SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
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IEB 3031
ECUACIONES DIFRENCIALES
2015/02
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Introducción
En las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma dydx
=f ( x , y ), se
pueden desarrollar varios procedimientos para llegar a soluciones explícitas e
implícitas, por lo que, ecuaciones de este tiempo pueden tener solución que
analíticamente no se pueden estableces.
Por eso para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se hace de forma
numérica, dicha ecuación se utiliza para aproximar una solución desconocida.
En el siguiente escrito se describirán tres distintos métodos que describen una
solución numérica y aproximada a dicha ecuación diferencial.
Método de Euler
Dado el problema de valor inicial
En el método de Euler de n pasos queda definido por
Donde
Ejemplo:
Dado el PVI siguiente realice aplique este método con n=5
y’= f(x, y)
y’ = x − y + 1
A partir de la forma normal, identificamos f(x, y)
f(x, y) = x − y + 1.
Para n = 5, el tamaño de paso es
h = (0.5 − 0 5)/5 = 0.1
Entonces
x0 = 0
x1 = 0.1
x2 = 0.2
x3 = 0.3
x4 = 0.4
x5 = 0.5
El metodo de Euler es
y0 = 1
y¯j+1 = y¯j + 0.1 (xj − y¯j + 1), j = 0, 1,..., 4.
Entonces comenzamos las iteraciones
Fase 0
x0 = 0, y¯0 = y(x0)=1
Fase 1
x0 = 0
y¯0 = 1
y¯1 = ¯y0 + h (x0 − y¯0 + 1) = 1 + 0.1 (0 − 1 + 1) = 1
Fase 2
x1 = 0.1
y¯1 = 1
y¯2 = ¯y1 + h (x1 − y¯1 + 1) = 1 + 0.1 (0.1 − 1 + 1) = 1.01
Fase 3
x2 = 0.2
y¯2 = 1.01
y¯3 = 1.01 + 0.1 (0.2 − 1.01 + 1) = 1. 029
Fase 4
x3 = 0.3
y¯3 = 1.029
y¯4 = 1.029 + 0.1 (0.3 − 1.029 + 1) = 1. 0561
Fase 5
x4 = 0.4
y¯4 = 1.0561
y¯5 = 1.0561 + 0.1 (0.4 − 1.0561 + 1) = 1. 09049
La tabla resumida sería
Método de Euler Mejorado
Dado el problema de valor inicial
El métdo de Euler mejorado de n pasos queda definido por
Donde
Ejemplo:
Dado el PVI siguiente realice aplique este método con n=5
Tenemos
f(x, y) = x − y + 1
h = (0.5 − 0 5)/5 = 0.1
x0 = 0
x1 = 0.1
x2 = 0.2
x3 = 0.3
x4 = 0.4
x5 = 0.5
Iteraciones:
Fase 0
x0 = 0
y¯0 = y(x0)=1
Fase 1. Parte de los valores:
x0 = 0
x1 = 0.1
y¯0 = 1
Calculamos
k(0) 1 = f(x0, y¯0) = x0 − y¯0 +1=0 − 1+1=0
k(0) 2 = f ³ x1, y¯0 + hk(0) 1 ´ = f (0.1, 1+0.1 · 0) = f(0.1, 1) = 0. 1
y¯1 = ¯y0 + h 2 ³ k(0) 1 + k(0) 2 ´ =1+0.05 (0 + 0.1) = 1. 005
Fase 2. Valores:
x1 = 0.1
x2 = 0.2
y¯1 = 1.005
Calculamos
k(1) 1 = f(x1, y¯1) = f(0.1, 1.005) = 0.1 − 1.005 + 1 = 0.0 95
k(1) 2 = f ³ x2, y¯1 + hk(1) 1 ´ = f (0.2, 1.005 + 0.1 · 0.0 95) = f (0.2, 1. 0145) = 0.
1855
y¯2 = ¯y1 + h 2 ³ k(1) 1 + k(1) 2 ´ = 1.005 + 0.05 (0.095 + 0.1855) = 1. 01902 5
Fase 3. Valores:
x2 = 0.2
x3 = 0.3
y¯2 = 1. 01902 5
Calculamos
k(2) 1 = f(x2, y¯2) = f(0.2, 1. 01902 5) = 0.2 − 1. 01902 5 + 1 = 0. 18097 5
k(2) 2 = f ³ x3, y¯2 + hk(2) 1 ´ = f (0.3, 1. 01902 5 + 0.1 · 0. 18097 5) = f (0.3, 1.
03712 3) = 0.3 − 1. 03712 3 + 1 = 0. 26287 7
y¯3 = ¯y2 + h 2 ³ k(2) 1 + k(2) 2 ´ = 1. 01902 5 + 0.05 (0. 18097 5 + 0. 26287 7) =
1. 04121 8
Fase 4. Valores:
x3 = 0.3
x4 = 0.4
y¯3 = 1. 04121 8
Calculamos
k(3) 1 = f(x3, y¯3) = f(0.3, 1. 04121 8) = 0.3 − 1. 04121 8 + 1 = 0. 25878 2
k(3) 2 = f ³ x4, y¯3 + hk(3) 1 ´ = f (0.4, 1. 04121 8 + 0.1 · 0. 25878 2) = f (0.4, 1.
06709 6) = 0.4 − 1. 06709 6 + 1 = 0. 33290 4
y¯4 = ¯y3 + h 2 ³ k(3) 1 + k(3) 2 ´ = 1. 04121 8 + 0.05 (0. 25878 2 + 0. 33290 4) =
1. 07080 2
Fase 5. Valores:
x4 = 0.4
x5 = 0.5
y¯4 = 1. 07080 2
Calculamos
k(4) 1 = f(x4, y¯4) = f(0.4, 1. 07080 2) = 0. 32919 8
k(4) 2 = f ³ x5, y¯4 + hk(4) 1 ´ = f (0.5, 1. 07080 2 + 0.1 · 0. 32919 8) = f (0.5, 1.
10372 2) = 0. 39627 8
y¯5 = ¯y4 + h 2 ³ k(4) 1 + k(4) 2 ´ = 1. 07080 2 + 0.05 (0. 32919 8 + 0. 39627 8) =
1. 10707 6
Los resultados resumidos serían:
Método de Runge Kutta
Los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler
yi+1 = yi + h f(ti, yi) en los que el valor de la función f se reemplaza por un
promedio ponderado de valores de f en el intervalo ti ≤ t ≤ ti+1, es decir:
Para el método de cuarto orden si m=4 se obtiene la siguiente fórmula para i
desde 0 hasta N-1
Ejemplo:
Con el método RK4, obtener una aproximación del valor de y(1,5) para el siguiente
problema de valor inicial, tomando un paso h = 0,1.
Como en este caso h está dado, se tiene que N = (1,5 - 1)/0,1 = 5.
Por lo tanto, los puntos en donde se va a determinar la solución, dados por la
fórmula ti = 1 + 0,1 i, para i =1,2,3,4,5, son:
t1 = 1,1
t2 = 1,2
t3 = 1,3
t4 = 1,4
t5 = 1,5
Una vez establecidos los valores, tenemos, para i = 0:
Entonces
y aplicando sucesivamente la fórmula de RK4, para i desde 1 hasta 4, se obtienen
los datos que se resumen la tabla siguientes donde también se muestra el valor de
la solución exacta para cada punto.
Ejercicio 1
Adjunto en la imagen1.
CONCLUSIÓN:
En los métodos que acabamos de revisar aunque tiene un desglose bastante
extenso y se basa en muchos conceptos que a veces no son tan fáciles de
entender su aplicación al ser bastante aritmética todo se reduce a resolver una
operación lo cual facilita mucho la resolución de este tipo de ecuaciones
diferenciales, sin embargo, tenemos que saber de donde viene todo este análisis
para lograr una comprensión optima del método y de la resolución del PVI.