SIGMA 28 - Eusko Jaurlaritza - Euskadi.eus · Uno de los contenidos más importantes del currículo...

Mayo 2006 • 2006ko Maiatza 69

SIG

MA

28LAS TENDENCIAS FUNCIONALES

Sónsoles Blázquez Martín (*)

INTRODUCCIÓN

Uno de los contenidos más importantes del currículo de secundaria es el concepto de función. La importancia de las relaciones funcionales y de sus propiedades tienen que ver con la mode-lización de fenómenos reales. Aunque hasta el siglo XIX no se llegó a la definición de función que conocemos hoy, fruto de continuas abstracciones, los Babilonios ya buscaban relacio-nes aritméticas entre magnitudes vinculadas a la astronomía, y a lo largo de toda la historia estuvo presente la necesidad de formular “leyes” matemáticas que describieran los fenómenos observables y medibles. Así, el hecho de que las funciones modelicen situaciones reales tiene más significación para el alumnado de secundaria que la definición precisa de función como objeto matemático. Del mismo modo, el conocimiento de las propiedades de las funciones resulta básico para entender e interpretar dichas situaciones (por ejemplo muchos problemas reales son problemas de optimización donde es necesario conocer aquellos valores en los que una determinada función alcanza el máximo o el mínimo).

Las gráficas de las funciones, que se trabajan desde niveles muy básicos en la enseñanza, sobre todo en lo que se refiere a su lectura e interpretación, nos permiten seguir la evolución de estos fenómenos de forma global y muy intuitiva. Éstas se complementan con otras formas de representar las funciones, que nos dan una visión diferente de la relación funcional, y que se trabajan en secundaria de manera más o menos explícita y relacionada: la representación verbal describe de forma cualitativa la relación funcional; la representación tabular añade una visión cuantitativa aunque parcial e incompleta de la relación; la representación algebraica exige un mayor nivel de abstracción (es por tanto menos intuitiva) pero es más precisa que las anteriores. El aprendizaje de las funciones pasa por un conocimiento de dichos registros y las traducciones entre los mismos, de manera que se escoja en cada momento el sistema o sistemas de representación más adecuados al problema que se trata de resolver.

De lo anterior se concluye que el concepto de función como relación entre variables, utili-zado a través de cualquiera de sus formas de representación, junto con características de las funciones como puntos de corte con los ejes, monotonía, extremos, concavidad y convexidad, tendencias y asíntotas, constituyen herramientas básicas que el alumno debe aprender a mane-jar para conocer e interpretar la realidad que le rodea.

Este artículo se centra en una de esas propiedades, importante en cuanto a poder de predicción, y que se trabaja poco, y no siempre de forma adecuada, en los textos escolares: las tendencias funcionales y las asíntotas. Al hablar de tendencias funcionales se hace referencia a compor-tamientos de la función cuando una de las variables o ambas tienden a infinito (tendencias infinitas de la función). No se habla directamente de límites, aunque dicha notación se puede introducir de cara a poder unificar la notación en el cálculo de límites, donde se mezclan límites finitos e infinitos. Se excluye la combinación de tendencias finitas de x e y, es decir, el límite finito cuando x tiende a un número, porque se considera que el tipo de situaciones que dan lugar a este concepto es diferente del que lleva a definir las tendencias infinitas.

(*) Asesora de Matemáticas del CFIE. Valladolid 1.

En el primer caso se parte de situaciones en las que es necesario estudiar la función en un punto donde no está definida, pero que sí lo está en un entorno de dicho punto y los valores de dicho entorno tienen imágenes “próximas”. En el segundo caso interesa estudiar la fun-ción para valores muy grandes o muy pequeños (negativos con valor absoluto muy grande) de alguna de las variables, que es donde la gráfica se “sale” del medio físico (papel, pizarra, pantalla del ordenador).

PROPUESTA DE TRATAMIENTO EN EL AULA

El objetivo de esta actividad es mostrar la utilidad que tienen las tendencias para dar respuesta a una problemática real a través de la construcción de un modelo funcional. La función del modelo tiene una tendencia finita en el infinito (cuando x tiende a infinito y tiende a cero) y una tendencia infinita cuando la variable independiente tiende a un número (y tiende a infinito cuando x tiende a cero). De esta manera se pueden ilustrar a la vez dos de los tres tipos de tendencias infinitas, y es el primer paso para mostrar el “catálogo” de tendencias funcionales. Puesto que se van a mostrar dos tipos diferentes de tendencias en una misma función, es una buena ocasión para poner de manifiesto que la tendencia es una propiedad local y, por tanto, una función puede presentar distintas tendencias según el conjunto donde se estudie.

En este ejemplo el ordenador será el instrumento que se utilizará para llegar al modelo de la situación (a través de una tarea simple de búsqueda en Internet) y, sobre todo, para trabajar con dicho modelo en distintos sistemas de representación, sin necesidad de emplear mucho tiempo en hacer la traducción de unos a otros. Para ello se utilizará un programa, Geogebra, que facilitará el trabajo con el modelo matemático.

(a). La primera tarea consiste en proponer una búsqueda en la red para comprender y construir el modelo. Se les pide a los alumnos y alumnas, de forma individual o en grupos, que realicen una pequeña investigación a través de la web de manera que puedan responder a tres cuestiones acerca del sonido:

• Qué es la intensidad del sonido?

• En qué unidades se mide?

• En el caso de propagación a través del aire, ¿qué relación existe entre distancia a la fuente y la intensidad del sonido?

La tarea se puede desarrollar en el aula de informática o en casa (para aquellos que dispon-gan de conexión a Internet), y puede ser libre o guiada (ver direcciones web en el apartado bibliografía). Lo importante es que comprendan tres ideas, que se expondrán en el aula una vez concluido el trabajo de los alumnos:

• La intensidad del sonido es una propiedad que hace que éste se perciba como fuerte o como débil y está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, tam-bién llamada intensidad acústica. Ésta última se define como el flujo medio de energía por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación. Teniendo en cuenta la definición anterior, la unidad de medida tiene que ser una unidad de energía (el watio) dividida por una unidad de superficie (el metro cuadrado), W/m2.

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Sonsoles Blázquez Martín

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Las tendencias funcionales

• La medida de la intensidad utilizando decibelios es más popular y conviene clarificar la relación entre una unidad y otra. Los estudios fisiológicos han puesto de manifiesto una relación logarítmica entre la intensidad de un sonido y la intensidad de nuestra percepción del mismo, por lo que se prefiere medir la intensidad del sonido en una escala logarítmica: si llamamos B al nivel de intensidad de un sonido e I a la intensidad de la onda sonora entonces B = 10.log(I/I0), donde I0 es una intensidad de referencia (I0 = 10-12 W/m2 para el caso del sonido en el aire) denominada umbral de la sensación sonora. B se expresa en decibelios (abreviado db) y oscila entre 0 (I = I0) y 120 db (nivel máximo que el oído humano puede tolerar, también llamado umbral del dolor, que corresponde a una intensidad de 1 W/m2).

• En cuanto a la relación entre distancia a la fuente e intensidad del sonido, la experien-cia avala que cuanto más lejos se está de la fuente emisora menor intensidad tendrá el sonido. A este fenómeno se le llama atenuación del sonido. De hecho, el sonido desde una fuente puntual se propaga por el aire a través de ondas esféricas, por lo que, supo-niendo que no se produzca ninguna pérdida de energía debido a efectos de absorción, la intensidad resulta ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, según la fórmula I = P/(4r2), siendo P la potencia de la fuente emisora y r la distancia a la fuente (4r2 es el área de la esfera de radio r).

(b). Una vez deducida la ley que relaciona la intensidad y la distancia, ya se dispone de un modelo matemático para estudiar dicha relación. Este modelo viene dado en el registro algebraico que, como ya se ha señalado, es el más preciso pero el menos intuitivo. Así, ya en el aula, el profesor puede utilizar una pizarra electrónica o un cañón y un ordenador para representar gráficamente la función y a la vez manejar distintos valores numéricos de las variables. Para plantear cuestiones relacionadas con el modelo es conveniente fijar un valor para P, de manera que la función no dependa, en principio, de ningún parámetro. Así, se plantea la siguiente situación:

Nos hemos comprado un equipo musical de gran potencia y hemos calculado que la potencia de sonido que emite es de 0,12 W (no se especifica en el aparato pero tiene que ver con la potencia eléctrica y la eficiencia de los altavoces o amplificadores). ¿Cuál es la relación entre la distancia al equipo y la intensidad del sonido?

Una pequeña sustitución en la ecuación del modelo nos proporciona la relación buscada I = 0,12/(4r2), que se puede simplificar dividiendo por 4 para obtener una relación más sencilla I = 0,03/(r2). Aunque en algún momento de la exposición haya que hacer alguna conversión a decibelios se trabajará con la intensidad acústica y se expresará dicha inten-sidad en W/m2.

Existen en la red y en el mercado multitud de programas de representación de funciones (desde los programas de cálculo simbólico como Derive hasta las aplicaciones diseñadas exclusivamente para el estudio de funciones como Funciones, Winplot o Graph). En este ejemplo se va a utilizar el programa Geogebra por dos razones: la primera es que se trata de software libre en castellano; la segunda es su capacidad para conjugar álgebra, geometría y algunas herramientas de análisis con un entorno muy agradable e intuitivo (figura 1).

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Figura 1

Para representar la función en Geogebra se escribe la ecuación en el editor de expresiones de la siguiente manera I(x)=0.03/(pi*x^2) y se pulsa intro, con lo que la gráfica se muestra en la ventana de geometría y la ecuación en la de álgebra como objeto libre (ver figura 2).

Figura 2

Habría que puntualizar que la función sólo tiene sentido para valores positivos de x ya que esta magnitud es una distancia. Por otro lado, se pueden tomar valores muy grandes de x ya que nos estamos refiriendo a la intensidad de la onda sonora (medida en W/m2) y no a la inten-sidad que percibimos. Así, está claramente definido el dominio de la función del modelo.

Esto lleva a definir una nueva función f(x) que coincida con I(x) en el intervalo [0,10000] (figura 3), ya que Geogebra no permite tomar un intervalo infinito, y ocultar I(x) (pulsando con el botón derecho sobre la ecuación o la gráfica de la función y seleccionando expone objeto).



Figura 3

También se puede modificar la escala para poder visualizar la gráfica con más detalle, lo que se hace en opciones -> zona gráfica, donde existe la posibilidad de modificar las escalas de ambos ejes e, incluso, de escribir las unidades para obtener una visión más clara del modelo (figura 4).

Figura 4

Una primera observación de las propiedades globales de la gráfica confirma el ajuste del modelo a la situación: la intensidad es positiva siempre y decrece al crecer x, es decir, al alejarnos del foco del sonido. Ese decrecimiento es más lento al alejarse, como se deduce de la convexidad de la función1, lo que significa que un alejamiento determinado cuando se está cerca del foco lleva consigo una atenuación mayor que ese mismo alejamiento cuando se está lejos del foco (muy lejos apenas se percibe la variación de intensidad).

Hasta el momento se utilizan simultáneamente los registros gráfico y algebraico. Se pueden completar los registros tomando un punto en la gráfica. Para ello se pulsa en el segundo

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botón de la barra de herramientas –herramienta nuevo punto– y en cualquier lugar de la gráfica. Se obtiene así un punto geométrico en la gráfica y sus coordenadas en la ventana algebraica (figura 5), lo que proporciona una visión numérica de la función.

Figura 5

Geogebra permite ahora modificar la situación del punto, tras pulsar en el primer botón de la barra de herramientas2, de dos maneras: la primera arrastrando el punto sobre la gráfica (sus coordenadas también se modifican); la segunda cambiando en la ventana algebraica la abscisa del punto (se pulsa dos veces sobre el punto, se selecciona la abscisa, se teclea el nuevo valor y se pulsa “intro”) con lo que la ordenada se modifica automáticamente y el punto se mueve en la gráfica. De esta manera se pueden manejar simultáneamente los tres registros funcionales más importantes (numérico, gráfico y algebraico).

También es posible modificar la ecuación de la función desde la ventana algebraica de la misma manera que se modifica el punto. En este modelo, si se necesitara manejar distintos valores para la potencia se podría crear un parámetro P (potencia) e introducir la función con dicho parámetro (figura 6). Para modificar después dicho parámetro se pulsa sobre él en la ventana de álgebra y se teclea el valor deseado.

Figura 6



(c). Una vez examinado el modelo es el momento de plantear las tareas que dan pie al estudio de tendencias. Así, utilizando la función representada en Geogebra, los alumnos deben responder a las siguientes preguntas:

• ¿Qué intensidad de sonido se produce a 2 metros?, ¿y a 10?, ¿y a 20?, ¿qué ocurre con la inten-sidad cuando la distancia es muy grande?, ¿a qué distancia dejaremos de percibir el sonido?

• Si nos colocamos a medio metro, ¿qué intensidad tendrá el sonido?, ¿y si estamos a 10 centímetros?, ¿qué ocurre si la distancia es muy pequeña?, ¿llegará el sonido a superar el umbral del dolor?

La primera cuestión está relacionada con la tendencia a cero de la función en el infinito y la segunda con la tendencia infinita de la función cuando la variable independiente tiende a cero. Para resolver el problema planteado, se deben calcular, en primer lugar, los valores pedidos para x = 2, x = 10 y x = 20, por un lado, y para x = 0.5 y x = 0.1, por otro. Este paso es sencillo con Geogebra moviendo el punto que se ha situado sobre la gráfica o modificando directamente la abscisa en la ventana de álgebra. Se obtienen así los puntos (2, 0.00239), (10, 0.0001) y (20, 0.00002) y los puntos (0.5, 0.0382) y (0.1, 0.95493)3.

Este paso lo pueden llevar a cabo varios alumnos o alumnas en la pizarra electrónica o en el ordenador con la ayuda del docente, poniendo de manifiesto qué “zonas” de la función se estudian en cada apartado, para facilitar así la respuesta a las cuestiones que siguen al cálculo de los valores numéricos. Para observar el comportamiento de la función en dichas “zonas” basta conjugar tres herramientas:

Permite seleccionar cualquier objeto libre y moverlo (en concreto el punto A se moverá sobre la gráfica).

Permite desplazar la zona gráfica para centrarse en la parte de la función de nuestro interés.

Permiten aumentar o disminuir la escala (zoom de acercamiento o de aleja-miento).

De esta manera se puede visualizar una pantalla como la de la figura 7, que muestra valores de x grandes (superan cualquier valor) y valores de f(x) próximos a cero (más próximos que cualquier valor seleccionado de antemano).

Figura 7

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La visión del punto de la gráfica se complementa con la de las coordenadas para llegar a esta conclusión. Se puede clarificar aún más si se toma un valor de y próximo a 0, a, se dibuja la recta y = a4, y se observa cómo, moviendo el punto A se puede situar éste entre dicha recta y el eje (figura 8). Para que la ordenada del punto esté más cerca de 0 que a, la abscisa tendrá que tener valores grandes.

Figura 8

Moviendo la zona gráfica y modificando la escala5, podremos obtener una imagen como la de la figura 9, donde para valores de x próximos a cero (más próximos que cualquier otro valor fijado) se obtienen valores de f(x) grandes (superan cualquier valor).

Figura 9

Como antes, se puede profundizar en este tipo de comportamiento si se toma un valor de y grande, K, se dibuja la recta y = K, y se observa cómo, moviendo el punto A se puede situar éste por encima de dicha recta (figura 10). Para que la ordenada del punto sea mayor que K, la abscisa tendrá que estar cerca de 0.



Figura 10

En estas pantallas también se puede observar cómo la gráfica se aproxima cada vez más al eje Y en el primer caso y al eje X en el segundo, de manera que se puede introducir el concepto de asíntota como recta a la que se aproxima la función para ciertos valores de la variable independiente.

Durante la exposición, los alumnos y alumnas deberían anotar todas sus observaciones, resolviendo sus dudas mediante la manipulación directa de la función en el ordenador. Lo más difícil de este proceso de modelización puede ser traducir este comportamiento mate-mático para resolver las cuestiones de partida. Tras unos minutos de debate entre grupos de alumnos y alumnas la respuesta a las cuestiones se plantea como sigue:

• La intensidad se va aproximando a cero al alejarse de la fuente, de manera que puede estar más cerca de cero que cualquier valor, lo que significa que se atenúa casi hasta desaparecer. Para valores numéricos grandes (aunque no demasiado pues basta tomar x=30) las limitacio-nes gráficas y numéricas del programa pueden hacer pensar que los valores de la intensidad son cero. Ahora bien, un simple vistazo a la ecuación de la función y se deduce que la orde-nada nunca puede valer cero, la función es estrictamente positiva, aunque la aproximación es tal que se puede considerar que la función y el eje son “casi” iguales. El sonido no llega a desaparecer, pese a que el oído no lo percibe a partir de una determinada distancia (a 1.000 km ya no se escucha) ya que se encuentra por debajo del umbral de la sensación sonora.

• La intensidad supera cualquier valor, por grande que éste sea, al acercarse lo suficiente al foco emisor del sonido. El umbral del dolor (1 W/m2) se superaría ya a los 9 cm de dis-tancia (lo que da cuenta de la potencia del equipo). En la práctica, las limitaciones físicas impiden acercarse lo necesario para superar valores grandes, pero el modelo asegura que si se pudiera hacer la intensidad aumentaría por encima de cualquier cota.

(d). Las tareas que se han realizado para introducir la necesidad del estudio de tendencias pueden ahora dar paso a la definición de las mismas y a la introducción de la notación adecuada a cada nivel.

En un lenguaje común se ha expresado cómo puede ser el comportamiento de las variables de una relación funcional: variables que se aproximan a un valor (por la derecha o por la izquierda) más que cualquier otra aproximación de éste, lo que matemáticamente significa que tienden a dicho número (la aproximación a cero por la izquierda de x o la aproximación a cero de y que han surgido en el ejemplo); o variables que superan cualquier valor prefijado, por grande

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que éste sea (tendencia a infinito). Existe un último tipo de tendencia similar a esta última y es la de aquellas variables que son menores que cualquier valor prefijado, por pequeño que sea (ten-dencia a menos infinito). Conjugando las tendencias de ambas variables obtenemos un pequeño “catálogo” de tendencias funcionales según se muestra en el esquema de la figura 11.

Las tareas anteriores permiten esbozar gráficas en los apartados v) y vii) de dicho esquema, a la vez que facilitan una ecuación y una pequeña tabla ilustrativa de la tendencia. De la misma manera que se han trabajado estos dos tipos de tendencia se puede proceder con el resto de los apartados.

y tiende a infinito y tiende a menos infinito y tiende a L

x tiende a infinito

i) ii) v)

Así

ntot

a y=

L

x tiende a menos infinito

iii) iv) vi)

x tiende a a por la derecha

vii) viii)

x tiende a a por la izquierda

ix) x)

Asíntota x=a

Figura 11. Catálogo de tendencias y asíntotas

CONCLUSIÓN

En este artículo se ha tratado de mostrar cómo el ordenador facilita una de las funciones más importantes de las matemáticas, la modelización, de manera que los conceptos matemáticos y sus propiedades surgen como algo natural para resolver problemas reales y no son una mera construcción humana. A la vez se propone una didáctica concreta para el estudio de tenden-cias funcionales basada en una concepción intuitiva de la idea de tendencia, tanto finita como infinita, en el trabajo con distintos sistemas de representación y en el uso del ordenador para facilitar ciertas tareas.



BIBLIOGRAFÍA Y DIRECCIONES DE INTERNET

Azcárate, C. y Deulofeu, J., (1990): Funciones y gráficas. Colección Matemáticas: cultura y aprendizaje. Síntesis. Madrid.

Blázquez, S., (2000): Noción de límite en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Tesis doctoral. Departamento de Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid.

Castro, E. y Castro, E., (1997): Representaciones y modelización. En L. Rico (coord..) La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Barcelona: Horsori-ICE Universitat de Barcelona, 95-124.

http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_de_sonido

http://www.ehu.es/acustica/bachillerato/casoes/casoes.html

http://www.kinoki.org/tecnicaaudiovisual/sonido/fisica.htm

http://www.geogebra.at/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1&lang=fr&lang=es

NOTAS

(1) Se podría también valorar a través de las pendientes de las rectas tangentes ya que Geogebra puede representarlas (con el comando tangente) una vez seleccionado un punto de la gráfica.

(2) Permite seleccionar cualquier objeto libre y moverlo.

(3) En Opciones-Posiciones decimales se puede aumentar hasta 5 el número de decimales de las coordenadas del punto.

(4) El valor de a se puede modificar directamente en la ventana de álgebra o moviendo la recta y=a en la ventana de geometría.

(5) En Opciones-Zona gráfica se pueden establecer los intervalos del eje X y del eje Y que limitan la zona a visualizar, lo que facilita volver a la situación inicial de la gráfica.

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