APORTE DIANA CAROLINA FORERO

Evaluar las siguientes integrales Impropias:

Punto numero 1:

∫1

∞

(1−x )e− xdx

¿ (1−x ) (−e− x)∫ (1−x ) (−e−x )dx

¿−e−x (1−x )∫−e−x dx

¿−e−x (1−x )−¿)

¿e− x−e−x (1−x )

¿e− x−e−x (1−x )+ C

Procedemos a calcular los límites

limx→1

=e− x−e−x (1−x )

¿e−1−e−1 (1−1 )

¿ 1e

limx→∞

=(e¿¿−x−e− x (1−x ))¿

¿ limx→∞

(e¿¿−x )− limx→∞

(e− x (1−x ))¿

¿0−0

¿0

Tomamos los dos resultados de los límites:

¿0−1e

¿−1e

¿−0.36788

Punto numero 2:

∫−∞

∞e x

1+e2xdx

Calcular la integral

¿∫ u

1+e2 x1udu

¿∫ 1

e2 x+1du

¿∫ 1

e2 ln (u )+1du

¿∫ 1

u2+1du

¿arctan (u)

¿arctan (ex )

¿arctan (ex )+C

Procedemos a calcular los límites:

limx→−∞

(ex)

¿0

limu→0

(arctan (u))

limu→0

(arctan (0))

=0

limx→∞

(ex)

¿∞

limu→∞

¿¿¿

=π2

Tomamos de nuevo los dos resultados de los límites:

¿ π2−0

¿ π2

Punto numero 3:

∫0

1dx3√ x

Calcular la integral

∫ x−13 dx

¿x−13+1

−13

+1

¿3x

23

2

¿3x

23

2+C

Procedemos a calcular los límites:

limx→0

+¿3 x

23

2¿

¿3.0

23

2

=0

limx→1

−¿3 x

23

2¿

¿3 .1

23

2

¿ 32

Tomamos los resultados de los límites:

¿ 32−0

¿ 32

Punto numero 4:

∫0

π2

cos (x )√1−sen(x )

dx

Calculamos la integral:

∫ cos (x)√u1

cos (x )du

∫ 1

√udu

¿∫u−0.5du

¿∫ u−0.5+1−0.5+1

¿∫ (1+sen ( x ))−0.5+1

−0.5+1

¿2√sen ( x )+1

¿2√sen ( x )+1 + C

Se procede a calcular los límites

limx→O

¿¿

¿2√sen (0 )+1

¿2

limx→

π2

¿¿

¿2√sen ( π2 )+1¿2 .√2

Tomamos los resultados de los límites

¿2 .√2−2

¿2(√2−1)

Punto numero 5

∫ x3(x4+3)2dxCalculamos la integral

∫ x3u2 14 x3

du

∫ u2

4du

14∫ u

2du

14u2+1

2+1

14

(x4+3)2+1

2+1

14

(x4+3)2+1

2+1

112

(x4+3)3

112

(x4+3)3+C

Punto numero 6

∫0

13

(4+√x )dx

Calculamos la integral

3∫ 14+√x

dx

Sustituimos

3∫ 14+u

2u du

3∫ 2− 8u+4

du

3(∫2du−∫ 8u+4

du)∫2du=2u

∫ 8u+4

du=8 ln (u+4)

Tomamos de Nuevo los resultados

3 (2u−8 ln(u+4))

3 (2√x−8 ln (√x+4))

3 (2√x−8 ln (√x+4))+C

Procedemos a calcular los limites:

limx→0

(3 (2√ x−8 ln (√ x+4 ) ))

¿(3 (2√0−8 ln (√0+4 ) ))

¿-24ln(4)

limx→1

(3 (2√ x−8 ln (√ x+4 ) ))

¿(3 (2√1−8 ln (√1+4 ) ))

¿6-24ln(5)

Tomamos los resultados de los limites:

¿- 6-24ln(5) –(-24ln(4))

¿- 6( 1 – 4ln (5) +ln(256))

Punto numero 7:

∫ dx

x2√4+x2

Calcular la integral

∫ 1

(2 tan (u ) )2√4+(2 tan (u ) )22 sec2 (4 )du

∫ csc2 (u )2√4 tan2 (u )+4

du

¿ 12∫ csc2 (u )

√4 tan2 (u )+4du

¿ 12∫ csc2 (u )

√4( 4 tan2 (u )4

+1)du

¿ 12∫ csc2 (u )2√ tan 2 (u )+1

du

¿ 12∫ csc2 (u )2√sec (u )

du

¿ 1212∫ csc2 (u )

√ sec2 (u )du

¿ 1212∫ csc

2 (u )sec (u )

du

¿ 1212∫

1

sin (u )cot (u )du

¿ 1212∫ cot (u )csc (u )du

¿ 1212∫ cot (u )sin2 (u )

du

¿ 1212∫ cot (u )

v21

cot (u )d v

¿ 1212∫

1

v2dv

¿ 1212∫ v−2dv

¿ 1212v−2+1

v−2+1

¿ 1212

sin−2+1(artan( 12 x))−2+1

¿−√ x24 +1

2x

¿−√ x24 +1

2x+C

Punto numero 8

∫ x2

√ x2−4dx

∫ x+4+ 16x−4

dx

∫ x dx+∫ 4 dx+¿∫ 16x−4

dx¿

∫ x dx= x22∫ 4dx=4 x

∫ 16x−4

dx=16 ln (x−4)

= x22 + 4x + 16 ln (x−4)

= x22 + 4x + 16 ln (x−4) + C