Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

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“ESTABILIDAD HIDROELÁSTICA DE COMPUERTAS RADIALES”

Neftalí Rodríguez Cuevas1 y Omar Cuenca González2

RESUMEN

En la operación de compuertas radiales en obras de demasías de grandes presas, la súbita aparición de

vibraciones autogeneradas durante su apertura y cierre, ha ocasionado daños severos. Se presentan las causas

que originan dichas vibraciones y se define un criterio para la operación estable de las compuertas radiales,

para evitar procesos inestables al paso del agua bajo la compuerta. Se realizaron análisis dinámicos de la

compuerta en diversas posiciones de apertura, con masa adherida y el flujo de agua bajo la compuerta. Se

presenta el diagrama de demanda de amortiguamiento necesario para lograr la operación estable de la

compuerta.

ABSTRACT

In the operation of radial gates in diversion works of large dams, the sudden appearance of auto-generated

vibrations during opening and closing, have caused severe damage. The causes giving rise to such vibration

are presented and criteria are defined for stable operation of radial gates, to avoid unstable processes due to

the passage of water under them. Dynamic analysis of a selected gate were performed in different opening

positions, with attached mass and the flow of water under them. A diagram for necessary damping demand to

obtain stable operation of the gate is shown.

INTRODUCCIÓN

Existe en la literatura un gran número de publicaciones que se refieren al problema de vibraciones inducidas

por el paso del agua bajo compuertas radiales tipo Tainter. Estas compuertas se usan generalmente en la cresta

de vertedores de excedencias o en túneles profundos, en cortinas de almacenamiento de presas.

Generalmente estas estructuras hidráulicas se operan mediante un sistema de izaje, que usa cables o pistones,

con los cuales las compuertas forman un sistema elástico suspendido de un puente de maniobras o una cámara

de operación, a la cual se iza la compuerta. Este sistema normalmente vibra al derredor del perno de

articulación, apoyado en las pilas o paredes de la cámara de izaje, debido a perturbaciones provocadas por el

paso del agua bajo su labio inferior.

A medida que esa vibración se acompaña por cambios periódicos en el flujo de agua, que provocan cambios

fluctuantes en las cargas que actúan sobre la pantalla de la compuerta, la pantalla presenta vibraciones. Esta

pantalla consiste principalmente de una placa circular reforzada por vigas de rigidez, que presenta modos

naturales de vibrar inducidos por la flexión ocasionada por la presión del agua, la cual cambia su forma

original, e induce que la resultante de las presiones no coincida con el perno de la articulación, lo cual

ocasiona momentos fluctuantes, que inducen vibraciones adicionales de la compuerta. Cuando estas

fluctuaciones se acoplan, se generan oscilaciones severas de la compuerta, de carácter inestable.

Se ha logrado ya establecer un procedimiento de análisis teórico, basado en el resultado de pruebas

experimentales realizadas en modelos y prototipos, para explicar las vibraciones de la pantalla en dirección

del flujo, durante la operación del proceso de apertura o cierre de la compuerta.

Estas vibraciones provocan la aparición de ondas superficiales aguas arriba de la compuerta, inducidas por las

oscilaciones de presión del agua contra la compuerta, ocasionadas tanto por las variaciones del flujo de agua,

como por el empuje y succión del fluido contra la pantalla, inducidas por la flexibilidad de la pantalla.

En la generación de vibraciones auto-excitadas de una compuerta, resulta muy importante restringir el paso

del agua para que solo fluya bajo el labio inferior de la compuerta, ya que existen pruebas que indican que

cuando no se colocan sellos en los bordes laterales de la compuerta, se generan dos tipos de flujo, los cuales

pueden causar daño en la compuerta. __________________________________________________

1Profesor Emérito e Investigador. Facultad de Ingeniería e Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional

Autónoma de México. Ciudad Universitaria. Circuito Escolar. Ciudad de México, Cd. Mx. CP 04510.

México. (55)56233659. nroc@ pumas.iingen.unam.mx 2Maestro en Ingeniería (Estructuras). Becario Instituto de Ingeniería UNAM.

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Para ilustrar este aspecto, se realizaron dos tipos de pruebas en una compuerta radial de 6m de ancho, 8.5 m

de alto, con un radio de la pantalla circular igual a 18 m, con un tirante aguas arriba de 79.5 m.

En prueba del primer tipo de compuerta, sin sellos laterales, se midieron esfuerzos dinámicos máximos en la

región próxima a la articulación, iguales a 1562 kg/cm2, con aceleraciones transversales a la pantalla iguales a

231.4 m/s2; al colocar los sellos laterales, solo se presentaron esfuerzos dinámicos máximos iguales a 3.42 por

ciento, mientras que las aceleraciones transversales máximas de la pantalla, solo resultaron ser iguales a 3.65

por ciento de las medidas en el primer tipo de prueba.

Por ello, en esta investigación se consideró que existan sellos de rigidez suficiente para evitar el flujo lateral

de agua, los cuales proporcionan además, niveles de amortiguamiento importantes en la respuesta

hidroelástica de la compuerta.

OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

A fin de ampliar el conocimiento sobre la aparición de vibraciones auto-excitadas en compuertas radiales tipo

Tainter, se decidió investigar el comportamiento de una compuerta radial en un túnel de descarga de

excedentes, con un tirante aguas arriba de 115.74 m, cuyas características geométricas se presentan en la

figura 1.

En el desarrollo de la investigación se buscó alcanzar las siguientes metas:

Diseñar las dimensiones de los miembros estructurales de la compuerta, según los lineamientos

contenidos en las normas para diseño de compuertas

Realizar análisis dinámicos de la compuerta para definir las formas modales de vibración y sus

frecuencias, en búsqueda de modos que se pueden acoplar y producir vibraciones auto-excitadas durante

la operación de la compuerta

Revisar la teoría que explica la vibración auto-excitada en modos acoplados y aplicarla a la compuerta

seleccionada para el estudio hidroelástico, para diversas posiciones de apertura durante el proceso de

operación de la compuerta

Establecer una metodología numérica, mediante programas para ordenador digital, que facilite la

obtención de diagramas de estabilidad, en función de la relación de amortiguamientos de la compuerta y

la relación de frecuencias entre los modos acoplados de vibración, con la debida consideración de la

masa adherida a la pantalla de la compuerta

Analizar y comparar los resultados teóricos, con resultados de experimentos controlados, obtenidos del

ensaye de compuertas similares, realizadas en diversas investigaciones realizadas en el mundo

Definir expresiones analíticas para establecer la rigidez lineal del sistema de izaje, para evitar la

aparición de vibraciones inestables de la compuerta.

Todas las metas antes mencionadas se alcanzaron, por lo que se logró establecer un procedimiento

matemático de análisis, que permite reproducir los resultados observados en pruebas experimentales

controladas llevadas a cabo en diversas partes del mundo, y en este escrito se condensa dicho procedimiento,

con el fin de difundir los conocimientos adquiridos durante la investigación.

Así mismo se propone el empleo de la metodología desarrollada a fin de verificar que el diseño de compuertas

radiales, tipo Tainter, para evitar la posible aparición de vibraciones auto excitadas, las cuales puedan

conducir a daño estructural en la compuerta.

En el desarrollo de la metodología que se presenta en este escrito, se desarrollaron subrutinas de cálculo que

permiten reproducir las vibraciones inestables de las compuertas, en función del nivel de amortiguamiento

que se genera en la instalación de una compuerta radial, tanto en la estructura metálica como en los sellos

laterales que evitan el paso del agua en los bordes de la pantalla metálica de la compuerta.

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Figura 1. Vista general de la compuerta.

DESCRIPCIÓN DE LA COMPUERTA

Se trata de una compuerta radial, tipo Tainter, colocada dentro de un túnel, cuyas dimensiones generales son:

Ancho de la pantalla metálica: W0 = 10.65 m

Altura de la compuerta: 10.65 m

Radio de la pantalla: Ra = 17.50 m

Profundidad del túnel aguas arriba: dr = 120 m

La compuerta se formó con cuatro marcos de acero, que se apoyan en articulaciones en su extremo aguas

abajo, las cuales a su vez se apoyan sobre una contra trabe de apoyo sobre el terreno natural.

Los marcos de acero soportan trabes de acero curvas, que a su vez sostienen trabes horizontales unidas a la

pantalla de acero, la cual soporta el empuje del agua. En la figura 2 se muestra una vista de la estructuración

de la compuerta, donde se observa el sistema de contraventeo seleccionado para rigidizar los marcos

principales y evitar la posible aparición de pandeo de los brazos principales, que trasmiten la presión del agua

hacia las articulaciones, así como el sistema de izaje seleccionado.

Figura 2.Vista tridimensional de la estructuración seleccionada para la compuerta

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Se observa también la colocación de sellos en los bordes de la pantalla, como elementos necesarios para el

estudio de la estabilidad hidroelástica de la compuerta.

DISEÑO ESTRUCTURAL DE LA COMPUERTA

Al aplicar los conceptos contenidos en normas de diseño, se definieron las secciones de los diversos

elementos que forman la compuerta, bajo la acción combinada de:

Presión hidrostática provocada por el tirante de agua

Efecto de sismo en dirección del eje medio de la compuerta hacia la articulación

según se establece en dichas normas.

Para estimar la presión hidrostática en la parte alta y labio inferior de la compuerta se empleó la expresión:

Ph = γh

Donde h es la profundidad del borde donde se evalúa la presión y γ, es el peso específico del agua. Se obtuvo

así que en el borde superior, la presión hidrostática de diseño resultó ser de 109.35 ton/m2, y en el labio

inferior, 112.545 ton/m2.

La presión ocasionada por el sismo en esos mismos puntos, se evaluó a partir de datos publicados; se

seleccionó como aceleración máxima del sismo en el sitio del PH de Infiernillo, un valor igual a 0.3 g,

actuando sobre la masa adherida obtenida de aplicar el criterio de Westergaard, que definió las presiones

ocasionadas sobre la pantalla como:

Presión ocasionada por sismo Ps = 0.875 wα (hy)0.5

Donde w peso específico del agua aceleración inducida por el sismo h tirante máximo aguas arriba y profundidad bajo la superficie del agua del punto

Figura 3. Vista general del modelo analítico elaborado para análisis y diseño.

Con este criterio se definió que la presión ocasionada por el sismo en el borde superior de la compuerta

resultó igual 30.070 ton/m2, mientras que en el labio inferior, la presión resultó igual a 30.506 ton/m2.

En las masas de los elementos estructurales que forman la compuerta se consideró la acción de la

aceleración del sismo seleccionada para ese sitio.

Para fines de diseño, se seleccionó un sistema de izaje con una rigidez lineal de 50x103 kg/cm, a fin de alejar

suficientemente los modos de vibrar de la compuerta correspondientes a la rotación al derredor de la

articulación, del correspondiente al modo de vibración al derredor de una línea horizontal, paralela al borde

superior de la compuerta; así mismo, para incrementar la rigidez de la pantalla se fijó un espesor de la placa

de acero de ocho milímetros, y se reforzó con nervaduras horizontales.

Con el fin de disminuir la posibilidad de inestabilidad de los brazos de los marcos que soportan la pantalla, se

seleccionó una sección en cajón, debido a los elevados niveles de fuerza axial, dejando espacio para conectar

los elementos de contraventeo en el plano de los marcos principales de la compuerta, mediante placas de

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acero soldadas. Los elementos de contraventeo se seleccionaron con secciones en cajón, para aumentar su

radio de giro y eliminar su posible inestabilidad.

Para realizar el análisis y diseño de los elementos de la compuerta, de manera de satisfacer las normas AISC,

se seleccionó al programa SAP 2000 versión 15, mediante el cual se modeló a la compuerta. En la figura 3 se

muestra una vista tridimensional del modelo que se analizó y que su diseño presentó niveles de esfuerzo

máximo en sus elementos, resultaron inferiores a los valores límites especificados en las normas.

Se destaca en la figura 3, el empleo de cruces de San Andrés para refuerzo de la pantalla, a fin de lograr

suficiente rigidez a la superficie de toda la pantalla. Así mismo, esa figura muestra en los bordes, los resortes

de rigidez representativos de los sellos seleccionados en los cuatro bordes de la pantalla; durante el análisis

de estabilidad de la compuerta, al establecer diversas aberturas de la compuerta, se eliminó el sello en el

borde inferior de la pantalla, mientras que los resortes de rigidez en la parte superior, se desplazaron

verticalmente en líneas paralelas, que coincidieron con la posición resultante de la abertura de la compuerta;

la rigidez lineal de los resortes representativos del sello, se mantuvo constante y se seleccionó igual a igual

a 6.5138 ton/cm. En el modelo siempre se mantuvieron los resortes de rigidez en los bordes para cualquier

abertura de análisis, al considerar que con la apertura, en la cámara superior se disponía de placas en los

muros laterales, sobre las cuales deslizarían los sellos de los bordes laterales.

Al análisis y diseño del modelo de la compuerta produjo las siguientes dimensiones de los elementos que

forman la compuerta:

Placa de la pantalla de 8 mm de espesor

Vigas horizontales formadas por la mitad de W 14X74

Vigas verticales W 36x720

Brazos de los marcos principales formados por 4 placas de 2.54 cm de espesor, para formar patines

verticales y almas con 94.32 cm de ancho

Contravientos formados por dos ángulos de 6x6x174, en cajón

Con estas dimensiones, el peso total de la compuerta resultó igual a 248.48 ton; para fines de análisis de

estabilidad de la compuerta, se consideró que el peso de la compuerta fuese de 250 ton.

Con este dimensionamiento, el borde superior se desplazó en dirección de la corriente valores que variaron

entre 1.5743 cm y 1.6064 cm, mientras que los desplazamientos del borde inferior variaron entre 1.5743 cm y

2.069 cm. Estos resultados indicaron que es necesario un diseño del sello superior de la compuerta, apoyados

sobre un mecanismo con resortes, que mantengan a los sellos en contacto con la pantalla, a fin de evitar flujo

importante de agua, por la gran presión del agua existente en el túnel.

Debe mencionarse que la fuerza resultante de la acción del agua sobre la pantalla, resultó del orden de 12600

toneladas, que provoca que la trabe de apoyo de las articulaciones de la compuerta, al actuar contra el terreno

natural, provocará desplazamientos importantes, que deben ser estimados, para evitar la posible separación

del sello, de la superficie de la pantalla, lo que provocaría flujo importante de agua dentro de la cámara

superior de la compuerta. Así mismo, debe evitarse la posible falla del terreno, por la aparición de superficies

cilíndricas de falla, dentro de la porción del terreno sobre la cual se apoya la compuerta.

PROCEDIMIENTO PARA ESTIMAR LA ESTABILIDAD HIDROELÁSTICA DE LA COMPUERTA

Para el estudio de las condiciones necesarias que debe satisfacer la compuerta para que se generen

vibraciones estables durante el proceso de apertura, se seleccionó el procedimiento asociado a la Teoría de

Vibraciones Autoexitadas con Modos Acoplados, publicada por Anami, Ishii y Knisely (2014), que

establece que dos modos naturales de vibrar de la compuerta se pueden acoplar al aparecer fuerzas

hidrodinámicas y de inercia, que produzcan vibraciones autoexitadas. Establece el método a las ecuaciones

de movimiento acoplado de los dos modos de vibrar, en función de parámetros adimensionales que

controlan este tipo de vibraciones y a las fuerzas hidrodinámicas. La solución de las ecuaciones

diferenciales de movimiento se obtiene mediante aproximación numérica. Este procedimiento, que requiere

de información sobre modos de vibrar en seco de la compuerta, las formas modales y los valores de

amortiguamiento asociados a los modos de vibrar, permite generar diagramas de estabilidad que permiten

definir las demandas de amortiguamiento que se requieren, a fin de evitar procesos vibratorios inestables de

la compuerta, que pueden conducir a su falla.

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Se revisaron las bases teóricas del procedimiento seleccionado para el estudio de Estabilidad Hidroelástica

de la compuerta, propuesto por Anami, K y coautores (2014), que se basa en razonamientos teóricos

validados tanto en modelos como en mediciones en compuertas construidas, tanto en Japón, como en

Estados Unidos de América.

Se basa en la identificación de dos modos naturales de vibración, los cuales se pueden acoplar, cuando se

genera flujo de agua bajo el labio inferior de la compuerta. Uno de los modos representa la rotación de toda

la compuerta al derredor de la articulación, mientras que el segundo modo representa la vibración en

flexión de la pantalla de la compuerta, en sentido de la corriente, con giro al derredor de un eje horizontal

cercano a la parte alta de la pantalla, asociado a los desplazamientos de las armaduras principales de la

compuerta en flexión.

La rotación de toda la compuerta al derredor de la línea de articulaciones, induce variaciones de la presión

ocasionadas por el flujo de agua, descritas por Ishii (1992), y un momento de inercia acoplado que excita a

la pantalla a girar en el sentido del flujo de agua bajo el labio inferior. Posteriormente, la rotación de la

pantalla induce una gran fuerza hidrodinámica, que produce un efecto de masa adherida, y el momento de

inercia alimenta y excita la rotación de toda la compuerta.

Las cargas producidas la gran fuerza hidrodinámica que produce el efecto de masa adherida, los autores la

denominan como presión y succión dinámica.

Con el movimiento de la compuerta en cada modo, generan una fuerza excitadora en el otro modo y cuando

los dos modos de vibrar se acoplan bajo ciertas condiciones, originan una violenta vibración auto excitada

de los dos modos acoplados, que puede inestabilizar súbitamente a la compuerta, lo que produce su falla.

El análisis teórico de esta vibración potencialmente desastrosa, se basa en el cálculo de la presión y succión

que genera el paso del agua sobre la pantalla, al aparecer la rotación de la pantalla en sentido de la

corriente. Posteriormente, se requiere un método para calcular la frecuencia de la vibración en agua de la

pantalla. Esto induce una modificación del modo de vibrar en flexión de la pantalla, que reduce su

frecuencia por efecto de la masa adherida, lo que induce una coherencia entre la vibración rotacional de

toda la compuerta y la flexión de la pantalla.

Se plantean las ecuaciones de movimiento acoplado, las cuales se reducen a un formato adimensional, en

función de parámetros adimensionales, tales como la masa adherida reducida, el amortiguamiento asociado

al movimiento del agua reducido, y los coeficientes de excitación de las fuerzas hidrodinámicas, así como

la relación entre la masa de agua asociada al flujo y la masa de la compuerta, y la relación entre los

momentos de inercia de las vibraciones acopladas.

PROCEDIMIENTO MATEMÁTICO DE ANÁLISIS

La secuencia matemática seleccionada presenta los aspectos básicos del análisis que se mencionan a

continuación. Se parte de idealizar el flujo en una región definida por la parte aguas arriba de la compuerta,

con una abertura por la cual fluye el agua, y el agua que se acumula al fluir está bajo la compuerta. Se

representa al flujo mediante una función potencial de Rayleigh y Lamb, cuyas condiciones de frontera

define claramente para establecer a dicha función. Acepta que la pantalla de la compuerta exhiba un modo

de flexión al derredor de una línea nodal horizontal, que se denomina la línea central de rotación en

dirección del flujo. La rotación se representa por el símbolo Ψ. En sentido transversal acepta que la pantalla

adquiere una forma modal en flexión similar a una semionda senoidal, con líneas nodales en los sellos

laterales de la compuerta. Por lo que la forma modal de la pantalla la representa mediante:

Ψz = Ψ sen π (z/W0 + ½) (5.1)

Donde W0 representa a la dimensión horizontal transversal de la pantalla.

Por otra parte, acepta que la compuerta experimente una rotación al derredor del eje de articulaciones,

representada por Θ, que considera positiva en sentido de las manecillas del reloj, en adición a la vibración

Ψz.

Se analiza una porción diferencial de la pantalla y define el momento de inercia acoplado al derredor de la

articulación y de la línea central de rotación y plantea las ecuaciones de movimiento, las cuales resultan ser:

a) Al derredor de la línea de articulaciones de la compuerta:

aθ ζaθ + Ωaθ Θ + = 0 (5.2)

Donde: aθ es la frecuencia natural del modo de vibrar en aire de la compuerta al derredor de la línea de

articulaciones; ζaθ representa al amortiguamiento asociado a ese modo; IΨ es el momento de inercia de la

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pantalla al derredor de la línea nodal horizontal; y Iθ es el momento de inercia de toda la compuerta al

derredor de la línea horizontal de los ejes de las articulaciones. b) Al derredor de la línea nodal de la pantalla:

+ 2Ωaψ ζaψ + Ωaψ2 ψ + + 2 dR = 0 (5.3)

Donde: Ωaψ es la frecuencia natural del modo de vibrar en aire de la compuerta al derredor de la línea nodal

horizontal; ζaψ representa el amortiguamiento asociado a ese modo; representa al cociente de momentos de

inercia de la compuerta; W=W0, es el ancho de la compuerta; P es la presión hidrodinámica y R es una

coordenada medida desde el labio inferior de la compuerta, hacia lo alto de la pantalla.

La presión la descompone en las presiones originadas por el flujo de agua bajo la compuerta, y en la presión

generada por la flexión de la pantalla. Ambas las expresa en función de una onda de presión estacionaria y

una parte progresiva; matemáticamente las define en función del número de Froude, F, dependiente de la

velocidad del agua; de un parámetro adimensional característico de las propiedades de la compuerta, F0, que

depende del tirante a partir del borde inferior de la compuerta, d0, y de la frecuencia natural de vibración en

aire de la compuerta respecto a la línea de articulaciones, de manera que su cociente se define en función de

las frecuencias en agua y en aire de la compuerta. También aparecen las variables β*, relación del tirante

aguas arriba de la compuerta y su longitud sumergida, ηj que es una solución de una ecuación trascendente;

emplea estas variables en series infinitas que definen las componentes de presión. Mediante la introducción de

parámetros adimensionales que representan a la masa adherida, el coeficiente de excitación, y el

amortiguamiento inducido por el flujo de agua bajo el labio de la compuerta, es posible reducir las

expresiones (5.2) y (5.3) a ecuaciones diferenciales homogéneas, cuyas soluciones permiten trazar diagramas

de estabilidad, como el que aparece en la Figura 4.

Figura 4. Diagrama de estabilidad obtenido de la solución de las ecuaciones diferenciales

En la Figura 4 se muestran dos curvas: la curva de la izquierda muestra la demanda de amortiguamiento, ζc,

que se requiere para existencia de estabilidad de las vibraciones en flexión de la pantalla, mientras que la

curva de la derecha, muestra la demanda de amortiguamiento del modo de vibrar de toda la compuerta, al

derredor de la línea de articulaciones. En el eje horizontal de la figura aparece la relación de frecuencias, γnw,

entre las frecuencias de vibración en flexión de la pantalla cuando circula el agua bajo el labio de la

compuerta, a la frecuencia natural del modo de rotación en aire de toda la compuerta, al girar al derredor de la

línea de articulaciones.

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La región comprendida arriba de las curvas indica que las vibraciones de una compuerta son estables para una

abertura dada, mientras que la región comprendida bajo las curvas, indica vibraciones hidroelásticas

inestables. Se observa claramente que cuando el cociente γnw se aproxima a la unidad, las demandas de

amortiguamiento para lograr estabilidad crecen de manera muy apreciable. Así por ejemplo, en la Figura 4,

se marca un punto que representa el resultado del estudio de la compuerta Folsom, la cual se volvió inestable

cuando se inició la apertura de la compuerta.

Resulta de interés señalar que cuando el punto resultante del análisis de una compuerta se encuentra bajo la

curva de la izquierda del diagrama de estabilidad, las vibraciones de la pantalla auto excitan las vibraciones

rotacionales de la compuerta al derredor de la línea de articulaciones, con resultados que conducen a una

inestabilidad violenta. Si los datos de la compuerta se representan por un punto bajo la curva de la derecha, las

vibraciones por el flujo de agua excitan las vibraciones en flexión de la pantalla de la compuerta, las cuales

producen movimientos menores.

Estos resultados indican que para lograr estabilidad hidroelástica de una compuerta Tainter, se requiere que su

relación γnw >1, y que el porciento de amortiguamiento crítico del modo de vibrar por rotación al derredor de

la línea de articulaciones, sea mayor al que define la curva del diagrama de estabilidad.

APLICACIÓN DEL MÉTODO A LA COMPUERTA RADIAL

Para ilustrar el manejo del procedimiento desarrollado para definir el diagrama de estabilidad de la

compuerta, se muestran a continuación los datos de la compuerta necesarios para el análisis.

Se seleccionó la posición de la compuerta para la cual se obtuvieron los valores más altos de demanda de

amortiguamiento para establecer la estabilidad hidroelástica de la compuerta, de todas las aberturas

estudiadas, que corresponde a una abertura de 30 por ciento de la apertura total.

En la Tabla 1 se muestran los datos de entrada para introducirlos en los programas desarrollados para obtener

la solución numérica de las ecuaciones de movimiento. Aparecen en primer lugar los datos generales de la

compuerta, que incluyen dimensiones y de su masa. En segundo lugar se muestran las propiedades de inercia

obtenidas para los giros al derredor de la línea nodal y la de articulaciones.

En la tercera parte de la Tabla 1, se describen las condiciones seleccionadas para el análisis de estabilidad

hidroelástica, que corresponden a una abertura de 30 porciento. Como valores de amortiguamiento se

seleccionaron los correspondientes a los obtenidos de prueba de la compuerta Folsom, que presentó

inestabilidad durante el proceso de apertura.

TABLA 1: ESPECIFICACIONES PARA EL DISEÑO POR ESTABILIDAD DE LA COMPUERTA

Dimensiones y masa de la compuerta.

Altura de la compuerta - 10.65 m

Ancho de la pantalla Wo 10.65 m

Radio de la compuerta Ra 17.5 m

Masa de la compuerta - 250 ton

Momentos de inercia

De la compuerta alrededor de la articulación Iθ 2.46E+07 kg m2

De la pantalla alrededor de su centro de rotación Iψ 2.32E+07 kg m2

Producto de inercia de la pantalla Iψθ 7.97E+06 kg m2

Condiciones del campo de

prueba

Profundidad del canal (Aguas arriba) dr 120 m

Abertura de la compuerta B 30 %

3.195 m

Profundidad sumergida de la compuerta do 116.805 m

Ángulo de inclinación, Borde inferior de la compuerta-Superficie .del agua.

Θs 1.53 °

Frecuencia de vibración en aire de la compuerta Ωaθ 4.9124 hz

Frecuencia de vibración en aire de la pantalla Θaψ 13.4272 hz

Coeficiente de amortiguamiento en aire de la compuerta

ζaθ 0.012 -

Coeficiente de amortiguamiento en aire de la pantalla ζaψ 0.002 -

Altura del centro de rotación Rs 9.3975 m

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Ángulo de abertura del borde inferior respecto del fondo del canal

Θs0 18.95 °

Radio de rotación del borde inferior de la pantalla Rc 17.228 m

TABLA 2: CÁLCULO DE FACTORES ADIMENSIONALES

Relación de profundidades β*=dr/do β* 1.027

Altura reducida del centro de rotación rs=Rs/do rs 0.080

Relación de radios de rotación rsa=Rs/Rc rsa 0.545

Relación de momentos de inercia αI=Iψ/Iθ αI 0.94

Relación de momentos de inercia de la pantalla αIψ=Iψθ/Iψ αIψ 0.34

Relación de masas agua-compuerta αψ=ρdo2Wo/(Iψ/Rs2) αIψ 553.11

Coeficiente de variación instantánea del flujo - cf 1.0

Coeficiente de corrección de presión - δp 1.1

Número básico de Froude Faψ=2πΩaψ (do/g)^(1/2) Faψ 291.11

En la Tabla 2 se condensan los valores de los coeficientes adimensionales que se obtuvieron para la posición

seleccionada de la compuerta. Se destaca que en el procedimiento de cálculo, se selecciona una masa de agua

que corresponde a un volumen cuya área es el tamaño de la pantalla compuerta, por una altura igual a la

profundidad sumergida de la compuerta. Aparece en la última línea el número básico de Froude, que

representa las propiedades de la compuerta. Esta información se introdujo en el programa que resuelve las ecuaciones diferenciales de movimiento de la

compuerta, para llegar a obtener el diagrama de estabilidad hidroelástica de la compuerta para esa posición.

En la Figura 5 se muestran dos diagramas, obtenidos con el fin de comparar los resultados obtenidos para la

compuerta en estudio, que se muestran en azul en la figura, con aquellos que se obtienen de analizar la

compuerta Folsom, los cuales aparecen en color rojo, correspondientes a una abertura de 10 porciento. Se

observa la gran diferencia en demandas de amortiguamiento correspondientes a ambas compuertas; cabe

mencionar que en la compuerta Folsom se presentó inestabilidad, ya que su relación γnw fue igual a 0.846, con

niveles de amortiguamiento inferiores a las demandas de estabilidad, mientras que la compuerta Infiernillo,

con los mismos valores de amortiguamiento, se encontró en la zona de estabilidad del diagrama, (punto rojo).

Por otra parte, en todos los análisis de estabilidad de la compuerta en estudio, que se encuentran en las

páginas siguientes, siempre se observó que la demanda de amortiguamiento de la compuerta de Infiernillo,

siempre resultó mayor que la de Folsom, posiblemente por la diferencia tan grande de tirante aguas arriba.

Figura 5. Diagrama de estabilidad de la compuerta en estudio

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ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

Los estudios previos mostraron la manera de estimar el amortiguamiento necesario para lograr que la

compuerta presente vibraciones estables. El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema para

disipar energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguadores disipan la energía cinética

en energía térmica El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las vibraciones,

fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis de sistemas

vibratorios, como lo son las estructuras metálicas de las compuertas radiales. La teoría de todo sistema

vibratorio (regularmente sistemas mecánicos), muestra que existe la capacidad de disipar energía y reducir así

el nivel de movimiento. Para el control de vibraciones, se utiliza el concepto de amortiguamiento, para disipar

energía del sistema, controlando la amplitud de vibración en el sistema y otros parámetros asociados.

Así, un sistema mecánico que posea masa y elasticidad, tiene una frecuencia natural y la particularidad de

llegar a vibrar; si se le proporciona energía suficiente al sistema, éste tenderá a vibrar, o si una fuerza externa

actúa en el sistema con la frecuencia natural, el sistema podría entrar en un estado de resonancia y esto a su

vez significaría una condición de alta vibración y el sistema se vuelve inestable , con alta posibilidad de falla.

Existen diferentes mecanismos o tipos de amortiguamiento, según sea su naturaleza:

Amortiguamiento fluido. Se produce por la resistencia de un fluido al movimiento de un sólido,

siendo este viscoso o turbulento.

Amortiguamiento por histéresis. Se ocasiona por la fricción interna molecular o histéresis, cuando se

deforma un cuerpo sólido.

Amortiguamiento por fricción seca. Es causado por la fricción cinética entre superficies deslizantes

secas (F = N).

La aplicación del procedimiento desarrollado para el estudio de las vibraciones de la compuerta, mostraron

demandas de amortiguamiento altas. En los diagramas de estabilidad se destacó el valor del amortiguamiento

de la compuerta cuando vibra sin agua, que no incluye el amortiguamiento por fricción seca que se genera en

los bordes de la compuerta donde los sellos son comprimidos contra placas embebidas en las paredes de

concreto de la cámara subterránea, que produce fuerzas de fricción importantes. Así mismo, la gran presión

hidrodinámica contra la pantalla, comprime a los pernos de la articulación contra sus camisas, lo cual induce

fuerzas de fricción adicionales. Los efectos amortiguadores de este tipo de fuerzas friccionantes pueden

cancelar la inestabilidad hidroelástica.

Para cuantificar este tipo de amortiguamiento, se ha recurrido a un amortiguamiento histerético equivalente,

definido por:

ζe = . A0/A

Donde: A es la amplitud de la vibración de la pantalla de la compuerta al derredor de la línea de

articulaciones, mientras que A0 representa el desplazamiento estático del sistema de izaje, debido a la fuerza

friccionante.

Así, a medida que A decrece, el amortiguamiento equivalente ζe se incrementa, lo que provoca un incremento

correspondiente en el amortiguamiento total de la compuerta.

Cuando en condiciones normales de operación no existe vibración, o sea A=0, el amortiguamiento

equivalente tiende a infinito y la compuerta se mantiene estable.

Sin embargo, la estabilidad dinámica generada por fricción es un estado peligroso, ya que se puede volver

inestable de manera súbita, cuando aparecen grandes desplazamientos inducidos por la súbita desaparición de

la fricción en el perno de la articulación de la compuerta, el amortiguamiento equivalente rápidamente

decrece de manera inversa al incrementar la amplitud de la vibración.

Por ello, solo el amortiguamiento histerético es responsable del control de la estabilidad hidroelástica de la

compuerta. Pero el amortiguamiento histerético de la compuerta es función del proceso constructivo y de las

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propiedades mecánicas de los materiales que la conforman. A falta de datos de amortiguamiento, se recurrió a

datos medidos en compuertas radiales.

Existe ya un procedimiento experimental que permite definir tanto los modos naturales de vibrar de la

compuerta en aire, y de sus niveles de amortiguamiento, que se desarrolló en la prueba de la compuerta radial

de la Presa Thermalito en California, por Ishii y coautores, (2007). Como resultado de esas pruebas, se

estableció que el nivel máximo de amortiguamiento medido, presento un valor medio igual a 3.69 por ciento

del valor crítico, con un coeficiente de variación igual a 9.43 por ciento. Este valor se consideró en el análisis

de estabilidad hidroelástica de la compuerta.

Para ello, de los análisis realizados se definió el valor de la relación γnw representativo de la compuerta, como

medida de la relación de frecuencias de la compuerta al vibrar la pantalla con agua, y la frecuencia del modo

de rotación al derredor del eje de articulación, y el valor correspondiente de la demanda de amortiguamiento

asociado.

En la figura 6 aparece la curva de demandas de amortiguamiento necesarias para mantener la estabilidad

hidroelástica de la compuerta en diferentes posiciones de descarga, así como la línea que representa los

valores máximos de amortiguamiento medidos, y su desviación estándar.

Resulta así evidente, que el diseño seleccionado para la compuerta subterránea que se proporcionó como dato

de partida, presenta altas probabilidades de inestabilidad hidroelástica, cuando en la operación de la

compuerta, se alcancen aberturas próximas a 50 o 70 por ciento de la apertura total, según lo establece la

metodología empleada en el desarrollo de esta investigación.

Figura 6. Demanda de amortiguamiento ante diversas aperturas de la compuerta

Estos resultados se asemejan a los obtenidos durante las pruebas de una compuerta radial subterránea,

construida en China (2012), con tirante aguas arriba de próximo a 100 m, y posición similar a la propuesta

para este estudio, cuyas dimensiones de la pantalla fueron: 6.4 m por 7.5 m, que se muestra en la figura 7.

Se realizaron análisis tridimensionales para definir los modos naturales de vibrar, para estudiar la estabilidad

de la compuerta, al aparecer la presión pulsante inducida por el flujo de agua y se instrumentó para medir las

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aceleraciones provocadas por el flujo, así como los esfuerzos dinámicos que se generaron en diversos puntos

de la compuerta.

Las pruebas de vibración de la compuerta generadas por la presión pulsante se midieron y se obtuvo a la

variación dinámica de los desplazamientos en dirección radial, (DP), en dirección ortogonal horizontal (DO) y

en dirección vertical (DZ) al flujo, correspondientes a diversas aberturas de la compuerta. En la figura 8 se

muestra la variación de desplazamientos máximos de la pantalla, en mm, en las tres direcciones antes

mencionadas, ante diversos porcentajes de apertura de la compuerta.

Figura 7. Compuerta radial subterránea en PH Tishengquiao, China.

Las curvas de la figura 8 muestran que los desplazamientos mostraron máximos en dos posiciones, setenta y

noventa por ciento de apertura, en vez de presentarse durante valores bajos de la abertura. Esto es similar a los

resultados obtenidos para la compuerta en estudio, en donde las máximas demandas de amortiguamiento para

lograr vibraciones tablas, se presentaron en cincuenta y setenta por ciento de apertura para permitir el paso del

agua tablas, se presentaron en cincuenta y setenta por ciento de apertura para permitir el paso del agua.

Figura 8. Desplazamientos medidos en la compuerta ante diversas aperturas.

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RIGIDEZ LINEAL DEL SISTEMA DE IZAJE PARA LOGRAR ESTABILIDAD DINÁMICA

Conocidos los diagramas de estabilidad de una compuerta Tainter, siempre es posible forzar que el punto

representativo de la compuerta, (ver figura 5), en el diagrama de estabilidad, se encuentre en la región estable

de los diagramas, para evitar la inestabilidad hidroelástica, que normalmente se presenta cuando γnw =1. En la región inestable donde γnw >1, la vibración acoplada se sincroniza con la vibración rotacional de la

compuerta al derredor del eje de articulaciones. Por tanto, el por ciento de amortiguamiento crítico de este

modo se puede usar para definir la condición necesaria para lograr la estabilidad hidroelástica. Conocido ese

nivel de amortiguamiento, se localiza el punto de la curva de estabilidad correspondiente que tenga la misma

ordenada y se define el valor de γnw asociado. Al considerar un margen de seguridad de 5 por ciento, se

define el valor de la relación de frecuencias (γnw) d, que se localiza en la zona de estabilidad del diagrama, que

resultará ser un número mayor a la unidad. Conocido ese valor, la rigidez lineal del sistema de izaje Ke se obtiene fácilmente, ya que la frecuencia de

vibración del modo de vibrar al derredor del eje de articulaciones, expresada en Hertz, se define mediante:

Ω aθ = [Ke / Iθ ]0.5 R0 (8.1)

Por tanto, al despejar y considerar que se conoce (γnw) d, se llega a conocer:

Ke = {[(γ nw d)2 (Ω aθ)2 (4 π2) Iθ] (1/R0)2} (8.2) Donde: Ke, la rigidez lineal necesaria para lograr estabilidad dinámica, esta expresada en Newton/m.

Resulta evidente que si se selecciona un valor de Ke menor que el proporcionado por la expresión (8.2), la

frecuencia Ωaθ resultará menor que la frecuencia del modo de rotación de toda la compuerta al derredor del

eje de articulaciones y la compuerta mostrará completa estabilidad hidroelástica.

COMENTARIOS FINALES

La aplicación del procedimiento seleccionado para analizar la Estabilidad Hidroelástica de la compuerta en

estudio, y la revisión de pruebas realizadas en otras partes del mundo, mostró con claridad las condiciones

necesarias para lograr estabilidad en una compuerta, que se mencionan a continuación:

En el dimensionamiento de los elementos de la compuerta, se debe buscar que la pantalla sea

suficientemente rígida, para alejar al máximo la frecuencia de los modos de vibrar de ella, de la

frecuencia del movimiento rotacional al derredor de la línea de articulaciones de la compuerta, para

todas las posibles posiciones que adquiera la compuerta durante su operación

Los sellos en los bordes de la compuerta deben presentar la máxima rigidez lineal y proporcionar

altos niveles de amortiguamiento a la compuerta

Se debe estimar el valor de los desplazamientos de los bordes de la compuerta, a fin de evitar las

filtraciones de agua durante el proceso de izaje de la compuerta

Se deben evitar concentraciones de esfuerzos en la conexión de los brazos de las armaduras laterales,

a fin de evitar fluencia y modificación de las propiedades dinámicas de la compuerta.

El sistema de izaje debe diseñarse de manera de lograr una rigidez lineal suficientemente alejada de

la rigidez crítica que se mencionó en el texto. Para presiones ocasionadas por tirantes de agua de

gran magnitud, se debe evitar el empleo de cables o cadenas en el sistema de izaje, ya que su gran

flexibilidad, altera las frecuencias naturales de vibración de la compuerta, en las diferentes

posiciones que esta adquiere durante su operación

Se debe verificar que el número de Scruton (Sc), resultante del diseño, calculado en función del

producto de la relación entre la masa de la compuerta, a la masa de agua adyacente, ρ(d0)2 W0,

multiplicada por el decremento logarítmico de la compuerta, número que mide el amortiguamiento

modificado, sea siempre mayor a 5, para evitar problemas de vibraciones hidroelásticas

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Se recomienda revisar las condiciones de apoyo de la compuerta contra el terreno natural, para

estimar los desplazamientos probables, y evitar la falla por cortante de la cimentación.

REFERENCIAS MENCIONADAS EN EL TEXTO

Anami, K; Ishii, N. y Kinsely, CW, (2014),”Theory of Coupled-Mode Self-Exited Vibration of

Tainter Gates”. International Journal of Mechanical Engineering and Robotics Research. Vol 3. N°4,

Octubre de 2014

Anami, K; Ishii, N; Kinsely, CW; Oku, T y Tsuji, T. (2013),”Dynamic Stabilization of the Folsom

Tainter Gates, by Replacing Hoist Chains with Cables”. 11 th International Conference on Vibration

Problems. Z. Dimetrovova et all. (eds.).Lisboa, Portugal, 9-12 Septiembre 2013.

Anami, K; Ishii, N; Knisely, CW y Oku, T.(2007),”Field Measurement of Dynamic Stability of a 50-

Ton Tainter Gate”: Proceedings of PVP, 2007 ASME Pressure Vessels and Piping Division

Conference, Julio 23-26, 2007, San Antonio, Texas

Anami, K; Ishii, N; Kinsely, CW y Oku, T. (2007),” Full Scale Verification of Coupled Excitation of a

50 Ton Tainter Gate”- USSD. 27th Annual USSD Conference. Philadelphia, Pennsylvania, March, 5-9,

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Ishii, N y Nausdascher, E. (1992), “A Design Criterion for Dynamic Stability of Tainter Gates”.

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Ishii,N; Anami,K; Knisely, CW; Shultz, MG; Slinkard, SD y Todd, RV.(2007),”Field Testing of the

Dynamic Stability of the Thermalito Diversion Dam Tainter- Gates”. Hydraulic Investigations and

Laboratory Services. Department of Water Resources. State of California

Yan, G; Chen, F y Dong, J. (2012),”Study of Flow-induced Vibration for the High-Head and Large

Dimension Gate”. Applied Mechanics and Materials, Vols. 170-173 (2012).pp 2027-2036, Trans Tech

Publication. Switzerland.