Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta
323
I.Sistemas de coordenadas II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos III.La línea recta IV.Ecuación de la circunferencia V.Transformación de coordenadas VI.La parábola VII.La elipse VIII.La hipérbola Geometría Analítica Plana
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Geometría Analítica Plana. Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta Ecuación de la circunferencia Transformación de coordenadas La parábola La elipse La hipérbola. Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia. - PowerPoint PPT Presentation
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I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Geometría Analítica Plana
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Introducción Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria Forma general de la ecuación de la circunferencia Determinación de una circunferencia sujeta a tres
condiciones dadas Familias de circunferencias Eje radical Tangente a una curva Tangente a una circunferencia Teoremas y problemas de lugares geométricos
relativos a la circunferencia
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Introducción
La sección cónica o simplemente cónica, es el lugar geométrico o curva que se obtiene por la intersección de un cono circular recto con un plano.
CircunferenciaElipse
Parábola Hipérbola
2 2
La sección cónica se puede expresar
mediante una ecuación general de
segundo grado en e en la forma
siguiente :
0
Dependiendo de la sección cónica
algunos de los coeficientes se hacen
x y
Ax Bxy Cy Dx Ey F
cero.
Las secciones cónicas
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria
La circunferencia es el lugar
geométrico del plano descrito por un
punto que se mueve a una distancia
constante de un punto fijo.
El punto fijo se llama centro de la
circunferencia y la distancia
constante se llama radio.
Definición de la circunferencia
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
, 0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de e son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solam
f x y
x y
ente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.
Ecuación de un lugar geométrico
1. Se supone que el punto P, de
coordenadas (x, y), es un punto
cualquiera que satisface la condición
ó condiciones dadas, y, por tanto, un
punto del lugar geométrico.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
2. Se expresa, analíticamente, la
condición o condiciones geométricas
dadas, por medio de una ecuación o
ecuaciones en las coordenadas
variables x e y.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
3. Se simplifica, si hace falta, la
ecuación obtenida en el paso
anterior (2) de tal manera que tome
la forma
f(x,y)=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
4. Se comprueba el reciproco: sean
(x1, y1) las coordenadas de cualquier
punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal
manera que:
f(x1 ,y1 )=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
En la práctica generalmente se omite el paso 4,
ya que la repetición del trabajo del paso 3 al
paso 2 es, generalmente, inmediata.
Nótese que en el paso 1 que al tomar como
un punto cualquiera del lugar
P
geométrico,
estamos considerando todos los puntos de ese
lugar geométrico.
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Forma ordinaria de la ecuación de la
circunferencia
2 2 2
Teorema 1.
La circunferencia cuyo centro es el punto ( , )
y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación
h k
r
x h y k r
Demostración:
Sea , un punto cualquiera de la
circunferencia de centro ( , ) y radio .
P x y
C h k r
2 2 2x h y k r
Por la definición de circunferencia, el punto P
debe satisfacer la condición geométrica CP r''''''''''''''
2 2 2x h y k r
2 2Pero CP x h y k
''''''''''''''
2 2 2x h y k r
2 2 2
Por tanto, elevando al cuadrado encontramos
que es lo que queríamos demostrar.
x h y k r
2 2 2x h y k r
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Ejemplo
1. Escribir la ecuación de la
circunferencia de centro ( 3, 7)
y radio 7.
C
2. Los extremos de un diametro
de una circunferencia son los puntos
(2, 3) y ( 4, 5 ).
Hallar la ecuación de la curva.
A B
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro ( 3, 7) y radio 7.C
-10 -8 -6 -4 -2 2 4
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
xy
2. Los extremos de un diametro de una circunferencia son los
puntos (2, 3) y ( 4, 5). Hallar la ecuación de la curva.A B
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
2 2 2
Corolario:
Cuando el centro de la circunferencia
es el origen de coordenadas 0
la ecuación de la circunferencia
se expresa :
x r
h k
y
Circunferencia con centro en el origen
Circunferencia con centro en el origen
2 2 2 (2)x h y k r
Circunferencia con centro en el origen
2 2 2 (3)x y r
Una circunferencia tiene su centro
en el origen y un radio igual a 2.
¿Cuál es su ecuación?
Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto
de intersección de las rectas
7 9 10 0
y
2 5 2 = 0
A
x y
x y
Solución: Para hallar la ecuación de la circunferencia
necesitamos el centro y el radio.
El centro se obtiene encontrando el punto de intersección
de las rectas antes mencionadas y una vez hallado
podemo
s obtener el radio calculando la distancia entre el
centro y el punto 7, 5 . A
Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 7 9 10 0 y 2 5y 2 0
A
x y x
Para encontrar el centro de la
circunferencia debemos resolver
el sistema de 2 ecuaciones con
2 incógnitas:
7 9 10 0
2 5 2 0
x y
x y
Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 7 9 10 0 y 2 5y 2 0
A
x y x
Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
mediante el método de sumas y restas:
7 9 10 0 (Multiplicando por 2)
2 5 2 0 (Multiplicando por 7)
14 18 20 0
14 35
x y
x y
x y
x
14 0
Sumandolas
17 34 0
y despejando ,
2
y
y
y
y
Sustituyendo 2 en la primera ecuación, tenemos
7 9 2 10 0
Por tanto,
7 18 10 28
ó
4
y
x
x
x
7 9 10 0
2 5 2 0
x y
x y
El punto de intersección de las dos rectas, que
a su vez es el centro de la circunferencia, es 4,2
2 2 2 2
2 2
Se calcula el radio como la distancia del centro al punto ;
es decir,
El radio de la circunferencia
( ) ( ) (4 7)
es
(2 (
5
5))
( 3) 7 9 49 58
8
C A C A
A
r x x y y
Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 7 9 10 0 y 2 5y 2 0
A
x y x
2 2 2 2 2 2
2 2
Se calcula el radio como la distancia del centro al punto
( ) ( ) (4 7) (2 ( 5)) ( 3) 7
9 49 58
La ecuaci n de la circunferencia es :
( 4) ( 2) 58
C A C A
A
r x x y y
ó
x y
Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 7 9 10 0 y 2 5y 2 0
A
x y x
2 2
La ecuación de la circunferencia es:
( 4) ( 2) 58x y
2 2
2 2
Resumiendo:
a) El centro de la circunferencia es 4,2
b) El radio de la circunferencia es 58
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia
es
4 2 58
ó bie
8 4 38
n
0x y x
x
y
y
Ejemplo : Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasa por el punto 7, 5 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas 7 9 10 0 y 2 5y 2 0
A
x y x
Geometría Analítica Plana
Ecuación de la circunferencia
Forma general de la
ecuación de la
circunferencia
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
Desarrollando los cuadrados en la ecuación
tenemos
2 2
y agrupando todos los términos en el primer
miembro :
2 2 0
x h y k r
x hx h y ky k r
x y h x k y h k r
Forma general de la ecuación de la
circunferencia
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 , 2 ,
Son números reales cualesquiera, por lo tanto podemos decir:
2
2
Sustituyendo en la ecuación
2 2 0
tenemos:
0
h k y h k r
D h
E k
F h k r
x y h x k y h k r
x y Dx Ey F
Forma general de la ecuación de la circunferencia
2 2 2 2 22 2 0x y h x k y h k r
2 2
La forma
0
es la forma general de la
ecuación de la circunferencia.
x y Dx Ey F
Forma general de la ecuación de
la circunferencia
2 2
La forma
0
es la forma general de la
ecuación de la circunferencia.
x y Dx Ey F
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Observación: Cuando la ecuación de una circunferencia
está expresada en su forma general, los dos términos de
segundo grado tienen coeficientes iguales, es decir, del
mismo valor absoluto y del mismo signo.
2 2
De manera inversa, se puede obtener
la ecuación de la circunferencia a
partir de su forma general :
0x y Dx Ey F
Forma general de la ecuación de la
circunferencia
2 2
2 2 2 22 2
Reorganizando,
Completando cuadrados, se obtiene:
4 4 4 4
x Dx y Ey F
D E D Ex Dx y Ey F
2 2 0x y Dx Ey F
2 2 2 2
Al factorizar en el primer miembro
y sumar en el segundo, se transforma en :
4
2 2 4
D E D E Fx y
2 2 2 22 2
4 4 4 4
D E D Ex Dx y Ey F
2 2
Para corresponder a la ecuación de
una circunferencia, hacemos
14
2r D E F
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2
2 2
2 2
Por lo que se presentan tres casos para :
a) 4 0
b) 4 0
c) 4 0
D E F
D E F
D E F
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2
2 2
a) 4 0
La ecuación corresponde a una circunferencia con centro en
,2 2
y radio
14
2
D E F
D EC
r D E F
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2b) 4 0
La ecuación corresponde a una circunferencia
de radio cero; es decir, un punto de coordenadas
,2 2
D E F
D EC
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2c) 4 0
La ecuación corresponde a una
circunferencia imaginaria y,
por lo tanto, no tiene
representación real.
D E F
2 2
2 2 2 2
0
4
2 2 4
x y Dx Ey F
D E D E Fx y
2 2
2 2
2 2
Teorema 2. La ecuación
0
representa una circunferencia,
solamente si
4 0
Las coordenadas del centro son, entonces,
,2 2
1y el radio 4
2
x y Dx Ey F
D E F
D E
D E F
Forma general de la ecuación de la circunferencia
NOTA. Si se da la ecuacion de una circunferencia
en la forma general, se aconseja no proceder
mecanicamente, usando las fórmulas dadas en el
teorema 2 para obtener el centro y el radio.
En vez de esto, es conveniente reducir la ecuación
a la forma ordinaria por el método de completar
cuadrados, tal como se hizo en la deduccion del
teorema mismo.
Forma general de la ecuación de la
circunferencia
Forma general de la ecuación de la
circunferencia. Ejemplo2 2Es la ecuación 3 3 12 24 15 0
la ecuación de una circunferencia.
En caso afirmativo, encontrar dónde está su centro
y cuál es su radio
x y x y
2Es la ecuación 2 ² 2 28 6 188 0
la ecuación de una circunferencia.
En caso afirmativo, encontrar dónde está su centro
y cuál es su radio.
x y x y
Geometría Analítica Plana
Ecuación de la circunferencia
Determinación de una
circunferencia sujeta a
tres condiciones dadas
2 2 2
Teorema 1.
La circunferencia cuyo centro es el punto ( , )
y cuyo radio es la constante , tiene por ecuación
h k
r
x h y k r
Determinación de una circunferencia
sujeta a tres condiciones dadas
Determinación de una circunferencia
sujeta a tres condiciones dadas
Ejemplo: Hállese la ecuación
de una circunferencia que
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está
sobre la recta 3 2 23 0. x y
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
2 2 2
Solución:
1) La ecuación de la circunferencia es de la forma:
( ) ( )
2) Como su centro es , y está sobre la recta
dada, satisface la ecuación de dicha recta; es decir,
se cumple que
3 2 23
x h y k r
h k
h k
0
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
2 2 2
2 2 2
3) Los puntos 3, 3 y 1, 4 están en la
circunferencia y por tanto satisfacen su ecuación.
Sustituyendo los puntos en ésta, se obtienen
dos ecuaciones de la forma :
( 3 ) (3 )
(1 ) (4 )
h k r
h k r
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
2 2 2 2
2 2 2 2
Las ecuaciones anteriores pueden igualarse :
( 3 ) (3 ) (1 ) (4 )
y obtenemos
9 6 9 6 1 2 16 8
18 6 6 17 2 8
18 17 6 2 6 8 0
8 2 1 0
h k h k
h h k k h h k k
h k h k
h h k k
h k
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
Tenemos dos ecuaciones, la de la línea recta,
en la cual la circunferencia tiene su centro
3 2 23 0
y la que acabamos de obtener 8 2 1 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones
formado por ellas, tenemos
8
h k
h k
2 1 0
3 2 23 0
11 0 22 0
2
h k
h k
h k
h
Sustituyendo 2 en la primera ecuación,
8(2) 2 1 0
ó sea
2 1 16
de donde
17
2
h
k
k
k
8 2 1 0 3 2 23 0
2
h k h k
h
2
171) Sabemos que el centro está en 2, .
2
2) Sabemos que el punto 1,4 está en la circunferencia.
Por lo tanto, la distancia entre ellos será
el valor del radio de la circunferencia; es decir,
1 2r
2 2
217 254 1
2 2
ó finalmente
629 / 2r
2
2
Resumiendo:
17i) El centro está en 2,
2
ii) El radio es 629 / 2
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
17 6292
2 4
r
x y
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
2
2
2 2
2 2
17 629La ecuación de la circunferencia es 2
2 4
Podemos ponerla en la forma general simplificando:
289 6294 4 17
4 4289 629
4 17 4 04 4
289 629 16 289 629 3244 81
4 4 4 4
x y
x x y y
x y x y
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
2
2 2
2
La ecuación de la circunferencia es
17 629 2
2 4
O en su forma genera
4 17 81 0
l
x
x y x y
y
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
La ecuación general de la circunferencia es
² ² 0
Los puntos (-3,3) y (1,4) están en la circunferencia
y por tanto cumplen su ecuación; es decir,
( 3)² (3)² ( 3) (3) 3 3 18 0
x y Dx Ey F
D E F F D E
(1)² (4)² (1) (4) 4 17 0
Tenemos entonces dos ecuaciones con tres incógnitas,
, , y nos hace falta otra ecuación.
D E F F D E
D E F
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
Sabemos que el centro de la circunferencia está en
( , )2 2
y que dicho centro está sobre la recta
3 2 23 0
así que debe satisfacer su ecuación y así obtenemos
una tercer ecuación, que es
3( )2
D E
x y
D
2( ) 23 (3 / 2) 23 02
EE D
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
Tenemos ya tres ecuaciones con tres incógnitas:
3 3 18 0
4 17 0
3 23 0
2y la solución al problema estará dada con la
solución de este sistema de ecuaciones
simultaneas.
D E F
D E F
D E
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas:
3 3 18 0
4 17 0
(3 / 2) 23 0
Las resolvemos por sustitución.
Despejando en la tecera
(3 / 2) 23
Sustituyendo en la otras dos
3
D E F
D E F
D E
E
E D
D
3
3( 23) 18 02
3 4( 23) 17 0
2 obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
3 87 0
2 7 109 0
D F
D D F
F D
F D
387 0
27 109 0
Restamos la primera de la segunda
11 22 0
2y despejamos , obteniendo
4
Sustituimos ahora de regreso
7( 4) 109 0
81 0
81
Y finalmente sacamos a de la ecuac
F D
F D
D
D
D
F
F
F
E
ión
(3 / 2) 23 (3 / 2)( 4) 23 17E D
Resumen
4, 17 81
y la ecuación de la circunferencia es
² ² 4 17 81 0
D E y F
x y x y
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
2
2 2
2
La ecuación de la circunferencia es
17 629 2
2 4
O en su forma genera
4 17 81 0
l
x
x y x y
y
Ejemplo: Hállese la ecuación de una circunferencia
pasa por los puntos 3, 3 y 1, 4
y su centro está sobre la recta 3 2 23 0. x y
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Familias de
circunferencias
Familias de circunferenciasAhora consideraremos familias o haces de
circunferencias de la misma manera que
consideramos familias de rectas.
Ya señalamos que una circunferencia y su
ecuación se determinan cada una por tres
condicione
Una circunferencia que satisface menos de
tres condiciones independient
s independientes.
es no es única.
Familias de circunferencias
La ecuación de una circunferencia que
satisface solamente dos condiciones
contiene una constante arbitraria llamada
parámetro.
Se dice entonces que tal ec
familia
uación r
de circu
eprese
nferen
n
c
ta
iuna as de un parámetro.
Familias de circunferencias
2 2 2
Por ejemplo , la familia de todas las
circunferencias concéntricas cuyo centro
común es el punto (1, 2) tiene por ecuación
1 2
en donde el parámetro es cualquier
número real positivo.
x y k
k
Familias de circunferencias
1 / 2
6
2
5
4
1
3k
k
k
k
k
k
k
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
1 2
Para entender lo que sucede con esta
familia de circunferencias que estamos
por crear, debemos tener claro cuáles
son las posibilidades de intersección de
dos circunferencias dadas, como la
C y C de la transparencia anterior y como
determinar dichas intersecciones.
Hacemos, por lo tanto, un paréntesis para
estuciar la intersección de dos circunferencias.
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
Las dos circunferencias,
: 0
: 0
pueden:
a) Intersectarse en dos puntos
b) Intersectarse en un solo punto y
ser tangentes entre ellas
c) No intersectarse
C x y D x E y F
C x y D x E y F
Intersección de dos circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
2
3
1 5
x y
x y
Se intersectan
Intersección de dos circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
3
2
1 3
x y
x y
Son tangentes
Intersección de dos circunferencias
22
22
2
2 71 3
10
12
2
x y
x y
No se intersectan
Intersección de dos circunferencias
22
2 2
2
21 3
3
2
31
2x y
x y
No se intersectan
Intersección de dos circunferencias
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
Para determinar la intersección de dos circunferencias,
: 0
: 0
debemos encontrar las soluciones simultaneas de las dos
ecuaciones.
Si tiene soluciones puede tener
a
C x y D x E y F
C x y D x E y F
) Dos y las circunferencias se intersectan en dos puntos
b) Una y las circunferencias se intersectan en un solo punto
y son tangentes una a la otra
c) Ninguna y las circunferencias no se intersectan
Intersección de dos circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
2
3
1 5
x y
x y
Se intersectan
Intersección de dos circunferencias
2 2 2
2 2 2
Ejemplo:
Encontrar todos los puntos
de intersección de las
circunferencias
1 2 5
2 1 3
x y
x y
Intersección de dos circunferencias
2 2 2
2 2
2
Se toma la primera circunferencia,
1 2 5
se pone en su forma general
2 4 20 0
Se despeja de esta forma general ,
y se obtienen dos soluciones
2 24 2
x y
x y x y
y
y x x
2 2 2 22 21 2 5 2 1 3x y x y
22 2 2
2
Se sustituye , la del +, en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
2 2 24 2 1 3
que al reducirse queda como
28 6 6 2
la primera solución
Esta ecuación de segundo grado no ti
4 2 0
x x x
x x x
ene solución
2 2 2 22 2
2
1 2 5 2 1 3
2 24 2
x y x y
y x x
2
2
2 2
2 22 1
2
3
1 5
x y
x y
Estamos eligiendo
la parte de arriba
Intersección de dos circunferencias
22 2 2
2
Ahora se sustituye , la del , en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
2 2 24 2 1 3
que al reducirse queda como
28 6 6 24 2 0
Esta ecuación de segund
la segunda solució
o grado
n
x x x
x x x
1 2
se resuelve
obteniendose las dos raices:
11 161 11 1613.95 = 0.28
6 6 6 6x x
2 2 2 22 2
2
1 2 5 2 1 3
2 24 2
x y x y
y x x
2 2 2 22 2
2
1 2
1 2 5 2 1 3
2 24 2
11 161 11 1613.95 = 0.28
6 6 6 6
x y x y
y x x
x x
2
1
2
11 161 11 1612 24 2
6 6 6 6
61 161 11 1612 1.28
3 3 6 6
Así que un punto de intersección es
3.95,1.28
y
2 2 2 22 2
2
1 2
1 2 5 2 1 3
2 24 2
11 161 11 1613.95 = 0.28
6 6 6 6
x y x y
y x x
x x
2
1
2
11 161 11 1612 24 2
6 6 6 6
61 161 11 1612 2.95
3 3 6 6
Así que un punto de intersección es
0.28, 2.95
y
2 2 2
2 2 2
Ejemplo:
Encontrar todos los puntos de intersección de las
circunferencias
1 2 5
2 1 3
Soluc
3.95,1.28 y 0.28, 2
:
.9
ión
5
x y
x y
Intersección de dos circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
2
3
1 5
x y
x y
Se intersectan
3.95,1.28
0.28, 2.95
Intersección de dos circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
3
2
1 3
x y
x y
Son tangentes
Intersección de dos circunferencias
2 2 2
2 2 2
Ejemplo:
Encontrar todos los puntos
de intersección de las
circunferencias
1 3 3
2 1 2
x y
x y
Intersección de dos circunferencias
2 2 2
2 2
2
Se toma la primera circunferencia,
1 3 3
se pone en su forma general
2 6 1 0
Se despeja de esta forma general ,
y se obtienen dos soluciones
3 8 2
x y
x y x y
y
y x x
2 2 2 22 21 3 3 2 1 2x y x y
22 2
2
Se sustituye , la del +, en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
2 3 8 2 1 4
que al reducirse
la primera solución
Esta ecuación de segundo grado no
queda como
24 6 8 8 2
tiene
0
x x x
x x x
solución
2 2 2 22 2
2
1 3 3 2 1 2
3 8 2
x y x y
y x x
2
2
2 2
2 22 1
3
2
1 3
x y
x y
Estamos eligiendo
la parte de arriba
Intersección de dos circunferencias
22 2
2
Ahora se sustituye , la del , en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
2 3 8 2 1 4
que al reducirse queda como
24 6 8 8 2 0
Esta ecuación de segundo grado se
la segunda solución
x x x
x x x
resuelve
obteniendose una sola raíz:
40.80
5x
2 2 2 22 2
2
1 3 3 2 1 2
3 8 2
x y x y
y x x
24 4 12 15 12 3
3 8 2 35 5 5 5 5
4 3El punto de intersección es ,
5 5
y
2 2 2 22 2
2
1 3 3 2 1 2
3 8 2
4
5
x y x y
y x x
x
2 2 2
2 2 2
Ejemplo: Encontrar todos los puntos
de intersección de las circunferencias
1 3 3
2 1 2
Solución:
Solo hay un punto de inte
4
rsección y e
3,
5 5
s
x y
x y
Intersección de dos circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
3
2
1 3
x y
x y
4 3,
5 5
Intersección de dos circunferencias
22
22
2
2 71 3
10
12
2
x y
x y
No se intersectan
Intersección de dos circunferencias
222
22 2
Ejemplo: Encontrar todos los puntos de
intersección de las circunferencias
12
2
71 3
10
x y
x y
Intersección de dos circunferencias
2
22
2 2
2
Se toma la primera circunferencia,
12
2
se pone en su forma general
154 0
4Se despeja de esta forma general , y se obtienen dos soluciones
12 1 4
2
x y
x y y
y
y x
2 2
2 2 22 1 72 1 3
2 10x y x y
2 22 2
2
Se sustituye la primera solución, la del +, en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
1 12 1 4 2
2 2
que al reducirse queda como
442 1 4 0
25Las soluciones de esta ecuac
x x
x x
1 2
ión son
11 7 14 11 7 14 y
25 100 25 100x x
2 2
2 2 22
2
1 72 1 3
2 10
12 1 4
2
x y x y
y x
1 2
Las soluciones de esta ecuación son
11 7 11 7 y
25 100 25 100que no son números reales, así que con
esta primera opción no existe ninguna
1
inter
4
secci n.
14
ó
x x
2 2
2 2 22
2
1 72 1 3
2 10
12 1 4
2
x y x y
y x
2 22 2
2
Se sustituye la segunda solución, la del , en la
ecuación de la segunda circunferencia y se obtiene
1 12 1 4 2
2 2
que al reducirse queda como
442 1 4 0
25Esta ecuación no tiene soluc
x x
x x
iones.
2 2
2 2 22
2
1 72 1 3
2 10
12 1 4
2
x y x y
y x
222
22 2
Ejemplo: Encontrar todos los puntos
de intersección de las circunferencias
1
Estas
22
71 3
10
Solución
dos circunferencias no se interse
:
cta .n
x y
x y
Intersección de dos circunferencias
22
22
2
2 71 3
10
12
2
x y
x y
No se intersectan
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferenciasYa vimos que para determinar si dos
circunferencias se intersectan hay que
resolver simultaneamente sus ecuaciones.
Esta solución nos da las coordenadas de
los puntos de intersección, en caso que
existan.
Sin embargo, se puede saber si dos
circunferencias se intersectan, utilizando
criterios geométricos. En efecto, tenemos:
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
Si las circunferencias no se intersectan
Si las circunferencias son tangentes exteriores
Si
las circunferencias se intersectan en dos puntos
las
d r r
d r r
d r r
r r d
d r r
2 1
circunferencias no se intersectan
las circunferencias son tangentes interiores
d r r
Intersección de dos circunferencias
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
De las ecuaciones de las dos circunferencias,
: 0
: 0
podemos formar, mediante una combinación lineal,
la ecuación
en donde el p
0
x y D x E y F k x y D x
C x
E y
y D x E y F
C x y D x E
F
y F
arámetro puede tomar todos los valores
reales.
k
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 2 2 21 2 1 2 1 2
Para determinar la naturaleza de las curvas de esta familia,
escribimos la ecuación
0
como
0
x y D x E y F k x y D x E y F
x y D x E y F kx ky kD x kE y kF
x kx y ky D x kD x E y kE y F kF
2 21 2 1 2 1 21
0
1 0k x k y D kD x E kE y F kF
Familias de circunferencias
2 21 2 1 2 1 21 1 0k x k y D kD x E kE y F kF
1 2
2 21 2
1 2 1 2
2 21 2 1 2 1 2
1 2 1 2
Si 1, la ecuación se reduce a una de primer grado y,
por lo tanto, representa una línea recta. En efecto,
1 1 1 1 1
1 1 0
0 0 0
k
x y D D x
E E y F F
x y D D x E E y F F
D D x E E y F F
que efectivamente es una ecuación lineal y
representa una línea re
0
cta.
2 21 2 1 2 1 21 1 0
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k
2 2 2
2 2 2
1 2 5
2 1 3
x y
x y
2 21 2 1 2 1 21 1 0
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k
2 2 2
2 2 2
1 3 3
2 1 2
x y
x y
2 21 2 1 2 1 21 1 0
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k
222
22 2
12
2
71 3
10
x y
x y
2 21 2 1 2 1 21 1 0k x k y D kD x E kE y F kF
2 21 2
1 2 1
2 21 1 1
2
Si 0, la ecuación se reduce a
1 0 1 0 0
0 0 0
que es
0
la ecuación de la circunferencia 1.
x y D
k
x y D D x
E E y F F
x E y F
2 21 2 1 2 1 2
Para cualquier otro valor de , la ecuación
1 1 0
representa una circunferencia de acuerdo con el teorema 2
del artículo 40.
k
k x k y D kD x E kE y F k F
Familias de circunferencias
2 2
2 2
2 2
Teorema 2. La ecuación
0
representa una circunferencia, si y solamente si
4 0
Las coordenadas del centro son, entonces,
,2 2
1y el radio 4
2
x y Dx Ey F
D F F
D E
D E F
Familias de circunferencias
1 2
1 1 1 2 2 2
Consideremos primeramente el caso
en que los círculos y se cortan
en dos puntos distintos
( , ) y ( , ).
C C
P x y P x y
Familias de circunferencias
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 2 2 21 1
1
1 2 2
1
2
1Como las coordenadas satisfacen ambas ecuaciones
: 0
: 0
también satisfacen a la ecuación
0
y ésta se reduce entonce
, d
s
e
C x y D x E y F
C x y D x E y F
x y D x E y F k x y D
x y P
x E y F
a la forma 0 0 0, que es
verdadera para todos los valores de .
k
k
1 2
1 1 1 2 2 2
Supongamos que los círculos y se cortan
en dos puntos distintos ( , ) y ( , ).
C C
P x y P x y
Familias de circunferencias
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 2 2
Analogamente, como las coordenadas
satisfacen ambas ecuaciones
: 0
: 0
también satisfacen a la ecuación
0
y ésta se
, de
re
C x y D x E y F
C x y D x E y F
x y D x E y F k x y D x E y F
x y P
duce entonces a la forma 0 0 0, que es
verdadera para todos los valores de .
k
k
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
Por tanto, la ecuación
0
que pasa por las dos
intersecciones de las dos circunferencias
representa una familia de
: 0
:
curvas
0
x y D x E y F k x y D x E y F
C x y D x E y F
C x y D x E y F
Familias de circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
2
3
1 5
x y
x y
Se intersectan
2 2 2
2 2 2
1 2 5
2
5
10
1
2
5
3
5
1
x y
x y
k
k
k
k
k
Familias de circunferencias
1 2
3 3 3
3
Consideremos ahora, en segundo lugar,
el caso en que los círculos y
se cortan en un solo punto ( , );
es decir, las circunferencias son
tangentes entre si en el punto .
C C
P x y
P
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2
Por un razonamiento análogo al de dos circunferencias
que se intersectan en dos puntos diferentes, podemos
demostrar que para cada valor de diferente de 1,
la ecuación
k
x y D x E y F k x y D x E y F
2
1 2 3
0
representa una circunferencia tangente a y en .C C P
1 2 3 3 3Las circunferencias y se cortan en un solo punto ( , ).C C P x y
Familias de circunferencias
2
2
2 2
2 22 1
3
2
1 3
x y
x y
Son tangentes
Familias de circunferencias
2 2 2
2 2 2
1 3 3
2
8
20
1
2
5
2
3
1
x y
x y
k
k
k
k
k
Familias de circunferencias
1 2
Finalmente consideraremos el
caso en que y no tengan
ningún punto en común; es decir,
las circunferencias no se intersectan.
C C
Familias de circunferencias
2 22 2 2 2
2 21 1 1 1
2
Entonces las coordenadas de un punto que satisfacen la ecuación
: 0
no pueden satisfacer la ecuación
: 0
y por lo tanto , tampoco pueden satisfacer la ecuación
C x y D x E y F
C x y D x E y F
x y
2 2 21 1 1 2 2 2 0
para ningun valor del parámetro .
D x E y F k x y D x E y F
k
1 2 y no tienen ningún punto en común.C C
Familias de circunferencias
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
Análogamente, las coordenadas de un punto que satisfacen
: 0
no pueden satisfacer
: 0
ya que no tienen ningún punto en común, no se intersectan.
Por lo tanto , tamp
C x y D x E y F
C x y D x E y F
2 2 2 21 1 1 2 2 2
1
oco puede satisfacer la ecuación
0
para ningún valor de excepto 0, en cuyo caso
obtenemos la circunferencia .
x y D x E y F k x y D x E y F
k k
C
1 2 y no tienen ningún punto en común.C C
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
1 1 2
En resumen, ninguna circunferencia de la familia
0,
excepto C , tiene un punto en común con y .
x y D x E y F k x y D x E y F
C C
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
: 0
y
: 0
no tienen puntos en común.
C x y D x E y F
C x y D x E y F
Familias de circunferencias
4
2 2 2 21 1 1 2 2 2
1 4
2
Aún más, sea un punto cualquiera que esté sobre
cualquier elemento de la familia
0,
excepto sobre C . Acabamos de demostrar que no
puede estar sobre C . Por tanto
P
x y D x E y F k x y D x E y F
P
4
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
, si se sustituyen las
coordenadas de en las ecuaciones de las circunferencias
: 0
: 0
los primeros miembros no se reducirán a cero, sino que tendrán
valores dif
P
C x y D x E y F
C x y D x E y F
1 2erentes de cero, digamos y , respectivamente.k k
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
4
1 2
1
2
Por lo tanto, si se sustituyen en
0,
las coordenadas de la ecuacion toma la forma
0
de donde tiene el único valor .
Esto significa que hay solamente un
x y D x E y F k x y D x E y F
P
k kk
kk k
k
2 2 2 21 1 1 2 2 2
4
a circunferencia de la
familia
0,
que pasa por el punto .
x y D x E y F k x y D x E y F
P
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
4
Hay solamente una circunferencia de la familia
0,
que pasa por el punto .
x y D x E y F k x y D x E y F
P
4
2 2 2 21 1 1 2 2 2
1
Como se eligió como cualquier punto sobre cualquier
elemento de la familia
0,
excepto C , se deduce que ningún par de circunferencias
de la familia tienen un punto en
P
x y D x E y F k x y D x E y F
común.
Familias de circunferencias
22
22
2
2 71 3
10
12
2
x y
x y
No se intersectan
Familias de circunferencias
2
2 2
222
71 3
1
12
2
0
3
5
0
0
2
.
8
5
k
x y
k
k
y
k
x
k
Familias de circunferencias
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 2 2 21 1 1 2 2 2
En los dos primeros casos considerados
anteriormente, es decir, cuando
: 0
: 0
tienen dos o un puntos comunes, la ecuación
0
repre
C x y D x E y F
C x y D x E y F
x y D x E y F k x y D x E y F
senta una circunferencia real para todo valor de ,
ya que por lo menos existe un punto del lugar geométrico.
k
Familias de circunferencias
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 2 2 21 1 1 2 2 2
Pero esto no ocurre cuando
: 0
: 0
no tienen ningún punto en común.
Entonces no se puede asegurar que la ecuacion
0
represente un
C x y D x E y F
C x y D x E y F
x y D x E y F k x y D x E y F
a circunferencia real para todo valor de .
Veamos un ejemplo de esto:
k
2 21
2 22
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18. Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
no se cortan.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
x y x y
x y x y
k
1 2
1 2
1 2
familia C + C 0 es una circunferencia que no corta a
ninguna de las dos circunferencias C y C y cuyo centro
está sobre la recta de los centros de C y C .
Demuestrese también que no existe ninguna cir
k
cunferencia
real si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
Hallense otros valores de para los cuales no exista
una circunferencia real.
k
k
2 21
2 22
Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
0
no se cortan.
k
x y x y
x y x y
1 2
1 2
1 2
familia C + C 0 es una circunferencia que no corta a
ninguna de las dos circunferencias C y C y cuyo centro
está sobre la recta de los centros de C y C .
Demuestrese también que no existe ninguna cir
k
cunferencia
real si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
Hallense otros valores de para los cuales no exista
una circunferencia real.
k
k
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
Si las circunferencias no se intersectan
Si las circunferencias son tangentes exteriores
Si
las circunferencias se intersectan en dos puntos
las
d r r
d r r
d r r
r r d
d r r
2 1
circunferencias no se intersectan
las circunferencias son tangentes interiores
d r r
Intersección de dos circunferencias
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 0
2 2 2
2 2 2
1 1 2
Centro en 1,1
Rad
1
io igual a
1 1
2
1
x y x y
x x y y
x x y y
x y
2 21
2 22
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
x y x y
x y x y
2 2
2 2
2 2
2 2
9
10 6 33 0
10 6 33
10 6 33
5 3 1
Centro en 5,3
Radio i
25 25
gua a 1
9
l
x y x y
x x y y
x x y y
x y
2 21
2 22
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
x y x y
x y x y
2 22 2 21
2 22 22
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
y
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
x y x y x y
x y x y x y
2 2 2 2
22
1) La distancia entre los centros es
1 5 1 3 1 5 1 3
6 2 36 4 40
40
2) La suma de los radios es 2+1=3
d
d
d
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
Si las circunferencias no se intersectan
Si las circunferencias son tangentes
Si
las circunferencias se intersectan en dos puntos
las circunferenci
d r r
d r r
d r r
r r d
d r r
as no se intersectan
2 22 2 21
2 22 22
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
y
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
x y x y x y
x y x y x y
2 2 2 2
22
1) La distancia entre los centros es
1 5 1 3 1 5 1 3
6 2 36 4 40
40
2)
Por
La suma de los radios es 2+1=3
lo tanto, las dos circunferencias no se intersectan.
d
d
d
2 21
2 22
Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
0
no se cortan.
k
x y x y
x y x y
1 2
1 2
1 2
familia C + C 0 es una circunferencia que no corta a
ninguna de las dos circunferencias C y C y cuyo centro
está sobre la recta de los centros de C y C .
Demuestrese también que no existe ninguna cir
k
cunferencia
real si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
Hallense otros valores de para los cuales no exista
una circunferencia real.
k
k
2
Despejamos en la
primera ecuación y
obtenemos
1 3 2
y
y x x
2 21
2 22
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
x y x y
x y x y
22 2 2
2
Elegimos el signo primero, y sustituimos este resultado
en la segunda ecuación, obteniendo
1 3 2 10 6 1 3 2 33 0
que se reduce a
31 12 4 3 2 0
que es una ecuación de segundo grado, cuyas
x x x x x x
x x x
1 1
dos raices son:
89 1209 89 1209
40 40 40 40que no son reales.
x x
2 2 2 21 2
2
C : 2 2 2 0 y C : 10 6 33 0
1 3 2
x y x y x y x y
y x x
22 2 2
2
Elegimos ahora el signo , y sustituimos este resultado
en la segunda ecuación, obteniendo
1 3 2 10 6 1 3 2 33 0
que se reduce a
31 12 4 3 2 0
que es una ecuación de segundo grad
que n i
o
o t
,
x x x x x x
x x x
ene soluciones.
2 2 2 21 2
2
C : 2 2 2 0 y C : 10 6 33 0
1 3 2
x y x y x y x y
y x x
2
1
2
2
2
2
No existe una solución real simultanea
al sistema de ecuaciones
2 2 2 0
10 6 33 0
Por lo ta
las circunferencias y no se intersectan.
nto,
x y x y
x
C C
y x y
2 21
2 22
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
x y x y
x y x y
2 22 2 21
2 22 22
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
x y x y x y
x y x y x y
2 21
2 22
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18. Demostrar que las circunferencias
C : 2 2
Demostrar que
2 0
y
C :
para
2 el elemento correspondiente
10 6 33 0
no se corta
de
l
.
a
n
x y x y
x y x
k
y
2
1 2
1 2
1 y cuyo centro
es
familia C + C 0 es u
tá sobre la recta
na circunferencia que no corta a
ni
de los centros d
ng
e C y C .
Demuest
una de
rese t
las dos circunferenc
ambién que no existe
ias C
ninguna cir
y C
k
cunferencia
real si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
Hallense otros valores de para los cuales no exista
una circunferencia real.
k
k
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 10 6 33 0
22 10 68 0
22 10 68 0
22 10 68
22 121 10 25 68 121 25
11 5
2
78
Centro 11,5 Radio 78
x y x y x y x y
x y x y
x y x y
x x y y
x x y y
x y
Hacemos 2 en la ecuación de la familiak
2 22 2 21
2 22 22
2 22 2
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
22 10 68 0 ó 11 5 78
Centro en 11,5 y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
radio igual a 78
2 22 2 21
2 22 2
2 2 2 2
2
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
22 10 68 0 ó 11 5 78
Centro en 11,5 y radio igual a 78
1 11 1 5 1 11 4
12 16 144 16 160 16 10 4 10
x y x y x y
x y x y x y
d
1 2
4 10 2 78
es decir,
y las circunferencias no se intersectan
d r r
2 22 22
2 22 2
2 2 2 2
2
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
22 10 68 0 ó 11 5 78
Centro en 11,5 y radio igual a 78 8.8318
5 11 3 5 5 11 2
6 16 36 16 52 4
x y x y x y
x y x y x y
d
1 2
2 1
2 1
13 2 13 7.2111
2 13 1 78
7.2111 1 8.8318 9.8318
es decir,
1 78 78 1 8.8318 1 7.8318 7.2111
y las circunferencias no se intersectan
d r r
r r
r r d
2 21
2 22
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18. Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
no se cortan.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
x y x y
x y x y
k
2
1 2
1 2
1 y cuyo centro
es
familia C + C 0 es u
tá sobre la recta
na circunferencia que no corta a
ni
de los centros d
ng
e C y C .
una de las dos circunferencias C y C
Demuestrese también que no existe ninguna cir
k
cunferencia
real si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
Hallense otros valores de para los cuales no exista
una circunferencia real.
k
k
2 22 2 21
2 22 22
2 22 2
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
22 10 68 0 ó 11 5 78
Centro en 11,5 y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
radio igual a 78
1 1 1 2 2 2
1 21
1 2
11 2
La recta que pasa por dos puntos dados
( , ) y ( , ) tiene por ecuación :
siempre que
y yy y x x
x
P x y P x y
x x
x
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
2 22 2 21
2 22 22
C : 2 2 2 0 ó 1 1 2
Centro en 1,1 y radio igual a 2
C : 10 6 33 0 ó 5 3 1
Centro en 5,3 y radio igual a 1
1 31 1
1 5
21 1
61
1 13
1 4
3 3
x y x y x y
x y x y x y
y x
y x
y x
y x
2 22 2 22 10 68 0 ó 11 5 78
Centro en 11,5 y radio igual a 78
1 4
3 31 4
5 113 3
11 45
3 315
53
5 5
El centro está en la línea recta que une los centros.
x y x y x y
y x
2 21
2 22
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18. Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
no se cortan.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
x y x y
x y x y
k
1 2
1 2
1 2
familia C + C 0 es una circunferencia que no corta a
ninguna de las dos circunferencias C y C y cuyo centro
está sobre la recta de los centros de C y
Demuestrese también que no existe ninguna ir
C .
c
k
Hallense otros
cunferencia
rea
valores de para los cuales no exista
una circunferencia real
l si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
.
k
k
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 10 6 33 0
2 2 8 8 31 0
314 4
231
4 42
314 4 4 4 4 4
215
2 22
15como es imaginario la circunferencia no existe
2
1x y x y x y x y
x y x y
x y x y
x x y y
x x y y
x y
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
22
2 2 2 10 6 33 0
3 3 18 14 64 0
146 64
314
6 643
14 49 496 9 64 9
3 9 9
7 4463
3 9
446como es imaginario la circunferencia no existe
9
2x y x y x y x y
x y x y
x y x y
x x y y
x x y y
x y
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 22 2
2 2
2 2 2 10 6 33 0
4 4 28 20 97 0
977 5
497
7 54
7 5 97 7 57 5
2 2 4 2 2
7 5 97 49 25 97 49 25 33
2 2 4 4 4 4 4
33c
3
omo
x y x y x y x y
x y x y
x y x y
x x y y
x x y y
x y
es imaginario la circunferencia no existe4
2 21
2 22
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18. Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
no se cortan.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
x y x y
x y x y
k
1 2
1 2
1 2
familia C + C 0 es una circunferencia que no corta a
ninguna de las dos circunferencias C y C y cuyo centro
está sobre la recta de los centros de C y C .
Demuestrese también que no existe ninguna cir
k
Hallense otros
cunferencia
rea
valores de para los cuales no exista
una circunferencia real
l si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
.
k
k
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2 2 10 6 33 0
1 1 10 2 6 2 33 2 0
10 2 6 2 33 2
1 1 110 2 6 2 33 2
1 1 1
10 2 1 10 2 6 2 1 6 2
1 2 1 1 2 1
3
x y x y x y x y
k x k y k x k y k
k k kx y x y
k k kk k k
x x y yk k k
k k k kx x y y
k k k k
k
2 23 2 1 10 2 1 6 2
1 2 1 2 1
k k k
k k k
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
33 2 1 10 2 1 6 2
1 2 1 2 1
4 1 33 2 10 2 6 2
4 1
4 33 2 33 2 100 40 4 36 24 4
4 1
132 8 132 8 100 40 4 36 24 4
4 1
4 140 16 35 4
4 1 1
k k k
k k k
k k k k
k
k k k k k k k
k
k k k k k k k
k
k k k k
k k
-50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 70 80
1000
2000
3000
4000
x
y
35 120934.885
2 2
2 35 4 0k k
35 12090.115
2 2
2 35 4 0k k
Para todos los valores de en el intervalo
35 1209 35 1209, 0.115,34.885
2 2 2 2
las circunferencias de la familia no existen.
Para todos los valores de fuera del intervalo
35 1209 35 1209,
2 2 2 2
k
k
0.115,34.885
las circunferencias de la familia existen.
2 21
2 22
Ejercicio 18, grupo 17, capítulo IV, página 119.
18. Demostrar que las circunferencias
C : 2 2 2 0
y
C : 10 6 33 0
no se cortan.
Demostrar que para 2 el elemento correspondiente de
la
x y x y
x y x y
k
1 2
1 2
1 2
familia C + C 0 es una circunferencia que no corta a
ninguna de las dos circunferencias C y C y cuyo centro
está sobre la recta de los centros de C y C .
Demuestrese también que no existe ninguna cir
k
cunferencia
real si toma uno cualquiera de los valores 1, 2, 3.
Hallense otros valores de para los cuales no exista
una circunferencia real.
k
k
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 21 2 1 2 1 2
Ya vimos que la ecuación de la familia de circunferencias
0
se puede escribir también como
1 1 0
x y D x E y F k x y D x E y F
k x k y D kD x E kE y F kF
Familias de circunferencias
2 21 2 1 2 1 2
1 21 2
Teorema:
La familia de circunferencias
1 1 0
tiene su centro en
( ),
2 1 2 1
k x k y D kD x E kE y F kF
E kED kD
k k
2 21 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2 1
1 2 1 22 2 1
1 2 12 2
La familia de circunferencias tiene la ecuación
1 1 0
Por tanto,
1 10
1 1 1 1 1
01 1 1
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k x k y D kD x E kE y F kF
k k k k k
D kD x E kE y F kFx y
k k k
D kD x Ex y
k
2 1
1 1
kE y F kF
k k
2
1 22 1 2
2
1 2 1 22
2
1 2 1 22 2
2
1
1
21 1 2
( )
1 2 1
1 2 1
( )
1 2 1
1 1
2
1
1
D kD x D kDx
k k
E k
D kD x E kE y F kFx y
k k
E y E kEy
k k
E kEF kF D kD
k
k
k k
2 2
1 2 1 2 1 22 21 2
2 2
1 21 1 2
( )
1 2 1 1 2 1
( )
1 2 1 2 1
D kD x E kE y E kED kDx y
k k k k
E kEF kF D kD
k k k
2 2
1 21 2
2 2
1 21 1 2
( )
2 1 2 1
( )
1 2 1 2 1
E kED kDx y
k k
E kEF kF D kD
k k k
Familias de circunferencias
2 21 2 1 2 1 2
1 21 2
Teorema:
La familia de circunferencias
1 1 0
tiene su centro en
( ),
2 1 2 1
k x k y D kD x E kE y F kF
E kED kD
k k
2 21 1 1
2 22 2 2
1 2
1 1 2 21 2
Sean dos circunferencias no concéntricas
0
y
0
Sus
La recta que pasa por
centros y son:
, y ,2 2 2 2
respectivamente
los centros d
.
e
x y D x E y F
x y D x E y F
Ctro Ctro
D E D ECtro Ctro
dos circunferencias
no concéntricas se llama .recta de los centros
Recta de los centros
Recta de los centros
1 1 2 21 2 1 2
La recta que pasa por los centros de dos circunferencias no concéntricas
se llama recta de los centros.
Los centros y son: , y ,2 2 2 2
D E D EC C Ctro Ctro
1 1 2 21 2
1 2
1 1
1 2
1 1 2 1 2 1
La ecuación de la recta que contiene a los dos
centros , y , es:2 2 2 2
2 22 2
2 2
2 2 2 2 2 2
D E D ECtro Ctro
E EE D
y xD D
E D D E E Dy x
1 2 1 2 1
1 1 2 1 2
1 2 1 1 2
1 2 1 2
1 2
1 1 1 2 1 1
1
1 2
Desarrollandola
02 2 2 2 2 2 2 2 2 2
que da
2 2 0
y finalmente
2 2 2 2 2
2
2
2
E E D D E D D D E Ex y
E E x D D y E D E D D E
E D D E E
D
E E x
x
E
Dy
1 2 2 1 1 2 0D D y D E D E
1 1 2 21 2 1 2
La recta que pasa por los centros de dos circunferencias no concéntricas
se llama recta de los centros.
Los centros y son: , y ,2 2 2 2
D E D EC C Ctro Ctro
2 21 1 1
2 21 1 1
1 1 2 2
Sean dos circunferencias no concéntricas
0
y
0
Sus centros son: , y ,2 2 2 2
respectivamente.
La recta que pasa por los centros de dos circunferencias
no
x y D x E y F
x y D x E y F
D E D E
1 2 1 2 2 1 1 2
concéntricas se llama .
La ecuación de dicha recta e
2 0
s:
2 E E x
recta de los ce
D D y D E
ntros
D E
Recta de los centros
Familias de circunferencias
2 21 2 1 2 1 2
1 21 2
Teorema:
La familia de circunferencias
1 1 0
tiene su centro en
( ),
2 1 2 1
k x k y D kD x E kE y F kF
E kED kD
k k
Recta de los centros
1 2 1 2 2 1 1 2
1 21 2
2 21 2 1 2 1 2
La ecuación
2 2 0
se satisface con las coordenadas
( ),
2 1 2 1
del centro de cualquier circunferencia definida por la ecuación
1 1
E E x D D y D E D E
E kED kD
k k
k x k y D kD x E kE y F kF
0
1 2 1 2 2 1 1 2
La recta que pasa por los centros de dos circunferencias
no concéntricas se llama .
La ecuación de dicha recta es: 2 2 0
recta de los centros
E E x D D y D E D E
1 2 1 2 2 1 1 2
1 21 2
La ecuación 2 2 0
( )se satisface con las coordenadas ,
2 1 2 1
E E x D D y D E D E
E kED kD
k k
1 21 21 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 22 1 1 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2
1 1 1 12 2
2 1 2 22 1 1 2
1 2 2 1 1
( )2 2 0
2 1 2 1
( )0
1 1
01
E kED kDE E D D D E D E
k k
D kD E E D D E kED E D E
k kD E D E kD E kD E D E kD E D E kD
D E D
ED E D E
kD E kD E kkD E D EE
2 2 12 1 1 2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 2
2 1 1 2
01
01
D ED E D E
kkD E D E kD E D E
D E D E
kD
k
E
1 2 1 2 2 1 1 2
1 21 2
La ecuación 2 2 0
( )se satisface con las coordenadas ,
2 1 2 1
E E x D D y D E D E
E kED kD
k k
1 2 1 2 2 1 2 12 1 1 2
1 2 2 12 1 1 2
1 2 2 12 1 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2
1 10
11 1
01
0
01
1
k D E k D ED E D E
kk D E k D E
D E D
kD E D E kD E D E
Ek k
D E
D E D Ek
D E D E D E
Familias de circunferencias
2 2 2 21 1 1 2 2 2
2 21 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1 1 2
La familia de circunferencias
0
ó bien
1 1 0
tienes sus centros en la recta de los centros
2 2 0
x y D x E y F k x y D x E y F
k x k y D kD x E kE y F kF
E E x D D y D E D E
Familias de circunferencias
Geometría Analítica Plana
Ecuación de la circunferencia
Eje radical
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
2 2 2 21 1 1 2 2 2
Sean dos circunferencias diferentes con ecuaciones,
: 0
: 0
A partir de estas ecuaciones formamos la ecuación:
0
que es una familia
C x y D x E y F
C x y D x E y F
x y D x E y F k x y D x E y F
de circunferencias para todos los
valores de , excepto 1.k k
Eje radical
2 2 2 21 1 1 2 2 2
1
1 2 1 2 1
2
1 2
2
2 1
Ya vimos que para 1 la ecuación
0
se reduce a
Si y no son concéntricas se verificará que
o o ambas, de manera que por lo
m
0
e
D D x E E y F
k
x y D x E y F k x y D x E y F
C C
D D E
F
E
1 2
ecuación repr
nos uno de los c
esenta
entonces u
oeficientes de e será
diferen
na línea recta llamada eje rad
te de cero, y la
ical de y .
y
C C
x
Eje radical
x
P1
P2
yEje Radical
Recta de los centros
1 2Si y se cortan en dos puntos diferentes,
tenemos lo que ya discutimos, el eje radical
pasa por estos 2 puntos y, por tanto, coincide
con la cuerda común.
C C
2 21 2 1 2 1 21 1 0
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k
2 2 2
2 2 2
1 2 5
2 1 3
x y
x y
Recta de los centros
Eje Radical
x
y
1 2Si y son tangentes entre sí,
su eje radical es la tangente común
a ambas circunferencias.
C C
2 21 2 1 2 1 21 1 0
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k
2 2 2
2 2 2
1 3 3
2 1 2
x y
x y
x
y
Eje Radical
Recta de los centros
1 2Si y NO se cortan, el eje radical no tiene ningún
punto común con ninguna de las 2 circunferencias.
C C
2 21 2 1 2 1 21 1 0
1
k x k y D kD x E kE y F kF
k
222
22 2
12
2
71 3
10
x y
x y
x
y
Eje Radical
Recta de los centros
El eje radical de dos circunferencias cualesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
Eje radical
1 2 1 2 2 1 1 2
1 21 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 21 2
1 2
La ecuación de recta de los centros es :
2 2 0
Su pendiente es: , si
La ecuación del eje radical es:
0
Su pendiente es: , si
E E x D D y D E D E
E ED D
D D
D D x E E y F F
D DE E
E E
El eje radical de dos circunferencias cualesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
1 21
1 2 1 2
21 2
1 21
2
1 2
2 1
2
1
La pendiente de la recta de los centros es: , si
La pendiente del eje
Por tanto, el prod
ucto de sus pendientes es 1
radical es:
,
1,
y la
, si
s
E ED D
D D
D DE
E E D D
D D E
EE
E
E
rectas son perpendiculares.
El eje radical de dos circunferencias cualesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
1 2
1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
Si la ecuación del eje radical es:
0
es decir, el eje radical es paralelo al eje .
En este caso también, la ecuación de la recta de los centros es:
2 0
es decir, la rect
D D
E E y F F
X
E E x D E D E
1 2
a de los centros es paralela al eje .
Por lo tanto, cuando también son perpendiculares el eje
radical y la recta de los centros.
Y
D D
El eje radical de dos circunferencias cualesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
1 2
1 2 1 2
1 2 2 1 1 2
Si la ecuación del eje radical es:
0
es decir, el eje radical es paralelo al eje .
En este caso también, la ecuación de la recta de los centros es:
2 0
es decir, la rec
E E
D D x F F
Y
D D y D E D E
1 2
ta de los centros es paralela al eje .
Por lo tanto, cuando también son perpendiculares el eje
radical y la recta de los centros.
X
E E
El eje radical de dos circunferencias cualesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
x
y
Eje Radical
Recta de los centros
El eje radical de dos circunferencias cualesquiera
es perpendicular a la recta de sus centros.
Eje radical
Eje radicalDemostraremos ahora que:
El eje radical de dos circunferencias no
concéntricas es el lugar geométrico de
un punto que se mueve de tal manera
que las longitudes de las tangentes
trazadas desde él a las dos
circunferencias son iguales.
Eje radicalEl eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el
lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera
que las longitudes de las tangentes trazadas desde él a las
dos circunferencias son iguales.
Para demostrar esto es necesario
demostrar primero el siguiente
teorema:
1 1 1
2 2 2
2 2 21 1
Teorema 5. Si es la longitud de la tangente
trazada del punto exterior ( , ) a la circunferencia
, entonces
t
P x y
x h y k r
t x h y k r
1 1 1
2 2 2
2 2 21 1
Teorema 5. Si es la longitud de la tangente
trazada del punto exterior ( , ) a la circunferencia
, entonces
t
P x y
x h y k r
t x h y k r
1
NOTA. Evidentemente,
se pueden trazar dos
tangentes del punto
al círculo, pero sus
longitudes son iguales.
P
1
2 2
Ejemplo : Hallar la longitud de la tangente
trazada del punto 3,2 a la circunferencia
9 9 30 18 2 0
P
x y x y
Eje radical
1 1 1
2 2 2
2 2 21 1
Teorema 5. Si es la longitud de la tangente
trazada del punto exterior ( , ) a la
circunferencia , entonces
t
P x y
x h y k r
t x h y k r
2 2
2 22
Dividiendo entre 9 tenemos :
10 22 0
3 9Sustituyendo por 3 y por 2
en el primer miembro de esta
ecuación obtenemos :
10 2 1693 2 3 2 2
3 9 9
169 13
9 3
x y x y
x y
t
t
Eje radicalUtilizando el teorema 5, ya podemos demostrar
que el eje radical de dos circunferencias no
concéntricas es el lugar geométrico de un punto
que se mueve de tal manera que las longitudes
de las tangentes trazadas desde él a las dos
circunferencias son iguales.
2 21 1 1 1
2 22 2 2 2
1 2
1
Sean dos circunfencias no concéntricas dadas por las
ecuaciones
: 0
: 0
Sea , el punto móvil y sean y , las
longitudes de las tangentes trazadas de ,
a
C x y D x E y F
C x y D x E y F
P x y t t
P x y
C
2
2 2 21 1 1 1
2 2 22 2 2 2
y . Entonces , por el teorema 5,C
t x y D x E y F
t x y D x E y F
Eje radical
1
1 2
2 2 2 21 1
2 1 2 1
1 2 2 2
1 2
2
Por hipótesis , así que
ó bien
que es la ecuación del eje radical de las
circunferencia .
0
s y
t t
x y D x E y F x y D
D D x
x E y F
C C
E E y F F
2 2 21 1 1 1
2 2 22 2 2 2
t x y D x E y F
t x y D x E y F
1 1 1
1 1 1
1 2
Podemos demostrar, reciprocamente,
que si ( , ) es un punto que está
sobre el eje radical, las longitudes de
las tangentes trazadas de ( , ) a
y son iguales.
P x y
P x y
C C
Centro radical
1 2 1 2 1 2 0D D x E E y F F
:= r1 ( ),x y 4 x 4 y 7
:= r2 ( ),x y 2 x 4 y 1
:= r3 ( ),x y 6 x 6
:= f1 ( ),x y x2
y2
1
:= f2 ( ),x y ( )x 22
( )y 22
2
:= f3 ( ),x y ( )x 12
( )y 22
4
Sean las tres
circunferencias:
La ecuación del eje radical es:
Las ecuaciones de
los ejes radicales son:
Geometría Analítica Plana
Ecuación de la circunferencia
Tangente a una
curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
La tangente a una curva en un punto dado es
una línea recta; la pendiente de esa línea recta
nos dice que tan rápido está cambiando la
curva en ese punto.
Por eso es importante la línea tangent
Su p
e:
endiente nos da la razón
de cambio de la curva.
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curvaIlustración y repetición de todo lo anterior con una animación de Maple
Tangente a una curva( , ) 0 (1)f x y
Tangente a una curva
( , ) 0 (1)
(4)
f x y
y mx k
Tangente a una curva
2
( , ) 0 (1)
(4)
0 0 (5)
f x y
y mx k
ax bx c a
( , ) 0 (1)
(4)
f x y
y mx k
Tangente a una curva
Tangente a una curva
2
( , ) 0 (1)
(4)
0 0 (5)
f x y
y mx k
ax bx c a
( , ) 0 (1)
(4)
f x y
y mx k
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Longitud de
la tangente
Tangente a una curva
Longitud de
la normal
Tangente a una curva
Subtangente
Subnormal
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
1
1
1
En el triángulo ,
tenemos
tan
Despejando ,
que es la subtangente,
tenemos
TQP
ym
TQ
TQ
yTQ
m
Tangente a una curva
1
1
1
En el triángulo ,
tenemos
tan
Despejando ,
que es la subnormal,
tenemos
QNP
QNm
y
QN
QN my
Tangente a una curva
1
2 221
1
22112
21
En el triángulo ,
tenemos
Long Tang
pero 0 ,
así que
Long Tang
1
TQP
TQ y
yTQ m
m
yy
my
mm
Tangente a una curva
1
2 221
1
2 2 21 1
21
En el triángulo ,
tenemos
Long Normal
pero
así que
Long Normal
1
QNP
QN y
QN my
m y y
y m
Ángulo entre dos curvas
Ángulo entre dos curvas
Ángulo entre dos curvas
Ángulo entre dos curvas
curvas son ortogonales entr
Si se verifica que ' 1, de tal manera que
ambos ángulos sean rectos, se dice que las
.
Tambien, si cada elemento de una familia de
curvas es ortogonal a cada uno
e si
de los
mm
las trayectorias
ortogonales
elementos
de una segunda fam
de las curvas de la otra f
las curvas de cualquiera
de las dos familias se llaman
.
El problema de la ortogonalidad es
ilia,
de considera
amilia
ble
importancia en la Matemática Superior y en la Física.
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Tangente a una
circunferencia
Tangente a una circunferenciaLa determinación de la ecuación de una
tangente a una circunferencia se simplifica
considerablemente po
la tange
r la pro
nte a un
piedad de la
circ a
circunferencia
unferen
es perp
cia, que d
endicular
ice:
al r
En esta sección determinaremos la ecuación
de la tangente a una circunferencia sin usar
esta propicdad particular ; lo haremos por el
adio
trazado al punto de contacto
método general recien discut
.
ido.
Tangente a una curva
Tangente a una circunferencia
Tangente a una circunferencia
1) Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada
en un punto dado de contacto
2) Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada
y que tiene una pendiente dada
3) Hallar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada
y que pasa por un punto exterior dado.
Tangente a una circunferencia
2 2
2 2
2 2 2
Para obtener la tangente a una circunferencia
se sustituye la ecuación de la recta
en la ecuación de la circunferencia
0
obteniendose
( ) ( ) 0
ó bien
1 2
y mx k
x y Dx Ey F
x mx k Dx E mx k F
m x mk D Em x k
0Ek F
2 2 2
La ecuación que resulta
1 2 0
es de segundo grado y las raíces que se obtienen
son de tres tipos:
1) Reales e iguales, si la recta es la tangente a la
circunferencia el discriminante
m x mk D Em x k Ek F
se hace cero
2) Reales y desiguales, si la recta es una secante
a la circunferencia
3) Complejas si la recta y la circunferencia no se
cortan
2 2
Ejercicio 1 del grupo de ejercicios 18,
página 127.
Ejemplo: Hallar la ecuación de
la tangente a la circunferencia
2 6 3 0
en el punto 1,6 .
x y x y
Tangente a una circunferencia. Ejemplo
Solución: La ecuación de la familia de rectas que pasa por el
punto 1,6 es:
6 1 ,
en donde el parámetro es la pendiente de la tangente buscada.
Despejando en la ecuación de la recta y sustitu
y m x
m
y
2 2
22
yendo en la
ecuación de la circunferencia
2 6 3 0
obtenemos
6 2 6 6 3 0
x y x y
x mx m x mx m
2 2
Ejemplo: Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
2 6 3 0 en el punto 1,6 .x y x y
22
2 2 2 2 2
2 2 2 2
6 2 6 6 3 0
que se reduce a
36 2 12 12 2 6 6 36 3 0
ó finalmente
1 2 6 2 6 3 0
x mx m x mx m
x m x m m x mx m x mx m
m x m m x m m
2 2
Ejemplo: Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
2 6 3 0 en el punto 1,6 .x y x y
2 2 2 2
22 2 2
4 2 3
Para que la ecuación de segundo grado
1 2 6 2 6 3 0
tenga una única solución y sea real, debemos tener
2 6 2 4 1 6 3 0
Desarrollando el primer miembro de la ecuación,
4 36 4 24
m x m m x m m
m m m m m
m m m
2 4
3 2 2
8 24 4
24 12 4 24 12 0
m m m
m m m m
4 2 3 2 4
3 2
2
2
2
Reduciendo los términos semejantes
36 48 16 0
y factorizando el 4,
9 12 4 0
cuya solución única es
2
3
4 36 4 24 8 24 4
24 12 4 24 12 0
m
m m m m m
m
m
m m m m
m m
m
La familia de rectas que pasa por el punto 1,6 es:
6 1 ,
y encontramos que la pendiente es
2
32
así que la ecuación de la tangente es 6 13
que se reduce a
2 20
3 3
2 3 0
ó
20
y
y m
y x
y
x
x
x
m
2 2
Ejemplo: Hallar la ecuación de
la tangente a la circunferencia
2 6 3 0
en el punto 1,6 .
x y x y
La ecuación de la tangent
2 20
3 3
2
e es
3 2 0
ó
0
y x
x y
2 2
Ejemplo: Hallar la ecuación de
la tangente a la
2
circunferencia
en el punto 1,
6 3 0
6 .
x y x y
La ecuación de la tangent
2 20
3 3
2
e es
3 2 0
ó
0
y x
x y
Geometría Analítica PlanaEcuación de la circunferencia
Teoremas y problemas
de lugares geométricos
relativos a la
circunferencia
La demostración analítica de cualquier teorema
sobre la circunferencia se efectúa siguiendo el
procedimiento general. Mientras el teorema no
se particularice, debe colocarse la circunferencia
con su centr
2 2 2
o en el origen, para usar la ecuación
más simple de la circunferencia, la ecuación
canonica:
x y r
Teoremas y problemas de lugares geométricos
relativos a la circunferencia
Demostración de teoremas
geométricos por el método analítico
Geometría Analítica PlanaSistemas de coordenadas
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Con los resultados obtenidos en este capítulo
es posible demostrar muy fácilmente muchos
teoremas de la Geometría elemental por los
métodos de la Geometria analitica.
Se comprenderá el alcance de la Geometría
analítica comparando la demostración analitica
de un teorema con la demostración del mismo
teorema dada en Geometria elemental.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
En relación con la demostración analítica de
un teorema, son necesarias ciertas precauciones.
Como en la demostración se emplea un sistema
coordenado , es muy útil construir la figura de
manera que se facilite la demostración.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Una figura debe colocarse siempre
en la posición más simple; es decir,
en una posición tal que las
coordenadas de los puntos de la
figura simplifiquen lo más posible
los cálculos algebraicos.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Por ejemplo, en un
teorema relativo a un
triángulo cualquiera,
la figura puede suponerse
tal como se indica en la
figura 17(a), teniendo los
vertices las coordenadas
que se indican.
Pero es más sencillo suponer el triángulo en la posición
indicada en la figura 17(b); en efecto, para esta posición
solamente tenemos tres cantidades, , y que considerar,
mientras que si
consideramo
a b c
s el
triángulo dado en la
figura 17(a) serán
seis las cantidades
que entrarán en
nuestros cálculos.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Una posición análoga a la dada en la figura 17(b)
es aquella en que ningún vértice está en el origen,
pero un vértice está sobre uno de los ejes
coordenados y los otros dos están sobre el otro
eje coordenado.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Por afán de simplificación no
se debe caer, sin embargo, en
el extremo opuesto y situar la
figura de tal manera que el
teorema quede restringido.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Por ejemplo , las coordenadas para los vertices del
triángulo de la figura 17(c) contienen solamente dos
cantidades y ,
pero está figura es el caso
especial de un triángulo
rectángulo y no servirá
para l
a b
a demostración de
un teorema relativo a
un triángulo cualquiera.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Para todas las variables
se deben usar letras,
simbolos, no se deben
usar números concretos.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Como primer paso en la demostración
analítica de un teorema , se debe dibujar
un sistema de ejes coordenados y, despues,
colocar la figura en una de las posiciones
más simples, sin particularizar el teorema,
tal como se explicó en el párrafo anterior.
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
A continuación todos los puntos comprendidos
por el teorema deberán designarse por
coordenadas apropiadas marcadas sobre la figura.
El procedimiento a seguir después de esto
depende de la propiedad o propiedades particulares
que van a dernostrarse y se comprenderá mejor
por medio de ejemplos.
Ejemplo: Demostrar, ,
que cualquier ángulo inscrito en una
circunferencia es un ángulo recto.
analíticamente
Teoremas y problemas de lugares
geométricos relativos a la circunferencia
Ejemplo: Demostrar, analíticamente, que cualquier
ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo recto.
Demostración. Tomando la circunferencia con centro
en el origen para tener la ecuación ordinaria de la
circunferencia tenemos:
1 1 1Sea ( , ) un punto cualquiera de la
semicircunferencia, y sean y los extremos de
su diámetro. Como es el radio es evidente que las
coordenadas de y son:
,0 y ,0
Tenemos que demostra
P x y
A B
r
A B
A r B r
1
1
r que el segmento es
perpendicular al segmento .
AP
BP
''''''''''''''
''''''''''''''
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1
Para demostrar que el segmento es perpendicular
al segmento , tenemos que encontrar las pendientes
de y .
Es claro que
0
( )
y que
0
AP
BP
AP
BP
AP BP
y ym
x r x r
ym
r x
''''''''''''''
''''''''''''''
''''''''''''''
''''''''''''''
''''''''''''''''''''''''''''
1 1
1 1
1 1
2 21 1
2 21 1 1
así que
AP BP
y y
r x x r
y ym m
x r x r x r
''''''''''''''''''''''''''''
1 1 1
1 1
2 2 2
2 2 21 1
2 2 21 1
Como ( , ) está sobre la semicircunferencia,
sus coordenadas ( , ) satisfacen la ecuación
de donde se obtiene trivialmente que
P x y
x y
x y r
x y r
y r x
1 1
1 1
2 2 21 1
2 21 1
2 21 1 1
2 2 21 1
2 2 2 21 1
Sustituyendo
en la ecuación
que ya habíamos obtenido, tenemos
1
AP BP
AP BP
y r x
y ym m
x r x r x r
y r xm m
x r x r
''''''''''''''''''''''''''''
''''''''''''''''''''''''''''
1 1
2 2 21 1
2 2 2 21 1
1 1
Resumiendo,
1
y el segmento es perpendicular al segmento .
AP BP
y x rm m
x r x r
AP BP
''''''''''''''''''''''''''''
''''''''''''''''''''''''''''
Ejemplo: Demostrar, analíticamente, que cualquier
ángulo inscrito en una circunferencia es un ángulo recto.
Fin
Ejemplo 2: Un punto se mueve de tal manera que la
suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos
fijos dados es constante. Hallar la ecuación de su lugar
geométrico, y demuestre que es una circunfe
rencia.
Solución: Para simplificar se toma al origen como un
punto y el otro punto sería ,0 0 sobre el
eje , como se observa en la siguiente figura:
Sea , un punto cualquiera del lugar geométrico
A a a
X
P x y
2 2
2 2 2
2 2 2
.
Entonces debe satisfacer la condición geométrica
En donde es un número positivo.
Por la distancia entre dos puntos tenemos:
P
PO PA k
k
PO x y
PA x a y
Ejemplo 2: Un punto se mueve de tal manera que la
suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos
fijos dados es constante. Hallar la ecuación de su lugar
geométrico, y demuestre que es una circunfe
rencia.
Solución: Para simplificar se toma al origen como un
punto y el otro punto sería ,0 0 sobre el
eje , como se observa en la siguiente figura:
Sea , un punto cualquiera del lugar geométrico
A a a
X
P x y
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
.
Entonces debe satisfacer la condición geométrica
En donde es un número positivo.
Por la distancia entre dos puntos tenemos:
Si se sustituye lo anterior en nos
P
PO PA k
k
PO x y
PA x a y
PO PA k
22 2 2
22 2
22
da:
Que se reduce a:
02 2
La ecuación anterior representa a una circunferencia
cuyo centro es / 2,0 y cuyo radio tiene una
longitud
12 , ,
2 2Siempre y cuando:
Si
x y x a y k
a kx y ax
C a
aPC k a k
k
2
2
2
,El lugar geométrico se reduce a un punto2
Si , No existe ningún lugar geométrico.2
,02
a
ak
a
Para encontrar una propiedad importante del eje radical tomemos la siguiente figura:
y
xx´y´
C ( h, k )
T.
P1 (x1, y1)
t
r
2 2 2
2 2 21 1
Si t es la longitud de la tangente trazada
del punto exterior P1(x1, y1)a la
circunferencia
entonces :
x h y k r
t x h y k r
Tangente a una curva.
La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la curva.
l´ C
Y
Y´XX´
T Q M
P1 (x1, y1)
Si m es la pendiente de la tangente a una curva plana continua C en el punto P1(x1, y1) , tenemos las siguientes ecuaciones y fórmulas:
Ecuación de la tangente a C:
Ecuación de la normal a C:
Longitud de la tangente:
0,1
0,1
,
21
11
11
mmmy
mxxm
yy
xxmyy
Longitud de la normal
Longitud de la subtangente:
Longitud de la subnormal. 1
1
21
0,
,1
my
mmy
my
1','1'
tan mmmm
mm
Si tenemos 2 circunferencias C y C´ , se llama ángulo de dos curvas en uno de sus puntos de intersección, a cualquiera de los 2 ángulos suplementarios formados por las dos tangentes a las curvas en dicho punto.
Si mm´ = - 1 , es decir ambos ángulos son rectos, entonces se dice que las curvas son ortogonales entre sí.
2 2Ejemplo: Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia 8 6 20 0 en el punto 3,5 .x y x y
La ec. de la tangente a una circunferencia dada está perfectamente determinada cuando se conocen su pendiente y su punto de contacto ( o algún otro de sus puntos ). Si se tiene uno de estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema. Se pueden considerar tres casos:
a) Tangente a una circunferencia dada en un punto dado de contacto.
b) Tangente a una circunferencia dada que tiene una pendiente dada.
c) Tangente a una circunferencia dada que pasa por un punto exterior dado.
