Solucion Taller 3 Algebra Relacione Binaria
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7/23/2019 Solucion Taller 3 Algebra Relacione Binaria
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Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenierıa Ciencias y Administracion
Departamento de Matematica y Estadıstica
Solucion Taller N◦3Algebra (IME006)
Profesores: M. T. Alcalde, R. Benavides, C. Burgueno,M. Carrillo, F. Salazar, A. Sepulveda.
13 de Mayo 2008.
Problema.
En Z se define la relacion R de la siguiente forma
aRb ⇔ a2 + b2 = 2k, para algun k ∈ Z.
1. Demuestre que R es una relacion de equivalencia.
2. Determine las clases de equivalencias del 0 y 1
3. Determine el conjunto cuociente Z/R.
Solucion.
1. Debemos mostrar que R es reflexiva, simetrica y transitiva. En efecto,
a ) Reflexiva. aRa ⇔ a2 + a2 = 2k, k ∈ Z es verdadera para k = a2. Por tanto, R esreflexiva.
b) Simetrıa. Si aRb entonces a2 + b2 = 2k, k ∈ Z, es decir, b2 + a2 = 2k, k ∈ Z, portanto, bRa. Concluimos que R es simetrica.
c ) Transitividad. Si aRb y bRc tenemos a2 + b2 = 2k, k ∈ Z y b2 + c2 = 2t, t ∈ Z. Dedonde, a2 + c2 = 2 (k + t − b2), con (k + t − b2) ∈ Z. Es decir, R es transitiva.
Por todo lo anterior, concluimos que R es una relacion de equivalencia.
2. Para las clases de equivalencias tenemos,
a ) Clase del 0.aR0 ⇔ a2 = 2k con k ∈ Z, es decir, a2 es un numero par, lo que implica que a espar. Luego,
cl (0) = {a ∈ Z | a es par} = {a ∈ Z | a = 2t, t ∈ Z}
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7/23/2019 Solucion Taller 3 Algebra Relacione Binaria
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b) Clase del 1.
aR1 ⇔ a2 = 2k − 1 con k ∈ Z, es decir, a2 es un numero impar, lo que implica quea es impar. Luego,
cl (1) = {a ∈ Z
| a es impar} = {a ∈ Z
| a = 2t − 1, t ∈ Z
}
3. Del punto anterior no es difıcil ver que solo hay dos clases de equivalencia, por tanto, elconjunto cuociente es,
Z/R = cl (0) ∪ cl (1) .
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