Sistemas de control
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Sistemas de control
Tecnología industrial II
Antonio Vives
Definición de control
Es la acción o el efecto de poder decidir sobre el desarrollo de un proceso o sistema.
También se puede entender como la forma de manipular ciertas variables para conseguir que ellas u otras
variables actúen en la forma deseada.
Sistema de control
En el sistema de control nos vamos a encontrar.
In: Variables de entrada: Indican que es lo que debe hacer el sistema.
Out: Variables de salida: Son el efecto producido por el sistema.
Perturbaciones: Son variables ajenas al sistema pero que pueden influir en su funcionamiento y no podemos controlar
Variables de control: Son variables internas del sistema que se emplean para su funcionamiento.
Historia del control automático
Las primeras aplicaciones se remontan a los mecanismos reguladores con flotador en Grecia.
Flotador con válvula
Flotador con
apuntador
El reloj de Ktesibius fue construido alrededor de 250 AC. Es considerado el primer sistema de control automático de la historia.
Historia del control automático
Publicó un libro denominado Pneumatica en donde se describen varios mecanismos de nivel de agua con reguladores de flotador.
La Fuente mágica de
Herón de Alejandría
Herón de Alejandría (100 D. C.)
Medidor de tiempo
Historia del control automático
Sin embargo el primer trabajo significativo en control con realimentación automáticafue el regulador centrífugo de James Watt, desarrollado en 1769
Motor Carga
Engranes
Combustible
Cierra
Abre
Aceite a presión
Válvula de control
Esquema de Regulador de velocidad moderno
Definiciones
Sistema. Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para lograr cierto objetivo. El concepto de sistema se puede aplicar a fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales y otros.
Proceso. Es el desarrollo natural de un acontecimiento, caracterizado por una serie de eventos o cambio graduales, progresivamente continuos y que tienden a un resultado final
Planta. Conjunto de piezas de una maquinaria que tienen por objetivo realizar cierta actividad en conjunto. En sistemas de control, por planta se entiende el sistema que se quiere controlar.
Variable controlada (Salida). Es la cantidad o condición que se mide y controla. Variable manipulada. Es la variable que se modifica con el fin de afectar la variable
controlada. Perturbaciones. Una perturbación es algún suceso que afecta adversamente el
desarrollo de algún proceso. Si la perturbación se genera dentro del sistema, se le denomina perturbación interna, caso contrario la Perturbación es externa.
Tipos de sistemas de Control
Los sistemas de control se pueden clasificar básicamente en 2 tipos.
Lazo abierto: La salida se realiza sin tener en cuenta si lo que se pide se hace bien o mal, normalmente el tiempo es la variable que controla el sistema.
Lazo Cerrado la salida se compara con la entrada de forma que se comprueba en todo momento que la salida es la esperada y sino es así el sistema se corrige.
Representación de los sistemas de control
Los sistemas de control se pueden representar de dos maneras :
Mediante una función matemática, denominada Función de transferencia. La función de transferencia nos dará las variaciones de salida en función de las variables de entrada. La ecuación matemática obtenida tendrá normalmente como variable el tiempo y será un a función compleja y difícil de resolver. Para su resolución se cambiará la variable tiempo por una variable S a través de la transformada de LAPLACE.
Mediante diagrama de Bloques: Se representarán las operaciones del sistema mediante bloque de operaciones simples y a partir de ahí se simplificará el sistema.
)(
)(
tgin
tfoutS
La función de transferencia
Podemos calcular la función de transferencia en circuitos eléctricos
En un circuito eléctrico la función será: FDT = Vout/Vin
vin
Teniendo en cuenta la impedancia de algunos componentes como la bobina y el condensador podemos calcular la FDT :
CwjXc
1
Impedancia de la bobina:
vout
fw 2wLjXL
Impedancia del condensador: Siendo:
LsXL Cs
Xc1
Aplicando Transformada de Laplace queda:
La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia: Circuito RL
L
R
)(ti
)(tv
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:
dt
diLRivin
Aplicando la transformada de LaplaceLsIRIVin
la función de transferencia, queda:
RLs
Ls
RILsI
LsI
Vin
VoutFDT
iLwjRivin
dt
diLtvout )(
iLwjvout
LsIVout
Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos.
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés.
Diagrama a bloques
• Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema.• Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace).• El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
Consideraciones:
Diagramas de bloques
Elementos de un diagrama a bloques
Función de transferencia
)(sGVariablede entrada
Variablede salida
Flecha:
Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la direccióndel flujo de señales.
Bloque:
Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
Diagramas de bloques
Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado
)(sG+-
punto de suma punto de bifurcación
)(sH
)(sR)(sE )(sC
)(sB
Función de transferencia en lazo abierto)()(
)()(
sHsGsEsB
Función de transferencia trayectoria directa )()()(
sGsEsC
Función de transferencia lazo cerrado)()(1
)()()(
sHsGsG
sRsC
Reducción de diagrama de bloques
)()( 21 sGsG )(sR )(sC
Por elementos en paralelo
)(1 sG)(sR
)(1 sG
+
+
)(sC
Por elementos en serie
)(1 sG)(sR )(sC)(sD
)(2 sG )()( 21 sGsG)(sR )(sC
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
)(sG+-
)(sH
)(sR )(sE )(sC
)(sB
Por elementos en lazo cerrado
)()(1)(
sHsGsG
)(sR )(sC
Diagramas de bloques
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
G +-
A AG BAG
B
+-
A
B
G
G1G
B
GB
A BAG
GA AG
AG
AG
GAG
AG
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
Diagramas de bloques
Reducción de diagrama de bloques
Reglas del álgebra de los diagramas de bloques
GA AG
A
AG
G1 A
AG
+-
A B1G
2G
+-
A B2G 1G
2
1G
Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente
Estabilidad de sistemas de control
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Nos quedarán dos ecuaciones, una en el numerador y otra en el denominador. La ecuación de denominador se llamará ecuación característica y para estudiar la estabilidad del sistema tendremos que averiguar las raíces de la ecuación caracterítica.
Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que si el sistema es estable o inestable.
Definicion.Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada acotada, el sistema posee una salida acotada.
Para comprobar la estabilidad de un sistema se tiene analiza la función de transferencia.
)(
)()(
sD
sNsG
Estabilidad de sistemas de control
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Análisis de Estabilidad.
La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los polos (raíces de la ecuación Característica) en el plano s. Si alguno de los polos de la ecuación característica se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable.
Plano s
Región estable
Región inestable
Región estable
Región inestable
RR
j
j
Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Plano s
Estabilidad de sistemas.
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Criterio de Estabilidad de Routh
Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa.
)()(
)()(
11
10
11
10
sqsp
asasasa
bsbsbsbsRsC
nnnn
mmmm
cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación característica…
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.
Estabilidad de sistemas 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1º Ecuación característica
ns
1ns
2ns3ns
0s
1a
4a
5a
2a
3a
0a 6a
7a
1c
3b
5a
2b
3a
1b 4b
7a
1h
0)( 12
21
10
nnnnn asasasasasq
…
2º Están todos los términos y son todos positivos.
3º Se plantea la siguiente tabla con la ecuación característica y se resuelve.
Estabilidad de sistemas
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Donde:
1
30211 a
aaaab
1
50412 a
aaaab
1
70611 a
aaaab
1
21311 b
baabc
1
31512 b
baabc
1
31713 b
baabc
1
21211 c
cbbcd
1
31312 c
cbbcd
El criterio de Routh establece que el número de raíces con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna.
Estabilidad de sistemas. 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
EjemploSea el siguiente polinomio 032
21
30 asasasa
3s
2s
s
0s
0a
1a
2a
3a
1
3021
aaaaa
3a
La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son:
3021 aaaa 0,,, 3210 aaaa
Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
EjemploSea el siguiente polinomio 05432 234 ssss
3s
2s
s
0s
14s
2
3
4
5
1 5
0
0
6 0
5
Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos raíces con partes reales positivas.
Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Casos especialesSi un término es cualquier columna es cero y los demás términos no son cero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo y continuar.
EjemploSea el siguiente polinomio 01011422 2345 sssss
3s2ss
0s
14s 2
11
4 10
6 00
0
10
5s 2
1c
12124
1c
1d10
6106 1
1
cd
Si el término de arriba y el de debajo del 0 es del mismo signo no existirá cambio de signo, por tanto inestable.
Estabilidad de sistemas dinámicos 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Casos especialesSi toda un fila es cero hacemos la derivada del de arriba, la colocamos debajo y podemos continuar.
EjemploSea el siguiente polinomio 0502548242 2345 sssss
3s2ss
0s
14s 2
25
48 50
00
50
5s 24
0
24
50482 24 ssc
3,79
50
Si sale todo positivo estable.
ssc 968´ 3
La ecuación característica es
072 Kss
Las raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado.
Ks 25.125.312
y dependen del valor de K
Sea el sistema de lazo cerrado
)7( ssK
+-
)(sC)(sR
)(sB
En lazo cerrado
KssK
sRsC
)7()()( 0K
También puede hacerse por Routh
Determinar la estabilidad en función de K