SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

En los temas anteriores hemos analizado mtodos para resolver una ecuacin diferencial ordinaria

con una sola variable dependiente. Sin embargo muchas aplicaciones requieren el uso de dos o mas

variables dependientes, cada funcin de una misma variable independiente.

Mtodos:

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales existen varios mtodos como:

Mtodo de Euler para sistemas

Mtodo de Runge-Kutta y ecuaciones de 2 grado.

Mtodo de la eliminacin.

Mtodo de la TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Otros.

En el presente trabajo solo utilizaremos el mtodo de la transformada de Laplace

Solucin de sistemas de ecuaciones diferenciales por el mtodo de la

transformada de laplace

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

11 12 ( )dx

a x a y f tdt

21 22 ( )dy

a x a y g tdt

Con condiciones iniciales 0(0)x x , 0(0)y y , donde x, y son las funciones incognitas,

11 12 21 22, , ,a a a a son constantes y f(t), g(t) son funciones conocidas tomando la transformada de

laplace a ambas ecuaciones diferenciales del sistema (1).

11 12 ( )dx

L L a x a y f tdt

21 22 ( )dy

L L a x a y g tdt

Mediante las propiedades de la transformada se tiene:

11 12(0) ( )sL x x a L x a L y L f t , agrupando trminos se tiene:

21 22(0) ( )sL y y a L x a L y L g t

...(1)

11 12 0( ) ( )s a L x a L y x L f t

21 22 0( ) ( )a L x s a L y y L g t

Si 0 ( )x L f t y 0 ( )y L g t no son ambos cero, entonces se puede resolver el sistema (2), mediante la regla de CRAMER, es decir:

0 12

0 22 0 22 12 0

11 22 12 2111 12

21 22

( )

( ) ( ( ) )( ) ( ( ) )L x

( )( )

x L f t a

y L g t s a x L f t s a a y L g t

x a s a a ax a a

a s a

0 22 12 0111 22 12 21

( ( ) )( ) ( ( ) )

( )( )

x L f t s a a y L g tx L

x a s a a a

11 0

21 0 11 0 21 0

11 22 12 2111 12

21 22

( )

( ) ( )( ( ) ) ( ( ) )L y

( )( )

s a x L f t

a y L g t s a y L g t a x L f t

x a s a a ax a a

a s a

11 0 21 0111 22 12 21

( )( ( ) ) ( ( ) )

( )( )

s a y L g t a x L f ty L

x a s a a a

Por lo tanto es evidente que la transformada de Laplace, nos permite convertir un sistema de

ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales dadas en un sistema de ecuaciones simultneas.

Este mtodo puede generalizarse a sistemas de n ecuaciones diferenciales de primer orden de

coeficientes, dado entonces un sistema correspondiente a n ecuaciones simultaneas.

Ejemplo 1:

Resolver el sistema de ecuacin diferencial , con las

condiciones x(0)=1, y(0)=3

Solucin:

Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuacin

L 2x'(t) + 2x(t) + y'(t) - y(t) = L 3t

L x'(t) + x(t) + y'(t) + y(t) = L 1

...(2)

2x'(t) + 2x(t) + y'(t) - y(t) = 3t

x'(t) + x(t) + y'(t) + y(t) =1

23

2 ( ) 2 (0) 2 ( ) ( ) (0) ( )sL x t x L x t sL y t y L y ts

1

( ) (0) ( ) (0) ( )sL x t x L x t y L y ts

23

2( 1) ( ) ( 1) ( ) 5s L x t s L y ts

1

( 1) ( ) ( 1) ( ) 4s L x t s L y ts

2

3 2

2 2 2

35 1

14 1

8 4 3 1 2 3( )

( 4 3) 3 12( 1) 1

1 1

ss

ss s ss

L x ts s s s s ss s

s s

1 3

2

1 2 3( ) 2 3

3 1

t tx t L t e es s s

3( ) 2 3t tx t t e e

2

3 2 2

2 2 2

32( 1) 5

11 4

3 5 3 3 2 3( )

2 ( 4 3) ( 3)2( 1) 1

1 1

ss

ss s s s ss

L y ts s s s ss s

s s

21 1 3

2 2

3 2 3 1 1 2( ) 1 2

( 3) 3

ts sy t L L t es s s s s

3( ) 1 2 ty t t e

Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales

Resortes acoplados

Supongamos que dos masas 1m y 2m estan sujetas a dos resortes A y B, de masa despreciable,

cuyas componentes son 1k y 2k , respectivamente. A su vez, los dos resortes estan conectados

como se muestra en la figura.

Sean 1( )x t y 2 ( )x t los desplazamientos verticales de las masas con respecto a sus posiciones de

equilibrio cuando el sistema se encuentra en movimiento, el resorte B esta sujeto tanto al

alargamiento como al acortamiento; por consiguiente, su alargamiento neto es 2 1x x . De este

modo, por la ley de Hooke resulta que los resortes A y B ejercen sobre 1m , respectivamente las

fuerzas.

1 1k x y 2 2 1( )k x x

Si no se aplica ninguna fuerza externa al sistema y no hay fuerza de amortiguacin, entonces la

fuerza neta sobre 1m es 1 1 2 2 1( )k x k x x por la segunda ley de Newton escribimos asi:

2

11 1 1 2 2 12

( )d x

m k x k x xdt

De igual modo la fuerza neta ejercida sobre la masa 2m se debe solamente al alargamiento neto de

B, es decir: 2 2 1( )k x x , de esta manera resulta que:

2

22 2 2 12

( )d x

m k x xdt

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado queda descrito por el siguiente sistema de

ecuaciones diferenciales de segundo orden simultneas.

m1

m2

k1

k2

x1

x2

A

B

2

11 1 1 2 2 12

( )d x

m k x k x xdt

2

22 2 2 12

( )d x

m k x xdt

Ejemplo 1:

Un sistema masa resorte que satisface (0) '(0) (0) '(0) 0x x y y , as la fuerza

( ) 40 3f t Sen t se aplica sbitamente a la segunda masa de la figura en el instante t=0, cuando el

sistema reposa en su posicin de equilibrio. Considerar ambas masas estn inicialmente en reposo

es su posicin de equilibrio.

K1= 4K2= 2 f(t)=40sen3t

x y

Solucin:

Resolviendo el sistema:

2 '' 6 2

'' 2 2 40 3

x x y

y x y sen t

Escribimos ( ) ( )X s L x t y ( ) ( )Y s L y t . Entonces, las condiciones iniciales implican que:

2''( ) ( )L x t s X s y

2''( ) ( )L y t s Y s

Como 2

33

( 9)L sen t

s

la transformada serian:

2

2

2

2 ( ) 6 ( ) 2 ( )

120( ) 2 ( ) 2 ( )

9

s X s X s Y s

s Y s X s Y ss

...(1)

As, el sistema transformado es:

2

2 2

( 3) ( ) ( ) 0

1202 ( ) ( 2) ( )

9

s X s Y s

X s s Y ss

El determinante de esta pareja de ecuaciones lineales en X(s) y Y(s) es:

2

2 2 2 2

2

3 1( 3)( 3) 2 ( 1)( 4)

2 2

ss s s s

s

Al resolver el sistema (usando la regla de Kramer, por ejemplo), tenemos:

2 2 2 2 2 2

120 5 8 3( )

( 1)( 4)( 9) ( 1) ( 4) ( 9)X s

s s s s s s

2

2 2 2 2 2 2

120( 3) 10 8 18( )

( 1)( 4)( 9) ( 1) ( 4) ( 9)

sY s

s s s s s s

Encontramos rpidamente las descomposiciones en fracciones parciales para ambas ecuaciones.

Entonces obtenemos:

2 2 2 2 2 2

120

( 1)( 4)( 9) ( 1) ( 4) ( 9)

A B C

s s s s s s

Y en consecuencia la transformada inversa de Laplace de las expresiones seria:

( ) 5 4 2 3

( ) 10 4 2 6

x t sent sen t sent

y t sent sen t sent

Ejemplo 2:

KC

f(t)

Tenemos en la figura un sistema masa-resorte-amortiguador con fuerza externa f (t).

Solucin:

Consideremos la ecuacin general de segundo orden con coeficientes constantes como la ecuacin

de movimiento: '' ' ( )mx cx kx f t

Entonces la ecuacin transformada es :

2 ( ) (0) '(0) ( ) (0) ( ) ( )m s X s sx x c sX s x kX s F s

Observamos que la ecuacin anterior es una ecuacin algebraica, una ecuacin lineal en la

incgnita X(s). Esta es la fuente de la fuerza del mtodo de la transformada de Laplace.

Si despejamos X(s) en la ecuacin, obtenemos:

( ) ( )( )

( ) ( )

F s I sX s

Z s Z s

Donde:

2( )Z s ms cs k e ( ) (0) '(0) (0)I s mx s mx cx

Observamos que Z(s) solo depende del propio sistema fsico. As, la ecuacin presenta

X(s)=Lx(t) como la suma de un termino que solo depende de la fuerza externa y uno que solo depende de las condiciones iniciales. En el caso de un sistema subamortiguado, estos dos trminos

son las trasformadas siguientes:

( )

( )( )

sp

F sL x t

Z s y

( )( )

( )tr

I sL x t

Z s

De la solucin peridica y la solucin transitoria, respectivamente. La nica dificultad potencial al

determinar estas soluciones esta en determinar la transformada de Laplace del lado derecho de la

ecuacin.

Ejemplo 3:

Resolver el sistema suponiendo que k1 =6, k2=4, m1=1, m2=1 y que las masas parten de sus

pociones de equilibrio con velocidades unitarias de direcciones opuestas

Solucin:

Como las masas parten de su posicin de equilibrio entonces 1 2(0) 0, (0) 0x x y como sus

velocidades son unitarias y opuestas entonces 1 2' (0) 1, ' (0) 1x x , ahora reemplazando:

1 1 2'' ( ) 10 ' ( ) 4 ( ) 0x t x t x t

1 2 24 ( ) '' ( ) 4 ( ) 0x t x t x t

Tomando a transformada de Laplace a cada ecuacin

1 1 2'' ( ) 10 ' ( ) 4 ( ) 0L x t x t x t

2 1 2'' ( ) 4 ( ) 4 ( ) 0L x t x t x t

2 1 1 0 1 1 2( ) (0) ' (0) 10 ( ) 10 (0) 4 ( ) 0s L x t sx x sL x t x L x t

2 2 2 2 1 2( ) (0) ' (0) 4 ( ) 4 ( ) 0s L x t sx x L x t L x t

m1

m2

k1

k2

x1

x2

A

B

2 1 2( 10 ) ( ) 4 ( ) 1s s L x t L x t

21 24 ( ) ( 4) ( ) 1L x t s L x t

Aplicando la regla de Kramer:

2 2

1 2 22

2

1 4

1 4( )

( 2)( 12)10 4

4 4

s sL x t

s ss s

s

Usando fracciones parciales. Tendramos:

2

2 2 2 2( 2)( 12) 2 12

s As B Cs D

s s s s

Resolviendo tendramos:

2

2 2 2 2

1 6

( 2)( 12) 5 2 5 12

s

s s s s

2

1 2 2 2 2

1 6( )

( 2)( 12) 5 2 5 12

sL x t L L

s s s s

1

1 2 2

1 6( )

5 2 5 12x t L

s s

1 1

1 2 2

1 2 6 12( )

2 125 2 5 12x t L L

s s

1

2 3( ) 2 2 3

10 5x t sen t sen t

2

2

2 2 22

2

10 1

4 1 6( )

( 2)( 12)10 4

4 4

s s

sL x t

s ss s

s

Siguiendo el procedimiento anterior, mediante fracciones parciales obtenemos:

2 2 2

2 3

5 5( )2 12

L x ts s

1 1

2 2 2

2 2 3 12( )

2 125 2 5 12x t L L

s s

2

2 3( ) 2 2 3

5 10x t sen t sen t

12 3

( ) 2 2 310 5

x t sen t sen t

Luego la solucin seria

22 3

( ) 2 2 35 10

x t sen t sen t

Redes elctricas

Un sistema (red) con ms de un circuito simple (o lazo) tambin de origen a ecuaciones

diferenciales simultaneas tal como se muestra en la figura.

La corriente 1( )i t se divide segn las direcciones indicadas en el punto 1B , llamando punto de

ramificacin de la red por la primer ley de KIRCHOFF podemos escribir.

1 2 3( ) ( ) ( )i t i t i t ...(1)

Ademas, tambien se puede aplicar la segunda ley de KIRCHOFF a cada circuito, para el caso del

circuito 1 1 2 2 1A B B A A , sumando las cadas de voltaje a travs de cada parte del circuito resulta.

21 1 1 2 2( )

diE t i R L i R

dt ...(2)

en forma similar, para el circuito 1 1 2 2 1A B B A A , obtenemos

31 1 2( )

diE t i R L

dt ...(3)

Ahora reemplazamos (1) en (2) y (3) se obtiene dos ecuaciones de primer orden para las corrientes

2 ( )i t e 3( )i t .

21 1 2 2 1 3( ) ( )di

L R R i R i E tdt

32 1 2 1 3 ( )di

L R i R i E tdt

n

Con las condiciones naturales 2 (0) 0i , 3(0) 0i , el sistema (4) se puede resolver mediante la

transformada de laplace.

R1

A1 B1 C1

C2B2A2

R2

L1

i3i2

i1

EL2

...(4)

Problema 1:

E

i1

L

R

i4

i3

c

Resolver el circuito con las condiciones E=60V. L=1H, R=50T, C=10

-4F.

Tomar que i1 e i2 son inicialmente igual a cero.

Solucin:

12

4 22 1

50 60

50(10 ) 0

ii

t

ii i

t

1 2(0) 0 (0) 0i i

Ahora aplicamos la trasformada de Laplace a cada ecuacin del sistema:

1 2

4 22 1

50 60

50(10 ) 0

iL i L

t

iL i i

t

1 1 2

4 4

2 2 2 1

60( ) (0) 50 ( )

50(10 ) ( ) 50(10 ) (0) ( ) ( ) 0

sL i t i L i ts

sL i t i L i t L i t

1 2

1 2

60( ) 50 ( )

200 ( ) ( 200) ( ) 0

sL i t L i ts

L i t s L i t

1 2

6050

0 200 60( )

( 100)50

200 200

s

sL i t

s ss

s

1 26 6 60

( )5 5( 100) ( 100)

L i ts s s

1

1 2

6 6 60( )

5 5( 100) ( 100)i t L

s s s

100 100

1

6 6( ) 60

5 5

t ti t e te

2 2

60

200 0 1200( )

( 100)50

200 200

ss

L i ts ss

s

1

2 2

1200( )

( 100)i t L

s s

1

2 2

6 6 120( )

5 5( 100) ( 100)i t L

s s s

100 100

2

6 6( ) 120

5 5

t ti t e e

100 10016 6

( ) 605 5

t ti t e te

Tenemos finalmente las corrientes:

100 10026 6

( ) 1205 5

t ti t e e

Problema 2:

Hallar la corriente I(t) que fluye por el circuito de la figura, si se aplica una onda cuadrada con

voltaje de altura V0. Se supone que el circuito no esta perturbado antes de aplicar la onda cuadrada.

Solucin:

La ecuacin del circuito es:

1

0

1'( ) ( ) ( ) ( )LI t RI t I r dr V t

C , del circuito L=0 y aplicamos la

transformada:

1

0

1( ) ( ) ( )L RI t I r dr L V t

C

01

( ) ( ) ( ( ) ( ))a bRL I t L I t L V U t U tsC

01

( )as bse e

s L I t VRC s

0( ) 1( )

as bse eL I t V

R sRC

, tomando la inversa, tenemos:

10 0( ) ( ) ( )1 1

t a t bas bs

CR CRa b

V Ve eI t L e U t e U t

R Rs s

RC RC

0

0

0 0

( )t a

CR

t a t b

CR CR

t a

VI t e a t b

R

Ve e t b

R

V(t)

t

V(t)

c

R