Solucin de Ecuaciones Diferenciales no Lineales por medio de mtodos numricos. (Oscilador de Van der Pol)Acevedo Gonzales Jess Emir Barradas Hernndez Karen Andrea

La ecuacin del oscilador de Van der Pol es un sistema de ecuaciones nolineales con amortiguamiento. Modela un circuito electrnico que se implemento en las radios hacia 1920. El oscilador de Van der Pol es un sistema dinmico que incluye retroalimentacin positiva y un elemento resistivo no lineal. En su aplicacin original a principios del siglo pasado, este oscilador se us como precursor de los radios comerciales. Con el fin obtener el retrato fase de este oscilador es necesario analizar su comportamiento, para diferentes condiciones iniciales y un coeficiente de amortiguamiento. Para una = 0 el sistema se convierte en un oscilador lineal no amortiguado, conforme el coeficiente de amortiguamiento crece, tambin lo hace la no linealidad del sistema. El sistema tiene un solo punto de equilibrio P(0.0.), pero todas sus trayectorias a partir de este tienden a un ciclo lmite , y a ste tambin tienden a decaer aquellas trayectorias cuyas amplitudes son ms grandes que la amplitud del ciclo lmite(es una trayectoria cerrada aislada. Son trayectorias inherentemente no lineales.

Introduccin Las ecuaciones de equilibrio que rigen el comportamiento de ciertos circuitos no lineales autnomos, pueden aproximarse por una ecuacin diferencial denominada ecuacin de Van der Pol Este oscilador con amortiguamiento no lineal esta gobernado por la ecuacin diferencial de segundo orden: d2x/ dt2 (1x2)dx/dt + x =0 (1) donde x es la variable dinmica y el parmetro que indica la no linealidad y la fuerza de amortiguacin. No es difcil verificar que cuando =0 el oscilador se comporta como un oscilador armnico simple, sin embargo conforme aumenta el valor de las formas de onda resultantes se asemejan a las de un oscilador de relajacin. A medida que aumente , el circuito es ms inestable, con lo que las variables abandonarn la vecindad del origen con ms

rapidez. As, es razonable pensar que las formas de onda presentaran pendientes mas acusadas en los pasos por cero conforme n crece. Para poder entender mejor el comportamiento de este oscilador, es necesario empezar por resolver la ecuacin. Metodologa El primer paso es empezar a trabajar con ecuaciones de estado, i, e, pasar de la ecuacin de segundo grado del oscilador a un sistema de ecuaciones. Las ecuaciones que se obtienen son dx/dt = x dx/dt =(1x2)dx/dt +x donde (2) representa momento y (3) el impulso. (2) (3) el

Las ecuaciones anteriores representan un sistema de ecuaciones acopladas. Existen varios mtodos para resolver este tipo de sistemas; sin embargo en este caso, se analizara el mtodo de RungeKutta.

Mtodo Runge-Kutta Runge-Kutta es un mtodo de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales. Existen diferentes variantes del mtodo de Runge-Kutta clsico, las cuales se derivan de la serie de Taylor. Estas tcnicas fueron desarrolladas por los matemticos Carl David Tolme Runge y Martin Kutta. Uno de los mtodos de RungeKutta mas usados es el de cuarto orden. Este mtodo consiste en la siguiente formula:

K1 es la pendiente en el punto inicial del intervalo. K2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto tn + h usando el mtodo de Euler. 2 K3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando K2. K4 es el valor de la pendiente pero al final del intervalo, usando K3. Para aplicar las formulas anteriores es necesario tener un problema de valor inicial como: y = f(t,y) ; y(to) = 0 (9)

donde las cantidades k representan las pendientes en varios puntos:

Teniendo las condiciones iniciales anteriores ala ecu. (9) se puede empezar a calcular el siguiente valor para yn+1, el cual, segn las ecuaciones anteriores esta determinado por el valor y n mas el producto del tamao del intervalo h por una pendiente. es un promedio de las pendientes k.

Resultados

Figura 1: Grafica de x(t) vs x(t) con a = 0.09

Figura 4: Grafica de x(t) con a=5

Figura 2: Grafica de x(t) con a= 0.01

igura 5 con a=2

ra fica de x(t) vs x(t)

Figura 2: Grafica de x(t) con a= 0

Figura 6 con a=10

ra fica de x(t) vs x(t)

Al evaluar la ecuacin del oscilador para diferentes valores de se obtienen soluciones diferentes para cada uno, de tal manera que la solucin define una curva en el espacio n-dimensional en funcin del parmetro En las Figuras 1-6, que representan el retrato fase para cada valor de , se observa que para cualquier valor de el oscilador converge a un ciclo lmite, para el todas las condiciones cercanas al origen convergen.

Conclusin Despus de analizar las grficas obtenidas para diferentes valores , se concluye que el oscilador de Van der Pol tiene siempre el origen como punto de equilibrio, el cual es un nodo o espiral, inestable en todos los casos; favorece las oscilaciones pequeas y amortigua las grandes. Le ecuacin tiene una nica trayectoria cerrada que rodea al origen y hacia ella tienden en espiral las dems trayectorias, asegurndose con eso que hay un ciclo l mite en el espacio fase.

Bibliografa.

[1] Schnwlder, P. (1994). Anlisis y Optimizacin de Circuitos Autnomos Mediante Tecnicas Temporales Discretas. Universidad Politcnica de Catalunya, Barcelona [2] http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_de_van_der_Pol [3]http://ocw.uniovi.es/file.php/22/1C_C13387/T5AyPyPyC/Practicas/IG_Pr12.p df [4] https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:nvAuZf53lcAJ:www.assembla .com/spaces/geometry_and_numeric/documents/a2r1hQFRur3PnEeJe5afG b/download/a2r1hQFRur3PnEeJe5afGb+oscilador+de+Van+der+Pol&hl=es419&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESiqPrsRezByqExCBpmIYNIlTOrN4XPzN FSy7cvmdR-MV8baScR19yZ2nMHb3wuPGmmjt2MwjmKgnT6SrY6Auo6LyekBUOcYyEFK9Gv7ZWvIptHGmYCVd3ZdMSblwOOea_T5rx&sig=AHIEtbRQ49mUSIOrI2a4mH3UOnnQfAW_PQ

Anexo 1:Como se puede observar en las siguientes figuras que representan la grafica x vs t para diferentes valores de a (mu) la funcin es de tipo senoidal, pero en la primera y la ultima figura se observan cadas abruptas; se puede ver que conforme el valor de aumenta las oscilaciones comienza a tener variaciones cada vez mas abruptas. De las graficas siguientes podemos decir que conforme aumenta, el oscilador se vuelve ms inestable.

Cdigo en matlab Realizamos un programa para comparar el mtodo de Euler y el de RungeKutta, Creamos un nuevo fichero de nombre vdp.m donde meteremos la funcin a integrar. En este caso, un oscilador de Van der Pool. El contenido del fichero vanderpol.m es: function [z] = vanderpol(t,y) a=5; z=zeros(2,1); z(1)=y(2); z(2)=-y(1)+a*y(2)*(y(1)^2-1); Llamamos a la funcin de integracin, desde la ventana de comandos mas adelante en nuestro programa clear all %datos a=0; b=100; t(1)=a; x(1)=1; y(1)=0; disp('dame el h') h=input('h=') N=(b-a)/h;

%programa for i=1:N t(i+1)=t(i)+h; x(i+1)=x(i)+h*y(i); y(i+1)=y(i)+h*(-x(i)+5*y(i)*(x(i)^2-1)); end [m,n]=ode23(@vanderpol,[a,b],[1;0]); & Llamamos a la funcin de integracin, desde la ventana de comandos %salida hold on plot(t,x)%solucion Euler en azul plot(m,n(:,1),'g*')%solucion ode23 en verde hold off title('euler vs runge kutta') xlabel('tiempo t') % Etiqueta el eje horizontal ylabel('solucion y') % Etiqueta el eje vertical legend('solucion euler', 'solucion metodo de runge kutta') % Pone una leyenda a continuacin se muestran unas graficas cambindole el valor de a (es decir ) y con h =.001

igura 1

rafica de y(t) vs t con = 5.0

igura 2 rafica de y(t) vs t con = 0.0 Lo cual nos indica que es un oscilador armnico simple

igura 3

rafica de y(t) vs t con = -1.0

Opcional

igura 4

rafica de y(t) vs t con = -5.0

Anexo 2:

Cdigo en Octave y Algunos valores obtenidos para a=2

Tabla con valores de x y x. (Estas son las condiciones inciales en mi cdigo xo=[5,0])

Mtodo de R-K Octave. x=0; function xdot=func(x, t) %condiciones a=2; xdot = zeros (2,1); %sistema de ecuaciones xdot(1) = -x(2)-a*(((x(2)^2)1)*x(1)); xdot(2) = x(1);

end %Velocidad y posicin x0=[5,0]; %intervalo de tiempo t = linspace(0,50,2000); x = lsode ("func", x0, t) %grfica de X' vs X plot(x(:,1),x(:,2))