Solucionario Del Cuaderno de Investigaciones Matemáticas 4.º ESO

Ni binario ni decimal: hexadecimal

1.

2. Como 2000 � 7D0, es muy fácil hacer la cuenta. Por ejemplo, 2010 � 7DA.

3. 1 9 C 3 B C 8� � �

1 6 3 C 1 F 3

2 F F F D B B

4.

Conversiones a tres bandas

1. a) 37 � 100101(2 c) 100 � 110 0100(2

b) 60 � 111100(2 d) 3257 � 110010111001(2

2. 37 � 25(16 60 � 3C(16 100 � 64(16 3257 � CB9(16

3.

4. a) 10100011 b) 101111101010 c) 111001011110 d) 1100101010110000

Hexadecimal y ordenador

1. a) FFFF00 b) 808080 c) FFFFFF d) 000000 e) 000080

2. M: 4D A: 41 T: 54 E: 45 I: 49 C: 43 S: 53

3.

1610

3220

5032

10064

256100

6440

12880

40961000

DECHEX

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 102 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 203 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 305 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 26 4B 50

11

102

113

1004

1015

1106

1117

10008

10019

1010A

1011B

1100C

1101D

1110E

1111F

BINHEX

Característica Dec Hex Característica Dec HexFuerzaVelocidadTiroRegate

PaseAgresividadEstado de formaMedia

80918792

79776181

505B575C

4F4D3D51

SOLUCIONES 1EL LENGUAJE DE LOS ORDENADORES

4.º ESO Investigaciones matemáticas


NÚMEROS, SEGURIDAD E INTERNET

SOLUCIONES2Los números primos

1. Si el primer factor primo de n fuera k, y k2 � n, entonces �nk� sería un número natural tal que �

nk� � �

kk

2

� � k,

es decir, el número n tendría un divisor menor que k, lo que contradice la hipótesis.

2. a) P(4) � 53; P(5) � 61; P(6) � 71. Los tres son primos.b) P(35) � 352 � 35 � 41 � 1231. También es primo.

c) Para n � 41, todos los términos son múltiplos de 41, luego el resultado es compuesto.

3. 22 � 1 � 3; 23 � 1 � 7; 24 � 1 � 15 � 3 � 5; 25 � 1 � 31; 26 � 1 � 63 � 32 � 727 � 1 � 127; 28 � 1 � 255 � 3 � 5 � 17; 29 � 1 � 511 � 7 � 73; 210 � 1 � 1023 � 3 � 11 � 31

Se obtienen primos de Mersenne para los valores 2, 3, 5 y 7.

4. Por ahora, el número es 242643801 � 1, que tiene 12837064 cifras, pero la búsqueda sigue.

5. a) 13579 � 37 � 367b) 101001000100001 � 113 � 127529 � 7008713c) 12361045744129775111753 � 7008713 � 1763668414462081

Codificación: claves secreta y pública

2. Podemos ordenar las filas que se van a utilizar para cifrar y descifrar.

Los mensajes serían los siguientes:

NI IUTXCN MEU MBXGMBXKCBW ENHORABUENA

Seguridad. Firma digital

1. Tenemos que n � 3 � 11 � 33 y (n) � 2 � 10 � 20. Buscamos e primo con 20. Podemos elegir, porejemplo, e � 7.

Para calcular d, podemos ir probando valores. En un caso real se usarían algoritmos para facilitarlos cálculos. Como los números son pequeños, se puede usar una hoja de cálculo. Incluso si se ha-ce a mano, no se tarda demasiado.

Para que al hacer �72�0

d�� se obtenga un resto 1, debe ser d � 3.

La clave pública es (7, 33), y la secreta, (3, 33).

El mensaje en clave es el resto de �2303

7

�. Este resto vale 26.

Para descifrar el mensaje, se calcula el resto de �2303

6

�. Este resto vale 20, como era de esperar.

2. RSA son las iniciales de Rivest, Shamir y Adleman, inventores del método.

3. Por ejemplo, la obtención del volante de empadronamiento, la presentación de la declaración de larenta, el pago de multas, etc.

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y ZB C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z AE F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A B C DC D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z A BA B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z


SOLUCIONES 3Si tengo tanto…, ¿cuánto fabrico?

1. a) f(x, y) � 2,4x � 2,8y

b) Por cada unidad del lote A se venden dos lápices, y por cada unidad del lote B se vende 1. La in-ecuación será 2x � y � 800.

c) Las inecuaciones son: x � 2y � 800, x � y � 500.d) x � 0, y � 0e) El beneficio máximo se obtiene vendiendo 200 lotes A y 300 lotes B, y es igual a 1320 euros.

2. En la tabla vamos a organizar la comida que envía cada instituto a cada ONG.

El coste será:f(x, y)�10x� 15y�20(100�x�y)�15(80�x)�10 (80�y)�10[90�(100�x�y)]�3900�15x�5yLas restricciones son sencillas: todas las cantidades de la tabla deben ser mayores o iguales que cero.Se obtiene el siguiente recinto.

El coste en cada vértice es el siguiente.

El coste es mínimo para x � 80, y � 20.

El envío se organizará así:

Y

X10

10

20

30

20 30 40 50 60 70

40

50

60

70

80

90

80

INECUACIONES Y ECONOMÍA

Y

X100

100

200

300

200 300 700

500

700

800

400 500 600

400

600 (0, 0)0

VérticeBeneficio (€)

(0, 400)1120

(200, 300)1320

(300, 200)1280

(400, 0)960

x80 � x

80

y80 � y

80

100 � x � y90 � (100 � x � y)

90

100150250

InstitutoAB

TOTAL

ONG 1 ONG 2 ONG 3 TOTAL

010

3850

100

3750

080

3500

800

2700

2080

3200

8020

2600

xy

3900 � 15x � 5y

800

80

206080

09090

100150250

InstitutoAB

TOTAL

ONG 1 ONG 1 ONG 1 ONG 1


GEOMETRÍA: DE DÓNDE VENGO, ADÓNDE VOY

SOLUCIONES4Subiendo y bajando colinas. Topografía

1. a) La altura máxima será de unos 400 metros.

b) 100, 200, 300, 400 metros.

c) El perfil podría ser similar al del dibujo.

2. El cráter se representaría usando una línea discontinua, para indicar que el nivel baja.

3. Como el capitán está al nivel del mar, se trata de calcular la base en este triángulo.

�50

x0

� � tg 19� ⇒ x � �tg50

109�

� � 1452,1 m

4. La tangente del ángulo será �3550000� � , alrededor de un 14%. El ángulo mide unos 8� 7�.

Busca, que me muevo. Móviles y GSM

1. GSM � Global System for Mobile Communications, o Sistema Global para Comunicaciones Móviles.

SIM � Subscriber Identity Module, Módulo de Identificación del Suscriptor.PIN � Personal Identification Number, Número de Identificación Personal.WAP � Wireless Application Protocol, Protocolo de Aplicaciones Inalámbricas.

2. El IMEI (Internacional Mobile Equipment Identity) es el código que identifica cada móvil. Para sa-berlo hay que pulsar las teclas *#06# en el móvil.

3. Cada antena tiene un radio de 50 metros. Pablo está en la intersección de esos círculos, que mideunos 11 m2.

1�

x

500 m

19°


De puerta a puerta. El GPS

1. El nombre completo es Navigation System Time and Ranging-Global Position System, las siglas GPSsignifican Sistema de Posicionamiento Global.

2. Se emplea un código pseudoaleatorio, una señal digital complicada, que parece generada al azar.Así se consigue que no se confunda con la señal de otros satélites ni con otras señales.

3. La red GPS cuenta con 24 satélites, totalmente operativos desde 1995. El sistema ruso se conocecomo GLONASS, cuenta también con 24 satélites y el primero se lanzó en 1982. El proyecto GALI-LEO contará con 30 satélites y será de uso civil.

4. a) 40� 25� N, 3� 42� O

b) 48� 51� N, 2� 21� E

c) 40� 42� N, 74� O

d) 34� 36� S, 58� 25� O

e) 27� 59� N, 86� 56� E

f) 33� 58� S, 18� 30� E

g) 43� 5� N, 79� 5� O

h) 0� 13� S, 78� 30� O

5. a) Sydney

b) Valencia

c) Río de Janeiro

d) Reykjavik

e) Monte Kilimanjaro

f) Fosa de las Marianas

g) Nairobi

h) Melilla

SOLUCIONES 4GEOMETRÍA: DE DÓNDE VENGO, ADÓNDE VOY (Continuación)


ÁREAS Y VOLÚMENES: APROXIMANDO LO CURVO

SOLUCIONES5Polígonos y círculo

1. Área del polígono regular: . Área del círculo: � � r2, donde r es el radio.

2. Como puede verse en el dibujo, el perímetro del polígono se aproxima mucho a la longitud de la cir-cunferencia.

Para empezar, calculamos el área del círculo, 9� cm2, y la longitud de la circunferencia, 6� cm.

Si el radio es de 3 cm, usando el teorema de Pitágoras se calcula que el lado del cuadrado mide

��

62�

�� cm, y el área es de 18 cm2. El cuadrado ocupa �198�� del círculo, aproximadamente un 63,66%.

El lado del octógono y su apotema se pueden hallar usando trigonometría. El lado del octógono mi-de 2 � 3 � sen 22� 30�, unos 2,3 cm. Su perímetro mide unos 18,4 cm. Su apotema mide aproximada-mente 3 � cos 22� 30� � 2,8 cm. Por tanto, su área mide unos 25,5 cm2, un 89,6% del círculo.

De la misma forma se halla el área del polígono siguiente, aproximadamente 28,1 cm2, un 99,3% delárea del círculo.

3. El resultado variará según el tamaño del objeto a medir.

Poliedros y esfera. El balón de fútbol

1. a) Es un poliedro arquimediano, el icosaedro truncado. b) Tiene 90 aristas, 32 caras y 60 vértices.

c) Su volumen (sin hinchar) es aproximadamente del 87% de la esfera circunscrita.

2. Por ejemplo, con el rombicosidodecaedro se consigue una aproximación del 94%. Este poliedro tie-ne 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos, es decir, casi el doble de caras que el anterior. Noparece muy práctico desde el punto de vista económico, ya que su fabricación requiere más piezasy de más tipos. Posiblemente sería más fácil que se deformara.

3. a) Cuboctaedro. b) Octaedro truncado. c) Icosidodecaedro.

4. En 1985 se descubre el fulereno C60 y otros. El nombre se debe a que su forma (de balón de fútbol)recordaba a la cúpula diseñada por un arquitecto americano, R. Buckminster Fuller. Aparece en dis-tintas reacciones orgánicas, y se estudia su uso en medicina o nanotecnología.

La geometría de la naturaleza

1. Los sistemas son: triclínico, monoclínico, rómbico, tetragonal, hexagonal, trigonal y cúbico.

2. Pirita: Cúbico; Mica: Monoclínico; Cuarzo: Trigonal; Berilo: Hexagonal.

3. Como mínimo, habría que decir que atacan a las bacterias.

4. Pondremos solo algunos ejemplos.

• Esfera: Gotas de agua, frutas• Cilindros: Tronco de un árbol• Espirales: Trompa de la mosca, galaxias• Cono: Piñas, copas de algunos árboles, hormigueros• Polígonos: Distribución de los pétalos de algunas flores• Rectas paralelas: Rayos de luz• Poliedro cóncavo: Estrella de mar• Ángulos rectos: Árbol y suelo• Circunferencias concéntricas: Ondas en un estanque

Perímetro � apotema��2


Virus, bacterias y epidemias

1. Después de t minutos hay 100 � 2t virus. Para que 100 � 2t � 1012, debe ocurrir que:

2t � 1010 ⇒ log 2t � log 1010 ⇒ t � log 2 � 10 ⇒ t � �lo1g02� � 33,2

Después de algo más de 33 minutos se supera el billón de virus.

2. Inicialmente conocía el secreto 1 persona. A los 10 minutos se lo ha contado a 3 personas, luego co-nocen el secreto 1 � 3 � 4 personas. A los 20 minutos lo conocen 1 � 3 � 9 � 13 personas. Tras 3

horas (180 minutos) lo conocerán: 1 � 3 � 9 � 27 � … � 318 � �33

19

��

11

� � 581130733 personas.

4. La suma de los 22 primeros términos de esta progresión es S22 � � 4194303 euros,unas 6990 veces el precio que pedía inicialmente Andrés.

Datando la historia. El carbono 14

1. Aproximadamente 5730 años.

2. �CC

0� � �

12� � e�� 5730 ⇒ In �

12� � In e�� 5730 � �5730� ⇒ � � � 1,2 � 10�4 años�1

3. Como la cantidad actual es el 99% de la inicial, tenemos que �CC

0� � 0,99 � e��t. Con el valor que he-

mos calculado antes, t � ��In0

�,99� � � � �5730 � �

IInn00,,959

� � 83 años, aproximadamente.

4. Las cantidades aparecen redondeadas.

Uranio 235: 690 millones de años Estroncio 90: 30 años

Radón 222: 4 días Uranio 238: 4500 millones de años

Plutonio 239: 24000 años Polonio 210: 140 días

Modelos cazador-presa

1. La población se calcula mediante la fórmula f (t) � 100 � 1,05t, donde t viene expresado en meses.Dentro de 4 años (48 meses), la población será de f (48) � 100 � 1,0548 � 1040 peces. Dentro de 10años será de f (120) � 100 � 1,05120 � 34891 peces.

2. En 4 años habrá f(48)� �361 peces, y dentro de f (120)� �494 peces.

3. Redondeando sin decimales se obtienen estos valores. A partir de los 20 meses, los modelos se di-ferencian cada vez más.

500��1 � 4 � 1,05�120

500��1 � 4 � 1,05�48

In �12�

��5370

0,01 � (222 � 1)��2 � 1

SOLUCIONES 6EXPONENCIALES Y NATURALEZA

Meses

100

100

0

104

105

1

108

110

2

112

116

3

117

122

4

121

128

5

145

163

10

199

265

371

1147

485

13150

500

1729258

500

29903335125

20 50 100 200 400

M1

M2Pobl

ació

n

In0,99

In�12�

�5730


FUNCIONES Y ECONOMÍA

SOLUCIONES7Capitalización e interés: el número e

1. Cada año se gana el 5% de 10000, es decir, 500 euros. La ganancia final es de 5 � 500 � 2500 euros.

2. El capital final será C � 10000 � (1 � 0,05)5 � 12762,82 euros, el beneficio es de 2762,82 euros.

3. a) C20 � 1000 � (1 � 0,05)20 � 2653,30 euros

b) C100 � 1000 � (1 � 0,05)100 � 131501,26 eurosc) C200 � 1000 � (1 � 0,05)200 � 17262580,81 euros

4. En este caso, C1000 � 0,93 � (1 � 0,0225)1000 � 4283508450,30 euros.

5. Cada 4 meses: C � 100 � �1 � �13��

3

� 237,04 euros. Cada 3 meses: C � 100 � �1 � �14��

4

� 244,14 euros.

Cada 2 meses: C � 100 � �1 � �16��

6

� 252,16 euros. Cada mes: C � 100 � �1 � �112��

12

� 261,30 euros.

Cada medio mes: C � 100 � �1 � �214��

24

� 266,37 euros. Los capitales son números de la forma

C � 100 � �1 � �n1

��n

, con n cada vez mayor. El límite es limn→�100 � �1 � �n

1��

n

� 100 � e � 271,8281...

Hipotecas y préstamos

1. En total habrá que pagar 200000 � 90 � 0,003 � 200000 �0,04 � 200000 � 208690 euros.

2. 150000 es solo el 75% de 200000, luego el diferencial aplicable es 0,5.

3. A 25 años, la cuota mensual es de 791,76 euros. A 30 años, de 716,12. Alargando el plazo se reducela cuota mensual, pero se paga una cantidad mucho mayor en intereses.

4.

Créditos

1. Pagas 33 � 24 � 792 euros, aproximadamente un 1,5% más.

2. Al precio del televisor hay que sumar los 24 euros que cuesta tener esa tarjeta durante 2 años. Pa-garías en total 774 euros, más que pagando en efectivo.

3. Deberás 30 � 1,0224 � 48,25 euros, aproximadamente un 60% más. A medida que pase el tiempo, ladeuda crecerá exponencialmente.

4. Tendremos que devolver 750 � 1,12 � 840 €, mucho más que en cualquiera de los supuestos anteriores.

Mes Pagado Intereses Préstamo123456

Mes

TOTAL

789

101112

Pagado

8593,48

Intereses

5951,92

Préstamo

2641,55

Pendiente

147358,45

5012,865728,986445,117161,237877,358593,48

495,64494,91494,17493,43492,69491,94

220,48221,22221,95222,69223,44224,18

148471,93148250,71148028,76147806,06147 582,63147358,45

716,121432,252148,372864,493580,614296,74

500,00499,28498,56497,83497,10496,37

216,12216,84217,57218,29219,02219,75

Pendiente149783,88149567,03149349,47149131,18148912,16148692,41


Relacionando elementos

1. Si los dorsales de los amigos van del 0 al 9, los ganadores pueden indicarse 000, 001, …, 999. Hay1000 posibilidades.

2. El número total será 2 � 6 � 8 � 96 posibilidades.

3. Laura puede elegir entre un total de 5 + 7 + 6 = 18 discos.

4. Si las tres cifras son impares, para cada una hay 5 posibilidades, luego en total hay 5 � 5 � 5 � 125.Si solo sirven 4, 6 y 8, hay 3 � 3 � 3 � 27 posibilidades. En total hay 125 � 27 � 152 números posibles.

Orden y repetición

1. a) 6! � 720; 10! � 3 628 800; 25! � 1,55 � 1025, aproximadamente.

b) La calculadora llega hasta 69!

c) �19080!�!

� � 100 � 99 � 9900

2. Influye el orden y no se repiten elementos. Hay P20 � 20! � 2,4 � 1018 formas distintas.

3. Influye el orden y no se repiten elementos. Colocamos primero a los 10 chicos: P10 � 10! � 3628800.Al lado de cada chico se coloca una chica, de P10 � 10! � 3628800 formas distintas. El resultado es10! � 10! � 36288002 � 1,3 � 1013 posibilidades.

4. Influye el orden y no se repiten elementos. V10,2 � 10 � 9 � 90 posibilidades.

5. Influye el orden y pueden repetirse elementos. VR2,5 � 25 � 32 posibilidades.

Combinaciones con repetición

1. Como no importa el orden y se pueden repetir cartas, debemos calcular CR312 � C3

14 � 364 posibilidades.

2. No importa el orden y hay repeticiones. Hay 7 números posibles para cada una de las dos casillas.CR2

7 � C28 � 28 fichas.

3. No importa el orden (los premios son iguales) y puede haber repeticiones. Hay CR33 � C3

5 � 10 posi-bilidades.

4. El primer alumno elige entre los puestos 1, 2, 3. El segundo, igual, y así hasta los 20. Dado que solo importa el número total en cada puesto, no el orden, y que se pueden repetir elementos (en un puesto pueden entrar varios alumnos), habrá que calcular CR3

20 � C322 � 1540. Hay 1540 posibili-

dades.

5. No importa el orden y se pueden repetir sabores. CR310 � C3

12 � 220. Hay 220 posibilidades.

100 � 99 � 98 � 97 � ... � 3 � 2 � 1��98 � 97 � ... � 3 � 2 � 1

SOLUCIONES 8CONTANDO, CONTANDO…


PROBABILIDAD Y REALIDAD

SOLUCIONES9La probabilidad en la medicina

1. El riesgo relativo es de �0,003,3343...� � 10,2. La probabilidad de que enferme el fumador es más de 10

veces mayor.

2. a) Sensibilidad: �9969�. Especificidad: �11

00

59�

b) Aplicando el teorema de Bayes, P��enfe�

rma�� 0,967

La prueba es bastante fiable, la probabilidad de un falso positivo es de menos del 4%.

Sistemas complejos y estadística

1. El efecto mariposa es un concepto relacionado con la teoría del caos, que hace referencia a que enun sistema complejo, pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden influir mucho en elestado final.

2. Entre otros, un organismo, una sociedad de insectos, un ecosistema.

3. Actualmente se utiliza el período entre 1971 y 2000.

4. En el período indicado, la temperatura media que figura es de unos 19 �C. Por tanto, el verano fuemás caluroso de lo habitual.

5. El resultado dependerá de la localización.

La probabilidad de lo pequeño: física cuántica

1. Constante de Planck: h � 6,626 � 10�34 J � s

2. Principio de incertidumbre: �x � �p �4h� , donde x representa la posición; p, la cantidad de movi-

miento, y h es la constante de Planck.

3. Como �x � �p → �x � �(m � v) → �v � �

� 57942893 m/s � 2 � 108 km/h. La indeterminación es mayor que el orden de velocidad del electrón.

4. El experimento (puramente teórico) consiste en meter un gato en una caja de paredes opacas. En la ca-ja se introduce un dispositivo formado por una ampolla de veneno volátil, un martillo sobre ella y un de-tector de partículas alfa. Si al detector llega una partícula alfa, el martillo rompe la ampolla y el gato mue-re. Si no llega, el gato sigue vivo. Se mete en la caja un átomo radiactivo, de forma que haya un 50% deposibilidades de que emita una partícula alfa al cabo de una hora. Cuando haya pasado esa hora, ¿el ga-to estará vivo o muerto? Aplicando la mecánica cuántica, el gato está vivo y muerto a la vez. La única for-ma de determinar su estado es abrir la caja; al intervenir el observador, el sistema se determina a unode los dos estados. Es un ejemplo de la influencia del observador en el fenómeno.

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Solucionario Del Cuaderno de Investigaciones Matemáticas 4.º ESO

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