Control Moderno - Ing. Electronica

Trabajo de simulacion 1: Modelos de estados

La figura presenta el movimiento en el plano deuna grua para carga y descarga de contenedores.La grua es capaz de elevar la carga y desplazarlaen la direccion del eje x. Para simplificar el prob-lema se considera que los movimientos de ele-vacion y traslacion se realizan por separado, esdecir, primero se eleva la carga y luego se latraslada. Aquı solo se analiza el movimiento detraslacion con lo cual la longitud de los cablesde elevacion L es constante. Tambien se suponeque dichos cables se comportan como un cuerporıgido, esto es razonable cuando la carga a elevares grande.

mT

mL

L

xT

xL

φ

f

Ecuaciones

Utilizando las leyes de Newton se puede plantear las siguientes ecuaciones

mT xT = f − F sin φ, (1)

mLxL = F sin φ, (2)

mLyL = F cos φ. (3)

donde f es la fuerza aplicada al carro y F es la fuerza necesaria para elevar la carga.

Ademas se verifica

xL = xT − L sinφ, (4)

yL = L cos φ. (5)

Con la suposicion de que la longitud de cable de elevacion L se mantiene constante, derivando dosveces (4) y reemplazando en (2) se obtiene las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden

mT xT = f − F sinφ, (6)

mL

(

xT + Lφ2 sin φ − Lφ cos φ)

= F sin φ. (7)

La fuerza F se toma igual a mLg, es decir, la fuerza necesaria para elevar la carga cuando φ = 0.Esto implica que cuando el carro se mueve a velocidad constante o permanece quieto la carga seeleva a velocidad constante. Si ademas yL = 0 entonces la posicion vertical permanece fija en elvalor L. Note, sin embargo, que cuando φ 6= 0 tanto yL como yL seran no nulas.

1

Modelo de estados

Las ecuaciones (6) y (7) representan el comportamiento dinamico pero no es un modelo de estados,pues son ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para obtener el modelo de estados es necesarioexpresar el comportamiento dinamico por medio de ecuaciones diferenciales de primer orden. Coneste fin se define

x1 = xT ,

x2 = φ,

x3 = xT ,

x4 = φ.

Luego de estas definiciones se tiene el siguiente modelo de estados,

x1 = x3, (8)

x2 = x4, (9)

x3 = −mLg

mT

sinx2 +1

mT

f, (10)

x4 = −mLg

L

(

1

mL

+1

mT

)

tan x2 + x2

4 tan x2 +1

LmT cos x2

f. (11)

Pregunta: Segun las leyes fısicas se plantearon tres ecuaciones diferenciales de segundo orden (1)-(3), ¿por que, entonces, basta definir solo cuatro variables de estado? El modelo (8)-(11) ¿representacompletamente el comportamiento dinamico del sistema? (Ayuda: Analice las ecuaciones (4)-(5))

El modelo de estado (8)-(11) no puede expresarse en la forma x = Ax + Bu, sino solamente comox = g(x, f), pues es no lineal. No obstante, es posible obtener un modelo lineal valido en el entorno aun punto de operacion. Esto puede lograrse con una aproximacion en serie de Taylor de x = g(x, f),manteniendo los terminos lineales y descartando los de orden superior, es decir,

x = g(x, f) +∂g

∂x(x, f)(x − x) +

∂g

∂f(x, f)(f − f),

donde x y f son los valores correspondientes al punto de operacion y

∂g

∂x=

∂g1/∂x1 · · · ∂g1/∂x4

.... . .

...∂g4/∂x1 · · · ∂g4/∂x4

,

∂g

∂f=

∂g1/∂f...

∂g4/∂f

.

Luego, redefiniendo los estados y las entradas como

x = x − x,

f = f − f ,

se tiene un modelo de estados lineal˙x = Ax + Bf

donde

A =∂g

∂x(x, f),

B =∂g

∂f(x, f).

Control Moderno - Ing. Electronica: Simulaciones 1: Modelos de estados 2

En el caso de la grua, linealizando en el entorno de x = [0 0 0 0]T y f = 0 tenemos

˙x =

0 0 1 00 0 0 10 −mLg

mT0 0

0 −mLgL

(

1

mL+ 1

mT

)

0 0

x +

001

mT

1

mT L

f . (12)

Como salida se toma xT y xL, con lo cual la ecuacion de salida resulta

y =

[

1 0 0 01 −L 0 0

]

x. (13)

Utilizacion del Control Systems Toolbox (CST)

1. Defina el modelo linealizado como un objeto del CST, utilizando las funciones ss, tf o zpk.Previamente asigne a las variables mt, ml, g y L los siguientes valores:

mT = 6000 kg,

mL = 42500 kg,

g = 9,81 m/s2,

L = 5 m.

¿Que tipo de objeto le parece mas adecuado para el modelo de estados? Pase de un objetoa otro. ¿Como obtendrıa las matrices del sistema a partir de un objeto ss? Asigne nombresrepresentativos a cada variable de estado, salida y entradas.

2. Halle la respuesta a un impulso y a un escalon utilizando las funciones impulse y step.Use help nombre funcion para tener detalles del uso de cada funcion. ¿Cuantos graficosresultan del uso de estas funciones? ¿Como harıa para obtener solo la salida correspondientea xT ? Utilizando la funcion linspace o la notacion ‘:’, obtenga la respuestas anteriores enun intervalo de tiempo de [0, 25] segundos. Use la llamada [y,t]=step(sys) y grafique larespuesta con los comandos plot, title, xlabel e ylabel.

3. Utilice otros valores de parametros mT , mL, L y vea los cambios en las respuestas y enlos polos. Analice las respuestas obtenidas y halle una correspondencia entre el modelo y larespuesta. (Ayuda: Si aproxima sinφ ≈ φ puede aplicar transformada de Laplace en las ecuaciones

(1)-(2) y obtener facilmente la expresion de la respuesta.)

Utilizacion de Simulink

1. Utilice Simulink para comparar el modelo no lineal expresado por (1)-(3) y el modelo lineal(12). Plantee todas las ecuaciones en un mismo modelo simulink para facilitar la comparacion.La siguiente figura presenta una forma posible de dibujar el modelo.

Control Moderno - Ing. Electronica: Simulaciones 1: Modelos de estados 3

xl

xt

F

f

sin(phi)

yl

xt

xl

−K−

rad2deg phi

0.1

mt1

1/mt

mt

ml*g

mlg

1/ml

ml

cosasin

x’ = Ax+Bu y = Cx+Du

ModeloLinealizado

Look−UpTable

L

L

s

1

s

1

s

1

s

1

Demux

Clock

1/L

1/L

2. Utilice la siguiente senal de entrada:

f =

a t < 5 s,0 5 < t < 15 s

−a 15 < t < 20 s,0 t > 20 s

Pruebe distintos valores de a (p. ej. 10000 y 1000). Analice y justifique la respuesta obtenidaen cada caso. El modelo lineal (12) es valido en el entorno de x = [0 0 0 0]T y f = 0, asegureseque las condiciones de la linealizacion se verifique. ¿Como impone en el modelo de simulink elpunto de operacion? Analice las diferencias entre el modelo lineal y el no lineal. Simule paraun punto de operacion x = [5 0 0 0]T y f = 0 ¿se verifican las condiciones de la linealizacion?

3. Exporte los datos de las simulaciones al entorno de trabajo y utilice el comando plot pararealizar los graficos.

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