EJERCICIOS A DESARROLLAR DE CADA UNIDAD

FASE 1

TEMATICA: INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejercicio C

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

d2 yd x2

+ dydx

−5 y=ex

1. RTA: Es Lineal2. RTA: Segundo orden

TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ejercicio C

Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante

dydx

+2 xy=x

Factor integrante=e∫2xdx=ex2

ex2 dydx

+ex22xy=ex2 x

ddx

(ex2 y )=ex2x

∫ ddx

(ex2 y )dx=∫ ex2 x dx

Usando un factor de sustitución para la segunda integral:

u=x2

du=2 xdxdx= du2 x

∫ ddx

(ex2 y )dx=∫ eu xdu2 x

∫ d (ex2 y )=∫ eudu

ex2 y=eu+C

Reemplazando el valor de u se tiene:

ex2 y=ex2+C

Despejando y:

y= ex2

ex2+ C

e x2

La solución será:

y=1+C ex−2

FASE 2

TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Ejercicio 3

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

y ' '+ y=sec ( x )

Primero se halla la solución de la ecuación homogénea asociada:

y ' '+ y=0

y=emx y '=memx y ' '=m2 emx

m2 emx+emx=0

emx (m2+1 )=0

(m2+1 )=0

m1=i m2=−i

y=acos ( x )+bsen ( x )(1)

Ahora se halla el valor de la solución particular:

y p=A (x)cos ( x )+B(x) sen ( x )

y p'=A ' (x)cos ( x )−A ( x ) sen ( x )+B' (x) sen ( x )+B ( x )cos ( x )

A '(x )cos ( x )+B' ( x ) sen ( x )=0

y p'=−A ( x ) sen ( x )+B (x ) cos ( x )

y p' '=−A '(x )sen ( x )−A ( x ) cos ( x )+B ' ( x )cos ( x )−B ( x ) sen (x)

Reemplazando términos en la ecuación diferencial:

y ' '+ y=sec ( x )

−A '( x)sen ( x )−A ( x ) cos ( x )+B ' ( x ) cos ( x )−B (x ) sen (x )+( A (x)cos ( x )+B(x) sen ( x ) )=sec (x)

−A ' ( x)sen ( x )+B' ( x ) cos ( x )=sec ( x )(2)

Evaluamos el determinante para saber si hay solución usando las expresiones 1 y 2:

W=| cos ( x ) sen ( x )−sen ( x ) cos (x )|=cos2 ( x )−(−sen2 ( x ) )=1 (Si tiene solución )

W A ´ (x )=| 0 sen ( x )sec ( x ) cos ( x )|=−sec ( x )∗sen ( x )=− tan (x )

W B´ ( x )=| cos ( x ) 0−sen ( x ) sec ( x )|=cos ( x )∗sec ( x )=1

A' ( x )=W A´ ( x )

W=−tanx

A ( x )=∫−tanxdx=−ln|cos (x )|

B' ( x )=W B´ (x )

W=1

B (x )=∫ dx=x

Finalmente la solución particular es:

y p=−cos ( x )∗ln|cos (x)|+xsen ( x )

Luego definimos la solución general como la suma de la solución homogénea y la particular así:

y=acos ( x )+bsen ( x )−cos ( x )∗ln|cos (x )|+xsen ( x )

FASE 3

TEMATICA: ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCION POR SERIES DE POTENCIAS

Ejercicio 1

Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de potencias:

3 y ' '−2x y '+8 y=0 ; y (0 )=3 , y ' (0 )=0

Tomando :

y=∑n=0

∞

cn xn

y '=∑n=1

∞

cnn xn−1

y ' '=∑n=2

∞

cnn(n−1) xn−2

Reemplazando en la ecuación inicial:

∑n=2

∞

cnn (n−1 ) xn−2−23x∑

n=1

∞

cnnxn−1+ 8

3∑n=0

∞

cn xn=0

∑n=2

∞

cnn (n−1 ) xn−2−∑n=1

∞23cnn xn+∑

n=0

∞83cn x

n=0

2c2+∑n=3

∞

cnn (n−1 ) xn−2−∑n=1

∞23cnnx

n+c0+∑n=1

∞83cn x

n=0

Usando K para dejar el mismo exponente e inicio en cada serie:

2c2+c0+∑k=1

∞

ck+2(k+2)(k+1 ) xk−23∑k=1

∞

ck¿¿

Dejando una sola suma general:

2c2+c0+∑k=1

∞

¿¿¿

Esto implica:

2c2+c0=0

c2=−c02

ck +2 (k+2 ) ( k+1 )+23ck (k )+ 8

3ck=0

ck +2=−( 23 ck (k )+ 8

3ck)

(k+2 ) (k+1 )k=1,2,3 ,…

ck +2=−( 23 k+ 83 )ck

(k+2 ) ( k+1 )k=1,2,3 ,…

Asumiendo valores para k se tiene:

c3=−( 23∗1+ 83 )c1

(1+2 ) (1+1 )=−1018

c1

c4=−( 23∗2+ 83 )c2

(2+2 ) (2+1 )=−1236

c2

c5=−( 23∗3+83 )c3

(3+2 ) (3+1 )=−1460

c3

c6=−(23∗4+ 83 )c4

(4+2 ) (4+1 )=−1690

c4

c7=−( 23∗5+ 83 )c5

(5+2 ) (5+1 )=−18126

c5

c8=−(23∗6+ 83 )c6

(6+2 ) (6+1 )=−24168

c6

De estas relaciones se asumen dos escenarios para dar la solución de acuerdo a:

y=∑n=0

∞

cn xn

y= y1 ( x )+ y2(x)

c0≠0 yc1=0

y1(x)=c0−c02

x2+ 1272

c0 x4− 1926480

c0 x6+ 46081149120

x8−…

y1(x)=c0(1−12 x2+1272

x4− 1926480

x6+ 46081149120

x8−…)c0=0 yc1≠0

y2(x )=c1−1018

c1 x3+ 1401080

c1 x5− 2520136080

c1 x7+…

y2(x )=c1(1−1018 x3+ 1401080

x5− 2520136080

x7+…)