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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

MODELACIÓN NO LINEAL DE MUROS DE MAMPOSTERÍA EMPLEA NDO ELEMENTOS DE

CONTACTO

José Francisco Lizárraga Pereda 1 y Juan José Pérez Gavilán Escalante 2

RESUMEN

Se presenta la modelación con el método de los elementos finitos para obtener la envolvente de falla de muros de mampostería simple y confinada sometidos a carga axial y lateral. Se considera el comportamiento no lineal sólo en las interfaces de la unión de las piezas y a la mitad de la pieza. El comportamiento no lineal se incluye en las interfaces con los dos tipos de falla más comunes en la mampostería incluyendo ablandamiento: la falla en tensión (Modo I) en la mitad de las piezas de mampostería y en las juntas entre las piezas; y la falla a cortante (Modo II) en la unión entre piezas.

ABSTRACT

This paper presents the use of the finite element method to represent the failure envelope of simple masonry and confined masonry walls under axial and lateral load. It is considered the nonlinear behavior only in the interfaces of the union of the masonry units and the middle of the masonry units. The nonlinear behavior is included at the interfaces with the two most common types of failure in masonry including softening: the failure in tension (Mode I) in the middle of the masonry units and in the joint of the units; and the shear failure (Mode II) in the joint of the units.

INTRODUCCIÓN

Utilizando el método de elementos finitos se puede representar a la mampostería con los siguientes niveles de modelación, las cuales se utilizan dependiendo del nivel de aproximación y simplicidad deseado (Lourenço, 1996):

1) Micro-modelo detallado: Tanto el tabique y el mortero se representan con distintos elementos, mientras que la interfaz tabique-mortero es representada por elementos de interface. Estos modelos son ideales cuando se quiere un mejor comportamiento local pero se necesita de mucho esfuerzo computacional.

2) Micro-modelo simplificado. El tabique y el mortero son representados por un solo material continuo,

mientras que el comportamiento de la interfaz tabique-mortero es representado por elementos interfaz.

3) Macro-modelo. Tanto el tabique, el mortero y la interfaz entre estos dos materiales están contenidos

en un solo continuo. La distribución de esfuerzos dentro del muro es representado por un valor promedio.

En este estudio se utiliza el micro-modelo simplificado ya que en general se han obtenido buenos resultados en la modelación de la mampostería por distintos investigadores y además requiere un menor número de elementos (Page, 1978; Lofti y Shing, 1994; Lourenço, 1996; Gambarotta y Lagomarsino, 1997). (Page, 1978) fue el primero en utilizar micro-modelos para estructuras de mampostería. Modeló los tabiques como elementos homogéneos elásticos isotrópicos, unidos por elementos de interfaz, en los cuales se modela 1 Becario del Instituto de Ingeniería UNAM, Circuito Escolar s/n, Ciudad Universitaria, Coyoacán, México, D. F., C. P. 04510, Teléfono: (55) 5623 3600 ext. 8487; jlizarragap@iingen.unam.mx 2 Profesor Investigador del Instituto de Ingeniería UNAM, Circuito Escolar s/n, Ciudad Universitaria, Coyoacán, México, D. F., C. P. 04510, Teléfono: (55) 5623 3600 ext. 8488; jperezgavilane@iingen.unam.mx

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la falla en las juntas entre el mortero y los tabiques. Definió la superficie de falla en el espacio (σ-τ) al realizar pruebas experimentales (ver figura 1). Dividió la superficie de falla en tres regiones. La región 1 representa la falla en tensión , la región 2 la falla por cortante puro y la región 3 la falla combinada entre cortante y tensión en el tabique. Una aplicación para el modelo antes descrito fue utilizado en (Page, 1979) donde se modela la distribución de esfuerzos de un muro con carga vertical que se encuentra sobre una viga de acero. También otros autores como (Lofti y Shing, 1994) han utilizado este tipo de modelación, incluyen la falla a tensión y a compresión del tabique utilizando un modelo de daño distribuido. Para conocer la resistencia de un muro sometido a carga cíclica reversible se tienen modelos en los que se predice también la energía histerética disipada (Gambarotta y Lagomarsino, 1997).

Figura 1 Superficie de falla en la interfaz de lo s tabiques (Page, 1979) COMPORTAMIENTO DE LA MAMPOSTERÍA EN ABLANDAMIENTO

En los ensayes de materiales que se efectúan comúnmente, se reportan solamente los valores de la resistencia y se ignoran las características de deformación. En la literatura existe muy poca información del comportamiento en el régimen de ablandamiento. El ablandamiento es la reducción gradual de la resistencia mecánica bajo un incremento continuo de deformación en un espécimen de material o estructura. En un ensayo por control de deformación, las macro-grietas provocan el ablandamiento y agrietamiento localizado en algunas zonas mientras el resto del espécimen se descarga. Una propiedad del material que representa el ablandamiento es la energía de fractura, la cual está definida para la falla a tensión, a corte o compresión como la integral del diagrama esfuerzo-deformación una vez alcanzada su resistencia máxima. El proceso de ablandamiento para la falla a tensión (Modo I) puede representarse con la energía de fractura en tensión ���. La forma en que se degrada la resistencia máxima a tensión �� es por lo general una forma exponencial (ver figura 2a), sin embargo también se puede utilizar una forma lineal como una aproximación. Para la falla a deslizamiento entre pieza y mortero, el proceso de ablandamiento es observado como una degradación en la cohesión y coeficiente de fricción en el modelo de fricción de Mohr-Coulomb (Lourenço, 1996). La falla por deslizamiento (Modo II) ocurre cuando se supera la resistencia a cortante (�) representada por la ley de Mohr-Coulomb (ec. 1). Donde c es la cohesión, µ es el coeficiente de fricción de la superficie de contacto (esto es la tangente del ángulo de fricción �) y � el esfuerzo de confinamiento. Se supone que el comportamiento inelástico a corte puede ser descrito por la energía de fractura en modo II (��

��) definido por la integral esfuerzo cortante-desplazamiento en ausencia de carga normal confinante.

� � � � (1)

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a)

b)

Figura 2 Comportamiento típico de materiales cuasi- frágiles y definición de energía de fractura (Lourenço, 1996); a) Prueba a tensión uniaxial, b) Prueba a corte con distintos niveles de carga axial

Realizando pruebas a corte con distinto nivel de confinamiento se pueden construir curvas como las que aparecen en la figura 2b. Se observa que al aumentar la carga de confinamiento se eleva también la energía de fractura a corte ��

��, se puede obtener la energía de fractura en función del nivel de confinamiento a partir de una relación lineal (Pluijm, 1993; Augenti y Parisi, 2011) con la forma que aparece en la ec. 2. Donde � y � son constantes que se obtienen al ajustar, con una regresión lineal, la dependencia de la energía de fractura con el nivel de confinamiento ���.

���� � � �� (2)

MODELO PROPUESTO

La modelación se realizó con el programa de elementos finitos Ansys 13.0, se observó que no fue posible reproducir en algunos casos el comportamiento que se deseaba debido a las limitantes del programa. En el programa Ansys 13.0, los elementos de interfaz son llamados también elementos de contacto. Al modelo propuesto se le llamará micro-modelo simplificado propuesto. Consiste en asignar elementos de contacto en la unión tabique-mortero y a la mitad de la pieza. Las propiedades en la mampostería se consideran elásticas y el comportamiento no lineal se asigna solamente a los elementos de contacto. Solo se incluyen las fallas a tensión en la mitad de la pieza y en la unión entre tabiques y a corte puro sólo en la unión entre tabiques (juntas horizontales y verticales). MICRO-MODELO SIMPLIFICADO PROPUESTO

Es una adaptación del modelo propuesto por (Lourenço, 1996). Se considera a las piezas como elementos elásticos unidos por elementos interfaz con cierta rigidez normal y tangencial que tratan de representar la rigidez del mortero entre las piezas. Se tiene comportamiento no lineal en las interfaces. Es mejor representada la distribución de esfuerzos dentro del muro que si se utilizara un macro-modelo. Este tipo de modelación tiene pocos problemas en los contactos ya que la rigidez entre los elementos no es muy rígida. La desventaja es que se permite penetración entre los elementos y es necesario asignar una rigidez normal y tangencial en los contactos. Para determinar las rigideces normal � y tangencial �� se utilizan las ecs. 3 y 4 (Lourenço, 1996), en las anteriores ecuaciones �� es el espesor de la junta de mortero, �� y �� son el módulo de elasticidad de la pieza y del mortero respectivamente, mientras que �� y �� son el módulo de cortante de la pieza y el mortero respectivamente; el módulo de elasticidad que se introduce es el perpendicular a la junta que se está modelando.

� ����

����� � ��� (3)

�� ����

����� � ���

(4)

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Tipos de fallas

Falla en modo I

Se utilizó un modelo de material bilineal para representar el ablandamiento en tensión. En el programa utilizado este tipo de comportamiento es llamado modelo de zona cohesiva (CZM) y está basado en el modelo propuesto por (Alfano y Crisfield, 2001). Este tipo de material define un modo de separación normal entre las interfaces. En la fig. 3 se observa que inicialmente se tiene una pendiente elástica, hasta un esfuerzo de tensión máximo ��, para luego presentar un ablandamiento lineal el cual se puede representar con la energía de fractura a tensión ��� como se muestra en la figura 3. Debido a que el ablandamiento depende sólo de las deformaciones plásticas ��, la energía de fractura se puede representar con la ec. 5.

���

12����

(5)

Fig. 3 Gráfica esfuerzo normal a tensión-deformació n normal para material con comportamiento bilineal

Falla en modo II

Se utilizó el criterio de falla de Mohr-Colomb (ec.1), considerando el ablandamiento con un modelo trilineal (ver figura 4), se utilizó el modelo de material llamado fricción (FRIC). En la figura 4, � es la cohesión, �� y �� son la resistencia a corte máxima y residual respectivamente dado un nivel de confinamiento �, y por último � es la distancia de deslizamiento que existe al pasar linealmente de �� a ��. La energía de fractura a corte ��

�� estará definida como el área bajo la curva que existe al pasar de �� a �� en la distancia �. Éste modelo no considera la degradación de la cohesión, por lo que ésta se mantiene constante y lo único que se degrada es el coeficiente de fricción pasando del coeficiente de fricción inicial al coeficiente de fricción residual � en la distancia �, por tanto �� y �� se definen con las ecs. 6 y 7.

�� � � � (6)

�� � � �� (7) Debido a que no existe degradación de la cohesión es necesario definir el valor de � tal que �� (ec. 7) de un valor igual a �� , donde �� es el cortante residual con � 0 (ec. 8); � es el valor del coeficiente de fricción residual con � 0. Para obtener lo expuesto anteriormente se igualan las ecs. 7 y 8 y se obtiene la ec. 9. En algunas ocasiones, el producto � � " �, cuando ocurre esto, el mínimo valor para � es � 0.

�� � � (8)

� � � � �

�

(9)

El parámetro � se determina considerando que el área bajo la curva esfuerzo-deformación que se obtiene al pasar de �� a �� en una distancia � (ver figura 4) para un nivel de confinamiento �, es igual a la energía de fractura a corte para ese nivel de confinamiento. Por tanto la energía de fractura se obtiene con la ec. 10. Mientras que � es obtenido con la ec. 11, la cual resulta de sustituir las ecs. 6 y 7 en la ec. 10.

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����

���� � ���2

(10)

� 2��

��

�� � ��

(11)

Debido a que se necesita establecer un valor máximo de resistencia a corte, éste se toma en cuenta con el parámetro ��, quedando la superficie de falla como se muestra en la figura 5. Como una aproximación se tomará el valor de �� igual al valor máximo de cortante que se desarrolla en una superficie de falla elíptica (ec. 12), la cuál fue propuesta por (Lourenço, 1996). Donde �� es la resistencia a compresión de la mampostería y #� controla la contribución del esfuerzo cortante a la falla a compresión.

�� ��$#�

(12)

Figura 4 Modelo trilineal para la falla en modo II Figura 5 Superficie de falla inicial utilizada en éste estudio para las interfaces

MODELOS DE ELEMENTO FINITO REALIZADOS

MODELO ELÁSTICO

Para conocer el comportamiento elástico de los diferentes niveles de modelación, se modeló el muro de la figura 6. Las dimensiones de los tabiques son 210 mm de largo, 52 mm de altura y 100 mm de espesor; el espesor de la junta de mortero es de 10 mm. Se compararon los resultados de los métodos de modelación de micro-modelo detallado, el micro-modelo simplificado y el modelo homogéneo. En el micro-modelo detallado se modeló tanto las piezas como el mortero por distintos elementos. El muro modelado se muestra en la figura 6, el cual representa a los muros J4D/J5D y J7D presentados en (Lourenço, 1996), ya que tienen las mismas propiedades elásticas, las cuales se muestran en la tabla 1. Para el micro-modelo detallado y simplificado, se tomaron las propiedades elásticas que aparecen en (Lourenço, 1996), mientras que las propiedades elásticas homogéneas se obtuvieron utilizando el método descrito en (Lizárraga, 2011). El muro de la figura 6 fue sujeto a un desplazamiento lateral de 0.5 mm en su parte superior y con giro restringido. En la figura 7 se muestran los resultados del esfuerzo cortante utilizando los métodos de modelación mencionados. Se compara la distribución de cortante a la largo del muro (ver figura 7), para el modelo homogéneo se tomó el centro del muro para obtener el esfuerzo cortante, en los micro-modelos se tomó la novena hilada al centro del tabique para obtener sus correspondientes esfuerzos cortantes.

Tabla 1 Propiedades elásticas para los diferentes tipos de modelos de los muros J4D/J5D y J7D

Micro-modelo detallado Micro-modelo simplificado

Pieza �� 16,700)/++,

Pieza �� 16,700)/++,

- 0.15 - 0.15

Mortero �� 782)/++,

- 0.15

Mitad de tabiques Unión de tabiques

� 100)/++, � 82)/++,

�� 100)/++, �� 36)/++,

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Modelo homogéneo

�2 �3 �23 -23

8,515)/++, 3,924)/++, 1,533)/++, 0.012

Una prueba adicional que se realizó en el micro-modelo detallado fue la de comparar los resultados obtenidos con elementos sólidos (3D) y con elementos de esfuerzo plano (2D) (ver figura 7). Se observó que no existían diferencias significativas utilizando elementos sólidos de 8 nodos (solid185) con dimensiones medias de 10 mm y con elementos de esfuerzo plano de 8 nodos (plane183) también de dimensiones de 10 mm, por tanto para todos los casos de este muro modelado se utilizaron elementos de esfuerzo plano con elementos de dimensión aproximada de 10 mm a excepción del micro-modelo simplificado (2D), en el que se utilizó una malla de 30 mm.

Figura 6 Muro sujeto a carga lateral y con giro res tringido en su parte superior (Lourenço, 1996)

Figura 7 Comparación del esfuerzo cortante a lo lar go del muro En la figura 8 se muestra gráficamente los resultados obtenidos para los diferentes niveles de modelación, se muestran los esfuerzos cortantes (�� y el esfuerzo principal menor (��6�. En la figura 8a.1 se observa que existen concentraciones de esfuerzo cortante a la mitad del muro y en medio de las piezas, esto se pudo representar también con el micro-modelo simplificado (figura 8b.1). La figura 8a.2 muestra que se presentan diagonales de compresión que pasan aproximadamente a la mitad de los tabiques, esto también se observó en el micro-modelo simplificado (figura 8b.2). En el modelo homogéneo no se observan las concentraciones de esfuerzo que se describieron, sino que el cortante tiene un valor máximo al centro del muro (figura 8c.1) y se presenta sólo una diagonal de compresión (figura 8c.2).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 200 400 600 800 1000

Esf

ue

zo c

ort

an

te,

τ(N

/mm

2)

Longitud del muro (mm)

Homogéneo

Micro-modelo detallado 3D

Micro-modelo detallado 2D

Micro-modelo simplificado 2D

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a.1) Micro-modelo detallado (��.

a.2) Micro-modelo detallado (��6�.

b.1) Micro-modelo simplificado (��.

b.2) Micro-modelo simplificado (��6�.

c.1) Modelo homogenizado (��.

c.2) Modelo homogenizado (��6�.

Figura 8 Representación gráfica de esfuerzos cortan tes 7�8/99:� y esfuerzo principal menor ;9<=�8/99:� para los distintos modelos elásticos (desplazamien to lateral de 0.5 mm); a) Micro-

modelo detallado, b) Micro -modelo simplificado, c) Modelo homog éneo

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MODELOS NO LINEALES

Muros de mampostería simple

Se modelaron dos de los muros presentados en (Lourenço, 1996) con las dimensiones que se muestra en la figura 6 e incrementando el desplazamiento lateral en su parte superior restringiendo el giro. Se utilizó el micro-modelo simplificado propuesto (con elementos de contacto). Se modeló un muro con carga axial de 0.3N/++,, se cuentan con dos resultados experimentales (muros J4D y J5D); el segundo muro se modeló con carga axial de 2.2N/++, (muro J7D). Los elementos utilizados para representar a las piezas fueron elementos de esfuerzo plano (plane183) de 8 nodos con dos grados de libertad por nodo (translación en los ejes x,y). Para modelar los contactos se utilizaron elementos 2D (conta172 y targe169) de tres nodos con dos grados de libertad por nodo (translación en los ejes x,y). Las propiedades elásticas se muestran en la tabla 1, las propiedades inelásticas asignadas se resumen en la tabla 2. Estas propiedades se obtuvieron de lo reportado por (Lourenço, 1996). El coeficiente de fricción residual para ambos muros fue de � = 0.75; ��

�� = 0.125)++?@ para los muros J4D/J5D; ���� =

0.05)++?@ para el muro J7D; �� = 10.5)/++, para los muros J4D/J5D; �� = 11.5)/++, para el muro J7D y #� = 9 para ambos muros. En la figura 9 se presentan los resultados obtenidos en este estudio (Cálculado), los obtenidos experimentalmente (Exp) (Raijmakers y Vermeltfoort, 1992; Vermeltfoort y Raijmakers, 1993) y los obtenidos numéricamente por (Lourenço (1996).

Tabla 2 Propiedades inelásticas para los muros J4 D/J5D y J7D

Muro

Tensión

(mitad de tabiques)

Tensión

(unión de tabiques)

Cortante

(unión de tabiques)

��

)/++,

���

)++?@

��

)/++,

���

)++?@

�

)/++,

-

� (A�. 9)

-

�(A�. 11)

++

�� (A�. 12)

)/++,

J4D/J5D 2 0.08 0.25 0.018 0.35 0.75 0 1.11 3.5

J7D 2 0.08 0.16 0.012 0.224 0.75 0.585 0.286 3.83

(-) Adimensional.

Figura 9 Gráficas carga-desplazamiento para los mur os J4D/J5D y J7D (Lourenço, 1996) y los cálculados con el modelo simplificado propuesto en este estudio

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5

Fu

erz

a l

ate

ral

(KN

)

Desplazamiento lateral (mm)

Cálculado J4D/J5D

Cálculado J7D

Exp 1 J4D/J5D

Exp 2 J4D/J5D

Exp J7D

Lourenco (1996) J45/J5D

Lourenco (1996) J7D

9

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a)

b)

Figura 10 Comparación del esfuerzo principal menor ;9<=(8/99:� obtenido en este estudio (10a) y lo presentado en (Lourenço, 1996) para los muro s J4D/J5D (10b), desplazamiento lateral de 4 mm

a)

b)

Figura 11 Comparación del esfuerzo principal menor ;9<=�8/99:� obtenido en este estudio (11a) y los presentados en (Lourenço, 1996) para el muro J7D (1 1b), desplazamiento lateral de 4 mm

Para los muros J4D/J5D se obtuvo una curva carga-desplazamiento lateral parecida a la experimental, la falla no fue tan obvia por tensión en los tabiques como ocurrió experimentalmente y en los modelos de Lourenço (figura 10b), sino que la falla fue por corte en la parte superior del muro (figura 10a). Probablemente no se pudo representar la falla adecuada ya que no existe en el modelo que se realizó una degradación de la resistencia a tensión una vez que se alcanza la resistencia a corte, ya que en el modelo estas dos fallas son independientes y no están correlacionadas. Para el muro J7D, las curvas carga-desplazamiento horizontal son un poco más diferentes, pero se observa que la carga máxima resistente es más parecida a la que se reportó experimentalmente (ver figura 9) que la que obtuvo (Lourenço, 1996). En la figura 11a se observa que hasta la falla última se presentan esfuerzos de compresión elevados que pasan por la mitad de las piezas y que se unen aproximadamente de una esquina a otra, experimentalmente se observa que la falla fue por cortante y tensión combinada en las juntas horizontales y verticales de mortero (figura 11b).

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Muro de mampostería confinada

Se modela un muro de mampostería confinada (ME5) que fue ensayado por (Flores y Pérez Gavilán, 2008). El muro fue sometido a carga axial constante de 0.49N/++, y carga lateral cíclica reversible. De los ciclos de carga lateral se obtuvieron las envolventes experimentales positiva (+) y negativa (-) que se muestran en la figura 13. Además se muestra el resultado obtenido numéricamente en este estudio (cálculado). El muro se construyó con tabiques de barro extruido, por lo tanto se tendrá que tomar en cuenta los orificios que se presentan en la pieza. Para esto se realizó una homogenización elástica para obtener un material ortotrópico equivalente utilizando el método descrito en (Lizárraga, 2011), las dimensiones del tabique utilizado también se encuentra en la referencia antes citada. . Para obtener las propiedades elásticas de la pieza (tabla 3) se realizó un modelo 3D del tabique con una malla promedio de 5 mm utilizando elementos sólidos de 8 nodos (15,600 elementos solid185) con 3 grados de libertad por nodo (translación en los ejes x,y,z). De acuerdo a los resultados experimentales se consideró un módulo de elasticidad de la arcilla con que está constituido el tabique de ��B� = 10,612)/++,.

4240

2500

450

200

2340

150 12010

0150 3940

200

Figura 12 Dimensiones geométricas del muro ME5 (Aco tación en mm)

Las propiedades elásticas en las interfaces también se muestran en la tabla 3, a mitad del tabique se pusieron los mismos valores que en el ejemplo anterior. Debido a la geometría del tabique, fue necesario poner distintas interfaces en las juntas horizontales y verticales, las propiedades de éstas interfaces se obtuvieron con las rigideces obtenidas del material otrotrópico (tabla 3) y con las las ecs. 3 y 4 utilizando un módulo de elasticidad del mortero de �� = 1,357)/++,. Las propiedades inelásticas asignadas en los elementos de contacto se resumen en la tabla 4. El único valor que se tomó de los ensayes experimentales reportados (Flores y Pérez Gavilán, 2008) fue la resistencia a compresión ��. El valor de la cohesión en la junta horizontal se ajustó para que diera un comportamiento parecido a lo reportado experimentalmente, los demás parámetros se basaron en trabajos previos reportados en la literatura (Lourenço, 1996; da Porto, et al., 2010). El coeficiente de fricción residual para las juntas horizontales y verticales es � = 0.75; ��

�� = 0.044)++?@ para la junta horizontal; ���� = 0.036)++?@

para la junta vertical; �� = 11)/++, para la junta horizontal; 0.44�� = 4.8)/++, para la junta vertical y #� = 16 para las juntas horizontales y verticales. Para modelar la mitad del tabique se incluyó �� = 2)/++, y ��

�� = 0.08)++?@. Tabla 3 Propiedades elásticas para el muro ME5

Pieza

�2

2,319)/++,

�3

5,805)/++,

�23

1,208)/++,

-23

0.28 Mitad de tabiques Junta horizontal Junta vertical

� = 100)/++, � = 1,771)/++, � = 3,268)/++,

�� = 100)/++, �� = 350)/++, �� = 350)/++,

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Tabla 4 Propiedades inelásticas para el muro ME5.

Interfaz Tensión Cortante

��

)/++,

���

)++?@

�

)/++,

-

� (A�. 9)

-

�(A�. 11)

++

�� (A�. 12)

)/++,

Junta horizontal 0.36 0.026 0.88 1.03 0 0.35 2.75

Junta vertical 0.21 0.018 0.36 0.75 0.05 0.21 1.2

Se utilizó en general una malla con elementos de longitud promedio de 35 mm dando un total de 17,622 elementos y 14,087 nodos. Para representar a la mampostería y al concreto se utilizaron elementos de esfuerzo plano (plane42) de 4 nodos con dos grados de libertad en cada nodo (translación en los ejes x,y). Las juntas horizontales y verticales fueron modeladas con elementos de contacto 2D (conta171 y targe169) de dos nodos con dos grados de libertad en cada nodo (translación en los ejes x,y). Para aplicar la carga lateral se modeló una viga unida en la parte superior del muro (ver figura 14), se modificó el módulo de elasticidad de ésta viga para dar una rigidez a flexión equivalente a la viga que se utilizó experimentalmente. Se consideró que el concreto permanecía elástico ya que no se afectaba mucho el comportamiento. El módulo de elasticidad el concreto fue de �C = 11,124)/++, y su relación de Poisson de -C = 0.14. El acero de refuerzo se incluyó en los castillos y en la dala de cerramiento colocando elementos barra (link1) de dos nodos con dos grados de libertad por nodo (translación en los ejes x,y), se asignó un área de acero equivalente a las utilizadas experimentalmente. Se consideró un módulo de elasticidad del acero de �� = 196,200)/

++, y su relación de Poisson de -� = 0.3. La figura 14a muestra la deformada obtenida numéricamente y el daño observado experimentalmente se muestra en la figura 14b. Analizando los resultados numéricos se observó que antes de alcanzar la distorsión de D = 0.003, el muro solo presentaba deslizamiento en su parte inferior a la altura de la primera hilada y con separación de algunas piezas debida a tensión en la parte inferior izquierda, al pasar tal distorsión el modelo se observa como se muestra en la figura 14a, lo cual es más parecido a lo observado experimentalmente, sin embargo la separación de las piezas en la esquina inferior izquierda no se observó experimentalmente. En el modelo numérico se observa que existe separación en las interfaces de las juntas horizontales y verticales de forma escalonada, esto también se observó experimentalmente, sin embargo la falla por deslizamiento en las piezas se observa en la parte inferior del muro pero experimentalmente ocurrió a la mitad del muro. Es notable una deformación en la esquina inferior del castillo, ésta debida a la fuerza de compresión que se transmite en esa zona, la cual provoca además concentración de cortante en esa zona, esto fue notable también experimentalmente pues el castillo falló a cortante en esa zona. Se observa fue posible obtener con buena aproximación el cambio de rigidez y la carga máxima. La carga máxima experimental registrada fue E�B2 = 321�), contra la carga máxima cálculada de E�B2 = 340�), dando un error del 6%.

Figura 13 Comparación de las envolventes carga late ral-distorsión obtenidos numéricamente en éste estudio y los reportados experimentalmente (Flores y Pérez Gavilán, 2008)

0

50

100

150

200

250

300

350

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Fu

erz

a l

ate

ral

(kN

)

Distorsión γγγγ (mm/mm)

Exp. Envolvente (+)

Exp. Envolvente (-)

Cálculado

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a) b)

Figura 14 a) Resultados obtenidos numéricamente en este estudio ( G = H. HHI); b) resultados experimentales (distorsión máxima) (Flores y Pérez Gavilán, 2008)

CONCLUSIONES

Se ha comprobado con los ejemplos realizados que éste método es una buena herramienta para conocer el comportamiento de muros de mampostería simple (sin reforzar) y confinada. Aunque sólo se modeló la falla a tensión y a cortante, éste método puede ser utilizado para conocer la envolvente de carga lateral-distorsión. Este modelo puede ser refinado incluyendo la falla a compresión para que represente de una manera más adecuada el comportamiento de la mampostería. También es necesario establecer las pruebas experimentales mínimas necesarias en la mampostería para designar con exactitud los parámetros del modelo numérico.

BIBLIOGRAFÍA

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