Sntesis de periodo 2 grado noveno.

FUNCIONES:Una funcin (f)es unaregla o correspondencia entre un elemento de un conjunto dadoX(llamadodominio) y otro conjunto de elementosY(llamado codominio) de forma que a cada elementoxdel dominio lecorrespondeun nico elementof(x)o y del codominio (los que forman el recorrido,tambin llamadorango).La funciones se simbolizan con letras minsculas tales como f,g,h entre otras.Para de notar la funcin definida del conjunto de partida X al conjunto de llagada Y, se escribe.

Adems Elementos de una funcin.En una funcin Se distinguen los siguientes elementos:Una funcin de puede representar mediante un diagrama sagital as:

Dominio: Es el conjunto de partida de la funcin.Codominio: es el conjunto de llegada de la funcin, se simboliza Dom .Rango: Es el conjunto formado por los elementos del codominio , que son la imagen de los elementos del dominio, se simboliza Ran .Grafo: Es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas (x , y) tales que Representacin de una funcin.

Frmula: Es la expresin algebraica de la funcin, esta funcin se simboliza donde x es la variable independiente que representa el dominio de la funcin, y es la variable dependiente que representa el recorrido de la funcin.Tabla de valores: Es un arreglo en el cual se le asigna un valor a x y este al introducirlo a la funcin nos va un valor para y.Grfica: Es un diagrama cartesiano o sagital, en el cual se ubican los elementos del dominio en el eje horizontal y y los del recorrido en el eje vertical.

Mtodo grfico para identificar funciones.Para probar si una grfica representa una funcin, se traza lneas rectas verticales y se verifica que las rectas corten nicamente la grfica en un solo punto.Si la recta corta en ms de un punto entonces la grfica no representa una funcin.

Funcin Lineal y funcin afn.Funcin LinealToda funcin de la forma , es una constante diferente de cero, es una funcin lineal.La representacin grfica de una funcin lineal en el plano es una lnea recta no vertical que pasa por el origen como se muestra en la figura.Funcin afn.Toda funcin de la forma son constantes diferentes de cero, es una funcin afn.Una funcin afn tiene como representacin grfica una lnea recta que no pasa por el origen del plano cartesiano como se muestra en la figura.

Ejemplo: dada la funcin, Determinar si es lineal o afn.

Es una funcin afn.Nota: la funcin afn es una variacin de la funcin lineal, la cual podemos llamar tambin funcin lineal.Lnea recta:En la ecuacin La constante m recibe el nombre de pendiente de la recta e indica la inclinacin de esta respecto al eje positivo de las x.Pendiente de una recta:La pendiente de una recta que pasa por dos puntos se halla mediante la expresin. O Con x1 x2

El signo de la pendiente de una recta depende del ngulo de inclinacin de la recta con respecto al eje x.Si la pendiente de una recta es positiva es decir entonces la recta es creciente.Si la pendiente de una recta es negativa es decir entonces la recta es decreciente.Si la pendiente de una recta es cero, , la recta es horizontal y la expresin algebraica ser , donde b es una constante. La pendiente de una recta vertical no est definida, en este caso, la expresin algebraica ser donde c es una constante.

Ejemplo: calcular las pendientes de las rectas que pasa por los puntos:

Ecuacin explicita de la recta.La ecuacin de la forma se llama ecuacin explicita de la recta. A partir de la ecuacin explicita de la recta se puede determinar la pendiente m y el punto de corte con el eje y que tiene coordenada (0,b).Para encontrar la ecuacin explicita de la recta es necesario: Conocer la pendiente y el intercepto con el eje y.En este caso, se remplaza el valor de m y de b en la ecuacin Cuando se conoce la pendiente y el punto.Primero se reemplaza la pendiente y las coordenadas del punto dado en Para determinar el valor de b. por ltimo se reemplaza el valor de m y b en la ecuacin

Cuando se conocen dos puntos.Primero se halla la pendiente usando la frmula de la pendiente con las coordenadas de los dos puntos, por ltimo se toma la pendiente m y cualquiera de los dos puntos conocidos, se halla el valor de b en la ecuacin y se procede igual en el caso anterior.

Ejemplo 2.Determina la ecuacin de la recta con pendiente - 4 y que pasa por el punto (5,-3)

Despejando y1 y2= m(x1 x2)

y - (-3) = -4(x - 5) operando tenemos y + 3 = - 4x + 20Luego la ecuacin pedida es y = - 4x +17

Ecuacin general de la recta.

La ecuacin general de la recta es una expresin de la forma Ax + Bx + C = 0, donde A, B y C son nmeros reales, y donde A y B no son ceros al mismo tiempo.

La ecuacin general de la recta se puede despejar y obtenemos la ecuacin explicita, as logramos tener la pendiente m y el intercepto con y.

Rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

Dadas dos rectas en un mismo plano puede ocurrir alguna de estas 3 situaciones.Que sean paralelas, que sean perpendiculares o que sean secantes.Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.Es decir

Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y slo si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir si

Rectas secantes: Dos rectas son secantes si se cortan en un solo punto y no forman ngulos de 90 grados.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto formado por dos o ms ecuaciones lineales, cada una de ellas con dos o ms incgnitas.

Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2.Son un conjunto de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incgnitas.

Para resolver estos tipos de sistemas de ecuaciones de dos por dos, se pueden utilizar uno de estos mtodos.

Mtodo grficoMtodo de sustitucin.Mtodo de igualacin.Mtodo de reduccin.Mtodo por determinante.

Al solucionar un sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2, puede ocurrir una de estas tres situaciones:

Primera: que tenga nica solucin, es cuando es posible encontrar un valor para x, y y. es decir el punto de intercepcin de las dos rectas.

Segundo: Que no tenga solucin, es cuando las rectas nunca se tocan en ningn punto es decir son paralelas.

Tercero: Cuando tienen infinitas soluciones es decir cuando una recta esta sobre la otra es decir es la misma recta.

Mtodo grfico: El mtodo grfico consiste en grficar las dos rectas y determinar el punto de corte es decir donde las tablas de valores de cada grfica existe una pareja ordenada igual.

MTODO POR SUSTITUCIN: Cuando poseemos dos incgnitas pero una de ellas se escribe en trminos de la otra, en definitiva tenemos una sola variable, que podemos solucionar mediante operaciones algebraicas elementales.

Pasos para utilizar el mtodo de sustitucin para solucionar un sistema de ecuaciones lineales: 1. En una de las ecuaciones, despejamos una de las variables en trminos de la otra. 2. Sustituimos ese valor o la expresin hallada en la otra ecuacin, dejando una sola variable. Despejamos numricamente la incgnita. 3. Remplazamos el valor hallado en la otra ecuacin del sistema, y hallamos el valor correspondiente a la otra incgnita. 4. Verificamos los valores encontrados remplazndolos en cada ecuacin.

Ejemplo: Si sabemos que la suma de las edades de Andrs y Sara es 27, pero la edad de Andrs es el doble de la de Sara, Cuntos aos tiene Andrs y Sara?

En este caso, si x es la edad de Andrs e y es la edad de Sara, entonces el problema se limita en encontrar los valores de estas variables con las condiciones:

x + y = 27 , x = 2y o bien x + y = 27 , x - 2y = 0 Remplazamos el valor de x = 2y en la primera ecuacin y obtenemos una ecuacin con una sola incgnita, la cual podemos solucionar as:

X + y = 27 reemplazando tenemos: (2y) + y = 27 Resolvemos la ecuacin restante que contiene una solo incgnita, 3y = 27 Despejando, y tenemos que: y = 27/3, entonces y = 9 De esta forma observamos que Sara tiene 9 aos y para saber la edad de Andrs reemplazamos y = 9 en cualquiera de las dos ecuaciones entonces concluimos que Andrs tiene 18 aos.

MTODO DE REDUCCIN: Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga. La restamos, y desaparece una de las incgnitas. Se resuelve la ecuacin resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

MTODO POR IGUALACIN: Veamos el siguiente ejemplo:

Jorge tiene el doble ms 4 aos que la edad de Mara. Si entre los dos suman 25 aos, qu edad tiene cada uno?

1. Construimos las ecuaciones:

2. Despejando en ambas ecuaciones la variable x, tenemos:

3. Igualamos las ecuaciones (b) y (c) y despejamos y.:

Sustituimos el valor de Y en la ecuacin (b) y tenemos que: x = 25 7 x = 18 Aos.

MTODO POR DETERMINANTES:

A todo sistema de ecuaciones le podemos asociar una matriz de sus coeficientes. Solucin De Sistemas De Ecuaciones 2x2

Este determinante se denota con la letra griega delta (), y se llama determinante de los coeficientes.

Ahora hagamos un anlisis similar con el numerador de la variable x. Como:

El numerador es la solucin de un determinante 2x2 cuyos elementos son: Por consiguiente, el valor de la variable x se puede expresar como:

De igual manera analicemos el valor de y:

El numerador es la solucin de un determinante 2x2, cuyos elementos son:

Este proceso se conoce con el nombre de Regla de Cramer

Teniendo en cuenta:

Ejemplo:Resolver por determinantes el siguiente sistema lineal 2x2.

Calculamos el determinante de los coeficientes:

Como o, procedemos a solucionar el sistema lineal. Calculamos el valor de x:

Calculamos el valor de y:

Luego, la solucin del sistema es x = 5, y = -2.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3

Mtodo de Gauss

El mtodo de Gauss consiste en utilizar el mtodo de reduccin de manera que en cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.

Resolucin por el mtodo de Gauss 1 Ponemos como primera ecuacin la que tenga el cmo coeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin, para eliminar el trmino en x de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:

E'2 = E2 3E1

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin, para eliminar el trmino en x.

E'3 = E3 5E1

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminar el trmino en y.

E''3 = E'3 2E'2

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontrar las soluciones.

z = 1

y + 4 1 = 2 y = 6

x + 6 1 = 1 x = 4Funcin cuadrtica:Una funcin cuadrtica es una funcin que tiene la siguiente forma. , a esta funcin tambin se les denomina de segundo grado.La grfica de una funcin cuadrtica es una curva llamada parbola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo.En una funcin cuadrtica el coeficiente que acompaa a indica si la parbola abre hacia arriba o hacia abajo, de la siguiente manera:

Las coordenadas de vrtice V se representa se determina mediante la expresin El dominio de una funcin cuadrtica es el conjunto de los reales y el recorrido es el intervalo si la parbola abre hacia arriba y si la parbola abre hacia abajo.

Miremos algunos ejemplos:

Ejemplo 2:

CEROS, RACES O SOLUCIONES DE UNA FUNCIN CUADRTICA.Los ceros de una funcin cuadrtica son las solucin de la funcin estos son los puntos de corte con el eje x.En una funcin cuadrtica puede ocurrir lo siguiente.Que el vrtice de la parbola este sobre el eje x. en este caso la funcin no tiene solucin en los nmeros reales.Que el vrtice este sobre el eje x, en este caso la funcin tienen una nica solucin, real.Que el vrtice este por debajo del eje x, en este caso la funcin tendr dos races reales diferentes.Cuando una funcin tiene dos races se resuelve factorizando la ecuacin cuadrtica resultante o utilizando la frmula cuadrtica la cual tiene la siguiente expresin.

De aqu obtenemos dos valores para la variable x.

Una ecuacin cuadrtica tiene la siguiente forma:,Resolver una ecuacin cuadrtica es encontrar los posibles valores de las incgnitas, para ello basta con despejar la incgnita si es posible de manera literal de lo contrario debemos utilizar factorizacin de un trinomio de la forma O utilizar la frmula cuadrtica.

Ejemplo: Calcular las races de la ecuacin cuadrtica dada utilizando la frmula cuadrtica.

Ejemplo #2: Calcular los valores de x utilizando factorizacin.

Analicemos el discriminante de la frmula general:

Esta expresin corresponde al discriminante de la ecuacin.Si este la ecuacin tiene dos soluciones.Si este la ecuacin tiene una nica solucin.Si este la ecuacin tiene no tiene soluciones reales sino complejas.Funcin exponencial y logartmica.Funcin exponencial: Una funcin es exponencial es de la forma donde x es la variable, Las principales caractersticas de la funcin exponencial con son:El dominio es el conjunto de los nmeros reales y el recorrido es el intervalo (0,.Como , La grfica de la funcin siempre pasa por el punto (0,.Como , La grfica de la funcin siempre pasa por el punto (1,.La funcin tiene como asntota al eje x.

Representacin grfica de una funcin exponencial.

Ejemplos:

Funcin logartmicaLa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.Las principales caractersticas de la funcin logartmica Son:

El dominio es el intervalo (0,. El recorrido es el conjunto de los nmeros reales. Como , la grfica intercepta al eje x en el punto (1,0) Como,a grfica pasa por el punto (a,1) La funcin tiene como asntota al eje y.

Ejemplo #1:

Ejemplo # 2.