PORELMIR DE CARVALHO

Sean NM , espacios Métricos y X un subconjunto de M . Una aplicación

MXf : se dice continua en un punto Xa cuando para todo 0 dado

arbitrariamente, existe 0 tal que

afxfdaxd ,,

Una manera equivalente del concepto de continuidad es la siguiente:

NXf : es continua en el punto Xa , cuando dado cualquier bola ,afB de centro af y radio , es posible hallar una bola abierta ,aB , de centro a y radio tal que BBf

Definición1: Una aplicación MXf : es Lipschitzsiana cuando existe una constante 0c (llamada constante de Lipschitz) tal que yxcdyfafd ,, ,

Myx , Toda aplicación lipsciptziana es continua en Ma . En efecto, dado 0 tomemos

c

. Entonces caxcdafxfdaxd ,,,

Propiedades de las aplicaciones continúas: La compuesta de dos aplicaciones

continuas es continua. Toda restricción de una aplicación

continua es continua.

Sean FE, espacios vectoriales. Una aplicación FEf : se llama lineal (o una transformación lineal) cuando, para cualesquiera que sean Eyx , , R se tiene que: yfxfyxf y xfxf Es fácil mostrar que todo transformación lineal FRf m : definida en mR con valores en un espacio vectorial normado F es continua.

En efecto, en términos de la base canónica 1,...,0,0,0,...,0,...,0,0,1,0,0,...,0,1 21 neeeB Todo vector m

m Rxxxx ,...,, 21 se escribe mmexexexx ...2211 Entonces

m

iii

m

iii efxexfxf

11

y por lo tanto mm efxefxefxxf ...2211 Poniendo mi efefefmáxc ,..., 2

Se tiene que mxxxcxf ...21 Usando en mR la norma mxxx ...1 Tenemos que xcxf , para todo mRx Para mRyx , arbitrarias, gracias a la linealidad de f , que yxcyfxf Lo que significa que f es lipsechitzsiana y consecuentemente continúa.

Proposición A. Sean FE, espacios vectoriales normados. Las siguientes afirmaciones con respecto a una transformación lineal son equivalentes:

1. f es continua 2. f es continua en E0 3. Existe 0c tal que xcxf para todo Ex 4. Existe 0c tal que yxcyfxf

cualesquiera que sean yx, en E

Probaremos que 154321 las implicaciones 21 y 14 son obvias. Probaremos que 32 Siendo f continua en E0 con 1 tenemos y obtenemos 0 tal que

.10 fxfx Sea ahora cualquier número 0c tal que

c

1 : La relación xcxf es evidente si .0x

En el caso en que 0x , sea xc

xz tiene

norma 11 ofxfc

o sea 1zf

Lo que significa que 1

xc

xfzf

o sea 11

xfxc

zf

y finalmente xcxf 43 es consecuencia inmediata a la linealidad de f Sean FEE ,, 21 espacios vectoriales. Una aplicación

FEEf 21: Se llama bilineal cuando es lineal separadamente en cada una de las variables.

Esto es

2121

2121221

2121

2121211

,,

,,,

,,

,,

xxfxxf

yxfxxfyxxf

xxfxxf

xyfxxfxyxf

Es evidente que 0,00, 21 xfxf para cualesquiera que sean 21, xx en 21 EE

Ejemplos: son bilineales las siguientes aplicaciones:

la multiplicación por escolar EERm : donde xxm ,

todo producto interno REEp : , dado por yxyxp ,,

la aplicación FEFEL ,: definida por ., xTxT la aplicación GELFELGFL ,,,: definida

STST , por (composición de aplicaciones lineales).

Uno de los resultados más importantes sobre las aplicaciones bilineales es la proposición siguiente

Preposición 2: Sean GFE ,, espacios vectoriales normados y GFEf : una aplicación bilineal. Son equivalentes las siguientes afirmaciones; 1. f es continua 2. f es continua en el punto FE0,0 3. Existe 0c tal que yxcyxf , cualesquiera

que sean FyEx , 4. f es lipschitzsiana en cada parte acotada

de FE

Demostración: Las implicaciones 21 y 14 son evidentes Probaremos 32 y 43 En el primer caso, sea f continua en 0,0 , como 00,0 f tomando 1 obtenemos 0 tal que x y y implican 1, yxf Dados FyEx , no nulos, los vector

yy

zxx

z2

;2 21

Tienen ambos normas inferiores Luego 1, 21 zzf o sea 1,

4

2

yxfyx

Tomando 2

4

c obtenemos

0,0,, yxyxcyxf

La desigualdad anterior es evidente para 0x o 0y .

Mostraremos ahora que 43

Usando en FE norma yxz ,

donde yxz , y asumiendo 3 como hipótesis probaremos que f es lipschitzsiana en cada bola rB ,0 de FE

En efecto, si yxz , y yxz , pertenecen a dicha bola, entonces yxyx ,,, son r Consecuentemente se tiene que. yxfyxfyxfyxfzfzf ,,,,

zzcr

xxyycr

yxxcyyxc

yxxfyyxfyxxfyyxf

,,,,

Como aplicación de la proposición 2 probaremos que si F es un espacio vectorial normado, toda aplicación bilineal FRRf nm : definida en nm RR Con valores en F es continua En efecto, sean meeeB ,...,, 21 y neeeB ,..., 21 respectivamente las bases canónicas de mR y nR

dados

m

iiiexx

1 ,

n

jjjeyy

1

tenemos:

jijiji eefyxyxf

,

,,

Sea jiji

eefmáxc ,,

tomando en mR y nR las norma

m

iixx

1 ,

n

jjyy

1

se tiene que j

jii yxyx

,

y luego obtenemos: yxceefyxyxf jij

jii ,,

,

nm RyRx , y gracias a la preposición (2) podemos afirmar que f es continua

La continuidad de las aplicaciones bilineales también se puede comprobar utilizando el concepto de diferenciabilidad. Para mayor simplicidad consideremos mRE y recordemos algunos conceptos y notaciones ya conocidos por todos. Una aplicación f es diferenciable en un punto

mRa cuando, para pequeños valores de ,h el incremento afhaf es aproximadamente, una función lineal h

Más precisamente: NRUf : definida en un abierto mRU Se dice diferenciable en el punto Ua cuando existe una aplicación lineal nm RRT : tal que hrhTafhaf

donde

0lim0

h

hrh

Lo que significa que este resto es un infinitésimo en relación a h Para nuestros propósitos probaremos inicialmente que si mn RARAf ,: es diferenciable en Aa entonces f es continua en dicho punto.

En efecto, como f es diferenciable en a , tenemos: hrhaTafhaf donde

0lim0

h

hrh

como T es lineal, existe 0c tal que hchaT

Así h

hhr

hcafhaf

hh

hrc

cuando 0h se tiene que 0 afhaf por consiguiente afhaf Lo que significa que f es continua en a . O sea afhaf

h

0lim .

Para cerrar nuestra intervención en el día de hoy probaremos que toda aplicación bilineal pnm RRRB : es diferenciable en cada punto nm RRyx , y su derivada es la transformación lineal

yhBkxBkhyxB ,,,,

En efecto, dada la aplicación bilineal B existe 0c tal que

khckhB , khByhBkxByxBkyhxB ,,,,, Para comprobar nuestra afirmación debemos demostrar que

0

,

,lim

0,

kh

khBkh

Utilizando en nm RR la norma khkh ,sup, tenemos

kh

khc

kh

khB

kh

khB

,sup,sup

,

,

,

khc ,inf

MUINTO OBRIGADO !