SISTEMA TOPOCÉNTRICO

Aquel definido por la

dirección 𝑃𝑃𝑜 , con el uso de instrumentos topográficos (Estación Total, Distanciómetros y/o teodolitos), a partir de las coordenadas cartesianas (X, Y, Z), obtenidas por medio de los datos que graban los instrumentos rastreadores de satélites artificiales.

SISTEMA TOPOCÉNTRICO

El punto P tiene coordenadas Geocéntricas (X,Y,Z) referidas a un elipsoide.

Sea: Z= Distancia cenital reducida a la línea. L= Distancia Inclinada, corregida por temperatura y presión. l= Azimut Geodésico referido al Norte.

Al punto P le podemos asociar un triedro fijo (n, e’, e”) que está formado por vectores unitarios referidos al elipsoide.

Por cálculo matricial podemos decir que:

𝐿 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜆 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑍 = −𝑠𝑒𝑛𝜙 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜆 ∗ Δ𝑋 − 𝑠𝑒𝑛𝜙 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜆 ∗ Δ𝑌 + 𝑐𝑜𝑠𝜙 ∗ Δ𝑍

𝐿 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜆 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑍 = −𝑠𝑒𝑛𝜆 ∗ Δ𝑋 + 𝑐𝑜𝑠𝜆 ∗ Δ𝑌

𝐿 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜆 ∗ Δ𝑋 + 𝑐𝑜𝑠𝜙 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜆 ∗ Δ𝑌 + 𝑠𝑒𝑛𝜙 ∗ Δ𝑍

Debiéndose determinar los valores DX, DY, DZ, que son las diferencias de coordenadas entre P y Po.

Las coordenadas del punto Po están dadas por:

XPo=XP+DX YPo=YP+DY ZPo=ZP+DZ

Habiéndose calculado las coordenadas del punto Po, (XPo,YPo,Zpo) el siguiente paso es determinar la latitud, longitud y altura de dicho punto mediante las ecuaciones geodésicas siguientes:

Como es difícil determinar la latitud , longitud y altura del sistema anterior se recurrió a un método iterativo, con el cual la convergencia de latitud, longitud y altura es de 10 elevado a la menos 7 metros. (10 E-7).

REPRESENTACIÓN DE LA ONDULACIÓN

h= altura elipsoidal. H= altura ortométrica. No= ondulación geoidal.

COORDENADAS GEOCÉNTRICAS

Las coordenadas rectangulares de un punto son (X,Y,Z); se define una función tal que: F(X,Y,Z)=0 Como el punto está orbitando alrededor de una elipse, se puede decir que:

Donde: Ro=Semieje Mayor. f= Achatamiento.

La divergencia de una función está dada por:

Donde diferenciado parcialmente:

Los cosenos directores están dados por:

Según lo anterior podemos decir que, la proyección está dada por:

Sumando el sistema y luego igualando, con la ecuación de la elipse la cual es:

Y luego despejando FX2+FY2+FZ2. La divergencia en este caso está dada por:

Luego la proyección está dada por:

Donde: y l son coordenadas geodésicas latitud y longitud Sea:

Si pensamos que el punto está a una altura h del nivel elipsoidal, podemos decir que:

Donde: X(,l,h); y(,l,h) y Z(,h) son las coordenadas de la nueva proyección. En general, diremos que: X=(N+h)*cos*cosl

Y=(N+h)*cos*senl

Z=(N*(1-e2)+h)*senl

Cálculo de Cenitales y Azimutes

L= Distancia Inclinada Z=Cenital Reducido

Pero debe ser unitario:

Entonces:

Se genera una matriz relacionando lo observado en terreno y la proyección.

Se general los valores X, Y, Z. Por lo tanto:

u= L*cos A * sen Z v= L*sen A * sen Z w= L*cos Z Donde: L: Distancia Inclinada Z: Cenital A: Azimut

Se obtiene así las siguientes fórmulas:

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS De Elipsoide WGS-84 a Elipsoide PSAD-56

Tomaremos los datos ordenados en 4 triángulos consecutivos para poder calcular el promedio de los respectivos valores de X, Y y Z en el sistema WGS-84 y PSAD-56. Luego de haber obtenido los valores delta, calcularemos el valor de X, Y y Z en el sistema PSAD-56 (viejo) y así el valor de Lat., Long. Y h en el mismo elipsoide.

Cálculo de los valores delta de cada punto

DX= X(nuevo)- X(viejo) DY= Y(nuevo)- Y(viejo) DX= X(nuevo)- X(viejo)

Cálculo del promedio de los valores delta de todos los puntos

Cálculo de los valores X, Y y Z en el elipsoide PSAD-56:

X(viejo)= X(nuevo)- DX Y(viejo)= Y(nuevo)- DY Z(viejo) = Z(nuevo)- DZ

Cálculo de los valores Lat., Long. Y h en el elipsoide PSAD-56:

Así se calcula nuevamente el valor de h(2) y también de Lat., hasta repetir el procedimiento unas cinco veces.

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Sean A y B dos puntos cuyas alturas son h1 y h2 sobre el elipsoide a, b, la distancia geodésica, arco terrestre.

Donde: R= radio de curvatura. h1= cota elipsoidal de A. h2= cota elipsoidal de B. d= distancia inclinada entre A y B. s= distancia geodésica. v= ángulo central N= radio local p= ángulo de refracción, ángulo de las tangentes externas. Z1, Z2= Cenitales. OA=R+h1

OB=R+h2

En el cuadrilátero OATB se tiene que la sumatoria de los ángulos internos, es:

Podemos decir entonces que las distancias cenitales reales están dadas respectivamente:

Por ley de senos en el triángulo AOB se tiene que:

Calculemos la siguiente expresión:

Pero:

Dividiendo se tiene que:

Despejando ahora h2:

Los actuales cálculos referidos a cotas se efectúan por la siguiente ecuación:

Luego podemos igualar ambas ecuaciones, o sea:

Es posible chequear los ángulos cenitales de la línea e incluso la distancia geodésica.

Esto da V en función de D Zc / 2 y como:

CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DEL TRAMO AB

L= distancia electrónica So= distancia geodésica Lo So

Por ley de cosenos:

Además:

Teníamos que:

Reemplazando se obtiene la siguiente fórmula:

lo= distancia plana a nivel del Geoide (N.M.M.) so= distancia geodésica que es muy cercana a lo.

Si tomamos la diferencia de altura:

Con los cenitales no reducidos a la línea, se tiene que:

Como: St=L

El radio de curvatura R se recalculará con los azimutes reales y la latitud real, calculada al final de las coordenadas definitivas:

So=Rc*V Rc= radio corregido.

N= R = radio de curvatura V= ángulo del centro.

Y como SoLo ==>

Reemplazando en la ecuación: So = Rc * V ====> Distancia Geodésica:

En el proceso de cálculo no debe haber cambiado la cota, lo cual implica que este último procedimiento es correcto tanto para calcular la distancia geodésica como para la cota. En los cálculos a desarrollar se deben detallar los errores medios cuadráticos cometidos, los cuales deben ser de pequeña entidad e indicar que las mediciones han sido bien hechas y corresponden por lo menos a uno de tercer orden geodésico.