CENTRO DE INVESTIGACIN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO POLITCNICONACIONAL, DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMTICO

Sistemas con retardo a la entradaTrabajo Final

Kevin Lpez Preciado

21 de abril de 2015

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NDICE

1. Seccin de recopilacin de resultados tericos 3

1.1. Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Solucin por medio de estabilizacin simultanea . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Solucin por medio de introduccin de dinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Implementacin de control predictivo: ejemplo escalar 7

3. Emplear el metodo de estabilizacin simultanea para resolver el problema de

la implementacin de la integral 9

3.1. Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Solucin por medio de introduccin de dinmicas 17

4.1. Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Comentarios 22

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1. SECCIN DE RECOPILACIN DE RESULTADOS TERICOS

En esta primera parte se har un breve resumen con los resultados ms importantes acerca dela teora de sistemas con retardos a la entrada ver ms en [7, 8]. Primeramente analizarmostpicos bsicos acerca de control predictivo:

1.1. CONTROL PREDICTIVO

Para este control considerese el sistema:

x = Ax(t )+Bu(t ) (1.1)

Donde > 0 es un retardo a la entrada. La idea de Manitius y olbroor [1] para resolver elproblema de estabilizacin del sistema es compensar el retardo en la entrada con la siguienteexpresin:

u(t )=K x(t +) K Rn (1.2)Con lo cual se puede ver claramente que si se aplica este control en (1.1) se tiene:

u(t )=K x(t ) x = (A+BK )x(t )

con lo cual se tiene una asignacin de espectro finito.As se reduce el problema del sistema con retardo a la entrada a un problema trivial de sis-temas lineales al cual se le pueden aplicar diferentes tcnicas para asignar el espectro, talescomo:

1. Retro estatica lineal

2. Control ptimo

3. Decaimiento exponencial finito.

4. etc...

Por lo tanto se busca disear K, tal que A+BK sea estable y con sus respectivos polos conparte real negativa.

El trmino x(t + ) se obtiene de resolver la ecuacin diferencial y esta dado por la expre-sin:

x(t +)={eAx(t )+

tt

e tBu()d{

(1.3)

Por lo tanto tenemos:

u(t )=K x(t +)=K{eAx(t )+

tt

e tBu()d{

(1.4)

El trmino x(t+) es un predictor del estado en el tiempo t+, el cual requiere de informacinen el tiempo t y tiempos anteriores.

3

El anlisis de esta ley de control fue realizado por manitius y olbroot [1], donde a travez dealgunas simplificaciones lograron demostrar que la entrada u(t ) poda ser reemplazadapor el estado en el tiempo presente x(t ), por lo tanto el sistema en lazo cerrado es de la forma:x = (A+BK )x(t ). Estas simplificaciones no ocurren cuando se realiza una implementacinnmerica, esta observacin fue realizada por Manitius y olbroot [1] por lo que propusieronla realizacin de un cambio de variable:

Z (t )= 0

eABu(t +)d (1.5)

con el cual podemos reescribir el sistema en funcin de la nueva variable z. Este sistema esde la forma:

Z (t )= AZ (t )+Bu(t )eau(t ) (1.6)Donde tenemos que si A es inestable, el sistema es inestable, en el caso contrario, si A esestable podemos utilizar la integral de esta forma.

IMPLEMENTACIN DEL RETARDO DISTRIBUIDO Y SUS PROBLEMAS

Manitius y olbroot propusieron la implementacin de la integral de la forma:

0

eAy(t +)d=q

p=0npe

p

qA

y(t p q

) (1.7)

La cual contiene una suma de retardos concentrados, el cual es llamado Retardo Distribui-do". Este sistema con la aproximacin de la integral se convierte en un sistema de tipo neutralde la forma:

d

dt(x(t )BK

qp=0

npe

p

qA

x(t p q

))= Ax(t )+BKeAx(t )BK A(q

p=0npe

p

qA

x(t p q

))

(1.8)

x(t )=BKq

p=0npe

p

qA

x(t p q

) (1.9)

Una condicin necesaria para la estabilidad del sistema (1.8) es la estabilidad de la ecuacionen diferencias (1.9). El sistema (1.8) tiene raices de gran modulo ubicadas sobre asintotas ver-ticales determinadas por la ecuacion en diferencias (1.9). Sin embargo, se puede demostrarque para aproximaciones buenas de la integral el sistema (1.9) tiene raices y parte real finitacercanas a las de:

x(t )=BK 0

eABu(t +)d (1.10)

As pues la estabilidad de (1.10) es una condicin necesaria para la estabilidad del sistemainterconectado como se analiz por w.michaels,s.mondie,D.Roose[6].El problema de la implementacin de la integral ha sido ampliamente estudiado como en [4]por V. van assche, M. Dambrine, J.F Lafay, JP Richard, donde podemos ver el comportamiento

4

de las ecuaciones para el seguimiento de una referencia con aproximaciones de la integralpara diferentes metodos de integracin. Los problemas en los sistemas con retardos son ande clase variada y de gran utilidad en el anlisis e implementacin de sistemas industrialesactuales, lo cual hace que los sistemas con retardo sean hoy por hoy un tema de desarrolloimportante en la investigacin a nivel mundial.

1.2. SOLUCIN POR MEDIO DE ESTABILIZACIN SIMULTANEA

Dado el sistema:x = (A+BK )x(t ) (1.11)

x(t )=BK 0

eAx(t +)d (1.12)

Para este tipo de solucin considere un sistema integral de la forma:

x Rn x(t )= 0

b()x(t +)dt > 0. (1.13)

tal que

M Rnm talque : B()=MB() con [,0] (1.14)as pues exi ste > 0 t .q. [,0] min(BT ()B())> (1.15)

Esto equivale a:B()= eM)B(0) con B(0) de rango pleno

x(t )= 0GB()x(t +)dPara verificar la estabilidad simultanea requerimos herramientas que ayuden a verificar laestabilidad de las ecuaciones.Teorema: Dado el sistema (1.11) sea una funcional v : P ([,0],Rn)=R tal que.

1

0() 2 d6 v()6

02 () 2 d (1.16)

Para 06162. Si existe > 0, tal que se satisface:d

dtv(xt )+2v(xt )6 0 0 (1.17)

Entonces:

x(t ,) 6 et 0Con = (max[tau,0] B() )

1

2

5

Aqu tenemos un teorema de condiciones suficientes de estabilidad exponencial, para estose hace una propuesta de funcional la cual esta dada por la ecuacin:

v()= 0T ()BT ()e2[P + (+)]B()()d (1.18)

con derivada:d

dtvt =

0

xT (t +)BT ()e2B()(())B()x(t +)d (1.19)

Con = (+MT (P + (+))+ (P + (+))M e2()BT (0)[P +]B(0)) > 0Entonces si es positiva entonces el sistema es estable.Puesto que v() satisface el teoremade estabilidad, suponemos que es exponencialmente estable.

1.3. SOLUCIN POR MEDIO DE INTRODUCCIN DE DINMICAS

Considere el sistema:x = Ax(t )+Bu(t +) (1.20)

consideramos ahora una ley de control de la forma:

d

dtu(t )=Gu(t )+K d

dtx(t +)GK x(t +) (1.21)

El cual es un control dinmico. Con este control realizamos la sustitucin de (1.12) en (1.11)y obtenemos que:d

dtu(t )= (G+KB)u(t )+ (K AGK )x(t +) t > 0

Ahora sustituimos el predictor x(t+) y obtenemos la ecuacin asociada al control dinmico:

u = (G+KB)u(t )+ (K A+GK ){eAtx(t )+

0

eABu(t +)d{

(1.22)

Con lo cual, realizando el anlisis de estabilidad en lazo cerrado obtenemos se puede concluirque la ecuacin caracteristica del sistema en lazo cerrado es:

P (s)= det (sInn ABK )det (sImm G) (1.23)

De esta forma la dinmica del sistema en lazo cerrado esta determinada por:

1. La eleccin de K:(A+BK) estable

2. La eleccin de G estable

As pues si se aproxima la integral con prescicin suficiente los polos de la aproximacinconvergen a los del sistema original. {sI ABK {U {sI G{

6

2. IMPLEMENTACIN DE CONTROL PREDICTIVO: EJEMPLO ESCALAR

Sea el sistema escalar:x = x(t )+u(t 1) (2.1)

en lazo cerrado con la ley de control:

u(t )=(1+d )x(t +1) (2.2)lo cual asigna en lazo cerrado el polinomio (s +d ) Se reprodujeron los resultados de losexperimentos realizados a este sistema en [1] por V. Van Assche, M. Dambrine... donde se es-tudiaron los problemas de la implementacion de leyes de control con retardo distribuido.

a) Implementacin continua, para esta implementacin se sustituyo en la ley de control laintegral aproximandola con el metodo trapezoidal, las condiciones para la simulacin fue-ron:h=1/N (paso de integracin, d = 1). Por lo tanto la ley de control implementada fue:

u(t )= h1+h (2

N1k=1 e

khu(t kh)+eu(t 1)) 2e1+h x(t )+

1

1+h v(t )

Para una v(t) escaln unitario.Los resultados obtenidos se muestran en las siguientes figuras.

Figura 2.1: Grafica de simulacin de sistema continuo

b)Siguiendo con las implementaciones ahora se mostrar el resultado para una implementa-cin discreta con la regla rectangular hacia atrs, esta regla nos permite aproximar la integralde la siguiente forma:

u(n)=(1+d )[ex(n)+hNk=1

ekhu(nk] (2.3)

con d = 1 y N=10, la solucin de esta ecuacin tienen un modulo menor que 1.Los resulta-dos obtenidos se muestran en la figura(2.1):

7

Figura 2.2: Simulacin de sistema con regla rectangular

c)El siguiente metodo utilizado tambien es un metodo discreto, el metodo trapezoidal nosproporciona un sistema estable, la ley de control dada es:

u(n)=[ex(n)+hN1k=1

ekhu(nk)+ he2u(nN )] (2.4)

con= 1+d1+ h

2(1+d )

y h = 1/N la simulacin se realizo para N=10 y los resultados obtenidos

se pueden ver en la figura 2.3.Al igual que las simulaciones anteriores podemos observar que los polos tienen modulo es-

Figura 2.3: Grafica de implementaci del sistema con metodo trapezoidal

trictamente inferior a 1, por lo tanto el sistema es estable.

d)El ultimo metodo de implementacin realizado es el de la regla de simpson, para la apro-ximacin con este metodo implementamos la siguiente ley de control:

u(n)= 1+d1+ h

3(1+d )

(ex(n)+ 4h3

N/2k=1

e(2k1)hu(n2k+1)+ he3u(nN )+

N/21k=1

e2khu(n2k))

(2.5)Los resultados se muestran en las figura 2.4, donde podemos observar resultados para simu-lacin discreta y continua para 30s y 10s. En ambos casos obtenemos graficas de sistemasinestables similares a los del sistema continuo.

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Figura 2.4: 30s

3. EMPLEAR EL METODO DE ESTABILIZACIN SIMULTANEA PARARESOLVER EL PROBLEMA DE LA IMPLEMENTACIN DE LA INTEGRAL

Sabemos que para garantizar estabilidad del sistema se debe cumplir estabilidad para las si-guientes ecuaciones:

1.- A+BK2.- x(t )=BK 0 x(t +)d

3.1. OSCILADOR

Sea el sistema con retardo en la entrada:

x =(

0 11 0

)x(t )+

(01

)u(t ) (3.1)

Para realizar la simulacin buscamos que el espectro de A+BK se encuentren en el semi-plano izquierdo del plano. Entonces se propone que det (sInABK )= (s+2)2 por lo tanto:

det (sInABK )= det(

s 11k1 sk2

)= s(sk2)+1k1 = s2+4s+4 k1 =3;k2 =4

Entonces necesitamos que simultaneamente se cumpla la condicin:

det (InBK (s InA)1(Ine(sInA)))= det(

1 0a b

)= (exp(si )(k1k2i+2exp(s+

i )2k1 exp(s+ i )+k1 exp(2 i )+k2 exp(2 i ) i +k1 s i +k2 s+2 s2 exp(s+i )2k2 s exp(s+ i )k1 s exp(2 i ) i +k2 s exp(2 i )))/(2 (s2+1))

9

a =(k2/(s2+1) (k1 s)/(s2+1)) (exp(s i )/2+exp(s+ i )/21) ((exp(s i ) i )/2(exp(s+ i ) i )/2) (k1/(s2+1)+ (k2 s)/(s2+1))

b = ((k1+k2 s) (exp(s i )/2+ exp(s + i )/21))/(s2+1)+ (exp(s i ) (k2k1 s)(exp(2 i )1) i )/(2 (s2+1))+1

Para ver las zonas de estabilidad de esta ecucacin se realiza el diagrama de D-Particionesdonde podremos ver las zonas en las cuales el sistema dado por la segunda ecuacin es esta-ble. Se presenta en la siguiente Diagrama(3.1) dicho diagrama donde podemos observar lasregiones a ser evaluadas para estabilizar el oscillador.

Figura 3.1: Diagrama de D-particiones del oscilador

Entonces para realizar la implementacin se us todo el poder de la herramienta compu-tacional llamada Simulink del programa Matlab 2014. Para llevar acabo la implementacindel sistema y de la ley de control primero se encontr la ecuacin del control en el dominiode la frecuencia.

u(s)= (1K (sI A)1(I e(sIA))B)1KeAx(s)= 11K (sI A)1(I e(sIA))B Ke

Ax(s)=

1

1+ (k1+k2 s)((exp(s i )

2+ (exp(s+ i )

2(s2+1) )+ (

exp(s i ) (k2k1 s) (exp(2 i )1) i2(s2+1) )

KeAx(s)

(3.2)Entonces se procede a realizar la simulacin del sistema (3.1), para ello se implementa uncircuito como se muestra en la figura (3.2) Para estos valores de vector K, se obtuvieron lossiguientes resultados:Figura(3.3) Seal de salida del sistema en lazo cerrado.

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Figura 3.2: Diagrama de simulacin

Figura(3.4) Seal de control del sistema.Estas graficas nos muestran una simulacin donde la integral no ha sido implementada. Enlas siguientes figuras (3.5)-(3.6) podemos observar la salida del sistema y la seal de controlcon la implementacin de la integral por el metodo de simpson.

Podemos observar como el comportamiento del sistema al implementar la integral mejo-ra considerablemente en comparacin al comportamiento de la ley de control continuo, unhecho a resaltar es que como dice la teora podemos concluir que si elegimos las constan-tes indicadas para las cuales ambas ecuaciones son estables podemos estabilizar el sistemaestudiado [7].

3.2. INTEGRADOR

Sea el sistema con retardo en la entrada:

x =(0 10 0

)x(t )+

(01

)u(t ) (3.3)

Para realizar la simulacin buscamos que el espectro de A+BK se encuentren en el semi-plano izquierdo del plano. Entonces se propone que det (sInABK )= (s+2)2 por lo tanto:

det (s In ABK ) = det(

s 1k1 sk2

)= s(s k2)k1 = s2+4s +4 k1 = 4;k2 = 4

Entonces necesitamos que simultaneamente se cumpla la condicin:

det (In BK (s In A)1(In e(sInA))) = det(

1 0a b

)= (exp(s) (k1+ s2 exp(s)+ k1

s+k2 sk1exp(s)k2 s exp(s)))/s2

a = (k1 (exp(s)1))s

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Figura 3.3: Seal de salida sin implementacin de la integral

Figura 3.4: Seal de control sin implementacin de la integral

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Figura 3.5: Seal de salida y de control sin implementacin de la integral

Figura 3.6: Seal de control sin implementacin de la integral

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b = k1exps)

s+ ((k1+k2 s) (exp(s)1))

s2+1

Como en el caso del oscilador para ver las zonas de estabilidad de esta ecucacin se reali-za el diagrama de D-Particiones.El diagrama se presenta en la siguiente figura(3.7), en esta figura podemos observar las regio-nes a ser evaluadas para estabilizar el integrador.

Figura 3.7: D-particiones del integrador

De la misma forma para realizar la implementacin se us Simulink del programa Matlab2014. Encontramos la ecuacin del control en el dominio de la frecuencia.

u(s)= (1K (sI A)1(I e(sIA))B)1KeAx(s)= 11K (sI A)1(I e(sIA))B Ke

Ax(s)=

1(k1+k2 s)(exp(s)1)

s2+ (k1exp(s))

s+1

KeAx(s) (3.4)

Entonces se procede a realizar la simulacin del sistema (3.3), para ello se implementa uncircuito como se muestra en la figura (3.2).

Para estos valores de vector K, se obtuvieron los siguientes resultados:Figura(3.8) Seal de salida del sistema en lazo cerrado.Figura(3.9) Seal de control del sistema.Estas graficas nos muestran una simulacin donde la integral no ha sido implementada. Enlas siguientes figuras (3.10)-(3.11) podemos observar la salida del sistema y la seal de con-trol con la implementacin de la integral por el metodo de simpson.

En este sistema podemos ver un comportamiento menos variante que en el oscilador, po-demos notar como en ambas simulaciones tenemos un sistema que tiende a 0 de manerarapida, tambin se valida que para estos valores de K las ecuaciones del sistema en lazo ce-rrado y de la integral son estables.

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Figura 3.8: Seal de salida sin implementacin de la integral

Figura 3.9: Seal de control sin implementacin de la integral

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Figura 3.10: Seal de salida con implementacin de la integral por la regla de simpson

Figura 3.11: Seal de salida con implementacin de la integral por la regla de simpson

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4. SOLUCIN POR MEDIO DE INTRODUCCIN DE DINMICAS

Sabemos que para este sistema tenemos que implementar las ecuaciones:

u = (G+KB)u(t )+ (K AGK )x(t +) (4.1)x = Ax(t )+Bu(t ) (4.2)

Sabemos que se tiene que cumplir que:

det (sInn ABK )det (sImm G)= 0De esta manera garantizamos que el sistema ser estable, por lo tanto proponemos las ga-nancias para G y para K. Por lo tanto escogemos G negativa y el vector K como se encontro enla seccin de estabilizacin simultaneaPara la implementacin de este sistema transformamos la ecuacin (4.1) a la frecuencia paraencontrar una expresin y poder hacer uso de ella en Simulink. Es sencillo ver que u tiene lasiguiente expresin en el dominio de la frecuencia.

su(s)= ((G+KB)+ (K AGK )(sIn A)1(In e(sInA))B)u(s)+ (K AGK )eAx(s) (4.3)

4.1. OSCILADOR

Sea el sistema con retardo en la entrada:

x =(

0 11 0

)x(t )+

(01

)u(t ) (4.4)

Para esta simulacin mostraremos dos resultados experimentales con los cuales observare-mos caracteristicas del sistema en lazo cerrado. Proponemos un valor para K=[-1 -1] de talmanera que:

det (sIn ABK )= (12 i

7

4)

Y se elige g=-3, de tal manera que det (sG)= s+3

Por lo tanto la respuesta esta dada por:Podemos observar que como era de esperarse tenemos una respuesta subamortiguada, dadala ubicacin de los polos del sistema figura(4.1).

Realizamos una simulacin ms para los valores g=-3 y K=[-24 -10], es decir los polos delsistema estan en s=3,s=5,s=5. Los resultados obtenidos son los siguientes:Como se puede apreciar debido al subamortiguamiento del sistema la respuesta de la salidaes ms rpida y sin oscilar.

4.2. INTEGRADOR

Sea el sistema con retardo en la entrada:

x =(0 10 0

)x(t )+

(01

)u(t ) (4.5)

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Figura 4.1: Respuesta de la salida del sistema

Figura 4.2: Respuesta del control del sistema

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Figura 4.3: Respuesta de la salida del sistema

Figura 4.4: Respuesta del control del sistema

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Como se realizo para el sistema anterior se realizo la simulacin del sistema y se propusieronlas constantes K=[-1 -1],g=-3.En la figura (4.5) podemos observar la salida del sistema, como era de esperarse esta es denaturaleza oscilatoria por la colocacin de los polos del sistema. Por ultimo se realizo la si-

Figura 4.5: Respuesta de la salida del sistema

Figura 4.6: Respuesta del control del sistema

mulacin para los valores K=[-24 -10], g=-5 y se obtuvo lo siguiente:

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Figura 4.7: Respuesta de la salida del sistema

Figura 4.8: Respuesta del control del sistema

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5. COMENTARIOS

En estas simulaciones experimentales pudimos observar los problemas relacionados a la im-plementacin de ecuaciones integrales [4], como era de esperarse los metodos de resolu-cin del problema de la implementacin de la integral fueron correctos, pudimos verificarmediante estabilizacin simultanea que para estabilizar el sistema es necesario que se satis-fagan las ecuaciones del sistema retardado y la ecuacin asociada al estado, pudo tambienverificarse el metodo de estabilizacin por introduccin de dinmicas el cual permite a suvez tener mayor grado de libertad para hacer que el sistema controlado se comporte de ma-nera estable, es decir, uno siempre puede elegir con un grado ms de libertad el valor de lasganancias tal que el sistema sea estable y sus polos se encuentren, ya sea, sobre el plano realnegativo o polos complejos conjugados de parte real negativa.

REFERENCIAS

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[2] W.michaels,s.mondie,D.Roose,The effect of aproximating distribuited delay control lawonstability

[3] Mondi S.,Dambrine, M. and O. Santos, Approximation of control laws with distributeddelays: a necessary condition for stability, Kybernetika, 38, 541-551, 2002.

[4] V.Van Assche,M.Dambrine,J.F. Lafay, Some problems arising in the implementation ofdistributed-delay control laws, Proceedings of the 38th CDC, 199.

[5] Mondi S.,Michiels W., Finite spectrum Assignment of unstable input-delayed systemswith a safe implementation, IEEE Transactions on Automatic Control, 48(12), 2207-2212,2003.

[6] Mondi S.,Dambrine, M. and O. Santos, Exponential Stability of Integral Delay SystemsWith a Class of Analytic Kernels, IEEE Transactions on Automatic Control, 57(12), 484-489, 2012.

[7] Fridman Emilia, Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control, Birkhauser,2014.

[8] Richard Jean-Pierre, Time-delay systems: an overview of some recent advances and openproblems, Automatica, 39, 1667-1694, 2003.

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