Solución-del-Segundo-Parcial-TipoA

7/27/2019 Solucin-del-Segundo-Parcial-TipoA

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Caracas: 14-12-2013.

SOLUCIN DEL SEGUNDO PARCIAL DE MATEMTICASIII, TIPO A

1. Las rectas L 1 y L2 estn dadas por las ecuaciones:

,2

23:1

z

yxL ,

,23

,34

23

:, 2

t

tz

ty

tx

L

a) Halle una ecuacin para el plano que contiene el

punto Q(-2,3,2) y es paralelo a L1 y L2. (5 puntos)

b) Calcule la distancia entre Q y L 2. (5 puntos)

Solucin:

a) Una forma de calcular el plano Pi en el espacio,

es teniendo un punto de l, y su vector normal n, este se

obtiene haciendo el producto vectorial de los vectores

directores de cada recta, ya que este tambin es

perpendicular a los vectores directores de L 1 y L2 , por

ser paralelos al plano pedido, entonces:

Los vectores directores de las rectas dadas son:

),0,1,3(

,2

,32

: 11

Lu

z

yxL )2,3,2(2 Lu

El vector director de L1 tambin se poda obtener con dos

puntos cualesquiera de la recta.


2/9

Entonces:

)7,6,2(762)62(92

232

01321

kjijkki

kji

uxu LL

As la ecuacin del plano Pi es:

,0762:

,0)2(7)3(6)2(20)7,6,2)(2,3),2((:

zyx

zyxzyx

Otra forma de hacerlo era indicar que los vectores directores

de las rectas dadas y el vector ),2,3),2(( zyxQP Se encuentran

en el mismo plano o son coplanarios:

,0762

202

313

232

)(: 21

zyx

z

y

x

QPxuu LL

A continuacin vemos el plano Pi con el punto Q:


3/9

b) Sabiendo que:

La distancia de un punto a una recta, corresponde a la

perpendicular trazada desde el punto hasta la recta .

Ya que el rea de un Paralegramo de lados AP y u r es

el valor absoluto de su producto vectorial, se tiene:

Sea A un punto de L 2, A(3,4,-3),

)2,3,2(),5,1,5()3(2,43,32( 2 LuAQ

)17,0,17(1717)10152(10215515232

kijkijki

kji

AQxur


4/9

1723)2(

,21717.217)17(

222

2

222

2

L

L

u

AQxu

Luego, la distancia del punto Q a la recta L 2es:

uLQd 3417

217),(

2

Tambin se pudo haber utilizado la proyeccin del vector AQ

sobre el vector director de la recta L2, y la distancia es:

uu

u

uAQAQLQd L

L

L 34).(

),( 22

2

22

2. Los puntos A(1,3,-1),B(2,0,2) y C(4,-1,-3) sonvrtices consecutivos de un paralelogramo.

a) Halle el vrtice restante D (5 puntos)

b) Calcule el rea del tr ingulo de vrtices A, B y D

(5 puntos)


5/9

Solucin:

a) Se muestra el Paralelogramo en el espacio:

Una forma de hacerlo:

Se tienen los puntos del Paralelogramo ABCD

(CONSECUTIVOS):

A(1,3,-1),B(2,0,2),C(4,-1,-3) y D(a,b,c), como los

respectivos lados opuestos del Paralelogramo son

iguales se puede usar que:

)6,2,3()1,3,1()3,1,2( DcbaADBC


6/9

b) El Paralelogramo ABCD est dividido en dos

tringulos iguales, y el rea del Paralelogramo es el

valor absoluto del producto vectorial de dos de los

vectores consecutivos (con un vrtice comn) quelo forman, entonces el rea del tr ingulo es la

mitad de este valor.

Luego si tomamos a A como vrtice comn:

2

log

222

2

470

,470)5(1118)5,11,18(

))536(615(

512

331

uA

jikjkiAbs

kji

AbsADxAB

ramoPara le

Este ejercicio se poda hacer con la suma de

vectores.

3. Demuestre que el siguiente conjunto es unsubespacio de R4 ,

cbacbacbcacaW t ,,,),,,,( 4

Solucin:

Se tiene que:

cba

cba

cb

ca

ca

W ,,:4


7/9

Sean dos vectores pertenecientes a W:

,,,,: 11114

111

11

11

11

1 WVcba

cbacb

ca

ca

V

,,,,: 22224

222

22

22

22

2 WVcba

cba

cb

ca

ca

V

Sean alfa y beta dos escalares cualesquieras,

entonces:

.

)()()(

)()(

)()(

)()(

4

21

212121

2121

2121

2121

222111

2211

2211

2211

21

deVSubespacioesWWVV

ccbbaa

ccbb

ccaa

ccaa

cbacba

cbcb

caca

caca

VV

4. Halle una base y la dimensin del subespacio H delas matrices A de orden 2 tales que:

srtrstarstarstarstaMAH x ,,,332,252,62,423, 2221121122

Solucin:

32

64,

35

22,

22

13

32

64

35

22

22

13

332252

62423

genH

rstA

rstrst

rstrstA


8/9

Estos vectores son l inealmente independientes y

generan a H, entonces constituyen una base de H.

.3)dim(32

64,

35

22,

22

13

HB

Verifico que los vectores de B son L.I.

,0

00

00

332252

62423

00

00

32

64

35

22

22

13

rst

rstrst

rstrst

rst

5. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos ofalsos.

a) 23 ,),,,( accbaS t es un subespacio de 3

Falso, contraejemplo: (3puntos)

(2,-1,4)tpertenece a S, ya que 4=22,(-1.0,1)tpertenece a S, ya que (-1)2 =1,

Pero la suma de estos elementos del conjunto S:(2,-1,4)t+(-1,0,1)t=(1,-1,5)t, y 5no es igual a 12, por lo tanto la sumade estos elementos no pertenece a S, es decir S no es un SubespacioVectorial en el espacio.

b) Sean V un espacio vectorial y B una base de V,

entonces B es nica. (2 puntos)

Falso, contraejemplo:


9/9

En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo

espacio vectorial. Por ejemplo, si , una base muy sencilla deVes:

La cual es conocida como base cannica de . Otras bases de son:

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