Simulación computacional del estado superconductor en una...

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Simulacion computacional del estadosuperconductor en una pelıcula delgada

mesoscopica

Trabajo de Grado

para obtener el tıtulo de

LICENCIADO EN FISICA

presenta:

Cristian Orlando Romero Acosta

Directores:

Henry Mauricio Ortız Pedro Nel Sanchez

Marzo 2019

Dedicado a mis padres por haberme brindado su amor, confianza y apoyoincondicional.

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Resumen

La superconductividad es un fenomeno que manifiesta la fısica cuantica a escalamacroscopica. Sus aplicaciones son diversas y en la actualidad mantiene un cam-po de investigacion activo, por ejemplo, la busqueda de superconductores de altastemperaturas y la implementacion tecnologica de los superconductores tipo II cuyaconfiguracion de vortices incluso puede ser observada en superfluidos o en conden-sados Bose-Einstein. En particular, en este trabajo se simula un superconductormesoscopico bidimensional tipo II haciendo uso de la teorıa Ginzburg-Landau y delmetodo de diferencias finitas, con el fin de observar como es el comportamiento delos vortices, su vorticidad y las curvas de magnetizacion al trabajar en sistemas dedimensiones mesoscopicas.

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Indice general

Resumen II

Contenido III

Indice de figuras IV

1. Introduccion 1

2. Modelos teoricos de la superconductividad 32.1. Resena Historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Teorıa London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Teorıa de Ginzburg-Landau (GL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Longitudes caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2. Propiedades magneticas de los superconductores . . . . . . . 172.3.3. Fluxoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.4. Estado de vortices de Abrikosov . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Teorıa de GL dependiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4.1. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Modelo computacional 243.1. Discretizacion y metodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Resultados 31

5. Conclusiones 36

Bibliografıa 38

iii

Indice de figuras

2.1. Curva de Kamerlingh Onnes que muestra la resistencia del mercurioen funcion de la temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Diferencia entre un superconductor y un conductor perfecto. . . . . . 52.3. Variacion del campo aplicado B dentro de la muestra. . . . . . . . . 92.4. Energıa libre para T > Tc y para T < Tc. . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Comportamiento de ψ cerca de la interfaz normal-superconductor. . 162.6. Curvas de magnetizacion para los dos tipos de superconductores; el

campo aplicado es siempre perpendicular a la superficie de la muestrasuperconductora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7. Esquema que representa la forma en que los vortices se organizansobre la superficie de un superconductor tipo II . . . . . . . . . . . . 20

3.1. Puntos de red donde son evaluadas las variables discretizadas. . . . . 24

4.1. Curvas de magnetizacion para un sistema de 36ξ0×36ξ0. Las graficas(a), (b) y (c) representan la magnetizacion como funcion del campomagnetico externo para un valor determinado de κ, en especifico ca-da grafica posee tres curvas que corresponden a distintos valores detemperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Grafico de vorticidad para un sistema de 36ξ0 × 36ξ0. Se representael numero de vortices que ingresan al sistema conforme aumenta H,cada grafica corresponde a un valor de κ y a tres valores de temperatura. 32

4.3. Curva de magnetizacion (izquierda) y grafico de vorticidad (derecha)para un sistema que se aleja del limite teorico de la temperatura T =0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4. Curva de magnetizacion (izquierda) y grafico de vorticidad (derecha)para un sistema que se aleja del limite teorico de la temperatura T =0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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4.5. Mapa de calor para el modulo al cuadrado del parametro de orden. Losgraficos se muestran de manera secuencial acorde al valor de campomagnetico aplicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6. Densidad de electrones superconductores para un sistema de 70ξ0 ×70ξ0 con un campo aplicado de H = 0.240, en el sistema es posiblevisualizar 24 vortices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Capıtulo 1

Introduccion

La presente monografıa se enfoca en describir las propiedades electrodinamicasde un superconductor mesoscopico tipo II a partir de la teorıa fenomenologica dela superconductividad. Los superconductores tipo II son materiales que excluyencompletamente el flujo magnetico para valores inferiores al primer campo crıtico(Hc1), por encima de este valor el superconductor admite flujo magnetico de maneraparcial en su interior, coexistiendo ası regiones normales y superconductoras; estefenomeno se presenta hasta alcanzar un segundo campo crıtico (Hc2), ya que paravalores posteriores a Hc2 la superconductividad es destruida completamente.

El fenomeno de la superconductividad tiene una notable influencia en el desarrollocientıfico, tecnologico e industrial. Gracias a la superconductividad es posible cons-truir solenoides que producen altos campos magneticos cuyas aplicaciones han idodesde el MRI en la medicina hasta la construccion del gran colisionador de hadrones.En la industria se ha podido apreciar su impacto mediante los trenes de levitacionmagnetica como tambien en el avance de la computacion. La superconductividad aescala mesoscopica ha sido objeto de estudio en la comunidad cientıfica [1–3], dondese han analizado distintas geometrıas y diferentes distribuciones de temperatura.

Se tiene el enfoque de analizar aspectos relevantes del comportamiento de un super-conductor mesoscopico tipo II, especialmente en el intervalo Hc1 < H < Hc2, dondepor ejemplo, la configuracion de vortices y las curvas de magnetizacion presentan di-ferencias respecto a un superconductor macroscopico. En otras palabras este trabajose realizo con el interes de describir propiedades como campos crıticos, magnetiza-cion y redes de vortices, para un sistema superconductor cuadrado mesoscopico enpresencia de un campo magnetico.

1

Capıtulo 1. Introduccion 2

Para tal fin se simula computacionalmente el estado superconductor, mediante laresolucion de las ecuaciones dependientes del tiempo de Ginzburg-Landau, haciendouso de los metodos de diferencias finitas y de variables de enlace; calculando asıla magnetizacion, la vorticidad y esquematizando la distribucion de la densidad deelectrones superconductores.

Conforme a lo expresado anteriormente el desarrollo del trabajo se desglosa en 4capıtulos. Para empezar, el primero de estos capıtulos esta dedicado a contextualizarel estado del arte de la teorıa de la superconductividad; narrando el desarrollo teoricoy experimental que constituye a la superconductividad, acto seguido se argumenta deforma breve las teorıas London, Ginzburg-Landau y Ginzburg-Landau dependientedel tiempo. En el siguiente capitulo se discretizan las ecuaciones Ginzburg-Landaudependientes del tiempo, proporcionando de esta forma un conjunto de ecuacio-nes que permiten simular computacionalmente el sistema deseado. Los dos ultimoscapıtulos estan dedicados a presentar los resultados, analizarlos y concluir que ca-racterısticas han sido encontradas en la elaboracion de este trabajo.

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Capıtulo 2

Modelos teoricos de lasuperconductividad

Los superconductores son materiales que al ser sometidos a bajas temperaturaspresentan alteraciones en sus propiedades electricas y magneticas, por ejemplo, des-aparecen su resistencia electrica y expulsan los campos magneticos.

Para que se genere el fenomeno de la superconductividad la muestra debe sometersea una temperatura por debajo de la temperatura crıtica Tc (temperatura bajo la cualel material se convierte en superconductor). En el proceso de enfriamiento la resis-tencia electrica cae a cero y se produce la exclusion de flujo magnetico para ciertosvalores de campos magneticos externos. Cuando se repelen por completo los camposmagneticos externos desde el interior del material (diamagnetismo perfecto) el su-perconductor se encuentra en estado Meissner, en el momento que el flujo magneticoes excluido de manera parcial, el superconductor se localiza en el estado de Abriko-sov. El ligero aumento del campo magnetico en el instante que ocurre la transicionde estado Meissner a estado Abrikosov vuelve inestable al sistema, permitiendo elingreso de flujos magneticos cuantizados denominados vortices, posibilitando al sis-tema hallar un estado de mınima energıa.

En la actualidad los superconductores tienen numerosas aplicaciones tecnologicas[4, 5], que incluyen desde la construccion de magnetometros, circuitos digitales, de-tectores de radiacion ultrasensibles hasta la generacion de altos campos magneticos,los cuales son empleados en imagenes de resonancia magnetica y resonancia magneti-ca nuclear [6, 7].

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Capıtulo 2. Modelos teoricos de la superconductividad 4

2.1. Resena Historica

Estudiar el comportamiento de materiales a una temperatura que se aproximaal cero absoluto instauro en 1908 la fısica de bajas temperaturas. Este nuevo cam-po trajo como consecuencia el descubrimiento de fenomenos fısicos, tales como lasuperconductividad y la superfluidez. El cientıfico Heike Kamerlingh Onnes es consi-derado el precursor de la fısica de bajas temperaturas debido a que en su laboratorioubicado en Leiden (Holanda) licuo el helio por primera vez. Este logro significo obte-ner una tecnica de refrigeracion que permitiese alcanzar temperaturas de unos pocosKelvin; en 1911 Onnes luego de estudiar las propiedades electricas de los metalesa muy bajas temperaturas, encontro que por debajo de los 4.15K la resistencia delmercurio desciende abruptamente a cero.

Figura 2.1: Curva de Kamerlingh Onnes que muestra la resistencia del mercurio enfuncion de la temperatura.

En la figura 1.1 estan reflejados los datos obtenidos por Onnes donde se puede con-templar la caıda abrupta de la resistencia R(Ω) respecto a la temperatura. Estecomportamiento tambien fue encontrado en otros metales como el aluminio y elplomo, la transicion observada ocurre a una determinada temperatura que recibeel nombre de temperatura crıtica (Tc) y es caracterıstica del material. Tambien semostro que cuando se inducıa una corriente en un anillo superconductor esta co-rriente no se disipaba despues de un tiempo muy largo; esta particularidad es una

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caracterıstica distintiva de un superconductor [8].

En 1933 Meissner y Ochsenfeld encontraron que cuando una esfera se somete a unproceso de enfriamiento por debajo de su temperatura critica y en presencia deun campo magnetico, se produce la exclusion del flujo magnetico en la esfera, esdecir, el material tiene una respuesta diamagnetica ideal. A este fenomeno se leconoce como efecto Meissner, y destaca la diferencia entre un conductor perfecto yun superconductor. Al igual que el superconductor, el conductor perfecto apantallael flujo externo al ser sometido a un enfriamiento y a un posterior campo magneticoexterno aplicado. Al alterar el orden, es decir, aplicar primero el campo magneticoy despues someter la muestra a un enfriamiento; el superconductor apantalla elflujo externo, en cambio el conductor perfecto se vera completamente permeadopor el campo magnetico. Estas observaciones experimentales ponen en evidencia elfenomeno de la superconductividad como una transicion de fase desde un estado deequilibrio termodinamico donde los superconductores apantallan el flujo magneticosin tomar en consideracion el camino seguido en T y H.

Figura 2.2: Diferencia entre un superconductor y un conductor perfecto.

En 1935 los Hermanos Fritz London y Heinz London plantearon dos ecuaciones quesumadas a las ecuaciones de Maxwell permiten explicar el efecto Meissner a travesde una descripcion fenomenologica de las propiedades magneticas y electricas enel estado superconductor. Los hermanos London fundamentan su teorıa en la exis-

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tencia de corrientes que generan un apantallamiento y se localizan en el interiordel superconductor, estas corrientes son una consecuencia de la penetracion de uncampo magnetico dentro del material, donde la insercion de flujo magnetico en lamuestra se da a una distancia λ conocida como longitud de penetracion.

El siguiente avance teorico ocurre en 1950 al proponerse la teorıa de Ginzburg-Landau, esta es una teorıa macroscopica que otorgo una aproximacion fenomenologi-ca de la superconductividad y se encargo de generalizar la teorıa de los hermanosLondon. La teorıa de Ginzburg-Landau se construyo con base en el trabajo previode Landau sobre las transiciones de fase de segundo orden, donde el propone la exis-tencia de un parametro de orden, y Ginzburg, introduce el concepto del parametrode orden como una pseudofuncion de onda compleja; la cual permite, por ejemplo,caracterizar la transicion desde un estado desordenado (estado normal) a un estadoordenado (estado superconductor).

La explicacion microscopica de la superconductividad fue desarrollada en 1957 por J.Bardeen, L. Cooper, y J. R. Schrieffer; es conocida como teorıa BCS. En esta teorıala interaccion electron-fonon ocasiona la formacion de pares de electrones ligadoscon espın y momentum opuesto, esta pareja de electrones son portadores de supercorriente, se denominan pares de Cooper y permiten obtener las propiedades basi-cas de la superconductividad. Dos anos despues en 1959 Gorkov mostro la relacionentre las teorias de Ginzburg-Landau y BCS [9], demostrando que las ecuacionesde Ginzburg-Landau se pueden obtener directamente de la teorıa BCS y que estasecuaciones poseen dos criterios que determinan su validez; el primero de ellos es quelas variaciones en la temperatura sean cercanas a la temperatura crıtica, el segundoes que existan variaciones leves en el parametro de orden.

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2.2. Teorıa London

En 1935 los hermanos London proponen una teorıa para explicar el efecto Meiss-ner; el modelo establece que el campo magnetico externo se apantalla como productode la existencia de corrientes permanentes dentro del superconductor.

Se toma como objeto minimizar la energıa libre para generar una relacion entre loscampos magneticos y las corrientes. Para tal efecto se considera un metal puro conuna banda de conduccion parabolica donde los electrones tienen una masa efectiva m,a su vez se construye una expresion matematica para la energıa libre de Helmholtz,la cual corresponda a la energıa libre de un superconductor en presencia de un campomagnetico externo [8, 10, 11].

F = Fs + Fk + Fmag (2.1)

Donde Fs corresponde a la energıa de los electrones en el estado condensado, Fk esla energıa cinetica asociada con las corrientes permanentes es decir la energıa cineti-ca producida por las corrientes superconductoras y por ultimo Fmag es la energıaasociada con el campo magnetico B(r).

Para construir la expresion de la energıa cinetica hacemos uso de la relacion

Js(r) = ensv(r) (2.2)

donde v(r) se define como la velocidad promedio de los electrones en un punto r,Js(r) es la densidad de corriente superconductora, e la carga del electron y ns es ladensidad de electrones superconductores. Conforme a lo anterior la energıa cineticaqueda expresada como

Fk =

∫1

2mnsv

2dr (2.3)

Y la energıa magnetica queda de la forma

Fmag =

∫H2

8πdr (2.4)

Ası la energıa libre queda constituida en el siguiente termino

F = Fs+

∫ [1

2mnsv

2 +H2

8π

]dr (2.5)

Tomando tambien en consideracion la ecuacion de Maxwell∇×B = (4π/c)Js, se reescribe la ecuacion (2.5)

7


F = Fs+

∫1

8π

[H2 + λ2

l |∇ ×B|2]dr (2.6)

Donde la longitud λl esta dada por

λl =

√mc2

4πnse2(2.7)

Ahora se minimiza la energıa libre con respecto a la distribucion del campo B(r), loque implica δ(Fk + Fmag) = 0

δF =1

4π

∫ [B · δB + λ2

l (∇×B) · (∇× δB)]dr

=1

4π

∫ [B + λ2

l (∇×∇×B)]· δBdr

(2.8)

Debido a que la variacion δB es arbitraria, los terminos en los parentesis cuadradosdeben ser igual a cero, lo que implica que la distribucion del campo que minimiza laenergıa en el superconductor viene dada por la expresion

B + λ2l∇×∇×B = 0 (2.9)

Para determinar la penetracion de un campo magnetico B dentro del superconduc-tor, se considera un campo magnetico paralelo a la superficie de la muestra dondetomando en consideracion las ecuaciones de Maxwell

∇×B =4π

cJs (2.10)

∇ ·B = 0 (2.11)

y haciendo uso de la identidad vectorial

∇×∇×B = ∇(∇ ·B)−∇2B (2.12)

Entonces para un superconductor que este localizado en la region x > 0, la soluciona la ecuacion diferencial (2.9) es:

B(x) = B(0)e−x/λl (2.13)

El campo magnetico penetra una profundidad λl dentro del material y el valor delcampo local decae exponencialmente en el interior de la muestra. El superconductorencuentra un estado de equilibrio y manifiesta a nivel macroscopico la expulsion de

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flujo magnetico; esta expulsion es ocasionada por las supercorrientes que generan unamagnetizacion y apantallan el campo externo, anulando ası el campo en el interiorde dicho material.

Figura 2.3: Variacion del campo aplicado B dentro de la muestra.

La ecuacion (2.13) presenta valides unicamente cuando el campo magnetico aplicadoes debil, en campos magneticos superiores se destruira la superconductividad par-cialmente, permitiendo el ingreso de flujos magneticos cuantizados en determinadasregiones del material; este fenomeno ocurre debido a que el sistema buscara el estadode mınima energıa.

Es posible reescribir la ecuacion (2.9) en terminos de las corrientes superconductorasde la forma:

B =−4πλ2

l

c∇× Js (2.14)

Empleando el gauge London ∇·A = 0 y tomando en consideracion que B = ∇×A,se transforma la anterior ecuacion obteniendo:

Js =−nse2A

mc(2.15)

Considerando la ecuacion de Maxwell

∇×E +1

c

∂B

∂t= 0 (2.16)

9


y reescribiendola mediante el uso de B = ∇×A

∇×(

E +1

c

∂A

∂t

)= 0 (2.17)

La ecuacion (2.15) se puede reescribir con el objetivo de establecer una relacion entrelos campos electricos y las corrientes superconductoras

E =4πλ2

l

c

∂Js

∂t(2.18)

La ecuacion (2.18) se conoce como la primer ecuacion de London y (2.14) se conocecomo la segunda ecuacion de London, y ambas constituyen una descripcion de laspropiedades de los superconductores.

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2.3. Teorıa de Ginzburg-Landau (GL)

En 1937 Landau desarrollo un modelo para describir las transiciones de fase desegundo orden. La base de esta teorıa fue la introduccion del concepto de parametrode orden, este parametro de orden es una cantidad apropiada la cual tiene un valorde cero en la fase T > Tc y distinto de cero en la fase por debajo de la temperaturade transicion (T < Tc). Reconocer el parametro de orden depende de la naturale-za de la transicion de fase de segundo orden [12]. Ası para el caso de la transicionferromagnetica se identifica a la magnetizacion M como el parametro de orden. Elparametro de orden puede ser entendido como la caracterizacion de la medida enque el sistema es alineado.

Se asume que en el estado superconductor la corriente es transportada por pares deCooper1 de masa m, carga e y densidad ns cuyas relaciones con el electron libre seestablecen de la siguiente manera:

m = 2m∗ (2.19)

e = 2e∗ (2.20)

ns =1

2n∗s (2.21)

Los pares de Cooper empiezan a formarse en la temperatura crıtica, conforme elvalor de la temperatura desciende, aumenta la densidad de electrones superconduc-tores, por tanto ns se puede asimilar como una medida del orden que existe en elestado superconductor, donde por encima de la temperatura de transicion el nume-ro de electrones superconductores es cero por tanto el orden en el sistema desaparece.

En valores inferiores de Tc el parametro de orden presenta un crecimiento continuodesde cero, aprovechando esto es posible realizar una expansion de la energıa libresuperconductora como una serie de potencias del parametro de orden cerca a Tc. Unejemplo de esto se puede observar en una transicion de fase paramagnetica, dondela magnetizacion presenta un incremento continuo al disminuir la temperatura pordebajo de la Tc ası para un ferromagneto isotropo que presenta magnetizacion, laexpansion de la energıa libre se expresa de la siguiente forma

F (M) = F0 + αM2 +1

2βM4 (2.22)

1Los pares de Cooper son parejas de electrones ligados que se generan en el estado supercon-ductor.

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Se requiere que β > 0 para mantener una estabilidad termodinamica, sin embargoα puede tener un valor tanto positivo como negativo; si α > 0 el mınimo de (2.22)ocurre en M = 0, si α < 0 existen dos mınimos con M 6= 0. La transicion de faseocurre cuando α cambia de signo en la temperatura critica Tc, esto implica reescribirα como

α = α(T ) = α0(T − Tc) (2.23)

El parametro de orden que minimiza la energıa quedara expresado al realizar ∂F/∂M

∂F

∂M= 2α0(T − Tc)M + 2βM3 = 0 (2.24)

Surgen dos soluciones:

M = 0 (T > Tc) (2.25)

M2 = −α0(T − Tc)β

(T < Tc) (2.26)

Incumbe resaltar que las transiciones de fase de segundo orden desatienden las fluc-tuaciones, el modelo de Landau por lo tanto asume que la temperatura esta losuficientemente lejos de la temperatura de transicion, de modo que los efectos defluctuaciones pueden ser ignorados.

Figura 2.4: Energıa libre para T > Tc y para T < Tc.

Ginzburg y Landau introducen la idea de la superconductividad como un estadocuantico macroscopico en la teorıa de transiciones de fase de segundo orden. Asumenla existencia de una pseudofuncion de onda compleja ψ, que representa un parametrode orden y describe la densidad de electrones superconductores mediante la relacion

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ns = |ψ|2. Considerando una expansion de la energıa libre en ausencia de campos ygradientes, y teniendo en cuenta el hecho de que solo los terminos de la forma ψψ∗

son tomados en consideracion para la expansion (la energıa tiene un valor positivoy real solo en las potencias pares), se tiene que

F = Fn + α|ψ|2 +1

2β|ψ|4 (2.27)

Donde el proceso de minimizacion es igual que el realizado anteriormente

|ψ| = 0, T > Tc (2.28)

|ψ| =[α0(Tc − T )

β

]1/2

T < Tc (2.29)

Para describir situaciones donde el estado superconductor es no homogeneo, se debegeneralizar la ecuacion (2.27) y considerar a F como una densidad de energıa libre,esto bajo el postualado de que ψ es pequeno y varia lentamente en el espacio

F = Fn +

∫dτ

[α|ψ|2 +

1

2β|ψ|4

](2.30)

La ecuacion anterior corresponde a la energıa de condensacion y no considera elincremento de energıa asociada a las variaciones espaciales del parametro de orden,por tal motivo Ginzburg y Landau introdujeron la contribucion de energıa cineticaa partir del operador p en la mecanica cuantica

Fk =

∫dτ

1

2m

∣∣∣[−i~∇− e

cA]ψ∣∣∣2 (2.31)

Tambien es necesario considerar la contribucion del campo magnetico a la densidadde energıa

FH =

∫dτH2

8π(2.32)

La energıa libre de Gibbs resultante para un superconductor se determina al com-binar las anteriores expresiones en un solo funcional

F = Fn +

∫dτ

α|ψ|2 +

1

2β|ψ|4 +

1

2m

∣∣∣[−i~∇− e

cA]ψ∣∣∣2 +

H2

8π

︸︷︷︸

Fs

(2.33)

Donde e y m son respectivamente la carga efectiva y la masa efectiva de los superelectrones, ψ es el parametro de orden, A corresponde al potencial vector y Fs es la

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energıa libre del estado superconductor.

De forma analoga a lo expresado en las ecuaciones (2.28) y (2.29), es posible afirmarque en ausencia de campos y gradientes el mınimo de la energıa libre ocurre en|ψ|2 = 0, que corresponde al estado normal; en el estado superconductor el mınimoocurre cuando

|ψ∞|2 = −αβ

(2.34)

El valor mınimo del funcional sera

Fs − Fn = −H2c

8π= −α

2

2β(2.35)

En presencia de campos, corrientes y gradientes el parametro de orden correspondea una pseudofuncion de onda de caracter complejo ψ(r) = |ψ(r)|eiφ(r). Para ob-tener las ecuaciones de GL se minimiza el funcional de energıa libre dado por laintegral de volumen (2.33) respecto al parametro de orden y a la distribucion delcampo magnetico; exactamente se toma la variacion del funcional respecto a ψ∗(r)y respecto a A, dando como resultado:

αψ + β|ψ|2ψ +1

2m

(−i~∇− e

cA)2

ψ = 0 (2.36)

J =e~

2mi(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)− e2

mcψ∗ψA (2.37)

Las ecuaciones 2.36 y 2.37 son conocidas como las ecuaciones diferenciales de Ginzburg-Landau. con la condicion de frontera

n ·(−i~∇− e

cA)ψ∣∣∣S

= 0 (2.38)

2.3.1. Longitudes caracterısticas

La teorıa de Ginzburg-Landau introduce dos longitudes caracterısticas: la longi-tud de coherencia y la longitud de penetracion.

Para obtener la longitud de penetracion retomamos la ecuacion (2.37) y si conside-ramos que los dos primeros terminos pueden ser ignorados, obtenemos (2.15) que seconsidera la ecuacion general de London, donde podemos identificar a ns como |ψ|2desde (2.7)

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λl =

√mc2

4π|ψ|2e2(2.39)

Tomando una region superconductora inmersa en un campo magnetico debil y lejosde la frontera, |ψ|2 puede ser reemplazado por su valor de equilibrio en ausencia decampo |ψ∞|2

λl = λ(T ) =

√mc2

4π|ψ∞|2e2(2.40)

y la longitud de penetracion de London queda escrita como

λ(T ) =

√mc2β

4πα0e2Tc

(1− T

Tc

)−1/2

(2.41)

λ(T ) caracteriza la distancia sobre la cual un campo magnetico puede penetrar enun superconductor.

Ahora considerando la ausencia de campos magneticos y de corrientes, lo que implicaA = 0, y tomando solo el valor real del parametro de orden, la ecuacion (2.36) sereduce a

− ~2

2m∇2ψ + αψ + βψ3 = 0 (2.42)

Introduciendo una funcion de onda normalizada f = ψ/ψ∞ con ψ2∞ = −α/β > 0

puesto que β es positivo y α es negativo para el estado superconductor, la ecuacionqueda de la forma

~2

2m|α|∇2f + f − f3 = 0 (2.43)

definiendo la longitud de coherencia de GL como

~2

2m|α|= ξ2(T ) (2.44)

reescribiendo la ecuacion (2.43)

ξ2(T )∇2f + f − f3 = 0 (2.45)

Para encontrar una solucion a la ecuacion (2.45) se asume que la ecuacion es uni-dimensional, donde la region x > 0 esta ocupada por un superconductor, la regionx < 0 es un aislante y se aplican las condiciones de frontera (2.38).

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ξ2(T )d2

dx2f + f − f3 = 0 (2.46)

si se multiplica (2.46) por f ′ la ecuacion resulta en

d

dx

(ξ2(T )

f ′2

2+f2

2− f4

4

)= 0 (2.47)

con las condiciones de frontera f = 0 en x = 0 y f → 1 cuando x→∞, se estableceque los terminos en parentesis son igual a una constante, especıficamente igual a−1/2, lo que produce

ξ2(T )f ′2 =1

2(1− f2)2 (2.48)

esta ecuacion tiene como solucion f = tanh(x/√

2ξ(T )) o

ψ = ψ∞tanh

(x√

2ξ(T )

)(2.49)

Figura 2.5: Comportamiento de ψ cerca de la interfaz normal-superconductor.

ξ(T ) corresponde a la distancia sobre la cual el parametro de orden varia, escrita deuna forma mas precisa

ξ(T ) =

(~2

2mα0Tc

)1/2(1− T

Tc

)−1/2

(2.50)

16


Las longitudes caracterısticas λ(T ) y ξ(T ) determinan el comportamiento de un su-perconductor cuando este toma valores cercanos a la temperatura crıtica, el cocienteentre estas dos longitudes es llamado el parametro de Ginzburg-Landau y permiteclasificar a los superconductores en 2 tipos

κ =λ(T )

ξ(T )(2.51)

Tipo I cuando κ < 1/√

2 y tipo II cuando κ > 1/√

2

2.3.2. Propiedades magneticas de los superconductores

Existen propiedades macroscopicas que permiten discernir la diferencia entre unsuperconductor tipo I (SCI) y un superconductor tipo II (SCII), por ejemplo, elSCI presenta un perfecto estado Meissner hasta un campo crıtico Hc y luego ha-ce una transicion abrupta hasta el estado normal, por el contrario el SCII excluyeparcialmente el flujo en una region que es intermedia a los estados Meissner y normal.

El Hc es calculado a partir de tomar la diferencia entre energıa libre del estadonormal y el estado superconductor

Fn − Fs =H2c

8π(2.52)

El fenomeno de la superconductividad tipo II fue descubierto experimentalmentepor Shubnikov en 1937[13]. Una explicacion teorica del fenomeno, la cual combinalos resultados experimentales de Shubnikov con la teorıa GL fue dada por Abrikosoven 1957[14].

El SCII manifiesta dos campos crıticos denominados Hc1 y Hc2, el primero es maspequeno que Hc y marca una diferencia en su comportamiento; para valores deH < Hc1 el SCII exhibe efecto Meissner, pero para valores entre Hc1 < H < Hc2 sepresenta la anteriormente nombrada exclusion parcial de flujo.

El estado superconductor caracterıstico de los SCII recibe distintos nombres, estadomixto, fase de Shubnikov, estado de vortices y fase de Abrikosov; este ultimo nombresera adoptado en este trabajo para hacer referencia al fenomeno que ocurre en laregion Hc1 < H < Hc2. La penetracion parcial de flujo puede ser descrita medianteel grafico de magnetizacion, donde su valor se calcula a partir de

M =1

4π(B−H) (2.53)

17


(a) Tipo I

(b) Tipo II

Figura 2.6: Curvas de magnetizacion para los dos tipos de superconductores; el cam-po aplicado es siempre perpendicular a la superficie de la muestra superconductora.

En la figura 2.6(b) se observa como la magnetizacion incrementa continuamente (sevuelve menos negativa) por encima de Hc1 y llega a cero cuando el campo aplicadoH es igual a Hc2.

La muestra deja de exhibir expulsion de flujo en el instante que H ≥ Hc2 debido aque el campo magnetico externo ha penetrado por completo la muestra, es decir elsuperconductor ha hecho la transicion al estado normal; sin embargo la supercon-

18


ductividad no es destruida por completo o por lo menos no inmediatamente. Existeun intervalo preliminar al estado normal, constituido por un tercer campo crıticoHc3, este intervalo es Hc2 < H < Hc3 y sobre esta region prevalece ligeramentesuperconductividad en la superficie.

2.3.3. Fluxoide

Los superconductores tipo II admiten flujo magnetico en su interior, especıfica-mente dicho flujo atraviesa el superconductor generando ası regiones normales en lasuperficie; cada region consta de un nucleo cuyo radio es del orden de ξ. Fuera dela muestra las supercorrientes fluyen en un diametro del orden de λ y producen elcampo interno.

Para entender la coexistencia de regiones superconductoras y normales que son con-secuencia de la penetracion del campo magnetico en la muestra, F. London introdujoel concepto de fluxoide

Φ′ = Φ +4π

c

∮λ2Js · dl = Φ +

mc

e

∮vs · dl (2.54)

donde

Φ =

∫ ∫h · dS (2.55)

es el flujo magnetico a traves del area de integracion. London argumento que losvalores de Φ′ debıan ser restringidos a un conjunto discreto y concluyo que la su-perconductividad era un fenomeno cuantico macroscopico, esto puede observarse alaplicar la condicion de cuantizacion de Bohr-Sommerfeld en (2.54)

Φ′ =c

e

∮ (mvs +

eA

c

)· dl = n

hc

e= nΦ0 (2.56)

donde n es un entero y representa el numero de vortices, y e = 2e∗.

El valor del cuanto de flujo es

Φ0 =hc

e= 2,07× 10−15Wb (2.57)

el cual ha sido corroborado experimentalmente [15].

19


2.3.4. Estado de vortices de Abrikosov

En la region Hc1 < H < Hc2 ingresan flujos magneticos cuantizados denomi-nados vortices. Los vortices se organizan de tal forma que le permiten al sistemaencontrar un estado de mınima energıa. Abrikosov sugiere dos tipos de arreglos paralos vortices, una red cuadrada y una red triangular, ver figura (2.7)

(a) arreglo cuadrado (b) arreglo triangular

Figura 2.7: Esquema que representa la forma en que los vortices se organizan sobrela superficie de un superconductor tipo II

Para la red triangular la distancia entre vortices vecinos es

a∆ = 1, 075

(Φ0

B

)1/2

(2.58)

y para la red cuadrada

a =

(Φ0

B

)1/2

(2.59)

donde B representa el campo magnetico interno; y para una densidad de flujo,a∆ > a . Tomando en cuenta que los vortices se repelen mutuamente, es correctoinferir que la estructura con la separacion mas grande entre los primeros vecinos seala mas favorable.

20


2.4. Teorıa de GL dependiente del tiempo

En esta monografıa se tiene como objeto analizar el comportamiento de un su-perconductor con ligeros incrementos en el campo magnetico externo, esto implicaanalizar un sistema cuyas caracterısticas evolucionan en el tiempo; dicho en otraspalabras se requiere estudiar un estado no estacionario.

La teorıa Ginzburg–Landau dependiente del tiempo (TDGL) provee la descripcionmas simple de un superconductor no estacionario [16], este es un modelo amplia-mente usado y nos va a permitir entender la dinamica de los superconductores enun regimen mesoscopico2.

Cuando el equilibrio de un superconductor es perturbado el parametro de orden deberelajar el superconductor a su valor de equilibrio. La razon de la relajacion dependede la desviacion desde el equilibrio

− ~2

2mD

(∂

∂t+ieφ

~

)ψ =

δFsδψ∗

(2.60)

La segunda condicion de equilibrio implica

Js

c= −δFs

δA(2.61)

φ es un potencial escalar, el cual es requerido para garantizar que las ecuacionessean invariantes gauge y D es el coeficiente de difusion.

Definiendo a la corriente total como J = Js + Jn y Jn corresponde a la parte de lacorriente que puede ser producida por electrones normales en presencia de un campoelectrico.

Jn = σE (2.62)

Usando la ley de Faraday

∇×E = −1

c

∂B

∂t(2.63)

∇×E = −∇× 1

c

∂A

∂t(2.64)

Conforme lo anterior podemos reescribir J de la forma

2Se llama mesoscopico porque las dimensiones fısicas del sistema son del orden de la longitudde coherencia ξ.

21


Jn = −σ(∇φ+

1

c

∂A

∂t

)(2.65)

Al resolver las expresiones (2.60) y (2.61) se obtienen las ecuaciones TDGL

− ~2

2mD

(∂

∂t+ieφ

~

)ψ = αψ + β|ψ|2ψ +

1

2m

(−i~∇− e

cA)2

ψ (2.66)

J = −σ(∇φ+

1

c

∂A

∂t

)+

e

2m

[ψ∗(−i~∇− e

cA)ψ + ψ

(i~∇− e

cA)ψ∗]

(2.67)

Las ecuaciones (2.66) y (2.67) tienen tiempos de relajacion caracterısticos, para elparametro de orden

τψ =ξ20

D(2.68)

y el tiempo de relajacion correspondiente a la corriente

τJ =4πσλ2

0

c2(2.69)

La razon entre los dos tiempos de relajacion tiene un valor de 12 y es independientede la temperatura [17].

η =τψτJ

= 12 (2.70)

A su vez tambien son invariantes gauge, es decir son invariantes bajo las transfor-maciones:

A′ = A +∇χ, ψ′ = ψe(2ie/~c)χ, φ′ = φ− 1

c

∂χ

∂t(2.71)

donde χ es un campo escalar arbitrario.

2.4.1. Adimensionalizacion

Es de utilidad adimensionalizar las ecuaciones (2.66) y (2.67) ya que al trabajarcon ecuaciones adimensionales estas pueden ser usadas para cualquier superconduc-tor. Antes de empezar con el proceso de adimensionalizacion es conveniente reex-presar la corriente total de la ecuacion (2.67) en terminos del potencial magnetico;para ello se hace uso de la ley de Ampere-Maxwell

22


∇×∇×A =4π

cJ (2.72)

es omitido el termino de la corriente de desplazamiento debido a que solo obtiene unvalor significativo para velocidades cercanas a la rapidez de la luz [18]. La ecuacion(2.67) queda expresada de la forma

∇×∇×A = −4πσ

c

(∇φ+

1

c

∂A

∂t

)+

4πe

cmRe[ψ∗(−i~∇− e

cA)ψ]

(2.73)

para adimensionalizar las ecuaciones TDGL es necesario establecer una escala me-diante el siguiente conjunto de ecuaciones

∇ =∇′

ξ0; T ′ =

T

Tc; A′ =

1

Hc2(0)ξ0A

ψ′ =ψ

|ψ0|; α′0 = α0Tc; |ψ0|2 =

α′0β

donde los valores de ξ0 y α′0 son a temperatura cero, Hc2 es el segundo campo crıticoy |ψ0| corresponde a |ψ∞| evaluado en temperatura cero.

Se elige el gauge φ = 0, para garantizar la existencia y unicidad de la solucion de lasecuaciones TDGL [19]. Empleando la escala anteriormente mencionada y anadiendoque t′ = t/t0 las ecuaciones (2.66) y (2.73) se convierten

− 1

t01

ξ20

D

∂ψ

∂t= −(1− T )ψ + |ψ|2ψ + (−i∇−A)2ψ (2.74)

κ2∇×∇×A = − 1

t02

4πσλ20

c2∂A

∂t+Re [ψ∗(−i∇−A)ψ] (2.75)

Eligiendo a t02 = τJ y debido a que los t0 deben ser iguales

ξ20

Dt02= η (2.76)

se obtienen las ecuaciones adimensionales

− 12∂ψ

∂t= −(1− T )ψ + |ψ|2ψ + (−i∇−A)2ψ (2.77)

κ2∇×∇×A = −∂A

∂t+Re [ψ∗(−i∇−A)ψ] (2.78)

23

Capıtulo 3

Modelo computacional

Debido a que las ecuaciones TDGL son ecuaciones diferenciales parciales (EDP)no lineales dependientes del tiempo, es necesario emplear el analisis numerico paradar solucion al sistema de ecuaciones; especıficamente se va hacer uso del metodode diferencias finitas para resolver las EDP y del metodo de Euler para la derivadatemporal.

3.1. Discretizacion y metodo de diferencias finitas

Para discretizar la parte espacial de las ecuaciones TDGL se establece un malladocuyas dimensiones son de Nx × Ny y la separacion entre los nodos es de ∆x y ∆y[20]. En la red las magnitudes fısicas se evaluan en distintos puntos, de esta forma,A y J son evaluados en los puntos medios de los nodos, ψ se evalua en los nodos yel campo interno B es evaluado en el centro de cada rejilla. Ver figura (3.1).

Figura 3.1: Puntos de red donde son evaluadas las variables discretizadas.

24

Capıtulo 3. Modelo computacional 25

Se emplea el metodo ψU con el objetivo de preservar las propiedades de invarianzagauge de las ecuaciones discretizadas; el metodo consiste en introducir las variablesde enlace Ux y Uy [21, 22].

Ux(x, y) = exp

(−i∫ x

x0

Ax(x′, y)dx′),

Uy(x, y) = exp

(−i∫ y

y0

Ay(x, y′)dy′).

(3.1)

Tomando las derivadas espaciales de las variables de enlace, se obtiene

∂Ux

∂x= −iAxUx, ∂Uy

∂y= −iAyUy (3.2)

Introduciendo a g [23], la cual es una funcion arbitraria y continua a lo largo deldominio superconductor, se llega a la siguiente igualdad

− iUx ∂(Uxg)

∂x=

(−i ∂∂x−Ax

)g (3.3)

donde Ux corresponde al complejo conjugado de Ux. Ahora establecido una relaciondonde g = (−i∂/∂x−Ax)ψ se obtiene(

−i ∂∂x−Ax

)2

ψ = −Ux ∂2

∂x2(Uxψ) (3.4)

lo que conlleva a poder reescribir la primer ecuacion TDGL de la siguiente forma

− 12∂ψ

∂t= |ψ|2ψ − (1− T )ψ − Ux ∂

2

∂x2(Uxψ)− Uy ∂

2

∂y2(Uyψ) (3.5)

La densidad de supercorriente Js se encuentra expresada en terminos de ψ y A;con el fin de introducir las variables de enlace, Js va a ser reescrita en terminos deψ, Ux y Uy. Para ello se hace uso de lo establecido en (3.3) tomando g por ψ ymultiplicando toda la expresion por ψ

ψ∗(−i ∂∂x−Ax

)ψ = −iUxψ∗ ∂(Uxψ)

∂x(3.6)

Si se tiene una variable compleja tal que z = x+ iy, entonces

Re(−iz) = Im(z) (3.7)

Al tomar la parte real de (3.6) y realizar una analogıa con (3.7), se llega a

25


Re

[ψ∗(−i ∂∂x−Ax

)ψ

]= Im

[Uxψ∗

∂(Uxψ)

∂x

](3.8)

Considerando lo anterior, la densidad de supercorriente puede escribirse de la si-guiente forma

Js = Im

[Uxψ∗

∂(Uxψ)

∂x+ Uyψ∗

∂(Uyψ)

∂y

](3.9)

Al tener reexpresadas las ecuaciones en terminos de ψ, Ux y Uy, se procede con ladiscretizacion.

El sistema consiste de una configuracion rectangular la cual ocupa una region Ω enel espacio, las celdas de la rejilla se denotan como

Ωi,j = r = (x, y) : xi < x < xi+1, yi < y < yi+1 (3.10)

Las variables discretas seran escritas anadiendo los ındices (i, j) a los sımbolos delas variables continuas. Las ecuaciones TDGL se expresaran como funciones de ψ yde las variables de enlace (3.1), los puntos de mallado para las variables de enlaceestan localizados en los mismos puntos donde se encuentren Ax y Ay.

El parametro de orden, las variables de enlace y el potencial vector seran evaluadosde la siguiente forma,

ψ = ψi,j : 1 ≤ i ≤ Nx + 1, 1 ≤ j ≤ Ny + 1 ⇒ ψi,j = ψ(xi, yj) (3.11)

Ux =Uxi,j : 1 ≤ i ≤ Nx, 1 ≤ j ≤ Ny + 1

,

Uy =Uyi,j : 1 ≤ i ≤ Nx + 1, 1 ≤ j ≤ Ny

.

(3.12)

donde para Uxi,j y Uyi,j se tiene que

Uxi,j = exp

(−i∫ xi+1

xi

Ax(x′, y)dx′),

Uyi,j = exp

(−i∫ yi+1

yi

Ay(x, y′)dy′).

(3.13)

Ax =Axi,j : 1 ≤ i ≤ Nx, 1 ≤ j ≤ Ny + 1

,

Ay =Ayi,j : 1 ≤ i ≤ Nx + 1, 1 ≤ j ≤ Ny

.

(3.14)

26


donde para Axi,j y Ayi,j se tiene que

Axi,j = Ax(xi +

1

2∆x, yj

),

Ayi,j = Ay(xi, yj +

1

2∆y

) (3.15)

Las definiciones (3.13) son equivalentes con

Uxi,j = exp(−iAxi,j∆x),

Uyi,j = exp(−iAyi,j∆y)(3.16)

Sobre el sistema incide perpendicularmente un campo magnetico He = Hek el cualvaria en el tiempo y es espacialmente uniforme. Como consecuencia del ingreso deflujo magnetico, existira un campo magnetico interno denominado Bz; el cual seencuentra en el centro de la celda unitaria. Para evaluar el termino Bzi,j se hace usodel teorema de Stokes ∫ ∫

Ω

Bz dx dy =

∮∂Ω

A · dr (3.17)

Tomando la exponencial de la integral de contorno de la ecuacion (3.17), multiplicadaa su vez por −i, se obtiene un producto de cuatro variables de enlace

exp

(−i∮∂Ω

A · dr)

= exp(−iAxi,j∆x− iAyi+1,j∆y + iAxi,j+1∆x+ iAyi,j∆y)

= Uxi,jUyi+1,jU

xi,j+1U

yi,j

= Wi,j

(3.18)

Si se aproxima la exponencial de la integral de area de (3.17), multiplicada a suvez por −i; a traves de la regla del punto medio para posteriormente emplear unaexpansion de Taylor, a segundo orden, se obtiene

exp

(−i∫ ∫

Ω

Bz dx dy

)= 1− iBzi,j∆x∆y (3.19)

combinando (3.17), (3.18) y (3.19), se logra obtener una expresion para Bzi,j enterminos de las variables de enlace

Bzi,j =1−Wi,j

i∆x∆y(3.20)

27


El metodo de diferencias finitas empieza por realizar una expansion en series deTaylor para Uxψ donde su valor sera aproximado en (xi + 1/2∆x, yi), es decir seaproxima el promedio de sus valor en los puntos (xi, yj) y (xi+1, yj). Reemplazandoa Uxψ por f

f

(x+

∆x

2

)= f(x) +

∆x

2f ′(x) +

(∆x)2

8f ′′(x) + ... (3.21)

f

(x− ∆x

2

)= f(x)− ∆x

2f ′(x) +

(∆x)2

8f ′′(x) + ... (3.22)

al substraer el anterior par de ecuaciones se llega a

f ′(x) =f(x+ ∆x

2

)− f

(x− ∆x

2

)∆x

(3.23)

f ′′(x) =f(x+ ∆x)− 2f(x) + f(x−∆x)

(∆x)2(3.24)

Esta aproximacion sera usada para discretizar la segunda derivada de la primerecuacion TDGL

Ux∂2

∂x2(Uxψ) =

Uxi,jψi+1,j − 2ψi,j + Uxi−1,jψi−1,j

(∆x)2(3.25)

la componente y tiene un procedimiento similiar

Uy∂2

∂y2(Uyψ) =

Uyi,jψi,j+1 − 2ψi,j + Uyi,j−1ψi,j−1

(∆y)2(3.26)

Conforme lo anterior, la primera ecuacion TDGL en su forma discretizada, quedaescrita de la siguiente manera

12∂ψi,j∂t

= (1− T )ψi,j − |ψi,j |2ψi,j

+Uxi,jψi+1,j − 2ψi,j + Uxi−1,jψi−1,j

(∆x)2

+Uyi,jψi,j+1 − 2ψi,j + Uyi,j−1ψi,j−1

(∆y)2

(3.27)

Para discretizar el termino ∇×∇×A se parte del hecho de que ∇×A = B, lo queimplica que

∇×B =∂Bz

∂yı− ∂Bz

∂x (3.28)

28


por consiguiente

∂Bz

∂x=Bzi,j −Bzi−1,j

∆x,

∂Bz

∂y=Bzi,j −Bzi,j−1

∆y(3.29)

teniendo en cuenta (3.9) y (3.29), se logra obtener la segunda ecuacion TDGL dis-cretizada

∂Axi,j∂x

=Im(Uxi,jψ

∗i,jψi+1,j)

∆x− κ2

Bzi,j −Bzi,j−1

∆y

∂Ayi,j∂y

=Im(Uyi,jψ

∗i,jψi,j+1)

∆y− κ2

Bzi,j −Bzi−1,j

∆x

(3.30)

con el metodo de Euler se reexpresan las derivadas temporales de las ecuaciones(3.27) y (3.30)

∂ψi,j∂t

=ψt+∆ti,j − ψti,j

∆t(3.31)

∂Axi,j∂t

=At+∆tx;i,j −Atx;i,j

∆t,

∂Ayi,j∂t

=At+∆ty;i,j −Aty;i,j

∆t(3.32)

Al introducir la discretizacion temporal en la espacial, se obtienen las ecuacionesTDGL discretizadas en dos dimensiones

ψt+∆ti,j = ψti,j +

∆t

12

[Uxi,jψi+1,j − 2ψi,j + Uxi−1,jψi−1,j

(∆x)2

+ (1− T )ψi,j − |ψi,j |2ψi,j

+Uyi,jψi,j+1 − 2ψi,j + Uyi,j−1ψi,j−1

(∆y)2

] (3.33)

At+∆tx;i,j = Atx;i,j + ∆t

[Im(Uxi,jψ

∗i,jψi+1,j)

∆x− κ2

Bzi,j −Bzi,j−1

∆y

]

At+∆ty;i,j = Aty;i,j + ∆t

[Im(Uyi,jψ

∗i,jψi,j+1)

∆y− κ2

Bzi,j −Bzi−1,j

∆x

] (3.34)

29


3.1.1. Condiciones de frontera

Acorde con la condicion de contorno (2.38), es necesario reescribir esta condicionde forma discreta y en terminos de las variables de enlace

ψ1,j = Ux1,jψ2,j ψNx+1,j = UxNx,jψNx,j (3.35)

ψi,1 = Uyi,1ψi,2 ψi,Ny+1 = Uyi,Nyψi,Ny

(3.36)

En la frontera tambien se asume que el campo magnetico inducido es igual al campomagnetico externo, Bzi,j = Hz, esto conlleva a decir que

Wi,j = exp(−iHz∆x∆y) = Uxi,jUyi+1,jU

xi,j+1U

yi,j (3.37)

y con esto se establecen las condiciones de contorno para las variables de enlace

Uxi,1 = exp(−iHz∆x∆y)Uxi,2Uyi+1,1U

yi,1 (3.38)

Uxi,Ny+1 = exp(iHz∆x∆y)Uyi+1,NyUyi,Ny

Uxi,Ny(3.39)

Uy1,j = exp(iHz∆x∆y)Uy2,jUx1,j+1U

x1,j (3.40)

UyNx+1,j = exp(−iHz∆x∆y)UxNx,j+1UxNx,jU

yNx,j

(3.41)

30

Capıtulo 4

Resultados

En esta parte del trabajo se van a presentar los resultados que se obtuvieronmediante la simulacion computacional de un estado superconductor, el sistema aanalizar es un superconductor mesoscopico bidimensional tipo II, donde se tomaronvalores proximos a la temperatura crıtica (lımite teorico), y temperaturas lejanas aTc para observar que tanto cambian los resultados al alejarse el sistema de lo esta-blecido por Gorkov.

A partir de lo explicado en 2.4.1, se especifica que A esta en unidades de Hc2(0)ξ0,el campo aplicado H en unidades de Hc2(0), la temperatura en unidades de Tc y eltiempo en unidades de 4πσλ0/c

2; en todos los casos ∆x = ∆y =0.5.

El primer caso a considerar es el de un sistema cuadrado con dimensiones de 36ξ0×36ξ0, se tomaron tres valores de temperatura 0.8Tc, 0.85Tc y 0.9Tc para tres valoresfijos de κ (1, 1.5 y 2).

Existe una ventaja significativa al trabajar en un regimen mesoscopico, esta ventajase puede observar en las figuras 4.1; donde es posible visualizar saltos a lo largodel estado de Abrikosov, situacion que no ocurre en un superconductor que poseedimensiones fısicas diferentes ver figura 2.6(b).

Los vortices entran en el sistema en los mınimos de la region Hc1 < H < Hc2 y yaque no es factible deducir cuantos vortices ingresaron en cada mınimo a partir dela curva de magnetizacion, se recurre al calculo del fluxoide, donde las figuras 4.2esquematizan el numero de vortices que entran en el sistema al aumentar el campomagnetico externo.

31

Capıtulo 4. Resultados 32

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−4πM

H

T = 0.80Tc

T = 0.85Tc

T = 0.90Tc

(a) κ = 1

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−4πM

H

T = 0.80Tc

T = 0.85Tc

T = 0.90Tc

(b) κ =1.5

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−4πM

H

T = 0.80Tc

T = 0.85Tc

T = 0.90Tc

(c) κ = 2

Figura 4.1: Curvas de magnetizacion para un sistema de 36ξ0×36ξ0. Las graficas (a),(b) y (c) representan la magnetizacion como funcion del campo magnetico externopara un valor determinado de κ, en especifico cada grafica posee tres curvas quecorresponden a distintos valores de temperatura.

En las graficas de magnetizacion se observan saltos en la region Hc1 < H < Hc2,dicho comportamiento ha sido observado en artıculos como [24, 25]. Los mınimos delas curvas de magnetizacion corresponden a la entrada de vortices producto de laexclusion de flujo. A mayor temperatura y/o a mayor valor de κ la magnetizaciones menos negativa.

0

5

10

15

20

25

30

35

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Φ/Φ

0

H

T = 0.80Tc

T = 0.85Tc

T = 0.90Tc

(a) κ = 1

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Φ/Φ

0

H

T = 0.80Tc

T = 0.85Tc

T = 0.90Tc

(b) κ =1.5

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Φ/Φ

0

H

T = 0.80Tc

T = 0.85Tc

T = 0.90Tc

(c) κ = 2

Figura 4.2: Grafico de vorticidad para un sistema de 36ξ0 × 36ξ0. Se representael numero de vortices que ingresan al sistema conforme aumenta H, cada graficacorresponde a un valor de κ y a tres valores de temperatura.

Las figuras representan la vorticidad como funcion del campo magnetico externo, esdecir, esquematizan el numero de vortices en el interior del sistema para cierto valorde campo magnetico aplicado. A mayor temperatura y/o a mayor valor de κ losvortices requieren de un menor campo magnetico externo para entrar en el sistema.

Bajo los parametros trabajados en las figuras 4.1 y 4.2, se deduce que dichas figurasguardan correlacion, pues permiten corroborar que los puntos mınimos de las curvas

32


de magnetizacion coinciden con los valores de ingreso de vortices en la muestra.

El segundo sistema a evaluar posee las mismas dimensiones 36ξ0 × 36ξ0 y para unvalor de κ = 1 se tomaron dos valores en la temperatura, T = 0.2 y T = 0.5

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−4πM

H

T = 0.50Tc

−5

0

5

10

15

20

25

30

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8

Φ

H

T = 0.50Tc

Figura 4.3: Curva de magnetizacion (izquierda) y grafico de vorticidad (derecha)para un sistema que se aleja del limite teorico de la temperatura T = 0.5

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

−4πM

H

T = 0.20Tc

0

5

10

15

20

0.7 0.75 0.8 0.85 0.9

Φ

H

T = 0.20Tc

Figura 4.4: Curva de magnetizacion (izquierda) y grafico de vorticidad (derecha)para un sistema que se aleja del limite teorico de la temperatura T = 0.2

Se discierne la diferencia entre temperaturas proximas a Tc y lejanas a Tc a partirde analizar que: Entre menor es la temperatura mayor numero de saltos presenta lacurva de magnetizacion; los mınimos de temperaturas lejanas a Tc no coinciden conel ingreso de cuantos de flujo.

33


Es de interes observar el comportamiento del parametro de orden con el fin de con-templar la formacion de una red Abrikosov; especıficamente se quiere analizar elcomportamiento de la densidad de electrones superconductores, para tal fin se to-man valores fijos de campo aplicado y se grafica el mapa de calor a partir de lamatriz del modulo al cuadrado del parametro de orden. En las siguientes graficasse muestran los mapas de calor correspondientes al valor de T = 0.9 de la figura4.1(a), ya que la mayorıa de los vortices ingresan al sistema en los puntos mınimosde la curva de magnetizacion, el valor del campo aplicado en dichos puntos sera elreferente para construir las imagenes de la distribucion de |ψ|2.

Para el mapa de calor se ha seleccionado una distribucion de color que va desde elnegro hasta el amarillo. El color negro representa regiones normales o aquellas dondese han destruido la superconductividad; el color amarillo representa las regiones conla mas alta superconductividad.

(a) H = 0.251 (b) H = 0.292 (c) H = 0.344

(d) H = 0.409 (e) H = 0.487 (f) H = 0.519

Figura 4.5: Mapa de calor para el modulo al cuadrado del parametro de orden.Los graficos se muestran de manera secuencial acorde al valor de campo magneticoaplicado.

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Como ultimo caso se considera un sistema mesoscopico “grande”, es decir un sistemacuyo tamano permite una clara separacion entre los vortices, con esto se obtiene laimagen 4.6 cuyos valores son de T = 0.9 y κ = 1

Figura 4.6: Densidad de electrones superconductores para un sistema de 70ξ0×70ξ0con un campo aplicado de H = 0.240, en el sistema es posible visualizar 24 vortices.

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Capıtulo 5

Conclusiones

Se ha simulado un estado superconductor para sistemas cuadrados mesoscopicosde dos tamanos diferentes; donde el valor del campo magnetico externo ha sidoaumentado ligeramente mientras el valor de κ y T permanecıan constantes. Respectoa las graficas mostradas anteriormente se infiere que:

El valor de la magnetizacion es mas alto entre mas cerca se este de la tempe-ratura crıtica, de igual forma la magnetizacion es mayor al aumentar el valorde κ.

Los campos crıticos Hc1 y Hc2 varıan con la temperatura y con κ pero demanera contraria a la magnetizacion, ya que sus valores se incrementan entremenor sea el valor de estos parametros.

Como se puede observar la magnetizacion de un sistema mesoscopico presentasaltos debido al ingreso de los cuantos de flujo. Este fenomeno no se observa enun superconductor macroscopico donde la magnetizacion por encima de Hc1

es una curva continuamente decreciente.

Independiente del valor que tome κ, a mayor temperatura ingresan menosvortices en el sistema, y en todos los casos los flujos cuantizados entran decuatro en cuatro.

En el limite teorico descrito por Gorkov, donde la teorıa de TDGL es validapara temperaturas proximas a Tc, se puede observar que el punto mınimo delas curvas de magnetizacion coincide con el ingreso de vortices, pero solamentese da esta concurrencia entre Hc1 y Hc2, puesto que incluso despues de habersuperado el estado de Abrikosov siguen ingresando vortices en el sistema.

36

Capıtulo 5. Conclusiones 37

Al alejarse del limite teorico, es decir al tomar temperaturas lejanas a Tc, lacurva de magnetizacion posee mas puntos mınimos y no todos coinciden conel ingreso de vortices, ciertamente un punto mınimo no implica el ingreso devortices. Es presuntuoso negar o afirmar la validez de las ecuaciones TDGL atemperaturas lejanas de Tc, para tal conclusion se requiere de un analisis demayor complejidad que el realizado en este trabajo.

En sistemas de 36ξ0 × 36ξ0 o de menor tamano, no es posible visualizar deforma clara los vortices por encima de cierto campo magnetico, pues el tamanodel sistema no es suficiente para evitar la superposicion de los fluxoides ycontemplar la separacion entre ellos. Se expone el caso de 36ξ0 × 36ξ0 porqueen los primeros cuatro vortices se evidencia una red de Abrikosov.

En sistemas de 70ξ0 × 70ξ0 o de mayor tamano, existe suficiente espacio paraobservar una clara separacion entre vortices, de esta manera es factible percibiruna red triangular. Se ve en la frontera efectos de la superficie, por ello losvortices cercanos a esa region se encuentran mas proximos a sus vecinos queaquellos vortices localizados en el centro del sistema.

Cuando se usan sistemas mesoscopicos “grandes” se obtiene una red hexagonalo triangular que es producto de la localizacion de los vortices en un estado demınima energıa.

Valores de campo superiores y contiguos a Hc2 evidencian que sigue existiendosuperconductividad de forma reducida en regiones cercanas al borde del siste-ma, esto indica la existencia de una corriente superficial entre Hc2 y un tercercampo critico Hc3.

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Simulación computacional del estado superconductor en una...

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