Sobre el diseno optimo de escalas de peces

L. J. Alvarez Vazquez, A. Martınez

Dpto. de Matematica Aplicada II, Universidade de Vigo

lino@dma.uvigo.es, aurea@dma.uvigo.es

J. J. Judice

Dpto. de Matematica, Universidade de Coimbra

Joaquim.Judice@co.it.pt

C. Rodrıguez, M. E. Vazquez Mendez, M. A. Vilar

Dpto. de Matematica Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela

carmen.rodriguez@usc.es, miguelernesto.vazquez@usc.es,

miguel.vilar@usc.es

Resumen

Las escalas de peces o pasos de peces (conocidas como fishways, fish-ladders

o fish-passes en ingles) son estructuras hidraulicas construidas en la red fluvialcon el objetivo de permitir a los peces superar los obstaculos que en ella seencuentran (presas de plantas hidroelectricas, diques, etc.), preservando ası lamigracion natural entre aguas dulces y aguas saladas. Los variados tipos de esca-las utilizadas obedecen a diferentes situaciones (caracterısticas del medio dondedeben ser construidas y tipo de peces que por ellas deben pasar), pero todastienen un objetivo comun: tratar de que la velocidad de la corriente de agua enla escala sea lo mas adecuada posible a las capacidades natatorias de los pecesque han de atravesarla. Las escalas de escotaduras verticales son de las masutilizadas. El diseno mas sencillo de este tipo de pasos consiste en una rampainclinada con una serie de tabiques incompletos instalados perpendicularmenteal flujo, configurando una serie de estanques escalonados. La construccion deestos tabiques admite variantes dependiendo de como se desee que se realice elpaso de agua de un estanque a otro.En este trabajo - completando las experiencias iniciadas ya en [4] - se presentaun nuevo problema de diseno optimo de una escala de peces de escotadurasverticales. Se controla la velocidad de la corriente de agua por medio de la loca-lizacion y longitud de los tabiques que la constituyen. Se describe el problemafısico, se formula como un problema de control optimo de forma, y se aproximaeste por un problema de optimizacion discreta que se resuelve utilizando dosmetodos diferentes: el algoritmo de Nelder-Mead (que no utiliza derivadas) y elmetodo SPG (Spectral Projected-Gradient). Finalmente, se presentan y com-paran los resultados numericos obtenidos por ambos sobre una escala estandar.

Seccion en el CEDYA 2011: OTROS TEMAS (Control)

1. Introduccion

Los peces de las aguas continentales se clasifican en dos grandes categorıas,segun su patron migratorio: Diadromos, que son peces migratorios que se mue-ven entre el mar y las aguas dulces y Potadromos, cuyos movimientos tienenlugar exclusivamente en las aguas dulces (normalmente se desplazan rıo arribaen busca de habitats optimos para el desove y para el crecimiento de las larvas ylos ejemplares juveniles). Ejemplos de este segundo grupo son la trucha comuny el barbo. Los Diadromos a su vez se clasifican en Anadromos, Catadromos yAnfıdromos. Los Anadromos son peces que pasan la mayor parte de su vida enel mar, pero van a aguas dulces para reproducirse, remontando el rıo en algunoscasos a miles de kilometros; ejemplos muy conocido son el salmon y el esturion.Los Catadromos son peces que pasan la mayor parte de su vida en las aguasdulces, pero van al mar a reproducirse; valgan como ejemplos la anguila y lalamprea. Los Anfıdromos son peces que se mueven entre el mar y las aguas dul-ces o viceversa, pero no por causas reproductivas; son ejemplos la lisa y la platija.

Los movimientos basicos que toda la ictiofauna fluvial lleva a cabo (pormotivos reproductivos para encontrar el habitat adecuado; para recuperar laposicion previa despues de grandes avenidas; para evitar tramos que se quedansecos en perıodo estival y recuperar habitats favorables; movimientos dispersos,normalmente erraticos que evitan el empobrecimiento genetico de las poblacio-nes, etc.) varıan en tipo y medida de una especie a otra pero son vitales paraasegurar la pervivencia de las poblaciones.

La construccion de presas, azudes, diques y otros obstaculos de menor en-tidad afectan de manera sustancial a toda la comunidad de peces y, en espe-cial, a las poblaciones migratorias. Existe una gran variedad de dispositivos defranqueo, que se pueden dividir en dispositivos de franqueo disenados para eldescenso de los peces y dispositivos para el ascenso. El objetivo de los primeroses evitar los problemas asociados al paso de los peces a traves de las turbinaso de los aliviaderos (danos en organos o muerte). Las escalas o pasos de pecesson dispositivos de ascenso cuyo objetivo es atraer a los migradores a un puntodeterminado del rıo aguas abajo del obstaculo a franquear e incitarlos a pasaraguas arriba por medio de un flujo de agua creado artificialmente.

En la construccion de pasos de peces eficaces son varios los factores a teneren cuenta (caracterısticas biologicas de los peces, caracterısticas hidrologicas delrıo, hidraulicas del paso, topograficas, etc.) De todos, los mas importantes sonla hidraulica y las capacidades de natacion; la escala debera ser creada con lascondiciones hidrodinamicas adecuadas a la capacidad natatoria de las especiesque por ella pasan.

Existen diversos tipos de pasos, aparte de ciertas estructuras naturales comorampas o rıos artificiales. Algunas de las mas utilizadas son: tipo estanque y ver-tedero (pool and weir) [26], tipo Denil [24], y de escotaduras verticales (vertical

flow

auxiliary water for highttail water levels

fishway entrance

protective gridmesh covers

Figura 1: Esquema de una escala de escotadura vertical

slot fishway) [25].

Trabajaremos sobre una escala de escotadura vertical. Este tipo de escalaconsiste en un canal rectangular inclinado con una serie de tabiques incomple-tos conformando un cierto numero de piscinas (ver Fig. 1). El agua corre aguasabajo en este canal, a traves de las escotaduras verticales ocasionadas, de unapiscina a otra. Los tabiques permiten que parte del agua que llega a ellos searedireccionada aguas arriba, ayudando ası a la disipacion de la energıa y a crearuna zona de aguas de baja velocidad aptas para el descanso de los peces. Elflujo de agua forma un chorro en la escotadura por donde el pez debe ascenderutilizando su capacidad natatoria, pudiendo descansar cuando precise [8] en ca-da una de las piscinas.

Durante las ultimas decadas, se ha prestado mucha atencion al estudio de lascaracterısticas hidraulicas en todos los tipos de escalas (como puede verse, porejemplo, en los trabajos pioneros de Rajaratnam et al. [27, 28, 29, 11, 12, 17]).Sin embargo, ha recibido poca atencion el estudio de su correcto diseno. Al-gunas investigaciones realizadas en este campo son: Kim [15] (para las de tipoestanque y vertedero); Odeh [22] y Mallen-Cooper y Stuart [18] (para las de tipoDenil). Sin embargo, sobre el diseno optimo de una escala de peces de escotadu-ra vertical no conocemos otros trabajos salvo los ya realizados por los propiosautores de este que aquı presentamos ([3, 4, 5], donde se estudia un problemamas simple).

Como ya hemos indicado anteriormente, el objetivo de una escala de peceses permitir a estos la superacion de obstaculos en su viaje aguas arriba. Coneste fin, nos centraremos en controlar la velocidad del agua en dicha estructura.

0,97 m

1,5 m 1,213 m

12,13 m

0,6065 m

Figura 2: Planta (dominio ω con fronteras γ0, γ1, γ2) y alzado de la escala

Para ello pediremos que en las zonas cerca de las escotaduras, la velocidad delagua se aproxime a una velocidad deseada que permita al pez saltar y nadar.En el resto de la escala, la velocidad debe ser proxima a cero para que el pezpueda descansar y recuperarse de sus esfuerzos. Por otra parte, en todo el canal,la turbulencia de flujo debe ser minimizada. Hay que senalar que la velocidaddel agua en la escala tiene que ser lo suficientemente grande para atraer a lospeces hacia ella, pero no puede ser tan grande que arrastre a los peces aguasabajo hasta el punto de incapacitarlos para continuar su viaje rıo arriba.

En este trabajo, controlamos la velocidad del agua determinando la formaoptima de la escala a traves de la ubicacion y longitud de los tabiques queseparan las piscinas. Utilizamos las ecuaciones de aguas poco profundas parasimular la velocidad del agua en la escala de peces, presentamos una expresionmatematica para evaluar la calidad de ese campo de velocidades en terminos delas capacidades natatorias del los peces. A continuacion formulamos el proble-ma de diseno optimo de la escala de peces como un problema de optimizacion,que aproximamos por un problema de optimizacion discreta. Proponemos dosmetodos para resolver el problema discreto: el algoritmo de Nelder-Mead, queno utiliza derivadas y el metodo del gradiente espectral proyectado (SPG), queutiliza derivadas. Por ultimo, presentamos los resultados numericos obtenidossobre una escala estandar.

2. Modelo matematico

Con ω ⊂ R2 notaremos el dominio geometrico correspondiente a la escala

de peces con la que trabajaremos, la cual consiste en un canal rectangular conun primer tramo con fondo plano, un tramo contiguo en pendiente dividido enpequenas piscinas mediante una serie de tabiques incompletos, y un tramo fi-nal con fondo plano y, como el inicial, sin tabiques (ver Fig. 2). El agua entrapor el lado izquierdo y continua aguas abajo hacia el lado derecho, por don-de el pez debe ascender en direccion opuesta. El numero de piscinas - 10 - ylas dimensiones de la escala considerada corresponde a una escala experimentalutilizada por Puertas et al. [23]. Observese la presencia de tres obstaculos encada piscina, lo cual es usual en la mayorıa de escalas de peces con escotaduras

verticales. En trabajos anteriores realizados por los mismos autores se habıanconsiderado dos tabiques en cada piscina. La inclusion de un tercer tabique caraa un mejor control del flujo, ocasiona el trabajo que aquı presentamos. Aunquela formulacion de este problema es similar a la de los trabajos anteriores, en estaocasion el numero de parametros del problema de optimizacion correspondienteaumenta de cuatro a seis, lo que hace que el algoritmo utilizado previamente(Nelder-Mead) resulte demasiado caro desde el punto de vista computacional,siendo preciso buscar algoritmos mejores.

El flujo de agua dentro del dominio ω a lo largo del intervalo de tiempo(0, T ) esta gobernado por las ecuaciones de las aguas someras [3]:

∂H

∂t+ ~∇ · ~Q = 0 en ω × (0, T ),

∂ ~Q

∂t+ ~∇ · (

~Q

H⊗ ~Q) + gH~∇(H − η) = ~f en ω × (0, T ),

(1)

donde

H(x, y, t) es la altura del agua en el punto (x, y) ∈ ω y en el tiempot ∈ (0, T ),

~u(x, y, t) = (u, v) es la velocidad horizontal media en profundidad,

~Q(x, y, t) = ~uH flujo de area por unidad de profundidad,

g es la aceleracion de la gravedad,

η(x, y) representa la geometria del fondo de la escala de peces,

~f segundo miembro, que recoge los efectos de friccion del fondo, presionatmosferica, etc.

Estas ecuaciones se deben completar con condicion inicial y condiciones frontera.Consideramos tres tipos de frontera: la frontera lateral del canal denotada porγ0, la frontera de entrada del flujo denotada por γ1, y la frontera de salidadenotada por γ2. Consideraremos ademas ~n el vector normal exterior unitario.Suponemos el flujo normal y la vorticidad nulos sobre la frontera lateral de laescala, imponemos una entrada de flujo en direccion normal, y fijamos la alturadel agua en la frontera de salida, es decir,

H(0) = H0, ~Q(0) = ~Q0 en ω,

~Q · ~n = 0, curl(~Q

H) = 0 en γ0 × (0, T ),

~Q = q1 ~n en γ1 × (0, T ),H = H2 en γ2 × (0, T ).

(2)

La resolucion de estas ecuaciones nos va a permitir obtener velocidad u delagua en la escala.

Por otra parte, debemos tener en cuenta dos objetivos:

(i) En la parte del canal cerca de las escotaduras, la velocidad debe acercarselo mas posible a la velocidad objetivo c para permitir que el pez puedasaltar y nadar en su ascenso por la escala (c debe ser elegido, por ejemplo,teniendo en cuenta que la velocidad maxima permitida para el salmon esde 3ms−1). Ademas, en los remansos de la escala la velocidad debe serproxima a cero para que el pez pueda descansar. Es decir, la velocidaddebe cumplir:

~v(x1, x2) =

(c, 0), si x2 ≤ 1

3 W,(0, 0), en otro caso,

(3)

donde W es la anchura del canal (en este caso, tal como se muestra en laFig. 2, W = 0,97m).

(ii) La turbulencia del fluido debe ser mınima en el canal para evitar la des-orientacion del pez, es decir, la vorticidad debe reducirse lo mas posible.

Tomamos un peso ξ ≥ 0 para el papel de la vorticidad y consideramos comofuncion objetivo la funcion definida de la forma:

J =1

2

∫ T

0

∫

ω

‖~Q

H− ~v‖2 +

ξ

2

∫ T

0

∫

ω

|curl(~Q

H)|2 (4)

La velocidad del agua ~u = ~Q/H sera tanto mejor cuanto menor sea el valorcorrepondiente de la funcion coste J .

2.1. Diseno optimo de una escala de escotadura vertical

Se trata de mejorar el diseno de la escala de peces considerada atendiendoal proposito marcado. Para ello trataremos de controlar la velocidad del aguaen funcion de la localizacion y la longitud de los tabiques en las piscinas. Contal objetivo:

Supondremos que la estructura de las diez piscinas con fondo pendientees la misma (el tamano de la escala esta determinado por el tamano dela primera piscina). Consideramos ahora tres puntos, cada uno de ellossituado en el punto medio de cada uno de los tres tabiques existentes enla primera piscina tal como se indica en la Fig. 3) y que constituiran lasvariables de diseno: a = (s1, s2), b = (s3, s4) y c = (s5, s6).

Nuestro objetivo es entonces encontrar puntos a, b y c que provoquen lamejor velocidad para el pez (es decir, que minimicen la funcion J dadapor (4)). El salmon sera el tipo de pez a considerar en nuestro estudio.

Impondremos las siguientes restricciones de diseno:

b=(s ,s )3 4

a=(s ,s )1 2

O=(0,0)

1D

D2

(0,0.97)

(1.213,0)

0.97

21.213

4

3

41.213

c=(s ,s )5 6

3D

4D

Figura 3: Esquema de la primera piscina

• Con el fin de evitar duplicidad de soluciones simetricas, supondremosque los tres puntos a, b and c estan dentro del rectangulo dibujadocon trazos discontinuos en la Fig. 3, es decir, se deben satisfacer lasdoce relaciones geometricas siguientes:

xmin = 1

4 1,213 ≤ s1, s3, s5 ≤ 34 1,213 = xmax,

ymin = 0 ≤ s2, s4, s6 ≤ 12 0,97 = ymax.

(5)

• Para permitir que el salmon pueda pasar comodamente a traves de laescotadura, esta debe ser lo suficientemente espaciosa. Este requeri-miento se establece mediante las dos restricciones lineales siguientes:

∆1 = s3 − s1 ≥ 0,1 = h1,∆2 = s2 − s4 ≥ 0,05 = h2.

(6)

(Si la anchura media del obstaculo es r = 0,0305m, ası aparece porejemplo en Puertas y otros [23], nosotros imponemos que la anchurade la escotadura debe ser, como mınimo, de

√(0,1− 2r)2 + 0,052 =

0,063m.)

• Para garantizar la estabilidad de la estructura, requeriremos final-mente las dos restricciones lineales siguientes:

∆3 = s1 − s5 ≥ 1

2 0,0305 = d1,∆4 = s6 − s2 ≥ 1

2 0,0305 = d2.(7)

De acuerdo con todo lo anterior, nuestro problema de optimizacion puedeser formulado como sigue:

Problema de optimizacion (P): Buscar la forma optima del dominio ω, mas con-

cretamente, buscar el vector s = (a, b, c) = (s1, s2, s3, s4, s5, s6)T ∈ R

6 cum-

pliendo las restricciones (5)-(7), y de forma que ~Q y H , obtenidas como solucio-nes de las ecuaciones de estado (1)-(2) en la escala de peces ω ≡ ω(s), minimicenla funcion objetivo J ≡ J(s) definido por (4).

En Alvarez-Vazquez et al. [3, 4] se pude ver el analisis matematico de unproblema analogo mas sencillo.

3. Resolucion numerica

Para evaluar J , resolvemos las ecuaciones de las aguas someras (ecuacionesde estado (1) con condicion inicial y condiciones frontera (2). Para ello se realizauna discretizacion implıcita en tiempo, descentrando el termino convectivo conel metodo de caracterısticas, y una discretizacion en espacio mediante elementosfinitos mixtos de Raviart-Thomas (ver detalles en Bermudez et al. [6]). Dado elintervalo de tiempo (0, T ), y un numero natural N, llamaremos ∆t = T/N > 0y definimos tk = k∆t para k = 0, . . . , N. Consideramos ademas una triangu-lacion τh del dominio ω mediante elementos finitos de Lagrange-Galerkin. Ası,el esquema numerico proporciona, para cada paso de tiempo tk, una aproxima-cion ~Qk

h del flujo (funcion polinomial a trozos) y una aproximacion Hkh de la

altura del agua (funcion constante a trozos). Aproximamos ahora el campo de

velocidades por ~ukh = ~Qk

h/Hkh , y computamos J de la forma

J∆th =

∆t

2

N∑

k=1

∑

E∈τh

∫

E

‖~ukh − ~v‖2 + ξ

∫

E

|curl(~ukh)|

2. (8)

Presentamos a continuacion la resolucion numerica del problema de optimi-zacion planteado mediante dos tipos de metodos diferentes:

El algoritmo de Nelder-Mead, que no utiliza derivadas y que para proble-mas geometricos ha resultado ser un buen metodo en muchas ocasiones.

El metodo del gradiente espectral proyectado (SPG), que utiliza derivadas,las cuales seran aproximadas por diferencias finitas y donde el calculo dela proyeccion se realizara via un problema lineal complementario.

A continuacion describiremos brevemente los dos metodos y, finalmente,mostraremos los resultados numericos obtenidos aplicando ambos para un pro-blema realista sobre la escala de peces establecida.

3.1. Primera aproximacion: optimizacion sin derivadas

El metodo de Nelder-Mead (NM) [21] es un metodo de busqueda directabasado en simplex que utiliza simplemente la comparacion de los valores de lafuncion objetivo. Se comienza considerando los valores de la funcion objetivo

en un simplex y se continua de manera iterativa a la busqueda de puntos mejores.

Con el objetivo de minimizar la funcion Φ : Rn → R, resumiremos la descrip-cion del algoritmo de la forma siguiente: recordamos que un n-simplex en R

n esuna envolvente convexa de n+1 puntos no contenida en el mismo n-hiperplano.El metodo construye una sucesion de sımplices como aproximacion del puntomınimo. Los n + 1 vertices y1, y2, . . . , yn+1 de cada simplex son ordenados deacuerdo con los valores de la funcion objetivo: Φ(y1) ≤ Φ(y2) ≤ · · · ≤ Φ(yn+1), yel vertice peor yn+1 es reemplazado por el nuevo punto y(ν) = (1+ν)y−ν yn+1,donde y es el centroide de la envolvente convexa de y1, y2, . . . , yn, que es,y = (y1 + · · · + yn)/n. El valor de ν se selecciona partiendo de −1 < νδ <0 < νγ < νβ < να (son valores tıpicos νδ = −0,5, νγ = 0,5, νβ = 1, να = 2)atendiendo a las siguientes reglas:

Mientras Φ(yn+1) − Φ(y1) no es suficientemente pequeno, calcular y(νβ) yΦβ = Φ(y(νβ)). A continuacion:

(a) (Reflexion) Si Φβ < Φ(y1), calcular Φα = Φ(y(να)). Si Φα < Φβ, reem-plazar yn+1 por y(να); en caso contrario, reemplazar yn+1 por y(νβ). Ir a(f).

(b) (Expansion) Si Φ(y1) ≤ Φβ < Φ(yn), reemplazar yn+1 por y(νβ) e ir a (f).

(c) (Contraccion hacia fuera) Si Φ(yn) ≤ Φβ < Φ(yn+1), calcular Φγ =Φ(y(νγ)). Si Φγ ≤ Φβ , reemplazar yn+1 por y(νγ) e ir a (f); En casocontrario, ir a (e).

(d) (Contraccion hacia dentro) Si Φ(yn+1) ≤ Φβ , calcular Φδ = Φ(y(νδ)). SiΦδ < Φ(yn+1), reemplazar yn+1 with y(νδ) e ir a (f); en caso contrario, ira (e).

(e) (Reduccion) Para k = 2, . . . , n+ 1, tomar yk = y1 + (yk − y1)/2.

(f) (Ordenacion) Reordenacion de los vertices de acuerdo con los valores deΦ.

Aunque en general no esta demostrada la convergencia de este algoritmo,tiene buenas propiedades de convergencia en bajas dimensiones (en Lagariaset al. [16] se puede ver con detalle el analisis de la convergencia en una y dosdimensiones bajo requerimientos de convexidad).

Por otra parte, para evitar el estancamiento en un punto no optimo, utiliza-remos una modificacion propuesta por Kelley [14]: definimos el gradiente sobreel simplex DΦ = V −T ∆Φ, donde V y ∆Φ son matrices dadas por:

V = (y2 − y1, y3 − y1, . . . , yn+1 − y1)∆Φ = (Φ(y2)− Φ(y1),Φ(y3)− Φ(y1), . . . ,Φ(yn+1)− Φ(y1))

(9)

Entonces, cuando se detecta el estancamiento, modificamos el simplex medianteuna restauracion orientada, reemplazando este por un simplex mas pequeno

y1 = y1, yj = y1 − βj−1ej−1, 2 ≤ j ≤ n+ 1, donde ek denota el k-th vector dela base canonica de R

n, y

βk =

σ2 , if (DΦ)k ≥ 0,−σ

2 , en otro caso,(10)

para la longitud tıpica σ = mın2≤j≤n+1

‖yj − y1‖.

Por otra parte, dado que el algoritmo NM es especıfico para problemas sinrestricciones, reformularemos nuestro problema inicial (P) mediante penaliza-cion para abordar las dieciseis restricciones lineales (5)-(7). Para un parametroµ > 0 suficientemente grande, aproximaremos (P) por el problema de optimi-zacion sin restricciones:

mıns∈R6

Φ(s) (11)

donde, para s = (s1, s2, . . . , s6) ∈ R6, el valor de Φ(s) se puede calcular mediante

el siguiente algoritmo :Paso i. (Construccion del dominio) Considerar el dominio correspondiente ω(s),y la triangulacion asociada τh(s).Paso ii. (Resolucion del sistema de estado) Resolver las ecuaciones de estado(1)-(2) sobre ω(s) como se ha propuesto en la seccion anterior, y calcular elvalor de J(s) utilizando la expresion (8).Paso iii. (Restricciones) Definir Ψ(s) de tal manera que Ψ(s) ≤ 0 ⇔ s cumpla(5)-(7), es decir, considerar, por ejemplo,

Ψ(s) = max 14 1,213− s1,

14 1,213− s3,

14 1,213− s5,

s1 −34 1,213, s3 −

34 1,213, s5 −

34 1,213,−s2,−s4,−s6,

s2 −12 0,97, s4 −

12 0,97, s6 −

12 0,97, 0,1− s3 + s1,

0,05− s2 + s4,12 0,0305− s1 + s5,

12 0,0305 + s2 − s6.

(12)

Paso iv. (Penalizacion) Calcular el valor de la funcion de penalizacion discreta.

Φ(s) = J(s) + µmaxΨ(s), 0. (13)

3.2. Segunda aproximacion: Optimizacion diferenciable

Denotamos por Ω el subconjunto de R6 convexo y cerrado constituido por

los puntos de s ∈ R6 que satisfacen las restricciones (5)-(7), es decir, llamando

l1 = l3 = l5 = xmin, u1 = u3 = u5 = xmax, l2 = l4 = l6 = ymin, u2 = u4 = u6 =ymax, el conjunto de puntos admisibles Ω dado por

Ω = s = (s1, s2, . . . , s6) ∈ R6 : li ≤ si ≤ ui, i = 1, 2, . . . , 6, (14)

s3 − s1 ≥ h1, s2 − s4 ≥ h2, s1 − s5 ≥ d1, s6 − s2 ≥ d2

Ası, nuestro problema original (P) se puede escribir de la forma:

mıns∈Ω

J(s) (15)

Proponemos ahora para su resolucion un algoritmo de gradiente espectralproyectado (SPG) debido a Birgin et al. [7] (el cual proporciona siempre unpunto admisible Ω) y para el que se puede demostrar convergencia global bajohipotesis razonables (ver [7] para mas detalle). Suponiendo que disponemos del∇J en cada iteracion, el algoritmo SPG se puede resumir en los siguientes pasos:Paso 0. (Inicializacion) Sea s ∈ Ω, y sea ǫ > 0 una tolerancia positiva.Paso 1. (Busqueda de la direccion) Sea d = PΩ(s − η∇J(s)) − s, donde η > 0esta dada por:

Primera iteracion: η = 1,

Iteraciones posteriores: Sea s el punto actual y s el punto previo. Se calcula

x = s− s e y = ∇J(s) −∇J(s). Entonces, si xT y > 0, se toma η = xT xxT y

;en otro caso, se toma η como un valor positivo fijo.

Y donde y = PΩ(z) representa la proyeccion y de z ∈ R6 sobre Ω que puede

ser calculada facilmente (debido a las caracterısticas especiales de nuestro con-junto Ω) como un punto estacionario, es decir, un mınimo global de la funcioncuadratica estrictamente convexa que minimiza la distancia de z a Ω:

mıny∈Ω

1

2‖y − z‖22 = mın

y∈Ω1

2zT z − zTy +

1

2yT y (16)

Paso 2. (Fin) Si d = 0 (en la practica, ‖d‖2 < ǫ), entonces parar: s es un puntoestacionario de J en Ω.Paso 3. (Tamano del paso) Se calcula un valor α ∈ (0, 1] tal que J(s + αd) ≤J(s) + αβ∇J(s)T d, con β > 0 (normalmente, β ∈ [10−4, 10−1]). Entonces,con el objetivo de calcular el tamano de α de forma iterativa, se elige γ > 0(normalmente, γ = 2), se toma θ1 = J(s) y θ2 = β∇J(s)Td, y luego, parap = 0, 1, 2, . . ., se define α = 1

γp , y se para cuando J(s+ αd) ≤ θ1 + αθ2.

Paso 4. (Actualizacion) Se define s = s+ αd, y se va al Paso 1 con s = s.Los valores de la funcion J(s) se pueden obtener directamente de la expresion

(8). El calculo del gradiente se puede realizar resolviendo el adjunto del sistemade estado (ver [4]). No obstante, esta forma de proceder resulta incomoda ennuestro caso y, en general, no util en la practica. Realizaremos la aproximaciondel gradiente de J , en esta ocasion, mediante diferencias finitas:

Para un s ∈ Ω fijo, el gradiente ∇J(s) =(

∂J∂s1

(s), ∂J∂s2

(s), . . . , ∂J∂s6

(s))puede

ser aproximado, para δ > 0 suficientemente pequeno, por:

∂J

∂si(s) ≈

J(s+ δei)− J(s)

δ, i = 1, 2, . . . , 6.

De este modo, una vez obtenido el valor J(s) de (8), para calcular ∇J(s),solamente es necesario realizar seis evaluaciones de J . El calculo del paso solonecesita una evaluacion de la funcion J , por cada intento.

En lo que resta de esta seccion mostraremos la resolucion del problemacuadratico (16), el cual nos proporciona y = PΩ(z). Este problema se puededesacoplar en dos problemas cuadraticos simples. De hecho,

mın(y1,y2,...,y6)

6∑

i=1

12z

2i − ziyi +

12y

2i

sujeto a li ≤ yi ≤ ui, i = 1, 2, . . . , 6,y3 − y1 ≥ h1, y2 − y4 ≥ h2,y1 − y5 ≥ d1, y6 − y2 ≥ d2.

⇐⇒

mın(y1,y3,y5)

12 (z

21 + z23 + z25)− (z1y1 + z3y3 + z5y5) +

12 (y

21 + y23 + y25)

sujeto a li ≤ yi ≤ ui, i = 1, 3, 5,y1 − y5 ≥ d1, y3 − y1 ≥ h1,

ymın

(y2,y6,y4)

12 (z

22 + z26 + z24)− (z2y2 + z6y6 + z4y4) +

12 (y

22 + y26 + y24)

sujeto a li ≤ yi ≤ ui, i = 2, 6, 4,y2 − y4 ≥ h2, y6 − y2 ≥ d2.

Dado que cada uno de los dos problemas cuadraticos anteriores tiene sola-mente dimension tres, se puede resolver cada uno de ellos utilizando las con-diciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). El primer problema desacoplado co-rresponde a las variables (y1, y3, y5) (el segundo corresponde a las variables(y2, y6, y4), y se razona de modo analogo). Notar ademas que las cuatro cotasl1 ≤ y1 ≤ u1, y3 ≥ l3, y5 ≤ u5 son redundantes (consecuencia directa de lasrestricciones (6) y (7) y de las igualdades l1 = l3 = l5, u1 = u3 = u5). De estemodo, de las ocho restricciones lineales del problema original desacoplado, que-dan solamente cuatro. En resumen, cada uno de los dos problemas cuadraticosdesacoplados puede ser reescrito de la forma:

mın(x1,x2,x3)

α− (a1x1 + a2x2 + a3x3) +12

(x21 + x2

2 + x23

)

sujeto a x2 ≤ u,x3 ≥ l,x1 − x3 ≥ d,x2 − x1 ≥ h,

donde u, l, d, h, α y ai, para i = 1, 2, 3, son numeros reales.

Finalizaremos esta seccion mostrando la resolucion de este problema. Seaw = (w1, w2, w3, w4)

T el vector de los multiplicadores de Lagrange asociado alas cuatro restricciones. Sean

A =

0 −1 00 0 11 0 −1

−1 1 0

, b =

−uldh

,

lo que nos permite escribir las restricciones lineales de la forma

Ax− v = b, v ≥ 0,

donde v = (v1, v2, v3, v4)T es el vector de las variables de salto. Dado que la

funcion objetivo es estrictamente convexa y cuadratica en R3 y que las restric-

ciones lineales son consistentes, el problema de optimizacion tiene una unicasolucion optima (global) que satisface las condiciones KKT:

v = Ax− b,−a+ x = ATw,v ≥ 0, w ≥ 0,vTw = 0,

donde a = (a1, a2, a3)T . Entonces, la solucion optima esta dada por

x = a+ATw

es decir,

x1 = a1 + w3 − w4,x2 = a2 − w1 + w4,x3 = a3 + w2 − w3.

Para calcular los multiplicadores de Lagrange wi, eliminamos las variables sinrestricciones xi para obtener el siguiente problema de complementariedad lineal(LCP) :

v = (−b+Aa) +AATw,v ≥ 0, w ≥ 0,vTw = 0.

Seaq = −b+Aa = (u − a2, a3 − l, a1 − a3 − d,−a1 + a2 − h)T

y

M = AAT =

1 0 0 −10 1 −1 00 −1 2 −1

−1 0 −1 2

.

Como M es una Z-matriz (todos los elementos que no estan en la diagonalson no positivos), este problema LCP(q,M) se puede resolver por el llamadoalgoritmo de Chandrasekaran [20]:Paso 0. Sea w = 0, v = q y I = i : vi < 0. Si I = ∅, entonces w = 0 es unasolucion de LCP.Paso 1. Se considera el sistema lineal

MIIwI = −qI

Si MII es singular, entonces LCP no es factible. En otro caso, sea wI la unicasolucion de este sistema lineal y se establece

wj = 0, ∀j 6∈ I.

Figura 4: Altura del agua en el tiempo final T = 300 s en la escala de partida (es-cala correspondiente a los puntos: a = (0,6, 0,15), b = (0,9, 0,07), c = (0,5, 0,4)).Valores de la altura: 0.26 (azul), 0.38 (verde), 0.46 (amarillo), 0.50 (naranja),0.54 (rojo).

Figura 5: Campo de velocidades horizontal en el tiempo final T = 300 s enla escala de partida (escala correspondiente a los puntos: a = (0,6, 0,15), b =(0,9, 0,07), c = (0,5, 0,4).)

Paso 2. Se calcula

vi = 0, if i ∈ I,

vi = qi +∑

j∈I

mijwj , if i 6∈ I,

y se construye J = j : vj < 0.Paso 3. Si J = ∅, entonces w es una solucion de LCP. En otro caso se va a Paso1 con I = I ∪ J .

4. Resultados numericos

Los resultados numericos que presentamos se han obtenido en una situacionrealista estandar. Hemos trabajado sobre la escala de la Fig. 2 con los siguientesdatos: H0 = 0,5m, ~Q0 = (0, 0)m2s−1 (condicion inicial y condiciones frontera);coeficiente de Chezy de 57,36m0,5s−1 (unico termino considerado, por simplici-

dad, en el segundo miembro ~f); c = 0,8ms−1 (velocidad objetico); ξ = 0 (pesopara la vorticidad); T = 300 s (perıodo de simulacion); ∆t = 0,1 s y N = 3000(para la discretizacion en tiempo) y, una malla triangular de 9500 elementos(para la discretizacion en espacio).

Mostramos a continuacion un par de ejemplos relativos a los experimen-tos numericos que hemos realizado, no sin antes hacer algunas apreciaciones alrespecto: el punto inicial de partida juega un papel importante en la solucionoptima calculada (mınimo local), partiendo de puntos diferentes se obtienenpuntos optimos diferentes, pero todos ellos con niveles aceptables similares decumplimientos. En cuanto a la sensibilidad de la solucion respecto a los parame-tros, los seis parametros resultan igualmente importantes. En la configuracionoptima, el perfil de velocidades se acerca a la velocidad objetivo (una velocidad

Figura 6: Campo de velocidades horizontal en el tiempo final T = 300 s en lapiscina central de la escala de peces de partida.

paralela a la pared lateral en la zona de escotadura, excepto obviamente alre-dedor de los obstaculos, y casi nula en el resto de la escala), cosa que no ocurreen configuraciones no optimas. Se observa asimismo que las zonas de recircula-cion que aparecen en la configuracion inicial, desaparecen completamente en laconfiguracion optima, proporcionando por lo tanto una mejora significativa deldiseno.

Experimento 1: Algoritmo NM

Tomamos como parametro de penalizacion µ = 105 y aplicaremos el algorit-mo Nelder-Mead (NM). Partimos del punto ♯1 (junto con el valor correspon-diente de la funcion coste J), tal como se muestra en la tabla 1. Despues de167 evaluaciones de J , se alcanza el coste mınimo J = 240,4255 en los pun-

Cuadro 1: Initial random 7-simplex for NM algorithm

point ♯ s1 s2 s3 s4 s5 s6 J(s)

1 0.6 0.15 0.9 0.07 0.5 0.4 551.05692 0.4 0.13 0.9 0.03 0.31 0.3 450.53613 0.5 0.16 0.7 0.1 0.35 0.4 649.57304 0.6 0.15 0.85 0.08 0.4 0.25 533.98165 0.7 0.15 0.9 0.05 0.4 0.45 275.92816 0.5 0.24 0.55 0.04 0.4 0.3 > 105

7 0.45 0.18 0.6 0.12 0.35 0.3 1025.8988

Figura 7: Algoritmo NM: Altura del agua en el tiempo final T = 300 s en laescala de peces optima (es decir, escala correspondiente al punto optimo: aNM =(0,7248, 0,1573), bNM = (0,9169, 0,0494), cNM = (0,4450, 0,4727)). Valores dela altura: 0.26 (azul), 0.38 (verde), 0.46 (amarillo), 0.50 (naranja), 0.54 (rojo).

Figura 8: Algoritmo NM: Campo de velocidades horizontal en el tiempo fi-nal T = 300 s en la escala optima (es decir, la correspondiente a: aNM =(0,7248, 0,1573), bNM = (0,9169, 0,0494), cNM = (0,4450, 0,4727)).

tos aNM = (0,7248, 0,1573), bNM = (0,9169, 0,0494), cNM = (0,4450, 0,4727)(puntos correspondientes al diseno optimo).

Los calculos se ha realizado en un portatil Intel Pentium 4 con dos micro-procesadores, siendo 99 horas el tiempo invertido.

Las Figs. 4 y 5 muestran, respectivamente, la altura total del agua en el ulti-mo instante de tiempo de la simulacion (donde el estado es estacionario) y elcampo de velocidades del agua correspondientes a la configuracion inicial rela-tiva la punto ♯1 de la tabla1. Las figuras Figs. 7 y 8 muestran, respectivamente,la altura total del agua en el ultimo paso de tiempo de la simulacion (donde elestado es estacionario) y el campo de velocidades del agua correspondientes ala configuracion optima, es decir, la configuracion relativa al punto aNM , bNM

and cNM . En cada uno de los dos casos se observa que el flujo se comportade forma analoga en cada una se sus piscinas y, en el caso optimo, se apreciaclaramente definida una linea de corriente a traves de todas las escotaduras.

Las figuras Figs. 6 and 9 muestran primeros planos del comportamientodel flujo correspondientes, respectivamente, a la configuracion inicial y optima.Se puede observar como en la configuracion optima la velocidad del flujo seacerca a la velocidad horizontal objetivo ~v, las pequenas regiones de recirculaciondesaparecen y las grande se reducen. Tambien se puede observar sobre las figurasFigs. 4 y 7 como las grandes diferencias que ocasionan las regiones de torbellinosobre la altura del agua dentro de cada piscina en la configuracion inicial, sonmuy suavizadas en la configuracion optima.

Experimento 2: Algoritmo SPG

En este ejemplo utilizaremos el metodo SPG. Tomamos δ = 10−3 (tamanodel paso), η = 1015 (parametro espectral) y ǫ = 10−3 (tolerancia). Partimosdel punto ♯5 a = (0,7, 0,15), b = (0,9, 0,05), c = (0,4, 0,45), donde el valorde la funcion objetivo es J = 242,6674 y despues de solamente ♯5 iteracionesalcanzamos el coste mınimo J = 242,6674 correspondiente al diseno optimo

Figura 9: Algoritmo NM: Campo de velocidades horizontal en el tiempo finalT = 300 s en la piscina central de la escala optima.

Figura 10: Algoritmo SPG: Altura en el tiempo final T = 300 s en la escalaoptima (es decir, la correspondiente al punto: aSPG = (0,7032, 0,1593), bSPG =(0,9002, 0,0633), cSPG = (0,4076, 0,4238)). Valores de la altura: 0.26 (azul), 0.38(verde), 0.46 (amarillo), 0.50 (naranja), 0.54 (rojo).

aSPG = (0,7032, 0,1593), bSPG = (0,9002, 0,0633), cSPG = (0,4076, 0,4238).El tiempo total de CPU en este caso ha sido de 27.4 horas, suponiendo una

reduccion de cerca del 72% con respecto al ejemplo 1.En las Figs. 10-12 se muestran, respectivamente, la altura total y el campo de

velocidades en el ultimo paso de la simulacion correspondiente a la configuracionoptima aSPG, bSPG and cSPG. Los resultados son similares a los obtenidos enel experimento 1.

5. Conclusiones

Se realiza una modelizacion matematica para simular la altura y la velocidaddel agua en una escala de peces estandar. Se establece un modelo para disenarla forma optima de una escala de peces estandar desde el punto de vista de laadecuacion a las necesidades natatorias y de descanso requeridas por los pecesen su travesıa a traves de la escala.

Para resolver el el problema medioambiental planteado, y con el objetivo de

Figura 11: Algoritmo SPG: Campo de velocidades horizontal en el tiempo fi-nal T = 300 s en la escala optima (es decir, correspondiente al punto optimo:aSPG = (0,7032, 0,1593), bSPG = (0,9002, 0,0633), cSPG = (0,4076, 0,4238)).

Figura 12: SPG algorithm: Campo de velocidades horizontal en el tiempo finalT = 300 s en la piscina central de la escala de peces de optima.

alcanzar el diseno optimo de la escala, se proponen dos metodos: el algoritmo deNelder-Mead (que no utiliza derivadas) y el metodo SPG (que utiliza derivadasy donde estas se aproximan mediante diferencias cocientes).

Las experiencias numericas realizadas por ambos algoritmos indican queambos resultan robustos y fiable. El valor conseguido para la funcion coste esligeramente mejor para la forma optima obtenida por el NM algoritmo, pero,como contrapartida, el esfuerzo computacional es claramente inferior para elmetodo SPG.

Notar que el problema de optimizacion planteado es no convexo, por lo tan-to los mınimos son locales. Las experiencias numericas realizadas muestran queambos algoritmos determinan mınimos locales diferentes, no obstante ambosmınimos locales dan lugar a soluciones de diseno igualmente satisfactorias.

Senalar finalmente que el algoritmo NM presenta dificultades computacio-nales cuando se aplica a problemas con un numero elevado de variables. En talcaso, si las restricciones del modelo son simples, como en nuestro problema, el

calculo de la proyeccion sera sencillo y facil y el metodo SPG sera el unico meto-do capaz de resolver, de una manera eficiente, los problemas de optimizacionrelacionados con el modelo.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido realizado en el marco de los proyectos MTM2009-07749(Ministerio de Ciencia e Innovacion) y INCITE09PXIG291083PR (Xunta deGalicia).

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