como 30 3AC BD y // AD BC

Entonces el triángulo BCD es isósceles, por lo tan-to 30 .x cm

Respuesta:Por lo tanto el valor de 30 .x cm

Alternativa B

Pregunta N.º 11En la figura adjunta T, Q, E, F son puntos de tangen-cia. 12AB y 18AC . Hallar TQ

A

B

E

FC

T

Q

A) 6 B) 3 C) 9D) 4 E) 5

Resolución

Tema: Circunferencia

Se sabe que:

BT QC m BE BQ m x

A

B

E

FC

T

Q

18

12

m x

m

m m

m

x

Pero como AF AE , entonces:

18 12m m x

6x

Respuesta:

Por lo tanto el valor de 6TQ

Alternativa A

Pregunta N.º 12Dada la figura, hallar “x” en función de “a” y “c”

A B

C

c

x

a

A) 2ac

B) 3

2ac

C) 2ca

D) 3

2ca

E) 4

3ac

Resolución

Tema: Semejanza de triángulos

Nos piden hallar “x” en función de “a” y “c”

A B

C

c

x

a

Dm

E

Por teorema se tiene:2 (I)a cm

Como ABC DBE

(II)c a ac

mm x x

Reemplazando (II) en (I)

32

2 ac a

a c xx c

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Respuesta:

Por lo tanto el valor de 3

2a

xc

Alternativa B

Pregunta N.º 13

Simplificar cos

tan1 sen

E

A) sen B) sec C) tan

D) cot E) cos

Resolución

Tema: Identidades trigonométricas

Transformando a senos y cosenos

2cos 1 sen sencos sen1 sen cos 1 sen cos

E

1

2 2cos sen sen 1 sen1 sen cos

E

1 sen cos

1sec

cosE

Respuesta:Por lo tanto el valor de secE

Alternativa B

Pregunta N.º 14

La longitud del lado recto de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de ordenadas es 20 u; las

coordenadas del foco son 3; 2 y su vértice está arriba del foco. La ecuación de la parábola es:

A) 25 15 7x y

B) 212 10 4x y

C) 28 5 3x y

D) 21 10 1x y

E) 21 10 1x y

Resolución

Tema: La Parábola

Bosquejamos la gráfica según los datos

3;3V

3; 2F RR’

p

p

Directriz : 8L y

X

Y

Vemos que la parábola se abre hacia aba-jo. Luego su ecuación debe tener la forma:

24 ; 0 ( )x h p y k p

Por definición de parábola:

( , ) ( , ) 10d R F d R L , y Como p es la distancia del

foco al vértice con 0p , entonces:

( , ) 5 5d F V p p

Del gráfico también se puede observar que:

3,3 , 3 , 3V h k h k

Ahora, para obtener la ecuación de la parábola,

reemplazamos estos valores en ( )

23 4 5 3 x y

23 20 3x y

Respuesta:

Por lo tanto, la ecuación de la parábola es

23 20 3x y

Alternativa E

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Pregunta N.º 15

Indique el valor de 2cot 32

E

A

B

C

16 12

30

A) 3 B) 2 3 C) 5

D) 7 E) 2 5

Resolución

Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos

Piden calcular el valor de 2cot 32

E

Haciendo uso de la identidad auxiliar

cot csc cot2x

x x

simplificamos la expresión E

2 csc cot 3 ( )E

En el gráfico:

A

B

C

16 12

30 8 3 4 5x

8

60

D

En el BCD aplicamos Pitágoras

2 2 212 8 4 5x x

Reemplazando las razones trigonométricas en ( )

12 4 52 3

8 8E

3 5 3E

5E

Respuesta:

Por lo tanto, 5E

Alternativa C