SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES MXNMÉTODO DE GAUSS JORDÁN

Licenciado Oscar Ardila Chaparro

Curso de Algebra Lineal

Gauss Johann Carl Friedrich• Johann Carl Friedrich Gauss . (30 de abril de 1777,

Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Ampliar Información ….

Sustento del Método

• El método de Gauss Jordan esta sustentado en las siguientes operaciones entre renglones.– Fila(Renglón ) por un escalar

Donde β es un escalar (Numero real).

– Suma entre Filas (Renglones)

1 2 3 1 2 3*( , , ) , ,a a a a a a

1

1 2 3

1

2 3

1 2 31 1

, ,

, ,

, ,

a a a

a

b b b

a ab b b

Matriz aumentada

• Teniendo como base un sistema de ecuaciones 3x3 de la forma:

Se construye la matriz aumentada como sigue:

11 12 13

21 22 23

31 32 3

1 2 3

1 2 3

1

2

31 332

* * *

* * *

* * *

a a a

a a a

x x x

x x x

x x xa a

b

ba

b

Coeficientes

Variables

resultados

11 12 13

21 22 23

31

1

2

33 332

a a a

a a a

a a

b

b

ba

Resultado esperado

• A partir de la aplicación de operaciones entre Filas, el método de eliminación de Gauss Jordán busca la transformación de la matriz aumentada a la forma:

Donde X1=R1; X2=R2; y X3=R3

1

2

3

1

1

1

0 0

0 0

0 0

R

R

R

Diagonal Principal con unos

Fuera de la diagonal principal con ceros

Resultados para cada variable Xn

Pasos para aplicar el Método• Para la consecución del resultado esperado el método de

Gauss Jordan plantea los siguientes pasos para su aplicación.– Primero debemos hacer garantizar el primer uno como valor para el

coeficiente a11.

– Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los valores de los elementos restantes de la primera columna (a21, a31).

– Después debemos transformar el valor del coeficiente a22 a el valor de 1 .

– Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los valores de los elementos restantes de la segunda columna (a12, a32).

El proceso se repite para los demás términos de la matriz hasta obtener la matriz deseada.

Ejemplo de Aplicación• Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 ,

empleando el método de eliminación de Gauss Jordan:

Primero construimos la matriz aumentada como sigue:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

* * *

* * *

2 4 6

4 5 6

3 1 2

18

2

* * *

4

4

x x x

x x x

x x x

Coeficientes

Variables

resultados

18

24

4

2 4 6

4 5 6

3 1 2

Ejemplo de Aplicación

• Para garantizar el primer uno para el coeficiente a11 multiplicamos la primera fila por 1/2.

11*2

2 18 9

24 2

4 6 1 2 3

44 5 6 4 5 6

3 1 2 3 1 24 4

F

En esta operación se ve afectada la fila uno F1, las demás permanecen sin modificación.

Ejemplo de Aplicación

• Ahora debemos transformar en ceros los coeficientes restantes de la columna a21, a31 , para tal efecto operamos la fila 1 (F1) por -4 y sumamos el resultado a la fila 2 (F2). De manera similar operamos la fila 1 (F1) por -3 y sumamos el resultado a la fila 3 (F3).

1 2

31

4*

3*

1 2 3 1 2 3

4 5 6 0 3 6

3 1 2 0 5 11

9 9

24 12

4 23

F

F

F

F

En esta operación se ven afectada la fila dos F2 y la fila 3 F3, la fila 1 F1 permanece sin modificación.

Ejemplo de Aplicación

• Con base en lo expuesto anteriormente seguimos

operando la matriz obtenemos el uno en la posición a22.

21*3

1 2 3 1 2 3

0 3 6 0 1 2

0 5 11 0 5 1

9 9

12 4

23 1 23

F

Ejemplo de Aplicación

• Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 2.

1

3

2

2

2*

5*

1 2 3 1 0 1

0 1 2 0 1 2

9 1

4

0 5 11 0 0 1

4

23 3

F

F

F

F

Ejemplo de Aplicación

• Transformamos a uno el valor de la posición a33

31*

1 11 0 1 1 0 1

0 1 2 0 1 2

0 0 1 0 0 1

4 4

3 3

F

Ejemplo de Aplicación

• Transformamos en ceros los demás coeficientes de la columna 3.

• De esta manera tenemos la solución del sistema como sigue:

1

3 2

31*

2*

1 0 1 1 0 0

0 1 2 0 1 0

0 0 1 0 0 31

1 4

4 2

3

F

F

F

F

X1=4; X2=-2; y X3=3

GRACIAS POR TU

ATENCIÓNLicenciado Oscar Ardila

Chaparro

Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la comprensión de los conceptos de la asignatura.