Significado de la derivada elemental
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Transcript of Significado de la derivada elemental
:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdf x xdx x x
0x
f x
x
0 tandf x xdx
3
0
:
Se define la derivada parcial de respectoa , como
, , , , , ,limh
D R R
x
x y z x h y z x y zx h
3
0
:Se define la derivada parcial de respecto a , como
, , , , , ,limh
D R Rx
x y z x h y z x y zx h
Es decir, es como la derivada "normal" tomandoa las variables independientes y comoconstantes
y z
3:Las derivadas respecto a las otras variables independientes, y , se definen exactamente igual, cambiando los roles demanera evidente.
D R R
y z
0
, , , , , ,limh
x y z x y h z x y zy h
0
, , , , , ,limh
x y z x y z h x y zz h
3: , ,R R x y z x y z
3: , ,
, ,1
R R x y z x y z
x y zx
3
, ,
: ,
,1
1
,
,
R R x y z x y z
x y z
y
x
x zy
3: , ,
, ,1
, ,1
, ,1
R R x y z x y z
x y zxx y z
x y zz
y
3: , ,
, ,1
, ,1
, ,1
R R x y z x y z
x y zxx y zyx y zz
3 2: , , sin expR R x y z xy x y z z
3 2: , , sin ex
, ,sin os
p
c
R R x y
x y zy x xy
z xy x z z
xx
y
3 2
, ,sin 2
: , , sin exp
, ,sin cos
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
x y zy
x
x x yz
3 2
2, ,e
:
x
, , sin exp
, ,sin cos
, ,sin 2
px y z
y zz
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
xx y z
x x yzy
3 2
2
: , , sin exp
, ,sin cos
, ,sin 2
, ,exp
R R x y z xy x y z z
x y zy x xy x
xx y z
x x yzyx y z
y zz
2 2
Intersección con un pIntersección con un pl
:
anol
,
ano
D R R z x
x
y xy
y
2 2
2
: ,
a) =
D R R z x y xy
x z y
2 2: ,
b) =
D R R z x y xy
y z x
:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdf x xdx x x
0x
f x
x
0 tandf x xdx
3
0
Nos indica el cambio
:, , , , , ,
lim
de la función en la direccióndel eje correspondiente.Es la pendiente de la tangen
¿Qué significado físico tiene una derivada parcia
te
?
e
l
d l
h
D R Rx y z x h y z x y zx h
a curva proyectadasobre el plano correspondiente.
: n mF R R
:
A cada elemento de ,es decir, a cada vector,
se le asocia un vector de ,
n m
n
m
F R R
R
R
x F x
1 2
:
, ,...,
Cada una de las componentes del campo vectorial
es una función de .
Es decir, cada una de las componentes del campovectorial es un campo escalar.
: 1,...
n m
m
n
ni
F R R
F x F x F x F x
F x R R
F x R R i
,m
2 2: ,F R R x F x x y y x
x Y x+y y-x0 0 0 01 0 1 -10 1 1 11 1 2 0-1 -1 -2 0-1 1 0 21 -1 0 -22 0 2 -23 -1 2 -4
2 2: ,F R R x F x x y y x
(x,y) F(x,y)(0,0) (0,0)(1,0) (1,-1)(0,1) (1,1)(1,1) (2,0)
(-1,-1) (-2,0)(-1,1) (0,2)(1,-1) (0,-2)(2,0) (2,-2)(3,-1) (2,-4)
2 2: ,F R R x F x x y y x
3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2: ; , ,y x zF R R F x
x y z x y z x y z
1 2: , ,...,
: 1,...,
Derivadas parciales de un campo vectorial:
; 1,2,..., , 1,2,...,
n mm
ni
i
j
F R R F x F x F x F x
F x R R i m
F xj n i m
x
1) Funciones vectoriales de una variable real
:
2) Campos escalares
:
3) Campos vectoriales
:
n
n
n m
V R R t r t
R R x x
F R R x F x
1 2
Sea :un campo escalar diferenciable,el
:definido como
,
c
gradiente de
ampo vectorial
,...,
se llama
n
n n
n
D R R
R R
x x x xx x x
2 2 31: ,6
R R x y x y
1/ 3
2 2
2 3 2
3
1
1: ,6
66x y a y
R R x y x y
a x
2
2 31, , , ,6 3 2
x yx y x y x yx y
2
2 31, , , ,6 3 2
x yx y x y x yx y
2 3
2
1,6
, ,3 2
0.0,0.7 0.057
0.0,0.7 0.000,0.245
x y x y
x yx y
2 3
2
1,6
, ,3 2
1, 1 0
1 11, 1 ,3 2
x y x y
x yx y
2 2 2 3
2 2 2
, , ; :
Las curvas de nivel están dadas por la ecuación:
constantees decir, son esferas con centro en el origen y
radio igual a constante
x y z x y z R R
x y z
2 2 2, , , , , , 2 , ,x y z x y z x y z x y zx y z
Sea : un campo escalar diferenciable.
En todos los puntos en los cuales 0,
el vector apunta en la dirección de mayor
crecimiento de .
El número es la razón máxima de
crecimiento.
nD R R
x
x
x
El gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel
Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lógico que el gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de la función, sea perpendicular a ellas
2
2 31, , , ,6 3 2
x yx y x y x yx y
El gradiente es ortogonal a las superficies (ó líneas) equipotenciales
, sin( )cosx y x y y
• El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores.
• El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
1
campo escalar
S
divergencia de
ea : un campo vectorial diferenciable,el
:definido como
se llama
n n
n
ni
i i
F D R R
F R R
F
FFx
3 3
2 2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,definido como
, , , ,2
2 2
, , 2
F D R R
F x y z xz y x y
F xz y x y z yx y z
F x y z z y
1
:
Como veremos más adelante, la divergencia nosindica cuáles son las fuentes y los sumideros delas lineas del campo vectorial.Donde la divergencia es diferente de cero, setien
nn n i
i i
FF D R R Fx
e una fuente o un sumidero del campo,según el signo.
3 3
3 3
Sea : un campo vectorial diferenciable,el
:definido como
ro
c
ˆˆ ˆ
se
ampo vecto
llama tacional de
ial
r
x y z
F D R R
F R R
i j k
Fx y zF F F
F
OJO: En inglés se llama“CURL”Equivale a “chinitos”, “rulitos”
3 3
2 2
2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,definido como
, , , ,2
ˆˆ ˆ
2 , 4 ,0
2
F D R R
F x y z xz y x y
i j k
F x x xyx y zxz y x y
3 3
ˆˆ ˆ
:
El rotacional de un campo vectorial nos dice"que tantas vueltas" dan las líneas de campo.Si el rotacional es cero, entonces la líneas decampo no pueden "cerrarse"
x y z
i j k
F D R R Fx y zF F F
1. Escalares, vectores y el álgebra vectorial2. Funciones vectoriales de varias variables3. Diferenciación parcial4. El gradiente, la divergencia y el rotacional5. Integración múltiple6. Integral de línea7. Integral de superficie8. El teorema de la divergencia9. El teorema de Stokes10. Otros teoremas integrales
Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable independiente), le
hace corresponder un número y (y solo
uno llamado variable dependiente).
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.
Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).
Nota El dominio de una función puede estar limitado por:
1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.
2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
: 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos los números reales
Su rango son todos los números reales
f R R y f x x
: 3 2f R R y f x x
x f(x)0 21 5
-1 -12 8
-2 -43 11
-3 -74 14
-4 -105 17
-5 -13
x f(x)0.10 2.301.76 7.28
-3.45 -8.358.97 28.912.34 9.02
13.33 41.991.41 6.23
16.77 52.31-44.44 -131.32
0.01 2.03-123.00 -367.00
: exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos los números reales
Su rango son todos los números realespositivos
xf R R y x e
exp : exp xR R y x e x f(x)0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832-3.45 0.03174568.97 7,863.60160552.34 10.3812366
13.33 615,382.92789006.99 1,085.7214762
-91.23 0.00000002.22 9.20733090.50 1.6487213
-12.45 0.0000039
x f(x)0.00 1.0001.00 2.718
-1.00 0.3682.00 7.389
-2.00 0.1353.00 20.086
-3.00 0.0504.00 54.598
-4.00 0.0185.00 148.413
-5.00 0.007
log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números realespositivos, ya que no existen el logaritmo deun número negativo
Su contradominio o codominio son todos los números reales
Su rango son todos l
R y x
os números reales
log : (0, ) lnR y x
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0.916 0.04 -3.219
0.50 -0.693 0.05 -2.996
0.60 -0.511 0.06 -2.813
0.70 -0.357 0.07 -2.659
0.80 -0.223 0.08 -2.526
0.90 -0.105 0.09 -2.408
1.00 0.000 0.10 -2.303
2
Definición La gráfica de la función es el lugar geométricode los puntos del plano cuyas coordenadassatisfacen la ecuación ( )
, ,
f
y f x
G x y R x f x
: 3 2f R R y f x x
exp : exp xR R y x e
log : (0, ) lnR y x
: R R y x
El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande
Sea una función y un número real.La expresiónlim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a .Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x cf x
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
Sea una función real de variable real,:
Se dice quelim
si dado >0, existe >0 tal que si
entonces
x a
f
f x L
x a
f x L
D R R
2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los númerosrealesNota 2.- El contradominio de la función
uando tiendeo se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
os losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R
2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?x
x
2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?x
x
2: 5 7g R R g x x
13
2
2¿lim 5 7 ?x
x
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 2?
lim 5 7 13x
g R R g x x
x
x
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosreales positivos menos e
1: (0, ) 11
¿Cuál es el límite de esta función
l 1Nota 2.-
cuando tiendeo se acerca a 1?
1¿lim ?
E
1
l
x
xQ R Q xx
x
xx
contradominio de la función son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R
1: (0, ) 11
xQ R Q xx
1
1¿lim ?1x
xx
1
1: (0, ) 11
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1lim 21x
xQ R Q xx
x
xx
1
1: (0, ) 11
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 1?
1lim 21
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en1
x
xQ R Q xx
x
xx
x
2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosrealesNota 2.- El contradominio de
3 4 5:
5¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerc
la fu
a a 1?¿li
nción
m
?x
x xa R R a x
x xx
a x
son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función son todos los números realesmenos el intervalo (11,25]
2
3 4 5:
5x x
a R R a xx x
5
¿lim ?x
a x
2
5
3 4 5:
5¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
No exi
tiende a 11Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
l steimx
x xa R R a x
x xx
a x
0
Nota 1.- El dominio de la
1: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiendeo
los númerosreales menos el ceroNota
se acerca a 0?1¿
2.- El contradom
l
i
im ?
nio de la funci
x
E R R E xxx
x
ón son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función son todos los números reales
1: 0E R R E xx
0
1¿lim ?x x
0No existe
Si
1: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiendeo se ac
da tiende a Si nos acercamo
e
s
rca a
por la derecha tiende a
1
+
0?
limx
E R R E xx
x
x
1: 0E R R E xx
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xx
x
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xxx
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendea , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l 0imx
E R R E xx
x
E x
Sea una función y un número real.La expresiónlim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
e de en , cuando se aproxima a porla izquierda, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x cL
f x L
f x c
Sea una función y un número real.La expresiónlim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
de en , cuando se aproxima a porla derecha, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x cL
f x L
f x c
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los númerosreales menos el ceroNota 2.- El contrad
sin: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiendeo se acerca
ominio
a 0?si
d
n¿li
e
m ?x
xf R R y f xx
x
xx
la función son todos losnúmeros realesNota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R
sin: 0 xf R R y f xx
0
sin¿lim ?x
xx
sin: 0 xf R R y f xx
0
Si 0, sin
ysinlim 1
x
xxf xx
xx
0
Si 0, sin
ysinlim 1
x
xxf xx
xx
sin: 0 xf R R y f xx
El límite por la izquierda es 1
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sinDado que lim lim , el límite no existex x
x xx x
2: 5 7g R R g x x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
1: (0, ) 11
xQ R Q xx
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
2
3 4 5:
5x x
a R R a xx x
En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 5 son 25 y 11 respectivamente
1: 0E R R E xx
En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
Sean : y :Supongamos que existen los límiteslim y lim
i).- lim lim + lim
ii).- lim lim lim
iii).- lim /
x x
x x x
x x x
x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
f x g x f x g x
f x g x
lim si lim 0
lim
x
x
x
f xg x
g x
De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de sudominio se le denom
de
)
i
limx c
f x c
f c c f
b f x f c
na continuaSi una función no es continua entonces es discontinua
sin : sinR R y x
Esta función es continua
3 2
:5 2x x
h R R y h xx
• Es discontinua en x=-2• Es continua en todos
los otros puntos del dominio
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en
ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f xc
g x
ndo
0g c
RRf :
x
f x
x
f x
b
a
f x dx
x
f x
b
a
f x dx
a
x
f x
b
a
f x dx
a b
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
2 32 3f x x x x
2 32 3f x x x x
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:52 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.52.5 2 3 41.0
1.0 1.0 1.0
2 2 3 3 4 4
2 3
2 3 2 3
1 1 12 32 3 4
1 12 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.02 4
12 1.5 6.25 12
f x x x x
x x x dx dx xdx x dx x dx
x x x x
1.0 15.625 1.0 39.063 1.04
1 13.0 5.25 14.625 38.0632 4
3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842
2 32 3f x x x x
Valor aproximado 6.1172Valor exacto 5.4844
1n
5.4844 exactoValor 5.6426aproximadoValor
2n
Valor aproximado 5.5239Valor exacto 5.4844
4n
Valor aproximado 5.4907Valor exacto 5.4844
10n
Valor aproximado 5.4846Valor exacto 5.4844
50n
Valor aproximado 5.4844Valor exacto 5.4844
100n
if x
i if x x
0
N
i ii
f x x
0 0
limi
N
i ix i
f x x
0 0
limi
bN
i ix i a
f x x f x dx
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx
0a
a
f x dx
: n R R
:
A cada elemento de ,es decir, a cada vector,se le asocia un número real,
n
n
x x
R RR
2: , 1x x y x y R R
x Y φ(x,y)=1-x-y
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 3
-1 1 1
1 -1 1
2 0 -1
3 -1 -1
2 2 2: , 1f f x y z x y R R
x Y f(x,y)=1-x2-y2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 -1
2 3 -12
-4 5 -40
:
A cada elemento de , es decir, a cada vector,se le asocia un número real,
n
nRx x
R R
3
En el caso de 2, podemos "dibujar
Gráfica
" la gr
, , ,
áfica,
x y x
n
x y
R
2
3
: , 1
Gráfica , ,1
x x y x y
x x y x y
R R
R
Gráfica
x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 3-1 1 11 -1 12 0 -13 -1 -1
2 2 2
3 2 2
: , 1
Gráfica , , 1
f f x y z x y
x y z z x y
R R
R
Gráfica
x Y f(x,y)=1-x2-y20 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40
2
3
:
, 1 sin cos
Gráfica , , 1 sin cos
x y z x y
x y z z x y
R R
R
Gráfica