7/23/2019 Sistema Conservativo

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Sistema conservativo

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Un sistema conservativo es unsistema mecnicoen que laenerga mecnicase conserva. La mayora de losejemplos de sistemas conservativos la conservacin de la energa se sigue del hecho de que las interacciones

entre las diferentes partculas vienen descritas porfuerzas conservativas. En consecuencia en dichos sistemas laenerga mecnicaes unaintegral del movimientoy por tanto unacantidad conservada.

Los sistemas mecnicos disipativos son ejemplos de sistemas mecnicos no conservativos.

Contenido

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1 Mecnica newtoniana

2 Mecnica lagrangiana y hamiltonianao 2.1 Integrabilidad

3 Referencias

o 3.1 Bibliografa

[editar] Mecnica newtoniana

Unsistema de partculasque interactan entre ellas es un sistema mecnico conservativo, si las fuerzas puden

expresarse como gradiente de un cierto potencial, para verlo basta considerar las ecuaciones del movimiento:

Donde ri(t) es la posicin de la partcula i-sima en el instante de tiempo t,Fji representa la fuerza que ejerce lapartculaj sobre la partcula i. Si admitimos que dichas fuerzas son conservativas y pueden derivarse de un

potencial:

Es inmediato comprobar que la energa mecnica definida como la suma deenerga cinticayenerga potencial:

Es una magnitud constante a lo largo de las "trayectorias" reales del sistema, cosa que puede versedirectamente:

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Adems puede probarse que si las fuerzas slo dependen de la distancia entre las partculas y su sentido deaccin coincide con el de la lnea que une a dichas partculas se conserva adems tanto elmomento linealcomo

elmomento angular.

[editar] Mecnica lagrangiana y hamiltoniana

Enmecnica hamiltonianaun sistema es conservativo si el hamiltoniano o ellagrangianoexpresados mediante

un conjunto de coordenadas naturales no depende explcitamente del tiempo, ya que en ese caso:1

Donde se han tenido en cuenta las ecuaciones del movimiento y la definicin del momento conjugado:

Para ver si el sistema esnatural, es decir, si el hamiltoniano coincide con la energa, se calcula laenergacinticaexpresada en las coordenadas generalizadas a partir de su expresin newtoniana.

2

[editar] Integrabilidad

Los sistemas de un slo grado de libertad conservativos son automticamente integrables.

Energa potencial

[Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector posicin r o de las coordenadasx, y, zde

la partcula es tal que el trabajo Wpuede ser expresado como la diferencia entre los valores de una

cantidadEp(x,y,z) evaluada en los puntos inicial y final. La cantidadEp(x,y,z) se llama energa

potencial, y es una funcin de las coordenadas de las partculas. Luego, si F es una fuerzaconservativa,

(8.17)

Obsrvese que escribimosEp,A - Ep,B y noEp,B - Ep,A; esto es, el trabajo efectuado es igual aEp en el

punto inicial menosEp en el punto final. En otras palabras,

la energa potencial es una funcin de las coordenadas tal que la diferencia entre sus valores en lasposiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado sobre la partcula para moverla de su posicininicial a la final.

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_conservativo&action=edit&section=2http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltonianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_generalizadas#Mec.C3.A1nica_lagrangianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_generalizadas#Mec.C3.A1nica_lagrangianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_generalizadas#Mec.C3.A1nica_lagrangianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_conservativo&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_conservativo&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_conservativo&action=edit&section=3http://www.biopsychology.org/apuntes/mecanica/mecanica2.htmhttp://www.biopsychology.org/apuntes/mecanica/mecanica2.htmhttp://www.biopsychology.org/apuntes/mecanica/mecanica2.htmhttp://www.biopsychology.org/apuntes/mecanica/mecanica2.htmhttp://www.biopsychology.org/apuntes/mecanica/mecanica2.htmhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_conservativo&action=edit&section=3http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_generalizadas#Mec.C3.A1nica_lagrangianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_conservativo#cite_note-0http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrangianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltonianahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_conservativo&action=edit&section=2http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal

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Estrictamente hablando, la energa potencialEp debe depender tanto de las coordenadas de lapartcula considerada, como de las coordenadas de todas las otras partculas del universo queinteractan con ella. Sin embargo, como mencionamos en el captulo 7 cuando tratbamos de ladinmica de una partcula, suponemos el resto del universo esencialmente fijo, y as solamente las

coordenadas de la partcula considerada aparecen enEp.

El estudiante debe notar, comparando la ec. (8.17) con la expresin de la energa cintica (8.12), que

la ec. (8.12) es vlida en general no importando de qu fuerza F se trate. Siempre se cumple queEk

= 1/2mv2, mientras que la forma de la funcinEp(x,y,z) depende de la naturaleza de la fuerza F, y notodas las fuerzas pueden satisfacer la condicin establecida por la ec. (8.17). Slo aquellas que lasatisfagan se llaman conservativas...

En la definicin de la energa potencial siempre interviene una constante arbitraria, ... Gracias a estaarbitrariedad, podemos definir el nivel de referencia ms conveniente, y por ello la energa potencialdebida a la gravedad es tomada como nula en la superficie terrestre. Para un satlite natural oartificial, se define la energa potencial de modo que sea cero a distancia infinita.

el trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

...

Para satisfacer la ec. (8.17) es necesario que

(8.21)

porque entonces

de acuerdo con la ec. (8.17).

..., podemos escribir en lugar de la ec. (8.21)

(8.22)

...,FTes la componente de la fuerza a lo largo de la direccin del desplazamiento ds; por tanto, si

conocemosEp(x, y, z), podemos obtener la componente de F en cualquier direccin computando la

cantidad -dEp/ds, que es la derivada deEp en aquella direccin, con signo negativo. Esto es lo que

se llama la derivada direccionaldeEp. Cuando un vector es tal que su componente en una direccines igual a la derivada direccional de una funcin es aquella direccin, el vector se llama el gradientede la funcin. (Alonso y Finn, 1, 213-6)]

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[Suponemos aqu que las fuerzas son conservativas; entoncesEp(r) ser una funcin escalar de

posicin, unvoca yEp(B) - Ep(A) ser igual al aumento de la energa cintica de la partcula al

regresar deB aAal cesar de actuar la fuerza aplicada. (Berkeley, 1, 147)]

[En una dimensin

(45)

de donde se obtiene por derivacin

(46)

La ecuacin (46) es un ejemplo del resultado general de que la fuerza aplicada representa la

variacin de la energa potencial por unidad de longitud. (Berkeley, 1, 150-151)]

{El signo de la fuerza es una cuestin de convenio. As, cuando la fuerza aumenta la energapotencial se considera positiva y cuando disminuye la energa potencial se considera negativa: lafuerza de la gravedad es negativa y la fuerza de oposicin a la gravedad (del suelo o de unorganismo) es positiva.}

ENERGA POTENCIAL MNIMA

El ejemplo intuitivo de la bola lleva al enun-ciado de la ley de mnima energa potencial de unsistema: Un sistema

elstico conservativo est enun estado de equilibrio estable si, y slo si, el valorde la energa potencial es un mnimo

relativo.La expresin mnimo relativo se usaporque puede haber un mnimo prximo conun valor inferior de la

energa potencial sepa-rados por pequeos montes pero el paso deuno a otro requiere grandes perturbaciones(Figura

2). La existencia de un mnimo relati-vo de la energa potencial en la posicin deequilibrio es, estrictamente hablando,

nica-mente una condicin suficiente para la esta-bilidad. Sin embargo, este principio es acep-tado generalmente en la

prctica como unacondicin necesaria y suficiente para la esta-bilidad.

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