Sistemas ecuaciones
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Sistemas de ecuaciones
Métodos de resolución
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Un sistema lineal es…
Un sistema de ecuaciones es lineal en las variables x, y, z si cada una de sus ecuaciones son lineales, es decir, tienen la siguiente forma:
dczbyax
Donde a, b, c y d son números reales
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Ejemplos
.
423
1952
1352
zyx
zyx
zyx
583
364
yx
yxy
La expresión inferior es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas
La expresión inferior no es un sistema lineal. En la primera ecuación hay dos incógnitas relacionadas por un producto (4xy)
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Soluciones de un sistema
Una solución de un sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas que satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema.
Los sistemas pueden no tener solución (sistema incompatible), una única solución (sistema compatible determinado) o varias soluciones (sistema compatible indeterminado)
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Métodos de resolución Los posibles métodos para resolver un sistema de ecuaciones
son:
• Sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en el resto, obteniéndose un sistema con una ecuación menos.
• Igualación, se despeja en todas y cada una de las ecuaciones la misma incógnita, igualándose una de ellas, con el resto. Se obtiene de nuevo un sistema con una ecuación menos y una variable menos.
• Reducción, mediante una serie de operaciones “legales” se van obteniendo ecuaciones que disponen de una incógnita menos (se discutirá a continuación). Este método se utiliza usualmente con sistemas lineales.
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El método de reducción I
Para aplicar este método se pueden utilizar las siguientes transformaciones del sistema, para obtener un sistema equivalente (dispone de las mismas soluciones que el original)
El orden de las ecuaciones no es significativo Se puede reordenar la posición de las incógnitas de
las ecuaciones Se puede sustituir una ecuación en el sistema por la
ecuación que resulta de multiplicar todos los términos de aquella por un número real.
Se puede sustituir una ecuación por la ecuación que resulta de sumar dos ecuaciones
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El método de reducción II
Las anteriores operaciones deben manejarse con el objetivo de sustituir las ecuaciones originales, por otras equivalentes, pero que disponen de una incógnita menos. Hasta llegar a un sistema que disponga de una ecuación con una única incógnita.
4
195
1352
z
zy
zyx
Este sistema muestra el objetivo final del método. Es muy fácil resolverlo, sustituyendo el valor de z en la segunda ecuación para obtener y. Posteriormente, sustituyendo z e y en la primera ecuación calcularíamos el valor de x.
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Ejemplo: método de reducciónPaso I
432
11252
1952
yxz
xzy
zyxEn este sistema hay que reordenar las
incógnitas y el término independiente debe ser la única expresión del miembro izquierdo de cada ecuación
423
1352
1952
zyx
zyx
zyxUna vez realizada las operaciones adecuadas
para ordenar el sistema podemos empezar a resolverlo
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Ejemplo: método de reducciónPaso II
423
1352
1952
zyx
zyx
zyxCon el fin de eliminar el término en x de la
segunda ecuación, vamos a multiplicar por -2 ésta y la sumaremos con la primera. El resultado lo sustituimos por la segunda ecuación.
423
79
1952
zyx
zy
zyx
79261042
1952
zyzyx
zyx
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Ejemplo: método de reducciónPaso III
423
79
1952
zyx
zy
zyxCon el fin de eliminar el término en x de la
tercera ecuación, vamos a multiplicar por -2 ésta y la sumaremos con la primera. El resultado lo sustituimos por la tercera ecuación.
275118462
1952
zyzyx
zyx
27511
79
1952
zy
zy
zyx
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Ejemplo: método de reducciónPaso IV
27511
79
1952
zy
zy
zyx
Este nuevo sistema lineal equivalente al inicial dispone de dos ecuaciones que no tienen término en x. Por tanto la transformación se realizará ahora con la se segunda y tercera ecuación para eliminar el término en y de la tercera ecuación
Multiplicando la segunda ecuación por -11, sumando con la tercera y sustituyendo la tercera ecuación queda
104104
79
1952
z
zy
zyx
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Ejemplo: método de reducciónPaso V
104104
79
1952
z
zy
zyx
Puede observarse que la última ecuación únicamente dispone de una incógnita, por tanto, despejamos de ésta la variable z y posteriormente calculamos los valores del resto de las variables sustituyendo los valores obtenidos de la ecuación inferior a la superior
1104
104;104104 zz
2
719
y
y 4;82
191252
xx
x
Despejamos z de la tercera ecuación
Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y despejamos y
Sustituimos los valores de z e y, despejando x
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Ejemplo: método de reducciónPaso VI
423
1352
1952
zyx
zyx
zyx
Al haber obtenido una única solución, este sistema es compatible determinado. También es conveniente comprobar el resultado, sustituyendo en las tres ecuaciones los valores obtenidos para cada una de las variables.
426412234
1354415224
19110812542
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Método de sustitución I
214
262
22
yx
yx
Para ilustrar el método de sustitución lo haremos sobre este sistema no lineal. La idea es despejar en una de las ecuaciones una de las incógnitas y sustituir su valor en la otra ecuación.
4
2126
2
22
xy
yxHemos seleccionado la segunda ecuación para
despejar la variable y (es aconsejable antes de aplicar el método elegir la ecuación y variable que sea mas fácil de despejar)
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Método de sustitución II
4
21
264
21
2
222
xy
xx
4
21
2616
44142
2
242
xy
xxx
Sustituimos la variable y en la primera ecuación. Ésta queda como una ecuación con una incógnita
Procedemos a resolver al primera ecuación que proporcionará el valor de la variable x
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Método de sustitución III
02526
416441421624
242
xx
xxxTras desarrollar y simplificar la primera
ecuación, resulta una ecuación bicuadrada.
Procedemos a realizar el cambio de variable t = x2 y a aplicar la fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado
2
2426
2
57626
12
25142626
02526
2
2
t
tt
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Método de sustitución IV
12
2426
252
2426
t
t
Hemos obtenido dos soluciones para la variable t, por tanto, los valores de x serán las raíces cuadradas de estos valores, es decir, para x obtenemos 4 posibles soluciones
1
11
2
2426
5
525
2
2426
2
x
xt
x
xt
txtx
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Método de sustitución V
Para cada valor de la variable x deberemos calcular el correspondiente valor de la variable y.
Recordando que:
54
2111
54
2111
14
21255
14
21255
yx
yx
yx
yx
4
212 x
y
Obtenemos los valores correspondientes a la variable y, siendo los pares de valores las cuatro soluciones del sistema
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Método de igualación I
Para ilustrar el método de igualación lo haremos sobre este sistema no lineal. La idea es despejar la misma variable de todas las ecuaciones del sistema y posteriormente igualar los miembros de la parte derecha de las ecuaciones.
093
55 2
yx
xy
935
52
xy
xy
Como puede observarse, se ha seleccionado la variable y, pues no se encuentra afectada por la operación potencia.
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Método de igualación II
05015
45155
935
5
2
2
2
xx
xx
xx
El resultado de igualar los miembros izquierdos de ambas ecuaciones ha sido una ecuación de segundo grado en la variable x.
2
515
2
2515
12
501422515
050152
x
xx
Aplicamos la fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado
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Método de igualación III
52
515
102
515
x
xLas soluciones para la variable x son
6953
;5
219103
;10
y
x
y
xRecordando que ya se despejó la variable y al
inicio del proceso, basta con elegir la expresión más fácil para obtener el valor de la variable y correspondiente a cada valor de x