Hl'\'i ..•Ll \Ie.til'an.l ,le Física 21 (1972) F5S-F(;(í

INTIlO[)UCClON GEOMETRICA A LA REL,\T1VIDA[) ESPECIAL"

Institnto lit' Física, Unh,t'rsidad ,\'ncio1lal dt' ,\f(:xicfJ

(Rccihido: agosto L [(72)

AIl~TRACT: lt is shown thJ.t by meansof purely ,lo:eonll.uic.linln ...•ilil.rations

in t('rms of th<' \finkowski diil~ram. une can d('riH' thl' funda.

ml'nLII lavos of special rclati\'ity fmm the' princiri('s of equi\;l.

ienc(' of inerti.'" Obscf\"crs and uf constancy (lf the \('Io(:ily (lf

li~h(. This mcthod, which is known as k.cakulll ..•• 11.'''' (h(.

advJ.nta~c of exhibitin¡.t in a simplc and illustr.1ti\(. W.'y tllt:

difl'ct fcLuionship that cxists hctw(,cll tllt. hasic postulaft.s 01'spt'cial re1.1ti\"ity and various ('ffect ..•that art. d('ri\".lhl(' frolll

them, without r(,sorlin~ to thc I.orcntz uan ...•form.lliotl.

1. I~TI(()Ill:cClO~ AL CA LCU LO k

lJ.'iuall1lcnte. la.'" exposiciones elem<:ntales de' la teoría de la reL.ui"i-dad esp<'Cial si~lIen dc c<,,'rca <:1 método ernp!{'ado por Einstein desde' sus pri-mero", [rah.ljo ..•. que l..'on..•iste (...•cncialmc!1t<... ('11 d('mo'trar 'lUt. de su, princi-

---- -,- ---------------"---------"-------------"-----Trah.,jo .lu"'"pici.hio ('11PMt(" por ("11:\1-::--...• '\lé"ico. D. F.

1'56 Ceno y d(" la Peña

pi os fundam('nralcs -el de la reJari,'idad y el de la constancia de la veloci-

dad d<:-la luz - siguen las fórmulas de la transformación de Lorcntz. y en uti-

lizar estas úhimas en una segunda etapa para deducir el reseo de las leyesde la r<:lati\'idad especial. Poco común es, por otra pauc, exhibir la relacióndirecta que existe entre las leyes básicas de la relati\'idad especial y los dos

principios efl que se apoyan, pese a que existe para ello un método geomérri.co mu\" sencillo, cotlc<.'bido por 11. Bondi. Este método, llamado cálculo k,es po~o conocido (.'n la literatura; de hecho. fuera de su presentación en for-

ma popular por d propio Bondi I y de su utilización en la discusión de la lla.mada paradoja de los gemelos 2, los aucores han podido {'ncontrar sólo una ex-

posición sistemática del método3, en la que, incidentalmente, está basada lapu'sente exposlclon.

Para l'¡ desarrollo del cálculo k, se hace uso de la representación grá-fica en d sist{'ma de coordenadas espacio-tiempo, es decir, el llamado dia-

grama d{, .\Iinkowski. Como es usual y para simplificar la exposición, sólo

se considerarán movimientos unidimensionales. La aplicación de los princi-

pios de {'quivfliencia dl' los sistemas inerciales y dc la constancia de la "Ce

locidad dl' la luz, a una combinación adecuada de estos diagramas, permite

derh'ar por consideraciones puramente geométricas la fórmula del efecco Doeppler relativista; si a lo anterior se agrega el concepco de simultaneidad, se

pueden d{'ducir con igual facilidad fórmulas de efeccos más complicados, co-mo el retraso de los relojes, la ley relativista de adición d{, las velocidades

y, naturalmente, las rl'glas de transformación de Loremz. Este es el ordende la exposición que sigue.

Recordemos, para empezar, cómo se construye e interpreta el diagraema de .\Iinkowski asociado al sistema del laboratorio. Puesto que considera-

remos sólo movimientos unidimensionales es suficiente, además de la coorde-

nada tl'mporal /, una sola coordenada espacial, que llamaremos x, para loca-lizar l'} e"cnco. Un evento que Ocurre en x al instante / está representado

por un punto en la posición respectiva del diagrama de ~tinkowski. Por con esiguiente, el movimil'nto dc una partícula que se mUl've con velocidad cons-tante fJ rl'speCto al laboratorio, y que en / = O pasa por x :::;.O, está represenetado por una a'cta que pasa por el origen y forma un cierro ángulo e con elej<-' del tiempo; !'ji las unidades se eligen en tal forma que la trayectoria de unrayo de luz, que viaja con velocidad e en el vacío, queda representada poruna recta a 45°, como se muestra en la Hg. 1, entonces tenemos que

e = ang tg pie. rodo fenómeno físico se desplaza o propaga con una veloci-dad que no pue{i<- <-'xced<-'rc. por lo qu{- e< 45°. (ver re£. 4).

Como es sabido. la línea que representa el movimiento de la partículaen el diagrama de .\finkowski recibe el nombre de línea de univ{'rso de la par-

Introducción Geométrica a la Relat~.vidad ... ES7

tícula. Así, por ejemplo, la línea de universo de un observador a que se en-cuentra en reposo en el laboratorio es una recta vertical, y la de otro obser-vador h que se aleja con velocidad uniforme ves una recta que forma con lavcrtical un ángulo e = ang tg v/c. Si los dos observadores se encuentran enel punto x = Oal riempo t = O, las líneas de universo correspondientes sonOA y OB en el diagrama de Minkowski del observador a, fig. l.

A

x.

Figura

El principio de equivalencia de todos los sistemas inetciales (princi-pio de relatividad) implica que podemos dibujar un diagrama de Minkowski en-teramente equivalente al anterior, pero en el cual el observador b está en re-poso. En este diagrama, la línea de universo del observador a es una rectaque forma con la vertical un ángulo fJ = ang tg - v/c = - ang tg v/c, como semuestra en la fig. 2. Además, el principio de constancia de la velocidad dela luz para todos los observadores inerciales implica que también en este dia-grama, los rayos de luz están representados por rectas a 45 o.

Finalizado este recordatorio, paseP10s ahora al cálculo k .Con referencia a la fig. 3, si el observador a del laboratorio emite una

señal luminosa al instante t = O, el observador b la recibe al mismo instantc.Si en to ,.a emite otra señal, ésta tarda cierto tiempo en llegar a b, quienmientras tanto se ha alejado de a; la recta ToT representa el recorrido de es-ta señal. Si a envía señales luminosas a intervalos de tiempo to' b las ob-servará a intervalos de longitud t, en virtud de la invariancia frente a tras la-

E5H <:ello y dc la Pt.ña

ciones en el t¡{'mpo; es decir, la relación e(l(r(' los (iempos m(,dido,"i por a y bdeb(, ser lin(:ai:

x.Figura 2

F ¡gura 3

lntmdurri{)n (,pométrira a la R,datit'idad, , ,

Análogamente, una señal emitida por b al instante' es recibida por aal instante '1= k'" Como, de acuerdo con el principio de rclati\'idad, lasleyes de la física son las mismas para todo sistema inercial de referencia,

tenemos que k := k' l Y por consiguiente.

1 = k'lI o

Del principio de igualdad de la velocidad de la luz para ambos observadores

sigue que las dos rectas "fa T y TTIestán a 45 o, y por lo [anto,

(SJ¿ ) = (ST,) = (ST) = (OS) tg 6 .

El resto de consideraciones es puramente geométrico; oe acuerdo con la fig.

3 se tiene

(OS) = (OI¿) + (S"J~) = (oI~) + (OS) tg 6

(OS) = (OT,) - (ST,) = (OI',) - (OS) tg 6

de donde

lO = (OI¿) = (1- tg 6)(05)

1 = (OT ) = (1 + tg 6)(05), ,

y por lo tanto,

k' = 1, = 1 + tg 6lo 1 - tg 6

Por consigUiente, como tg e = v/e,

k=~C+1Je - v

EllO eeuo y de la Peña

En esta forma hemos podido derivar el factor k (que da su nombre almétodo) a partir de los principios fundamentales de la relatividad. Si consi~deramos al intervalo lo como el período de un cierto fenómeno en el laborato.rio, entonces t = kto sería el período del mismo fenómeno observado por b;por lo tanto, podemos identificar a k como el factor del efec(Q Doppler, es de~cir, como la relación entre las frecuencias va y v medidas por a y h, respec-tivamente:

V =~=k-lI €-v~-- ~

e+vI-~

eSI ~« 1

e

ll. EL RETRASO DE LOS RELOJES

Con objeto de derivar la fórmula de la dilatación del tiempo, es nece-sarIO introducir el concepto de simultaneidad _ Según el observador a, elevento S y el evento T de la fig. 3 son simultáneos, porque todos los puntosde la línea ST, que es perpendicular al eje del tiempo, están a la misma dis-tancia de la recta t = D. Por consiguiente, a atribuye al evento T una coor-denada temporal ts = (OS), en tanto que b atribuye al mismo evento el tiempot = klo' De la Hg. 3 y las relaciones deducidas en la sección 1, vemos que

)' por consiguiente,

I +O

tg e1 - 'g e I =o

lO1 - 'g e

I

k(l-v/c)

11 - v/e

.~= 1"¡:¡:-;;fc- 4 /

vI-v2/e2

liemos deducido así la fórmula del "retraso" del reloj en mOVimiento,SIn recurrir a la transformación de Lorentz. Una ventaja de este método radi-ca en que nos permite entender en términos geométricos la llamada paradojade los relojes. Para ello, supongamos que además de a y b existe un tercerob!'>cf\'ador inercial a'que al encontrarse con b en el punto T (ver fig. 3) tomala lectura del reloj de b, que marca I = kl . Si este tercer observador se acer~o

Introducción Geom';trica a la Relatividad ... E61

.ca a a con velocidad relativa -v, al encontrarse con a en el punto T2

su re-.lo; marcará 21;; 2klo' en tanto que, según a, el tiempo transcutrido es21 = 21 /(1- v/c). Es decir, el reloj de a' se ha arrasado respecro al de as opor un factor /1 - v2/C2• Este resultado parece ser paradójico cuando seinterpreta en términos de sólo dos observadores (paradoja de los gemelos):un primer observador que sigue la trayectoria" de a y un segundo observadorque inicialmente se aleja de a siguiendo la trayectoria de b, para despuésacercarse nuevamente a a a lo largo de la trayectoria de al. Efectivamente,el segundo observador envejeció menos que el primero durante este trayecto,pero este resultado no tiene nada de paradójico si se toma en cuenta que só.lo uno de los observadores sintió una aceleración durante el viaje, y que esde esperarse que si dos personas tienen experiencias diferentes, también lasconsecuencias de sus experiencias difieran. (El lector interesado puede en-contrar una discusión más amplia de este tema, desde éste y otros puntos devista, en las refs. 2 y 5).

11I. LA ADlCION DE VELOCIDADES

Pasamos ahoríJ. a la derivación de la fórmula relativista para la adi.ción de velocidades, que con ayuda del cálculo k resulta casi inmediata. Su-pongamos que además de los observadores a y b, existe un tercer observadorinercial d que se aleja de a con velocidad relativa w. El factor k correspon-diente a este observador se puede obtener de dos maneras. Por una parte,la señal emitida por a al instante lo es recibida por d al instante 1

3(ver fig.

3), donde

y k(w) = v(l +w/c)/(l-w/c). Por orra parte, podemos calcular k(w) supo-niendo que el observador b actúa de intermediario: b recibe la señal emitidapor Q, al instante 1, donde

I = k (v) lo •

e inmediatamente emite una nueva señal que es recogida por d. Si llamamosu la velocidad de d respecto a b, el tiempo transcurrido es, según d,

1-:62

de donde

o sea

k(ll') = k(lI) k(v)

Ceuo y de la Peña

I+I/I/c=1 - w/ e

1 + II/C

1- 11/C1 + v/e1 - v/e

Un poco de álgebra nos permite escribir este resultado en su forma usual:

w

Vemos así que la fórmula relativista para la adición de velocidadesse puede enunciar como la ley de multiplicación de los factores k respecti-vos.

IV. LA TRANSFOR~IAClON DE LORENTZ

Para finalizar, mostramos cómo se puede derivar la transformación deLorenrz con el cálculo k. Para ello 'lacemos referencia al-diagrama de ~fin-

kowski de la fig. 4. en el que están representados tres observadores inercia-

les a, b y~. Los observadores a r b se encuentran en O y se alejan entresí con \'('loeidad relativa v. Una señal emitida por a al instante '1 es reci-

bida por b al instante t:. El observador ~ recibe esta señal en el punto P rla refleja sin retardo alguno; la señal reflejada pasa por b al tiempo ,; y pora al tiempo '2'

El observador del laboratorio atribuye al evento P las coordenadas[en) = (TT )] .1 2.

f,aroducr;ón Gf'omptr;ra a la Rr'latit!;dad .•. 1'63

(OT)(0'["1) + (O'[",l

=------2

(0'[" )-(0'[")2 1 == e

2

/ t :-e

Figura 4

Por el principio de relatividad, podemos establecer un conjunto de fórmulasequival(>mcs para ('1 observador b. Así como T es el punw medio cntre losinstantes de..' emi .••¡ón y recepción del pulso por a, es decir, ('n(r<..>'1") y T

2, T'

es el PUntO medio en[r<..' T/ y T/. Por analogía, tenemos que

1'64

ti + t'1 2

2

Ceno y de la Peña

e

y que

,x

,'=t'_X1

[' - t'2 1e _2

/' =2

,t'+ ~.

e

Pero de acuerdo con el cálculo k,

t' = ktI 1

o bien

De aquí obtenemos, por una parte, que

(el- x)(el + x) = (el' - x' )(el' + x') ,

o sea

2 2 2 ,2 2'2x-c/=x -el

y por ()[ra pane,

y, [~( l' - ~) + k ( l' +~)Jk e e

= 2\ [(k 2 + 1) l' + (k 2 - 1) ; 'J = ,'+vx'/c2

Introducción Geométrica a la Relatividad ... E65

I 'x = 5.. (kl;.-_I 12 k

[ ( ') 1 ( :' lJ =e k I'+~ -_ 1'-"2 e k

1 [(k' + 1) x' +lk' -1) el'] = _x_'_+_V_I_'_2k

Estos dos úhimos resultados son las conocidas fórmulas de la transformaciónde Lorentz para pasar del sistema de coordenadas x' - /' a otro sistema x-/en movimiento uniforme respecto al primero, mientras que el resultado ante4dar es la expresión matemática del principio de igualdad de la velocidad dela luz para todo observador inercial.

REFERENCIAS

1. 11. Bondi, R~la/ivi/é ~/ bon s~ns' Dunod, Paris, 1968.2. 11. Ilondi, Diseovery 18 (1957) 505; G. D. Seo((, Am. J. Phys. 27 (1959)

580; O. R. Friseh, Contemporary Phys., Oe[. 1961, p. 16.Reimpresos en Sp~cial r~/a/itJi/y /h~ory, Selected rcprints, AIP, N. Y.,1963.

3. D. Ilohm, Th. spuiallh.ory 01"Ialivily. W.A. Ilenjamin, N. Y., 1965.4. Estamos tomando en cuenta sólo las partículas normales, que están ca-

racterizadas, entre otras cosas, por el hecho de qU{' Sil velocidad no pue4de exceder la de la luz. Se ha especulado sobre la posible existencia decierto tipo específico de partículas, llamadas taquiones, que tienen la pro-piedad de desplazarse con velocidad mayor que la de la luz; el lector in-teresado en este tema puede informarse más ampliamente en el artículoque abrió los debates al respecto: O.M.P. Bilaniuk, V.K. Deshpande,E.C.G. Sudarshan; Am. J. Phys. 30(962) 718.

5. M. Saehs, Physies Today, Sept. 1971, p. 23.

RESUMEN

Se hace ver que mediante consideraciones puramente g ...vmétricas, entérminos del diagrama de .\tiriko\'tski, es posible derivar las leyes básicas dela relatividad especial a parji;' de los principios de la equivalencia de los oh4sen"adores inerciales y de la c.pnstancia de la velocidad de la luz. Este rné-

I

E()() <:('(10 r de la Peña

todo, llamado cálculo k, tiene la \'enti.lJil de cxhihir ('n forma sencilla {' ilus.lr.Hi\'a la «')ación dir<:cta que existe entre dichos postulados y di\"{'rsos {,fee-[Os '1U{: de {'lIo.'i se derivan, sin necesidad de hacer uso dt, las re~las dt,[ran,formación de I.orentz.