Sistema de EcuacionesNo Lineales

Contenido

• Sistemas de Ecuaciones No Lineales• Método de Newton de Primer Orden• Método de Newton de Segundo Orden• Fórmulas Recursivas

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

• Los métodos utilizados para resolver un sistema de ecuaciones no lineales son:

• Método de Newton de Primer Orden• Método de Newton de Segundo Orden

Para resolver un sistema de ecuaciones no lineales, tal que:𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎

con estimaciones de (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎), es necesario hacer uso de las Series de Taylor.

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

• De esta forma podemos expresar las funciones anteriores como:

Los métodos de Newton son los utilizados para resolver sistemas de ecuaciones no lineales en la aproximación de funciones de varias variables por polinomios lineales de Taylor.

Método de Newton de Primer Orden

• Suponga que las estimaciones (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎) de la solución de ecuaciones 𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎, 𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎, son conocidos. Si estas estimaciones 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎 son incrementadas respectivamente por 𝜹𝜹𝒙𝒙, 𝜹𝜹𝒚𝒚, entonces las aproximaciones de primer orden que resultan de los cambios en 𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 y 𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎están dadas por los diferenciales totales:

• Una solución del sistema puede ser obtenida determinando 𝜹𝜹𝒙𝒙, 𝜹𝜹𝒚𝒚 de tal forma que los diferenciales totales satisfagan las restricciones:

Método de Newton de Primer Orden

• Un juego de ecuaciones lineales en 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝜹𝜹𝒚𝒚 puede ser encontrada sustituyendo estas restricciones:

y estas ecuaciones lineales pueden ser resueltas para 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝜹𝜹𝒚𝒚.• Si las funciones 𝒇𝒇 y 𝒈𝒈 son evaluadas en (𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒙𝒙,𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒚𝒚) y las

representamos en la Serie de Taylor, obtenemos:

Método de Newton de Primer Orden

• Si estas series de Taylor son suficientemente exactas, es claro que (𝒙𝒙𝟎𝟎 +𝜹𝜹𝒙𝒙,𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒚𝒚) serán muy buenas aproximaciones a las soluciones de las ecuaciones.

• Si 𝜹𝜹𝒙𝒙 > 𝜺𝜺 o si 𝜹𝜹𝒚𝒚 > 𝜺𝜺, donde 𝜺𝜺 es una cantidad pequeña positiva, es necesario reemplazar 𝒙𝒙𝟎𝟎 por 𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝒚𝒚𝟎𝟎 por 𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒚𝒚, y repetir esto en todo el proceso.

• Usualmente con unas pocas iteraciones de este proceso se producen valores exactos de las raíces cuando sus valores iniciales (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎) están lo suficientemente cercanos a la solución verdadera.

• La extensión de este método a la solución de 𝒏𝒏 ecuaciones con 𝒏𝒏incógnitas se obtiene reemplazando la expresión de dos variables en las ecuaciones anteriores por sus contrapartes de 𝒏𝒏 variables.

Método de Newton de Primer Orden

Ejemplo:• Dado los valores iniciales de 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎 = (𝟏𝟏,𝟏𝟏), determine una solución del sistema de ecuaciones

no lineales:

• Para cada iteración, calcule los diferenciales resolviendo la siguiente ecuación lineal:

• Los siguientes valores de 𝒙𝒙 y de 𝒚𝒚 serán:

• Continúe la iteración hasta que los diferenciales sean despreciables.

Método de Newton de Primer Orden

Solución:• Es necesario obtener las primeras derivadas de cada función

𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑥𝑥,𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑦𝑦 𝑥𝑥,𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥

𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑥𝑥,𝑦𝑦 =29𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑦𝑦 𝑥𝑥,𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦

⇒2𝑥𝑥 2𝑦𝑦29 𝑥𝑥 2𝑦𝑦

𝛿𝛿𝑥𝑥𝛿𝛿𝑦𝑦

=− 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 4

−𝑥𝑥2

9+ 𝑦𝑦2 − 1

• Sustituir los valores iniciales 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎 = (𝟏𝟏,𝟏𝟏) en las funciones 𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 y 𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 , y en cada una de sus derivadas para usarlos en la matriz

2 229

2𝛿𝛿𝑥𝑥𝛿𝛿𝑦𝑦

=− −2− 1

9⇒ 𝛿𝛿𝑥𝑥 =

2 2−1/9 22 22/9 2

, 𝛿𝛿𝑦𝑦 =2 22 −1/92 22/9 2

• La solución de esta matriz es

Método de Newton de Primer Orden

Los nuevos valores de 𝒙𝒙𝟎𝟎 y 𝒚𝒚𝟎𝟎 serán

Sustituyendo estos valores a las funciones 𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 y 𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 , y en cada una de sus derivadas para usarlos en la matriz

La solución de esta matriz es

Método de Newton de Primer Orden

Los nuevos valores de 𝒙𝒙𝟎𝟎 y 𝒚𝒚𝟎𝟎 serán

Sustituyendo estos valores a las funciones 𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 y 𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 , y en cada una de sus derivadas para usarlos en la matriz

La solución de esta matriz es

Método de Newton de Primer Orden

Los nuevos valores de 𝒙𝒙𝟎𝟎 y 𝒚𝒚𝟎𝟎 serán

Sustituyendo estos valores a las funciones obtenemos𝒇𝒇 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒈𝒈 𝒙𝒙,𝒚𝒚 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

Ya que 𝒇𝒇 y 𝒈𝒈 son aproximadamente cero, los últimos valores de 𝒙𝒙𝟎𝟎 y 𝒚𝒚𝟎𝟎 son buenas aproximaciones de las raíces de las ecuaciones dadas.

Método de Newton de Primer Orden

• Otra forma más práctica de resolverlo manualmente es realizando una tabla con los valores obtenidos:

𝒇𝒇 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 4;𝒇𝒇𝒙𝒙 = 2𝑥𝑥;𝒇𝒇𝒚𝒚 = 2𝑦𝑦; 𝜹𝜹𝒙𝒙 = −𝑓𝑓 𝑔𝑔𝑦𝑦 − −𝑔𝑔 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑦𝑦 − 𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑦𝑦

𝒈𝒈 = 𝑥𝑥2

9+ 𝑦𝑦2 − 1;𝒈𝒈𝒙𝒙 = 2

9𝑥𝑥;𝒈𝒈𝒚𝒚 = 2𝑦𝑦; 𝜹𝜹𝒚𝒚 = 𝑓𝑓𝑥𝑥 −𝑔𝑔 − 𝑔𝑔𝑥𝑥 −𝑓𝑓

𝑓𝑓𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑦𝑦 − 𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑓𝑓𝑦𝑦

Método de Newton de Segundo Orden

• El método de Newton puede ser modificado para tomar en cuenta las segundas derivadas de la Serie de Taylor. Esto es, si las estimaciones 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎son incrementadas respectivamente por 𝜹𝜹𝒙𝒙, 𝜹𝜹𝒚𝒚, entonces las aproximaciones de segundo orden que resultan de los cambios en 𝒇𝒇(𝒙𝒙,𝒚𝒚) = 𝟎𝟎 y 𝒈𝒈(𝒙𝒙,𝒚𝒚) = 𝟎𝟎 están dadas por los diferenciales totales:

Una solución al sistema de ecuaciones puede ser obtenida determinando dx, dy tal que df, dg satisfagan las siguientes restricciones:

Método de Newton de Segundo Orden

• Combinando las ecuaciones anteriores y factorizando del lado derecho obtenemos

Método de Newton de Segundo Orden

• Ahora, si 𝜹𝜹𝒙𝒙, 𝜹𝜹𝒚𝒚 dentro de los paréntesis son aproximados respectivamente por −𝒇𝒇/𝒇𝒇𝒙𝒙 y −𝒇𝒇/𝒇𝒇𝒚𝒚 en la primer ecuación y por − 𝒈𝒈/𝒈𝒈𝒙𝒙 y −𝒈𝒈/𝒈𝒈𝒚𝒚 en la segunda ecuación, el sistema anterior se puede representar por un sistema de ecuaciones lineales en 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝜹𝜹𝒚𝒚:

Método de Newton de Segundo Orden

• Estas ecuaciones pueden ser resueltas directamente para 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝜹𝜹𝒚𝒚, y (𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒙𝒙,𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒚𝒚) deberá ser una estimación mejorada de la solución del sistema de ecuaciones no lineales con una exactitud de la Serie de Taylor cuadrática y las aproximaciones de 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝜹𝜹𝒚𝒚 por las restricciones mencionadas.

• Si |𝜹𝜹𝒙𝒙| > 𝜺𝜺 o si |𝜹𝜹𝒚𝒚| > 𝜺𝜺, donde 𝜺𝜺 es una cantidad pequeña positiva, es necesario reemplazar 𝒙𝒙𝟎𝟎 por 𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝒚𝒚𝟎𝟎 por 𝒚𝒚𝟎𝟎 + 𝜹𝜹𝒚𝒚, y repetir esto en todo el proceso.

Método de Newton de Segundo Orden

Ejemplo:• Haciendo uso del ejemplo anterior donde

• Los valores de 𝜹𝜹𝒙𝒙 y 𝜹𝜹𝒚𝒚 los podemos obtener resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales en forma matricial:

Método de Newton de Segundo Orden

• Las derivadas son:

Método de Newton de Segundo Orden

• Haciendo uso de la tabla obtenemos:

Como se puede observar, desde la segunda iteración tenemos una solución muy aproximada.

Problemas

• Encuentre la intersección en el primer cuadrante de las gráficas de las siguientes dos funciones:

haciendo uso de:a) Método de Newton de Primer Ordenb) Método de Newton de Segundo Orden

Sistema de EcuacionesNo Lineales