SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Ulises Umaña Palma
German Vásquez Araya
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Un sistema de ecuaciones no lineales con dos incógnitas “x” y “y”
0573),(
010),(2
2
xyyyxv
xyxyxu
Así la solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que hacen a las funciones u y v iguales a cero.
Para resolver estas ecuaciones se utilizan extensiones de los métodos abiertos antes vistos.
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Resolución del sistema de ecuaciones no lineales Utilizando la iteración de punto fijo.
La aproximación de la iteración de punto fijo, vista anteriormente, se puede modificar para resolver dos ecuaciones simultáneas no lineales
Las modificaciones y las desventajas de este método se ilustra en el siguiente ejemplo.
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Ejemplo 6.10
0573),(
010),(2
2
xyyyxv
xyxyxu
Solución
i
ii y
xx
2
1
10
Con base en los valores iniciales
21429.25.3
)5.1(10 2
x
21 357 iii yxy
37516.24)5.3()21429.2(357 2 y
La aproximación diverge, pero si se cambia la formulación, los resultados difieren.
Sistema de ecuaciones no lineales. Valores iniciales x=1.5 y=3.5.
La solución es x=2 y=3
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98340.202046.23
04955.357
02046.204955.394053.110
º3
04955.394053.13
86051.257
94053.186051.217945.210
º2
86051.217945.23
5.357
17945.25.35.110
3
57
10
y
x
Iteración
y
x
Iteración
y
x
Evaluandox
yy
xyx
%22.2
%96.3
_
_
ya
xa
E
E
%55.0
%02.1
_
_
yt
xt
E
E
Como se observa en esta ocasiónla aproximación no diverge.
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Resolución del sistema de ecuaciones no lineales
y
vyy
x
vxxvv
yu
yyxu
xxuu
iii
iiiii
iii
iiiii
)()(
)()(
111
111
)()(
'1i
iii xf
xfxx
Utilizando Newton-Raphson.
Este cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden
y con ella se obtiene la ecuación para este método.
La serie de Taylor de primer orden para el caso de dos variables.
)()()()( '11 iiiii xfxxxfxf
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xv
yu
yv
xu
xv
uxu
vyy
xv
yu
yv
xu
yu
vyv
uxx
iiii
ii
ii
ii
iiii
ii
ii
ii
1
1
Por medio de manipulación matemática y la regla de Cramer.
El denominador de ambas ecuaciones es conocido como el determinante
Jacobiano del sistema.
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Ejemplo 6.11. Para el mismo ejercicio anterior
0573),(
010),(2
2
xyyyxv
xyxyxu
5.32)5.3)(5.1(6161
75.36)5.3(33
5.1
5.65.3)5.1(22
0
220
0
0
xyy
v
yx
v
xy
u
yxx
u
Solución.
El Jacobiano para la primera iteración.
125.156)75.36)(5.1()5.32)(5.6(
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Evaluando en las funciones.
84388.2125.156
)75.36)(5.2()5.6(625.15.3
03603.2125.156
)5.1(625.1)5.32(5.25.1
625.157)5.3)(5.1(35.3
5.210)5.3(5.1)5.1(
1
1
20
20
y
x
v
u
Iteración Variable Valor Error Aprox Error True
2
x 1,9986 1,87% 0,07%
y 3,0027 5,29% 0,09%
3
x 2 0,07% 0%
y 3 0,09% 0%